Justificar e Demonstrar

De acordo com o NCTM (2007), uma demonstração é um argumento deduzido de forma rigorosa e lógica a partir de hipóteses iniciais. A demonstração, apoiada em procedimentos, propriedades e definições matemáticas, é central enquanto processo de raciocínio matemático (Pereira & Ponte, 2013).

80

Aliás, tal como refere o NCTM (2007) “uma demonstração matemática é um modo formal de exprimir determinados tipos de raciocínio e justificação” (p. 61). Ao encontro das palavras de Ponte e Sousa (2010), uma demonstração envolve “a formulação de uma estratégia geral de demonstração” e “a construção de uma cadeia argumentativa (formulação de passos justificados que levam à conclusão)” (p. 32). Do exposto, compreende-se a importância que a demonstração apresenta no raciocínio matemático, pelo que vários educadores e investigadores já se debruçaram sobre este tema. Assim, serão apresentadas em seguida algumas perspetivas relativamente aos processos de justificação e demonstração no raciocínio matemático e, em particular, no ensino da matemática.

A diferença entre a justificação e a demonstração é ténue, sendo que, nas palavras de Rodrigues (2009, p. 39) “quando uma justificação é geral e encerra um raciocínio dedutivo, esta justificação já se pode considerar uma demonstração”. Assim, a justificação é, como menciona esta autora, uma percursora da demonstração, uma vez que os alunos começam por se apoiar em casos particulares e evoluem para justificações cada vez mais gerais, até chegarem às demonstrações.

De acordo com a visão de Veloso (1998), embora muitas vezes seja defendido que os alunos devam “fazer demonstrações” para aprender a raciocinar, não é necessário ter frequentado a escola e ter feito demonstrações na disciplina de matemática para saber, de facto, raciocinar. No entanto, este autor acredita que,

a prática frequente pelos alunos da argumentação, da justificação das próprias afirmações e da procura de uma explicação em defesa das próprias afirmações e da procura de uma explicação em defesa das conjeturas que formulam, no decorrer de atividades de investigação constituem modos válidos para melhorar o seu discurso matemático e as formas de exprimir os seus raciocínios. (p. 360).

Neste sentido, o autor refere que as demonstrações, e o raciocínio dedutivo, em geral, não devem ser considerados como uma via para desenvolver o raciocínio matemático, mas sim como um dos próprios objetivos do ensino de matemática, ou seja, se um dos principais objetivos da matemática é permitir que os alunos compreendam o que é a matemática, é imprescindível que estes “experimentem e interiorizem o caráter distintivo da matemática como ciência, ou seja a natureza do raciocínio dedutivo e mesmo a estrutura axiomática das suas teorias” (Veloso, 1998, p. 361).

Desde as suas primeiras experiências no campo da matemática, é importante ajudar as crianças a compreenderem que as afirmações deverão ser sempre justificadas. Questões como “por que é que pensas que isto é verdade?” e “alguém aqui acha que a resposta é diferente, e porquê?” ajudam-nas a compreender que as afirmações necessitam de ser suportadas ou refutadas pelas evidências. (NCTM, 2007, p. 61)

De acordo com Veloso (1998), no contexto matemático, uma generalização, muitas vezes denominada teorema, é considerada válida apenas se demonstrável. No entanto, no âmbito da educação matemática, a validade de uma generalização deve ser considerada de acordo com as capacidades, conhecimento e competências dos alunos, pois, tal como os alunos encontram dificuldades quando têm de fazer demonstrações, também os professores se deparam com um enorme desafio durante o processo

81

de demonstração. Tal como refere o autor, os professores têm de compreender quando é que o argumento ou a justificação de um aluno se pode, ou não, considerar uma demonstração. Uma justificação em que se analise todos os exemplos conhecidos poderá constituir uma justificação plausível, mas, para o autor, não se trata de uma demonstração. Tal como referido por Pereira e Ponte (2013) os alunos não dão relevância às características das justificações necessárias para que sejam matematicamente válidas, sendo que por vezes apresentam justificações não válidas. De acordo com Lannin (2005), é importante que os alunos compreendam a importância das justificações matematicamente corretas. Para tal, Veloso (1998) recomenda que as demonstrações decorreram da atividade dos alunos, por exemplo, a demonstração de conjeturas por eles formuladas.

