A fim de introduzir o m´etodo de itera¸c˜ao linear para o c´alculo de uma raiz da equa¸c˜ao:
f (x) = 0 , (3.1)
onde f (x) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo que contenha a raiz procurada, expressamos, inicialmente, a equa¸c˜ao (3.1) na forma:
x = ψ(x) , (3.2)
de maneira que qualquer solu¸c˜ao de (3.2) seja, tamb´em, solu¸c˜ao de (3.1). Para qualquer fun¸c˜ao ψ, qualquer solu¸c˜ao de (3.2) ´e chamada de ponto fixo de ψ(x). Assim, o problema de determinar um zero de f (x) foi transformado no problema de determinar o ponto fixo de ψ(x), e essa transforma¸c˜ao n˜ao deve alterar a posi¸c˜ao da raiz procurada.
Em geral, h´a muitos modos de expressar f (x) na forma (3.2). Basta considerarmos: ψ(x) = x + A(x) f (x) ,
para qualquer A(x) tal que A(¯x) 6= 0.
Nem todas, por´em, ser˜ao igualmente satisfat´orias para as nossas finalidades. Algumas formas poss´ıveis da equa¸c˜ao:
f (x) = x2− x − 2 = 0; (3.3)
cujas ra´ızes s˜ao -1 e 2, por exemplo, s˜ao: a) x = x2− 2 c) x = 1 + 2
x
b) x = √2 + x d) x = x − x2− 2x − 8m , m 6= 0. ´
E claro, que n˜ao necessitamos de um m´etodo n´umerico para calcular as ra´ızes de uma equa¸c˜ao do segundo grau, contudo esse exemplo ilustrar´a de maneira objetiva os nossos prop´ositos.
Como j´a dissemos anteriormente, geometricamente, (3.1) tem como solu¸c˜ao a intersec¸c˜ao do gr´afico da f com o eixo x, enquanto que uma raiz de (3.2) ´e um n´umero ¯x, para o qual a reta y1= x intercepta
a curva y2 = ψ(x). Pode ocorrer, naturalmente, que estas curvas n˜ao se interceptem, caso em que
n˜ao haver´a raiz real. Admitiremos, contudo, que essas curvas se interceptem no m´ınimo, uma vez; que estamos interessados em determinar uma dessas ra´ızes, digamos ¯x, e que ψ(x) e ψ0(x) sejam cont´ınuas num intervalo que contenha essa raiz.
Seja x0 uma aproxima¸c˜ao inicial para a raiz ¯x de (3.2). Obtemos as aproxima¸c˜oes sucessivas xk para
a solu¸c˜ao desejada ¯x, usando o processo iterativo definido por:
xk+1 = ψ (xk) , k = 0, 1, . . . . (3.4)
Esse processo ´e chamado M´etodo Iterativo Linear.
Para que esse processo seja vantajoso, devemos obter aproxima¸c˜oes sucessivas xk, convergentes para
a solu¸c˜ao desejada ¯x. Contudo, ´e f´acil obter exemplos para os quais a sequˆencia xk diverge.
Exemplo 3.6 - Considerando em (3.3), x = x2− 2 e tomando x0= 2.5, determinar a raiz ¯x = 2.
Solu¸c˜ao: Usando (3.4), obtemos:
x1 = ψ (x0) = x20 − 2 = (2.5) 2− 2 = 4.25 x2 = ψ (x1) = x21 − 2 = (4.25) 2− 2 = 16.0625 x3 = ψ (x2) = x22 − 2 = (16.0625) 2 − 2 = 256.00391 .. .
e ´e ´obvio que se trata de uma sequˆencia divergente. Assim, a escolha de ψ(x) = x2− 2 n˜ao produz um processo iterativo que seja convergente.
As condi¸c˜oes suficientes que a fun¸c˜ao ψ(x) deve satisfazer para assegurar a convergˆencia da itera¸c˜ao linear est˜ao contidas no Teorema 3.4. Vejamos antes dois teoremas que ser˜ao utilizados na prova desse Teorema.
Teorema 3.2 - Teorema do Valor M´edio - Se f ´e cont´ınua em [a,b] e diferenci´avel em (a,b) ent˜ao existe pelo menos um ponto ξ entre a e b tal que:
f0(ξ) = f (b) − f (a)
b − a , isto ´e , f (b) − f (a) = f
0(ξ)(b − a) .
Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em [Swokowski,1983].
Teorema 3.3 - Teorema da Permanˆencia do Sinal - Seja f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real definida e cont´ınua numa vizinhan¸ca de x0. Se f (x0) 6= 0 ent˜ao f (x) 6= 0 para todo x pertencente a um vizinhan¸ca
suficientemente pequena de x0.
Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em [Swokowski,1983].
Teorema 3.4 - Seja ψ(x) uma fun¸c˜ao cont´ınua, com derivadas primeira e segunda cont´ınuas num in- tervalo fechado I da forma I = (¯x − h, ¯x + h), cujo centro ¯x ´e solu¸c˜ao de x = ψ(x). Seja x0∈ I e M
um limitante da forma, |ψ0(x)| ≤ M < 1 em I. Ent˜ao:
a) a itera¸c˜ao xk+1= ψ(xk), k = 0, 1, . . ., pode ser executada indefinidamente, pois xk ∈ I, ∀ k.
b) |xk − ¯x| → 0.
c) Se ψ0(¯x) 6= 0 ou ψ0(¯x) = 0 e ψ00(¯x) 6= 0 e se |x0− ¯x| for suficientemente pequeno ent˜ao a
sequˆencia x1, x2, . . . ser´a monotˆonica ou oscilante.
Prova:
a) Usaremos indu¸c˜ao para provar que xk ∈ I, ∀ k.
i) Por hip´otese x0∈ I.
ii) Supomos que x0, x1, . . . , xk ∈ I.
iii) Provemos que xk+1∈ I. Temos:
xk+1− ¯x = ψ (xk) − ψ (¯x) .
Usando o teorema do Valor M´edio, obtemos:
xk+1− ¯x = ψ0(ξk) (xk− ¯x)
onde ξk est´a entre xk e ¯x. Tomando m´odulo, segue que:
|xk+1− ¯x| = |ψ0(ξk) ||xk− ¯x| ≤ M |xk− ¯x|
desde que pela hip´otese de indu¸c˜ao xk ∈ I ⇒ ξk ∈ I e sobre I, |ψ0(x)| ≤ M < 1. Assim:
Como M < 1, temos que xk+1∈ I.
b) Pelo item a) temos que:
|xk− ¯x| ≤ M |xk−1− ¯x| ≤ M2 |xk−2− ¯x| ≤ . . . ≤ Mk|x0− ¯x| .
Como M < 1, passando ao limite, obtemos: lim
k→∞ M
k → 0 e portanto |x
k− ¯x| → 0 .
c) Aqui dividiremos a prova em duas partes. Assim: c.1) Seja ψ0(¯x) 6= 0.
Pelo Teorema da Permanˆencia do Sinal temos que numa vizinhan¸ca de ¯x suficientemente pequena, ψ0(x) ter´a o mesmo sinal. Assim de:
xk+1− ¯x = ψ0(ξk) (xk− ¯x) , temos que: (I) Se ψ0(¯x) > 0 e xk ≤ ¯x ⇒ xk+1 ≤ ¯x xk ≥ ¯x ⇒ xk+1 ≥ ¯x (II) Se ψ0(¯x) < 0 e xk ≤ ¯x ⇒ xk+1 ≥ ¯x xk ≥ ¯x ⇒ xk+1 ≤ ¯x
Como |xk− ¯x| → 0, a convergˆencia ser´a monotˆonica em (I) e em (II) ser´a oscilante em torno de ¯x.
c.2) Seja ψ0(¯x) = 0 e ψ00(¯x) 6= 0.
Usando o teorema do Valor M´edio, temos que:
ψ0(ξk) = ψ0(ξk) − ψ0(¯x) = ψ00(θk)(ξk− ¯x) ,
onde θk est´a entre ξk e ¯x. Assim:
xk+1− ¯x = ψ00(θk) (ξk− ¯x) (xk− ¯x) .
Pelo teorema da Permanˆencia do Sinal, ψ00(x) ter´a o mesmo sinal numa vizinhan¸ca suficientemente pequena de ¯x. Como (ξk− ¯x)(xk− ¯x) ≥ 0, pois ξk e xk encontram-se do mesmo lado de ¯x, segue que, se:
ψ00(¯x) > 0 ⇒ xk+1 ≥ ¯x, ∀ k ,
ψ00(¯x) < 0 ⇒ xk+1 ≤ ¯x, ∀ k .
Neste caso a sequˆencia x1, x2, . . . ser´a monotˆonica independente do sinal de x0− ¯x. Isso completa a
prova do Teorema 3.4.
Consideremos novamente a equa¸c˜ao (3.3). Se nosso objetivo ´e encontrar a raiz ¯x = 2, usando o problema de ponto fixo equivalente (3.3.a), teremos:
Para que o processo xk+1= x2k− 2 seja convergente devemos ter |ψ0(x)| < 1 na vizinhan¸ca de ¯x = 2.
