3.2 Resultados dos Submodelos
3.2.1 Limiares nos Submodelos
Para estes submodelos citados na seção anterior, ou quaisquer outro que possa ser obtido a partir do modelo (1.3), a obtenção dos limiares, Rg e χ0, pode ser feita
aplicando as abordagens NGM-I e NGM-II, respectivamente, no submodelo considerado, ou simplesmente igualando a zero os parâmetros respectivos, nos limiares determinados para o modelo (1.3). Além do mais, para estes mesmos submodelos, continuam valendo os mesmos resultados para a estabilidade local e global, de ambos os pontos de equilíbrio.
No submodelo da subseção 3.1.1, por exemplo, como não há transmissão direta, basta igualar a zero os parâmetros respectivos, e teremos o ponto de equilíbrio e os limiares. Analogamente, se compararmos os pontos de equilíbrio e os limiares destes submodelos, podemos observar que são muito semelhantes com estes mesmos itens, no modelo (1.3). Comparando o ponto de equilíbrio endêmico, por exemplo, vejamos que a coordenada
¯
Y pode ser escrita de uma única maneira, tanto para o modelo geral quanto para os submodelos (3.1) e (3.8). Nestes três modelos, tal coordenada aparece em função de R0i,
mas em ambos poderiam apenas constar τi. Isso porque no modelo geral e no submodelo
(3.1) temos τi “ Ri0{1 ´ Rf, enquanto que no submodelo (3.8) temos R0i “ τi. Algo análogo
acontece ao comparar o polinômio em função de ¯L, na equação (1.23), referente ao modelo geral, com o polinômio obtido em (3.14), do submodelo (3.8), quando considerada somente a transmissão da classe Ad.
Um outro fator a se observar no submodelo (3.8), é o fato de que mesmo com somente uma categoria transmitindo, a coordenada de ¯L é a raiz de um polinômio de
segundo grau, o que também acontece com o modelo geral. Já os submodelos (3.1) e (3.8), que consideram somente a transmissão indireta e somente a transmissão indireta,
respectivamente, obtivemos em ambos os casos uma coordenada explícita para ¯L. Com
isso, podemos concluir que, para um modelo do tipo (1.3), e considerando as transmissões direta e indireta, qualquer submodelo deste terá um polinômio em termos de ¯L, cuja ordem
será dada pelos tipos de transmissão. Se for os dois tipos, será um polinômio de ordem dois, e se tiver apenas um tipo de transmissão, haverá um polinômio de grau um, isto é, a coordenada explícita de ¯L.
3.2.2
Obtendo χ
0Como a Fração de Suscetíveis de um Submodelo
Consideremos o modelo (3.1), quando assumimos a doença sendo transmitida somente pela mutuca, e cujas coordenadas do ponto de equilíbrio endêmico são dadas nas equações (3.2) à (3.7). Fazendo o produto das frações de suscetíveis de cavalos e mutucas, obtemos: ¯ S φ pµc`νq ¯ X N “ ¯ S φ pµc`νq pN ´ ¯Y q N “ 1φ pµc`νq 1 N „ φ pµc` νq ´ αm φ pµc` νq ˆ τi´ 1 τi ˙ N pαmN ` µcq (3.26) ˆ „ N ´ N pτi´ 1qµc pαmN ` µcq ` pτi´ 1qµc “ „ 1 ´ αm ˆ τi´ 1 τi ˙ N pαmN ` µcq „ 1 ´ pτi´ 1qµc pαmN ` µcτiq “ „ τipαmN ` µcq ´ αmN pτi´ 1q τipαmN ` µcq „ N pαmN ` µcτiq ´ N pτi´ 1qµc pαmN ` µcτiq “ „ τiµc` αmN τipαmN ` µcq „ αmN ` µc pαmN ` µcτiq “ 1 τi (3.27) “ χ0. (3.28)
Dessa forma, podemos concluir que para o modelo (3.1), o inverso de τi,
corresponde ao produto da fração de suscetíveis deste modelo matemático. Isso é razoável, pois não havendo a transmissão direta, teremos que somente τi irá contribuir em χ0, ou
seja, neste caso temos τd“ 0 em (1.45), e consequentemente χ´10 “ τi. Assim a expressão
analítica de χ0, é obtida ao efetuar o produto das frações de suscetíveis de cavalos e
mutucas. Ou seja, χ0 é a fração de suscetíveis deste modelo.
