3.4 LEVANTAMENTO DOS MODELOS MATEM ´ATICOS E CONTROLE DO PRO- CESSO T ´ERMICO COM ATRASO DE TEMPO
Ap ´os a realizac¸ ˜ao do condicionamento dos sinais e a modificac¸ ˜ao da ban- cada, foi feito o levantamento do modelo matem ´atico do sistema, com o intuito de descobrir suas caracter´ısticas, como a ordem, o tempo de assentamento, o erro em regime permanente e o atraso de tempo. Ao se obter as caracter´ısticas citadas, foi poss´ıvel estipular as especificac¸ ˜oes do sistema controlado e projetar o controlador.
Antes de levantar o modelo matem ´atico da planta ´e necess ´ario saber se a mesma apresenta um comportamento linear ou n ˜ao-linear, caso apresente uma res- posta n ˜ao-linear ser ´a necess ´ario efetuar a linearizac¸ ˜ao no ponto de operac¸ ˜ao.
Para melhor visualizac¸ ˜ao da resposta, a tens ˜ao de sa´ıda do sensor foi con- vertida por software para o valor correspondente em temperatura. A frequ ˆencia do sinal PWM do atuador foi estipulada para 250mHz, para se reduzir o desgaste do rel ´e mec ˆanico que ativa o aquecedor.
Primeiramente o aquecedor foi ativado com um sinal PWM de raz ˜ao c´ıclica 50%, ap ´os a sa´ıda entrar em regime a raz ˜ao c´ıclica foi aumentada para 60%, com o intuito de se avaliar a proporcionalidade da resposta do sistema. A Figura 30 ilustra a resposta em temperatura real do sistema `a malha aberta.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 104 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 Tempo(s) Temperatura(°C) Temperatura Real
Figura 30: Resposta ao degrau do processo t ´ermico Fonte: Autoria Pr ´opria
Para efetuar a comparac¸ ˜ao entre a entrada e a sa´ıda em escalas iguais, o in´ıcio da curva ilustrada na Figura 30 foi movida para a origem, e comparada ao degrau multiplicado pelo ganho da planta. A comparac¸ ˜ao entre a variac¸ ˜ao destes dois
3.4 Levantamento dos Modelos Matem ´aticos e controle do Processo T ´ermico com Atraso de Tempo40
sinais ´e ilustrada na Figura 31.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 104 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tempo(s) Temperatura(°C) Temperatura Degrau Entrada
Figura 31: Comparac¸ ˜ao da resposta ao degrau do processo t ´ermico Fonte: Autoria Pr ´opria
Ao se analisar a Figura 31 pode-se notar que o sistema apresenta uma res- posta muito pr ´oxima da linear, pois com um aumento de 20% na amplitude do degrau (50% para 60%) a temperatura acima da inicial aumentou de 13◦C para 15,58◦C o que configura um aumento de 19,85%, obedecendo com boa fidelidade as propriedades de superposic¸ ˜ao e homogeneidade.
Para que seja poss´ıvel obter a func¸ ˜ao de transfer ˆencia ´e necess ´ario que o sistema esteja referenciado na origem, logo atrav ´es da manipulac¸ ˜ao de vetores no matlab foi poss´ıvel obter apenas a resposta ao segundo degrau da curva de sa´ıda. Com a curva a malha aberta trac¸ada, ´e poss´ıvel utilizando o APP System Identification do matlab obter a func¸ ˜ao de transfer ˆencia Gp(s)que mais se aproxima com a situac¸ ˜ao real dada em (13).
Gp(s) =
26 4861, 6s + 1e
−120s (13)
Ao se analisar a equac¸ ˜ao (13) pode-se notar a presenc¸a do atraso gerado no sistema, representado por e−120s.
Ap ´os a obtenc¸ ˜ao da func¸ ˜ao de transfer ˆencia ´e aplicado um degrau propor- cional a mesma e ent ˜ao ´e comparado a resposta te ´orica com a resposta real, como ilustrado na Figura 32.