“Em princípio, os alunos devem ser solicitados a argumentar em defesa das suas próprias conjeturas e, eventualmente, a demonstrá-las. De uma maneira simplista, podemos dizer que “quem afirma é quem demonstra!”. Na realidade, existe uma muito maior motivação para demonstrar os resultados próprios que os alheios e a demonstração adquire desta forma outro significado e valor.” (Veloso, 1998, p. 373)

Veloso (1998) agrupa as justificações em cinco níveis de complexidade: i) não justificar; ii) apelar à autoridade externa; iii) utilizar evidência empírica; iv) utilizar um exemplo genérico; e v) justificar dedutivamente. Sem dúvida, é curiosa a forma como Mason, Burton e Stacey (2010) propõem a elaboração de um argumento convincente: convencer-se a si próprio, convencer um amigo e convencer um inimigo. Evidentemente, o primeiro é simples. O segundo prende-se com a necessidade de articular e exteriorizar aquilo que à partida, para o próprio, pode parecer óbvio, mas que deve parecer verdadeiro também para o seu amigo. No entanto, não basta tentar convencer uma pessoa que, à partida, não duvide daquilo que seja dito, tal como um amigo normalmente faz, é preciso convencer alguém que duvide de qualquer afirmação que seja feita, como um inimigo o fará.

Os alunos apresentam uma certa tendência para considerar as conjeturas válidas apenas a partir da verificação de um número reduzido de casos, tal como defendem Ponte, Brocado e Oliveira (2003). Estes autores defendem que este fenómeno acontece pelo facto de não haver nos currículos destaque para as demonstrações. Knuth (2002) refere que nas escolas secundárias (dos EUA) a demonstração é praticamente inexistente no currículo, sendo apenas frequente na Geometria. A inversão desta “tendência” obrigaria a uma visão diferente por parte dos professores, para que estes entendessem a natureza e o papel da demonstração, e por parte dos alunos, para que estes também olhassem para as demonstrações com menos relutância e desdém, pois estes normalmente associam a demonstração a algo difícil (Balacheff, 1991; Chazan, 1993).

Na verdade, embora a justificação e demonstração de resultados possa ser uma das formas de levar os alunos a acreditar na matemática (NCTM, 2007; Santos, 2011), estes normalmente apresentam alguma resistência à sua prática, que poderá advir do facto de o contacto dos estudantes com a demonstração acontecer apenas quando se pretende demonstrar algo que estes já sabem que está demonstrado e é conhecido (De Villiers, 1999). Variadas vezes se ouve os alunos questionar “porque é

82

que temos que demonstrar isto?” (De Villiers, 1999, p. 1), principalmente quando os teoremas apresentam uma justificação intuitiva ou uma dedução empírica, como é o caso, por exemplo, de alguns teoremas de geometria. No fundo, os alunos veem a demonstração apenas como forma de confirmar algo que já se sabe que é verdadeiro (Knuth, 2002). Esta ideia, efetivamente, distorce em grande parte o fundamento de uma demonstração.

Segundo o NCTM (2007), “os alunos poderão não ter sempre os conhecimentos e as ferramentas necessárias para encontrar uma justificação que apoie uma conjetura ou um contraexemplo que a refute” (p. 63), por isso, cabe ao professor guiar os alunos nesta contínua descoberta, aguçar a curiosidade e incutir a necessidade de justificar todas as afirmações que se façam. Neste sentido, o NCTM (2007) propõe que, para ajudar os alunos a desenvolver e justificar conjeturas mais gerais, e também para refutar, os professores poderão perguntar: “Isto resulta sempre? Algumas vezes? Nunca? Porquê?” (p. 63).