Temos que ψ0(x) = 2x, e desde que |ψ0(x)| > 1 para x > 12, o Teorema 3.4 n˜ao pode ser usado para garantir convergˆencia. Entretanto, a itera¸c˜ao xk+1= x2k− 2 divergir´a para qualquer escolha de x0> 12,
como vimos anteriormente.
Por outro lado se usarmos o problema de ponto fixo (3.3.b), teremos ψ(x) =√2 + x, e assim ψ0(x) = 1
2√2 + x. Portanto |ψ
0(x)| < 1 , se e somente se x > −1.75. Assim, pelo Teorema 3.4, podemos crer que
a itera¸c˜ao:
xk+1 =
√
2 + xk ,
ser´a convergente para qualquer escolha de x0> −1.75, como pode ser observado no pr´oximo exemplo.
Exemplo 3.7 - Considerando em (3.3), x = √2 + x e tomando x0= 2.5, determinar a raiz ¯x = 2.
Solu¸c˜ao: Tomando x0= 2.5, obteremos a sequˆencia de aproxima¸c˜oes:
x1 = ψ(x0) = √ 2 + 2.5 = √4.5 = 2.1213203 x2 = ψ(x1) = √ 2 + 2.1213203 = √4.1213203 = 2.0301035 x3 = ψ(x2) = √ 2 + 2.0301035 =√4.0301035 = 2.0075118 x4 = ψ(x3) = √ 2 + 2.0075118 = √4.0075118 = 2.0018771 x5 = ψ(x4) = √ 2 + 2.0018771 = √4.0018771 = 2.0004692 x6 = ψ(x5) = √ 2 + 2.0004692 = √4.0004692 = 2.0001173 x7 = ψ(x6) = √ 2 + 2.0001173 = √4.0001173 = 2.0000293 .. .
a qual ´e, obviamente, convergente para a raiz ¯x = 2. Este exemplo ilustra, tamb´em, a importˆancia da disposi¸c˜ao apropriada de (3.1) na forma (3.2).
Uma ilustra¸c˜ao geom´etrica da n˜ao convergˆencia e da convergˆencia do m´etodo iterativo xk+1= ψ(xk)
em ambos os casos: xk+1= x2k− 2 e xk+1 =
√
2 + x ´e dada pelas Figuras 3.7 e 3.8, respectivamente. Observe que em cada uma das figuras, escolhido o ponto x0 caminhamos verticalmente at´e encontrar a
curva ψ(x); em seguida caminhamos horizontalmente at´e encontrar a reta y = x, e finalmente caminha- mos verticalmente at´e encontra o eixo dos x onde estar´a localizado o ponto x1. O processo ´e repetido
partindo-se de x1, e assim sucessivamente.Temos ent˜ao:
- 5 3 x0 ¯ x 1 x2− 2 x - 6 P1 x1 P0 6 20 15 10 5 6 - Figura 3.7 b) para x = √2 + x: P1 P0 √ x + 2 x 3 x0 x1 ¯ x 1 2 1 6 6 - Figura 3.8
Representamos na Figura 3.7 os pontos: P0: (x0, ψ (x0)) , P1: (x1, ψ (x1)), etc. Estes pontos est˜ao,
obviamente, afastando-se da interse¸c˜ao das duas curvas y1= x e y2= ψ(x), e, ao mesmo tempo, xk est´a
se afastando de ¯x. Na Figura 3.8, os pontos P0, P1, etc. est˜ao, obviamente, aproximando-se do ponto de
interse¸c˜ao das duas curvas y1= x e y2= ψ(x), e, ao mesmo tempo, xk est´a se aproximando de ¯x.
Assim em a) temos que o processo iterativo ´e divergente e em b) que o processo iterativo ´e convergente.
Ordem de Convergˆencia
A ordem de convergˆencia de um m´etodo mede a velocidade com que as itera¸c˜oes produzidas por esse m´etodo aproximam-se da solu¸c˜ao exata. Assim, quanto maior for a ordem de convergˆencia melhor ser´a o m´etodo num´erico pois mais rapidamente obteremos a solu¸c˜ao. Analisaremos aqui a ordem de
convergˆencia do m´etodo iterativo linear. Antes por´em apresentamos a defini¸c˜ao de ordem de convergˆencia de um m´etodo num´erico.
Defini¸c˜ao 3.3 - Sejam {xk} o resultado da aplica¸c˜ao de um m´etodo num´erico na itera¸c˜ao k e ek= xk− ¯x
o seu erro . Se existirem um n´umero p ≥ 1 e uma constante c > 0 tais que: limk→∞
|ek+1|
|ek|p
= c ent˜ao p ´e chamado de ordem de convergˆencia desse m´etodo.