Pode-se concluir a partir da Figura 32, que a func¸ ˜ao de transfer ˆencia apre- senta boa fidelidade se comparada com o sistema real. Agora j ´a ´e poss´ıvel definir as
3.4 Levantamento dos Modelos Matem ´aticos e controle do Processo T ´ermico com Atraso de Tempo41 0.5 1 1.5 2 x 104 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Step Response Tempo (seconds) Temperatura(°C) Temperatura Real Temperatura Teorica
Figura 32: Comparac¸ ˜ao da resposta te ´orica e real em malha aberta Fonte: Autoria Pr ´opria
especificac¸ ˜oes do projeto controlado. Por ser identificado como um sistema de pri- meira ordem, a ac¸ ˜ao de controle escolhida ser ´a Proporcional Integral (PI). Como o sistema tem um valor m ´aximo suportado no atuador de controle (raz ˜ao c´ıclica 100%), n ˜ao se pode estipular o tempo de assentamento do sistema em malha fechada, logo o ganho do controlador Kc ´e projetado para o maior poss´ıvel mas que n ˜ao deixe o sistema saturado por um tempo consider ´avel. J ´a o zero do controlador, foi proje- tado a partir do lugar das ra´ızes para 80% do valor do polo da planta, para reduzir drasticamente sua influ ˆencia na resposta, sendo que a equac¸ ˜ao (14) representa o PI implementado:
Gc(s) =
s + 1, 6.10−4
s 0, 08 (14)
Ainda, ao avaliar a equac¸ ˜ao (13) foi poss´ıvel projetar o Preditor de Smith adequado com tempo de delay de 120s. O diagrama de blocos para a simulac¸ ˜ao do sistema controlado ´e ilustrado na Figura 33.
Ap ´os algumas simulac¸ ˜oes o ganho Kp ficou definido como 0,08 e o zero do controlador definido em -0,00016. O bloco step ´e o degrau da temperatura de refer ˆencia, que foi estipulada em 36◦C. A constante que soma no preditor e na planta representa a temperatura inicial do sistema e o bloco saturation simula a situac¸ ˜ao de saturac¸ ˜ao real, al ´em de ser utilizado para o projeto do anti-windup que impede o integrador de atuar quando o sistema se encontra saturado.
3.4 Levantamento dos Modelos Matem ´aticos e controle do Processo T ´ermico com Atraso de Tempo42 25 4861.6s+1 Planta 25 4861.6s+1 Preditor
Temperatura referência Saida do Sistema
Ação de Controle
20.4 Temperatura inicial -K-
Ganho proporcional Saturation Atraso de tempo
Atraso de tempo teórico 1 s Integrator -K- Ganho Integral 1 Ganho
Figura 33: Diagrama de blocos da simulac¸ ˜ao do controlador PI com Preditor de Smith Fonte: Autoria Pr ´opria
alizando o processamento em poucos instantes e posteriormente regulando a escala, sendo que essa escala n ˜ao condiz com o tempo real. A linguagem do controlador foi convertida para C#, para evitar o conflito entre os tempos de amostragem (reais e simulados).
O software utilizado para implementar o controle em linguagem C# foi o Vi- sual Studio Express o qual foi escolhido pela disponibilidade de drivers de comunicac¸ ˜ao com a placa de aquisic¸ ˜ao de dados. A Figura 34 ilustra a interface desenvolvida no software Visual Studio.
Figura 34: Interface desenvolvida para controlar o processo t ´ermico em C# Fonte: Autoria Pr ´opria
Como a temperatura ambiente varia de um dia para outro, e para tempe- raturas baixas o sensor Pt100 possui uma pequena in ´ercia, ´e necess ´ario informar `a interface a temperatura inicial real do sistema, al ´em de tamb ´em ser necess ´ario infor- mar a temperatura de refer ˆencia. O bot ˜ao Save salva os valores plotados no gr ´afico em vetores no formato CSV (Comma-separated values), que depois s ˜ao importados para matlab para uma melhor ilustrac¸ ˜ao dos resultados. ´E poss´ıvel atrav ´es da inter- face, calibrar os ganhos do controlador para obter um melhor resultado. O diagrama de blocos do controlador PI, o qual foi discretizado, ´e ilustrado na Figura 35.
3.4 Levantamento dos Modelos Matem ´aticos e controle do Processo T ´ermico com Atraso de Tempo43 + + Kp Ki 1/s E(s) C(s)
Figura 35: Diagrama de blocos do controlador PI Fonte: Adaptado de (OGATA, 2010)
A equac¸ ˜ao discretizada do controlador do processo est ´a representada na equac¸ ˜ao (15)
c[k + 1] = (TsKi− Kp)r[k] + Kpr[k + 1] + c[k] (15) onde Ts ´e o tempo de amostragem, e per´ıodo do timer, o qual gera o PWM para ativar o atuador, e Ki e Kp os ganhos do controlador.