A dificuldade dos alunos em compreender a necessidade da demonstração é bastante conhecida entre os professores do ensino secundário, pelo que será importante analisar as diferentes funções de uma demonstração para um melhor entendimento desta problemática. O matemático De Villiers (1999) apresentou no seu artigo um modelo que explica as diferentes funções que uma demonstração pode apresentar. Assim, na perspetiva deste autor, a demonstração pode ser vista como:

i) Processo de verificação/convencimento. Na maioria dos casos, os professores de matemática acreditam na demonstração como a única autoridade para validação de uma conjetura. No entanto, o autor salienta que a demonstração não é vista como um requisito para a convicção, mas é, antes, a convicção encarada como um pré-requisito para a procura de uma demonstração. Por outras palavras, quando a convicção anterior à demonstração é o motor para a demonstração, a função da demonstração não se prende propriamente com uma verificação/ convencimento, uma vez que “um alto grau de convicção pode ser algumas vezes atingido mesmo na ausência de uma demonstração” (p. 32). Por exemplo, embora ainda não tenha sido descoberta a demonstração para a Conjetura de Goldbach3_{, a}

comunidade matemática está convencida da sua validade, pois ainda não foi encontrado um único contraexemplo que contrarie a propriedade, mas, evidentemente, nada garante que esta seja, de facto, verdadeira.

ii) Processo de explicação. Quando os resultados em questão são evidentes, quer pela intuição quer pela experiência empírica, a função da demonstração deixa de ser a verificação e passa a ser a explicação. Para muitos matemáticos o aspeto da explicação de uma demonstração tem mais importância que o da verificação. Tal como o autor referencia, o matemático Paul

3 _{O matemático Christian Goldbach propôs, numa carta escrita a Leonhard Euler, em 1742, aquela que é hoje}

conhecida como a conjetura de Goldbach. Esta afirma que todo o número par maior que 2 pode ser representado como a soma de dois números primos.

83

Halmos afirmou que embora a demonstração computacional do teorema das quatro cores possa convencê-lo da sua veracidade, pessoalmente preferia uma demonstração que facilitasse a “compreensão”.

iii) Processo de descoberta. Existem imensos exemplos na história da matemática de novos resultados que foram descobertos ou investidos por processos exclusivamente dedutivos. No entanto, a título exemplificativo, o autor refere que as geometrias não-euclidianas provavelmente não poderiam ter sido encontradas por mera intuição. Assim, os processos dedutivos e, em particular, a demonstração podem, muitas vezes ser o caminho para a exploração, descoberta e invenção de novos resultados.

iv) Processo de sistematização. A demonstração apresenta-se como uma ferramenta indispensável para transformar um conjunto de resultados conhecidos num sistema dedutivo de axiomas, definições e teoremas, que revela relações lógicas entre afirmações de um modo que a intuição dificilmente permite satisfazer. Além disto, a demonstração permite, por exemplo, “identificar inconsistências e argumentos circulares” (p. 34) ou simplificar “as teorias matemáticas ao integrar e ligar entre si afirmações, teoremas e conceitos não relacionados” (p. 34).

v) Meio de comunicação. A demonstração é um meio de comunicar resultados matemáticos não só entre matemáticos “profissionais” como também entre professores e alunos e entre os próprios alunos. Diversos autores já abordaram a demonstração como um momento de debate crítico ou uma forma de interação social, que envolve “uma negociação subjetiva não apenas dos significados dos conceitos em jogo, mas também implicitamente dos critérios relativos ao que é um argumento aceitável” (p. 35), o que leva, muitas vezes à identificação de erros, à descoberta de um contraexemplo e ao seu refinamento.

vi) Desafio intelectual. As demonstrações podem atingir um nível de gratificação e realização pessoal tão elevado como aquele que algumas pessoas sentem ao fazer um puzzle ou correr uma maratona. Assim, a tentativa de demonstração de um resultado pode revela-se uma atividade bastante apelativa e desafiante que potencie e teste a “energia intelectual e o engenho matemático” (p. 35).

Por fim, o autor realça que as funções apresentadas não se excluem mutuamente, pelo que podem surgir em simultâneo, nem preenchem todas as possibilidades, apontando como alguns exemplos a função estética, de memorização ou de desenvolvimento algorítmico que uma demonstração pode apresentar.