Mal Condicionamento

A maioria dos processos num´ericos seguem a seguinte linha geral: • Dados s˜ao fornecidos,

• Os dados s˜ao processados de acordo com um plano pr´e-estabelecido (algoritmo), • Resultados s˜ao produzidos.

Analisaremos aqui problemas onde os resultados dependem continuamente dos dados. Tais problemas s˜ao chamados de problema bem posto. Problemas que n˜ao dependem continuamente dos dados s˜ao chamados de problema mal posto.

Vamos ent˜ao analisar como pertuba¸c˜oes nos dados podem ou n˜ao influenciar os resultados. Exemplo 2.18 - Resolver o sistema:



x + y = 2

x + 1.01y = 2.01

Solu¸c˜ao: A solu¸c˜ao desse sistema pode ser facilmente obtida, por exemplo, por substitui¸c˜ao. Fazendo isso, obtemos: x = y = 1. Se o n´umero 2.01, da segunda equa¸c˜ao ´e mudado para 2.02, obtemos que a solu¸c˜ao do sistema ´e agora x=0 e y=2. Portanto uma pequena mudan¸ca nos dados produz uma grande mudan¸ca no resultado. Vamos ent˜ao interpretar geometricamente o resultado. A solu¸c˜ao do sistema ´e o ponto de interse¸c˜ao das duas retas: y = 2-x e y = (2.01 -x)/1.01. Essas retas est˜ao desenhadas na Figura 2.1. ´E claro que o ponto de interse¸c˜ao ´e muito sens´ıvel a pequenas pertuba¸c˜oes em cada uma dessas retas desde que elas s˜ao praticamente paralelas. De fato, se o coeficiente de y na segunda equa¸c˜ao ´

e 1.00, as duas retas s˜ao exatamente paralelas e o sistema n˜ao tem solu¸c˜ao. Isto ´e t´ıpico de problemas mal condicionados. Eles s˜ao tamb´em chamados de problemas cr´ıticos, pois ou possuem infinitas solu¸c˜oes ou n˜ao possuem nenhuma.

Figura 2.1 (1,1) y = (2.01 − x)/1.01 y = 2 − x @ @ @ @ @ @ 6 -

Exemplo 2.19 - Determinar a solu¸c˜ao do problema de valor inicial:    y00 = y y(0) = a y0(0) = b onde a e b s˜ao dados.

Solu¸c˜ao: A solu¸c˜ao te´orica desse problema de valor inicial ´e:

y(x) = C1ex+ C2e−x, (2.7)

onde C1 e C2 dependem de a e b. Assim, se tomarmos a = 1 e b = −1, ent˜ao desde que y0(x) =

C1ex− C2e−x, obtemos o sistema linear:



y(0) = C1+ C2 = 1

y0(0) = C1− C2 = −1

cuja solu¸c˜ao ´e: C1 = 0 e C2 = 1. Substituindo esses valores em (2.7) obtemos que y(x) = e−x. Logo,

quando x → ∞ a solu¸c˜ao decresce rapidamente para zero. Mas se tomarmos a = 1 e b = −1 + δ, onde |δ| pode ser arbitrariamente pequeno, ent˜ao, como anteriormente, obtemos o sistema linear:



C1+ C2 = 1

C1− C2 = −1 + δ

cuja solu¸c˜ao ´e: C1= δ₂ e C2= 1 − δ₂. Assim a solu¸c˜ao do novo problema de valor inicial ´e:

y(x) =δ 2e x + (1 − δ 2)e −x_{= e}−x₊δ 2(e x − e−x) = e−x+ δ senh x .

Portanto a solu¸c˜ao difere da solu¸c˜ao do problema anterior de δ senh x. Assim a caracter´ıstica matem´atica da solu¸c˜ao foi mudada completamente, pois enquanto no primeiro resultado a solu¸c˜ao → 0, quando x → ∞ ela agora → ∞ quando x → ∞. Tudo isso ocorreu apesar da dependˆencia de y(x) sobre os dados a e b ser claramente cont´ınua.

Torna-se ent˜ao necess´ario introduzir uma medida para o grau de continuidade de um problema. Tal medida ´e essencial em muitas defini¸c˜oes de continuidade. Seja X o espa¸co dos dados; os elementos x de X podem ser n´umeros, pontos de um espa¸co euclidiano, vetores, matrizes, fun¸c˜oes, etc.... Podemos ent˜ao falar em continuidade se pudermos ser capazes de medir a distˆancia entre os elementos de X. Suponhamos que o espa¸co X est´a dotado com uma fun¸c˜ao distˆancia d(x, y) que mede a distˆancia entre os elementos x e y de X. Se por exemplo, X ´e o espa¸co dos n´umeros reais, a fun¸c˜ao distˆancia ´e definida por: d(x, y) = |x − y|. Para X = IRn_{, veja Defini¸c˜ao 1.7.}

Seja P o processo nos quais os dados x s˜ao transformados no resultado y, isto ´e: y = P (x). Se o processo P ´e cont´ınuo num ponto x, ent˜ao a defini¸c˜ao de continuidade (matem´atica) exige que para cada  > 0, ∃ δ() > 0 tais que:

|P (˜x) − P (x)| <  sempre que |˜x − x| < δ() .