Teorema 3.5 - A ordem de convergˆencia do m´etodo iterativo linear ´e linear, ou seja, p = 1. Prova: Do teorema 3.4, temos que:
xk+1− ¯x = ψ0(ξk)(xk− ¯x)
onde ξk est´a entre xk e ¯x. Assim,
|xk+1− ¯x|
|xk− ¯x|
≤ |ψ0(ξk)| ≤ M.
Assim a defini¸c˜ao 3.3 est´a satisfeita com p = 1 e c = M , ou seja a ordem de convergˆencia ´e p = 1. Da´ı o nome de m´etodo Iterativo Linear. Al´em disso, o erro em qualquer itera¸c˜ao ´e proporcional ao erro na itera¸c˜ao anterior, sendo que o fator de proporcionalidade ´e ψ0(ξk).
Observa¸c˜oes:
a) A convergˆencia do processo iterativo ser´a tanto mais r´apida quanto menor for o valor de ψ0(x). b) Por outro lado, se a declividade ψ0(x) for maior que 1 em valor absoluto, para todo x pertencente a
um intervalo numa vizinhan¸ca da raiz, vimos que a itera¸c˜ao xk+1= ψ(xk), k = 0, 1, . . ., divergir´a.
c) Da defini¸c˜ao 3.3 podemos afirmar que para k suficientemente grande temos: |ek+1| ' c |ek|p ,
|ek| ' c |ek−1|p .
Dividindo uma equa¸c˜ao pela outra eliminamos a constante c e obtemos: ek+1 ek ' e k ek−1 p .
Assim, uma aproxima¸c˜ao para o valor de p pode ser obtido aplicando-se logaritmo em ambos os membros da express˜ao acima. Fazendo isso segue que:
p ' logek+1 ek log ek ek−1 (3.5)
Exemplo 3.8 - Com os valores obtidos no exemplo 3.7, verifique que o m´etodo iterativo linear realmente possui ordem de convergˆencia p = 1.
Solu¸c˜ao: Do resultado do exemplo 3.7, fazendo os c´alculos para os valores de |xk+1− ¯x| e usando (3.5), obtemos a tabela: k xk+1= √ 2 + xk ek= |xk− ¯x| p 0 2.5 0.5 1 2.1213203 0.1213203 2 2.0301035 0.0301035 0.984 3 2.0075118 0.0075118 0.996 4 2.0018771 0.0018771 0.999 5 2.0004692 0.0004692 0.999 6 2.0001173 0.0001173 0.999 7 2.0000293 0.0000293 1.001
Pela tabela vemos que a medida que k aumenta, o valor de p → 1, mostrando que realmente a ordem de convergˆencia do m´etodo iterativo linear ´e 1.
Assim podemos dizer que a importˆancia do m´etodo iterativo linear est´a mais nos conceitos que s˜ao introduzidos em seu estudo que em sua eficiˆencia computacional. Al´em disso, tem a desvantagem de que ´
e preciso testar se |ψ0(x)| < 1 no intervalo que cont´em a raiz, se desejamos ter garantia de convergˆencia.
Exerc´ıcios
3.3 - Justifique que a equa¸c˜ao: f (x) = 4 x − ex = 0 possui uma raiz no intervalo (0, 1) e outra no
intervalo (2, 3).
3.4 - Considere a equa¸c˜ao f (x) = 2 x2− 5 x + 2 = 0, cujas ra´ızes s˜ao: x1= 0.5 e x2= 2.0. Considere
ainda os processos iterativos: a) xk+1 =
2 x2 k+ 2
5 ,
b ) xk+1 = q 5 x2k − 1.
Qual dos dois processos vocˆe utilizaria para obter a raiz x1? Por que?
3.5 - Considere as seguintes fun¸c˜oes: a) ψ1(x) = 2 x − 1,
b) ψ2(x) = x2− 2 x + 2,
c) ψ3(x) = x2− 3 x + 3.
Verifique que 1 ´e raiz de todas estas fun¸c˜oes. Qual delas vocˆe escolheria para obter a raiz 1, utilizando o processo iterativo xk+1 = ψ(xk)? Com a sua escolha, exiba a sequˆencia gerada a partir da condi¸c˜ao
inicial x0= 1.2.
3.6 - Deseja-se obter a raiz positiva da equa¸c˜ao: b x2+ x − a = 0, a > 0, b > 0, atrav´es do processo iterativo definido por: xk+1 = a − b x2k .Qual a condi¸c˜ao que devemos impor para a e b para que haja
convergˆencia? Por que?
3.7 - A equa¸c˜ao: x2− a = 0 possui uma raiz ¯x =√a. Explicar alg´ebrica e geometricamente por que
a sequˆencia {xk}, obtida atrav´es do processo iterativo definido por: xk+1= axk , n˜ao converge para
√ a qualquer que seja o valor de x0.