Consideremos agora o modelo (3.19), que assume somente a transmissão direta. De acordo com a coordenada ¯S obtida em (3.21), a fração de suscetíveis para este modelo é dada por, ¯ S φ pµc` νq “ φ ´ pγ2` µcq ¯L pµc` νq φ pµc` νq “ φ ´ pγ2` µcq φ pγ2` µcq p1 ´ χ0q pµc` νq φ pµc` νq “ 1 ´ p1 ´ χ0q “ χ0. (3.29)
Dessa forma, a partir de (3.28) e (3.29), podemos concluir que, para um modelo com uma população suscetível, que foi este segundo caso, a fração de suscetíveis no equilíbrio endêmico é igual à χ0. Já para um modelo com duas populações suscetíveis,
que foi o primeiro caso de estudo, χ0 é igual ao produto das frações de suscetíveis, no
3.2.3
Soluções Estocástica e Determinística no Modelo que Considera Somente
Transmissão Direta
Nesta subseção vamos analisar o efeito das taxas de controle diárias, θ1 e θ2,
referente ao controle aplicado nas categorias I e Ac, respectivamente, considerando o modelo
(3.19) que trata exclusivamente da transmissão direta, tendo em vista os resultados obtidos no capítulo 2. A instrução normativa número 45, de junho de 2004 (AGRICULTURA,
2004) sugere o sacrifício dos animais soropositivos ou o isolamento/segregação destes, como medida para o controle da doença. Com base em alguns estudos feitos entre 1990 e 1995, a EMBRAPA sugeriu em 2001 “O Programa de prevenção e controle da anemia infecciosa equina no Pantanal” (SILVA; ABREU; BARROS, 2001), e posteriormente em (SILVA et al.,2004). No presente modelo matemático, tais taxas podem representar tanto o sacrifício quanto a segregação dos animais soropositivos, desde que obedecidas tais regras.
No início do capítulo 5 de (BAILEY et al.,1975), os autores afirmam que em geral o comportamento descrito por um modelo estocástico, em alguns casos, é muito semelhante à versão determinística correspondente. Em outros casos podem haver diferenças importantes. Por este motivo, vamos comparar o equilíbrio endêmico, dado pelas equações (3.21) a (3.25), com a solução de um método estocástico. Antes disso, fizemos as simulações com o ode45 do Matlab (SHAMPINE; REICHELT, 1997), no sistema (3.19). Tal pacote é uma versão otimizada do Runge-Kutta. Com isso, verificamos um tempo em que o sistema já está em equilíbrio, ao aplicar a menor taxa de controle não nulo, dentre os valores escolhidos. Assim, para θ2 este tempo foi de 60 000 dias e, para θ1 de 20 000 dias.
Quanto ao método estocástico, optamos pelo Algoritmo de Simulação Esto-
cástica (ASE), ou simplesmente Algoritmo de Gillespie, dado na página 417 e 419 de
(GILLESPIE, 1976). Em resumo, tal método converte um sistema de edo’s, transformando cada acontecimento deste modelo, cada taxa, em um evento. Logo, cada transição do modelo será discreta, e não contínua, como no caso anterior. O algoritmo de Gillespie foi melhor descrito computacionalmente em (BANKS et al., 2012), da seguinte forma: Passo 1: Inicialize o sistema de estado em x0, no tempo zero;
Passo 2: Para o dado estado x do sistema, calcule as taxas de transição dos possíveis eventos λipxq, i “ 1, . . . , l;
Passo 3: Calcule a soma de todas as taxas de transição λ “
l
ÿ
i“1
λipxq;
Passo 4: Calcule o tempo τ até a próxima transição: tome τ como o valor aleatório através de uma distribuição exponencial com média 1{λ;
Passo 5: Simule qual das l possíveis transições ocorrerá através da distribuição discreta com probabilidade Prob(transição“ i)=λipxq{λ. Gere um número aleatório r2 da distribuição
uniforme [0, 1], e escolha a transição como segue: Se 0 ă r2 ă λ1pxq{λ, escolha a transição
Passo 6: Atualize o novo tempo t “ t ` τ e o novo estado do sistema;
Passo 7: Itere os passos 2-6 até t ď tmax, sendo tmax o tempo máximo de simulação,
definido inicialmente.