A equac¸ ˜ao (16) representa a discretizac¸ ˜ao da equac¸ ˜ao da planta, represen- tada na equac¸ ˜ao (13), a qual foi necess ´aria para a implementac¸ ˜ao do controle preditivo em C#
c[k + 1] = KtPtTsr[k] − (PtTs− 1)c[k] (16) onde Kt ´e o ganho e Pto polo da planta.
Ap ´os o t ´ermino da discretizac¸ ˜ao do controlador e da criac¸ ˜ao da interface, foram efetuados os testes a malha fechada do sistema mostrado na Figura 36.
Ao se analisar a Figura 36, pode se confirmar que o controlador funcionou corretamente, zerando o erro em regime e diminuindo o tempo de assentamento da curva. Ainda avaliando a Figura 37 que ilustra a ac¸ ˜ao de controle do sistema a malha fechada, pode-se notar que o sistema permaneceu saturado no in´ıcio do teste apenas por um curto per´ıodo de tempo (400s), atendendo as especificac¸ ˜oes estabelecidas.
Pode-se notar que ap ´os o sistema entrar em regime a ac¸ ˜ao de controle apresenta um pequeno aumento, isto foi devido a temperatura ambiente ter reduzido
3.4 Levantamento dos Modelos Matem ´aticos e controle do Processo T ´ermico com Atraso de Tempo44 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 22 24 26 28 30 32 34 36 38 Tempo(s) Temperatura(°C) Temperatura Real Temperatura Prevista
Figura 36: Temperatura Real e Prevista do sistema em malha fechada Fonte: Autoria Pr ´opria
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tempo(s) Razão Cíclica Ação de Controle
Figura 37: Ac¸ ˜ao de controle do sistema a malha fechada Fonte: Autoria Pr ´opria
no final do teste, aumentando a perda de calor atrav ´es da superf´ıcie dos containers, e necessitando uma maior ac¸ ˜ao de controle para manter o sistema na temperatura desejada.
O teste com o mesmo controlador, mas sem a utilizac¸ ˜ao do Preditor de Smith ´e ilustrado na Figura 38.
Como j ´a mencionado neste trabalho o Preditor de Smith tem como objetivo a diminuic¸ ˜ao das oscilac¸ ˜oes do sistema causadas pelo atraso de tempo. Neste projeto n ˜ao foi poss´ıvel observar isto devido ao fato de o atraso de tempo que se conseguiu gerar ter sido extremamente inferior a constante de tempo do sistema. Por ´em ao se
3.4 Levantamento dos Modelos Matem ´aticos e controle do Processo T ´ermico com Atraso de Tempo45 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 Tempo(s) Temperatura(°C) Temperatura Real
Figura 38: Controle de temperatura sem preditor Fonte: Autoria Pr ´opria
avaliar a Figura 36 nota-se que o sistema apresentou um resultado bastante pr ´oximo do previsto (erro m ´edio de 3%), demonstrando que a simulac¸ ˜ao apresenta boa confi- abilidade em relac¸ ˜ao ao sistema real. Sendo assim para visualizar melhor a ac¸ ˜ao do Preditor no sistema, foram feitas simulac¸ ˜oes da mesma planta, por ´em com um atraso 10 (1200s) e 20 (2400s) vezes maior do que o real, e ent ˜ao avaliadas as respostas dos sistemas com preditor e sem controle preditivo. Os resultados das simulac¸ ˜oes mencionados est ˜ao ilustrados nas Figuras 39 e 40 respectivamente.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 104 20 25 30 35 Tempo(s) Temperatura(°C)
Time Series Plot:
Com Preditor Sem Preditor
Figura 39: Simulac¸ ˜ao do sistema com dez vezes mais atraso de tempo que a planta real
Fonte: Autoria Pr ´opria
Para estas simulac¸ ˜oes foi considerado um desvio de 3% nos par ˆametros da planta a fim de representar a uma situac¸ ˜ao real.
3.5 Resultados Obtidos 46