Quanto maior a fun¸c˜ao δ() pode ser escolhida, mais cont´ınuo ´e o processo P . No caso em que grandes mudan¸cas nos dados produzem somente pequenas mudan¸cas nos resultados, ou se δ() pode ser escolhido grande, a condi¸c˜ao do problema ´e boa, e o problema ´e chamado bem condicionado. Por outro lado, se pequenas mudan¸cas nos dados produzem grandes mudan¸cas nos resultados, ou se δ() deve ser escolhido pequeno, a condi¸c˜ao do problema ´e m´a, e o problema ´e chamado mal condicionado.

Exemplo 2.20 - Analisar o problema de valor inicial do exemplo 2.19.

Solu¸c˜ao: Se queremos que a solu¸c˜ao y(x) num ponto x seja mudada por n˜ao mais que uma quan- tidade , ent˜ao a condi¸c˜ao inicial y0(0) = −1 deve ser mudada por n˜ao mais que: δ() = _{senh x} , o qual pode ser feito arbitrariamente pequeno escolhendo x grande. Por exemplo para x = 10, obtemos: δ() = 0.9 × 10−4 . Assim temos um problema mal condicionado.

Podemos tamb´em verificar se um problema ´e ou n˜ao mal condicionado analisando o n´umero de condi¸c˜ao do problema. O problema ser´a bem condicionado se o n´umero de condi¸c˜ao for pequeno e ser´a mal condicionado se o n´umero de condi¸c˜ao for grande. Entretanto a defini¸c˜ao de n´umero de condi¸c˜ao depende do problema.

Seja y = P (x), com P diferenci´avel. Ent˜ao a mudan¸ca em y causada pela mudan¸ca em x pode ser aproximada, (no sentido do c´alculo diferencial) pelo diferencial de y, isto ´e: dy = P0(x) dx. Assim o comprimento de |P0(x)| do operador linear P (x) representa o n´umero de condi¸c˜ao do problema num ponto x. O n´umero de condi¸c˜ao relativa ´e definido por:

cr =

|P0_(x)|

|P (x)|| .

Assim se cr≤ 1 dizemos que o problema ´e relativamente bem condicionado.

Exemplo 2.21 - Analisar o problema de calcular:

f (x) =  ln 1 x −1₈ , num ponto x qualquer.

Solu¸c˜ao: Desde que f ´e diferenci´avel o n´umero de condi¸c˜ao ´e simplesmente |f0(x)|. Assim:

f0(x) = −1 8  ln 1 x −9_{8 −1/x}2 1/x = 1 8 x  ln 1 x −9₈ ,

e o n´umero de condi¸c˜ao relativa ´e dada por: cr =     f0(x) f (x)     = 1 8 x ln 1_x .

Para x = 0, e x = 1 tanto o n´umero de condi¸c˜ao como o n´umero de condi¸c˜ao relativa s˜ao infinito, e assim nestes pontos o problema ´e extremamente mal condicionado. Para aproximadamente 0.1537 ≤ x ≤ 0.5360, cr≤ 1. Portanto neste intervalo o problema de calcular f ´e bem condicionado.

O problema de resolver um sistema linear, como vimos, ´e um outro exemplo de problema onde pequenas pertuba¸c˜oes nos dados podem alterar de modo significativo o resultado. A an´alise do problema de mal condicionamento de sistemas lineares, encontra-se no Cap´ıtulo 4.

Teoricamente, o termo mal condicionado ´e usado somente para modelos matem´aticos ou problemas e o termo instabilidade somente para algoritmos. Entretanto, na pr´atica os dois termos s˜ao usados sem distin¸c˜ao.

O leitor interessado em maiores detalhes sobre os t´opicos apresentados nesse cap´ıtulo, deve consultar os livros: [Forsythe, 19 .. ] e [Henrice, 1982].

Exerc´ıcios

2.13 - Considere a integral do exerc´ıcio 2.13, com a = 10. a) Calcule y0 usando a integral.

b) Mostre que uma rela¸c˜ao de recorrˆencia para yn ´e dada por:

yn =

1

n− a yn−1 . c) Calcule yn, n = 1, 2 . . . , 10, usando a rela¸c˜ao de recorrˆencia.

Os valores obtidos s˜ao confi´aveis?

2.14 - Considere agora a rela¸c˜ao de recorrˆencia do exerc´ıcio anterior escrita na forma: yn−1 = 1 a−  1 n− yn  .

Considere ainda que y20 = 0. Usando este dado e a rela¸c˜ao de recorrˆencia obtenha os valores de

y10, y9, . . . , y1. Os resultados agora s˜ao melhores? Como vocˆe explica isso?