LEI DE FOURIER

Na litosfera, a energia térmica é transportada principalmente através da condução. Por definição, condução é o processo em que a energia cinética é transferida por colisões intermoleculares. A relação fundamental para a condução do calor é dada pela lei de Fourier.

Por esta lei, o fluxo de calor q é diretamente proporcional ao gradiente de temperatura, o que matematematicamente é expresso como:

𝑞= −𝑘𝑑𝑇

𝑑𝑥 ^3.1

23 onde k é o coeficiente de condutividade térmica, T é a temperatura em um determinado ponto no meio e x é a coordenada no sentido da variação de temperatura; o sinal negativo decorre do fato do fluxo de calor ser transferido para o sentido de menor temperatura.

Segundo Turcotte & Schubert (2002), o fluxo térmico por condução é uma expressão matemática de conservação de energia. Considerando, então, que o fluxo de energia térmica ocorra sem variação no tempo, pode-se estabelecer a variação do fluxo que atravessa uma placa de espessura Δx (Figura 3.1). Sendo q(x) o fluxo que entra pela placa em um dado ponto x; e o fluxo de calor que sai dessa placa no ponto x + Δx é definido como q(x+ Δx). Pelo principio da conservação de energia, pode-se considerar que:

𝑞(∆𝑥+𝑥)− 𝑞(𝑥) = 0 3.2

Figura 3.1 - Fluxo de calor que entra q(x) e que sai q(x + Δx) em uma placa fina de espessura Δx (modificado de Turcotte & Schubert, 2002).

24 Considerando a espessura da placa Δx infinitesimal, pode-se expandir q(x+ Δx) em uma serie de Taylor. Desprezando os termos de ordem superior (Incropera e Dewitt, 2008), temos:

Comparando-se a relação acima com Equação 3.2, dada por q(x+ Δx) - q(x) como também considerando a lei de Fourier (Equação 3.1) para q(x) e a condutividade térmica como constante na direção-x, obtêm-se:

A Equação acima fornece o fluxo de calor que atravessa uma placa, levando em consideração a espessura da placa e a variação da temperatura no fluxo de calor que atavessa a placa, em uma única direção e em regime estacionário. Entretanto, muitos problemas geológicos que envolvem a condução de calor, tais como os efeitos térmicos provocados por intrusões ígneas e o esfriamento da litosfera, entre outros, são dependentes também do tempo.

Além disso, para um melhor tratamento e abordagem de problemas geológicos, pode-se fazer uma generalização da Equação de condução de calor, levando em consideração que a transferência da enérgia térmica ocorra em duas dimensões.

Um dos objetivos fundamentais da análise da condução de calor é determinar a distribuição de temperatura com a posição e com o tempo, o que pode ser obtido a partir de uma combinação entre a lei de Fourier e a lei da conservação de energia. Para a formulação matemática do problema térmico transiente, deve-se definir um volume de controle diferencial de atuação dos fluxos de calor, identificar os processos de transferência de energia térmica neste volume de controle e aplicar o balanço de energia (Incropera e Dewitt, 2008;

Turcotte & Schubert, 2002).

Assim, considerando o volume de controle com dimensões diferenciais Δx e Δy tal como mostrado na Figura 3.2, se a propagação do calor é realizada nas direções x e y, com fluxos que entram no corpo, em cada uma dessas direções, dados por qx e qy,

𝑞(∆𝑥+𝑥) =𝑞(𝑥) + ∆𝑥𝑑𝑞 3.3 𝑑𝑥

𝑞(∆𝑥+𝑥)− 𝑞(𝑥) = ∆𝑥 �−𝑘𝑑²𝑇

𝑑𝑥²� 3.4

25 respectivamente. Os fluxos de calor que saem nos lados opostos a qx e qy são definitos, respectivamente, como qx (x+ Δx) e qy (y+ Δy) e sendo dados por:

A primeira lei da termodinâmica estabelece que:

onde, EENT representa a taxa de calor que entra por condução no volume de controle, ESAI é a taxa de calor que sai por condução no volume de controle. Tanto EENT quanto ESAI já foram definidos acima (como os fluxos térmicos nas direções x e y). Para EINT, que é a taxa de geração de calor interno do volume de controle, sendo definida como 𝐄_𝐼𝑁𝑅 =𝑞^′∆𝑥∆𝑦. EACUM

refere-se à taxa de variação da quantidade de energia térmica acumulada pelo volume de controle diferencial e pode ser definida como 𝐄𝐴𝐶𝑈𝑀 =𝜌𝐶𝑃∆𝑥∆𝑦, onde ρ é a massa específica

𝑞(𝑥+∆𝑥) = 𝑞𝑥+∂qx

∂x ∆𝑥

𝑞(𝑦+∆𝑦) = 𝑞𝑦+∂qy

∂y ∆𝑦

3.5

EENT - ESAI + EINT = EACUM 3.6

Figura 3.2 - Fluxo de calor em um volume de controle infinitesimal para a análise da condução de calor em coordenadas cartesianas. (modificado Incropera e Dewitt, 2008)..

26 do volume de controle e Cp sua capacidade térmica. Assim, estabelecendo a relação com a Equação 3.6, tem-se que:

Na Equação 3.5 foram definidos qx (x+ Δx) e qy (y+ Δy). Assim, a Equação 3.7 transforma-se em:

Pela lei de Fourier, para cada uma das direções consideradas, tem-se:

Substituindo 3.9 na Equação 3.8, e dividindo-se toda a Equação por ΔxΔy, obtém-se a Equação geral para a difusão do calor, dada por:

A Equação acima fornece a distribuição de temperatura T(x,y) como uma função do tempo e em qualquer ponto de um meio.

27 3.2 GERAÇÃO DE CALOR A PARTIR DO DECAIMENTO RADIOATIVO.

O calor gerado a partir do decaimento dos elementos radioativos tem uma influência direta no estado térmico das Bacias sedimentares. Para Waples (2001), a produção de calor devido ao decaimento radioativo (ou calor radiogênico) está principalmente concentrada na crosta superior e representa em torno de 50% do fluxo de calor total à superfície.

A desintegração radioativa é a transformação que sofre um elemento químico que possui um núcleo instável e que segue uma sequência ordenada de desintegrações, até atingir um núcleo estável. Em cada transformação são emitidas particulas α (núcleo de Hélio) e/ou particulas β (elétrons). Em subsuperficie essa emissão de particulas libera energia cinética, que se transforma em calor e incrementa a temperatura na comuna sedimentar.

Os elementos radioativos que mais contribuiem para esse incremento de calor são os isótopos do Urânio (²³⁵U e ²³⁸U), os isótopos do Tório (²³²Th) e os isótopos do Potássio (⁴⁰K).

A produção de calor dos elementos radioativos mais importantes na crosta é mostrada pela Tabela 3.1

Tabela 3.1 - Taxa de produção de calor pelos elementos radioativos das rochas (Van Schmus, 1995).

Elemento Geração de calor μW/kg

238U 94,7

235U 568,7

232Th 26,4

40K 29,2

28 Para quantificar o calor radiogênico, alguns métodos são usados, dentre eles um modelo teórico desenvolvido por Lachenbruch (1968), que propôs que a produção de calor radiogênico (A) diminui exponencialmente com aumento da profundidade (z) podendo ser matematicamente expresso como:

onde A₀ é a produção de calor radiogênico nas rochas da crosta superior, z é a profundidade e D é relacionado à espessura da crosta, sendo assumido um valor estimado de 10 km (Jaupart, 1986). O principal argumento a favor do modelo exponencial é que ele leva em consideração a relação entre entre o fluxo de calor e a produção de calor que possivelmente seria afetada por eventos de erosão (Lachenbruch,1968 in Blackwell, 1971). Segundo Waples (2002), algumas causas possiveis para a diminuição da produção de calor radiogênico com a profundidade podem ser relacionadas com o fato de que as concentrações de elementos radiogênicos na crosta superior são muito maiores que na crosta inferior, que tem composição predominantemente máfica e pobre em minerais radiogênicos. Outra possível causa, seria relacionada à ocorrência de eventos matamórficos muito frequentes na crosta inferior. Além disso, a crosta inferior por ser supostamente mais velha, seria mais empobrecida de isótopos radioativos.