Um segundo critério de parada é acrescentado por (FREITAS, 2018) no passo 7. Trata-se da soma das categorias soropositivas serem nulas. Como o objetivo é estudar a extinção da doença, isso pode acontecer antes do tempo estipulado. Para o modelo em questão, este critério é: Lptq ` Adptq ` Iptq ` Acptq “ 0.
Escolhemos fazer este estudo no modelo (3.19) com os parâmetros adotados no cenário 5, do capítulo 2. Os parâmetros αs e αc seguem a tabela 10. Demais parâmetros
seguem a tabela 3. Quando as taxas de controle θ1 e θ2 são nulas, consideramos a condição
inicial de 48999 suscetíveis, 1 indivíduo na categoria latente, e zero nas demais. Para valores não nulos de θ1 e θ2, consideramos como condição inicial do sistema, o ponto de
equilíbrio obtido quando não há controle, isto é, Sp0q “ 2054, Lp0q “ 126, Adp0q “ 93,
Ip0q “ 1340, e Acp0q “ 116. 0 0.1 0.2 0.3 2 1000 2000 3000 4000 5000 Cavalos Suscetíveis 0 0.1 0.2 0.3 2 3500 4000 4500 5000 5500
Pop. Total de Cavalos
0 0.1 0.2 0.3 2 500 1000 1500 2000 Cavalos Soropositivos 0 0.1 0.2 0.3 2 11 12 13 14 R g
Figura 4 – Soluções determinística e estocástica ao aplicar taxas diárias de controle, θ2,
no modelo (3.19) com parâmetros adotados no cenário 5, do capítulo anterior. Da esquerda para a direita e de cima para baixo, temos as subfiguras: cavalos suscetíveis, população total de cavalos, cavalos soropositivos e Rg. Com exceção
deste último gráfico, nos demais temos as curvas: média (azul), mediana (vermelha), respectiva coordenada no equilíbrio endêmico (preta) das equações (3.21) à (3.25), quantis 2, 5% (verde) e 97, 5% (rosa), os quais limitam um intervalo de confiança de aproximadamente 95%. Foram utilizados os valores de θ2 : 0; 0,005; 0,01; 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,1; 0,2; 0,3. Para cada valor foram
feitas 520 iterações, de 60 000 dias cada, e considerados os valores do último dia.
Na figura 4 é possível observar, com exceção da média obtida na ausência de controle, que a média, mediana e o ponto de equilíbrio estão muito próximos. A subpopulação de cavalos aumenta à medida que θ2 aumenta. Uma taxa de decaimento
muito semelhante é observada entre os cavalos soropositivos. O valor de Rg cai de 13,65
(sem controle) para 11,09 (com θ2 “ 0, 3q.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 1 0 2 4 6 Cavalos Suscetíveis 104 0 0.005 0.01 0.015 0.02 1 0 2 4 6
Pop. Total de Cavalos
104 0 0.005 0.01 0.015 0.02 1 0 500 1000 1500 2000 Cavalos Soropositivos 0 0.005 0.01 0.015 0.02 1 0 5 10 15 R g
Figura 5 – Soluções determinística e estocástica ao aplicar taxas diárias de controle, θ1,
no modelo (3.19) com parâmetros adotados no cenário 5, do capítulo anterior. Da esquerda para a direita e de cima para baixo, temos as subfiguras: cavalos suscetíveis, população total de cavalos, cavalos soropositivos e Rg. Com exceção
deste último gráfico, nos demais temos as curvas: média (azul), mediana (vermelha), respectiva coordenada no equilíbrio endêmico (preta) das equações (3.21) à (3.25), quantis 2, 5% (verde) e 97, 5% (rosa), os quais limitam um intervalo de confiança de aproximadamente 95%. Foram utilizados os valores de θ1 : 0; 0,001; 0,005; 0,008; 0,01; 0,012; 0,014; 0,016; 0,018; 0,02. Para cada
valor foram feitas 520 iterações, de 20 000 dias cada, e considerados os valores do último dia.
Na figura 5, diferentemente do caso anterior, neste estudo é possível observar que o algoritmo de Gillespie prevê a extinção de soropositivos. A curva dos pontos de equilíbrio tem um decaimento muito mais suave. Isso se deve ao fato de que no algoritmo de Gillespie a transição de um compartimento para outro se dá de maneira discreta. Com relação ao Rg, este teve um decaimento de 13,65 (sem controle) para 4,04 (com θ2 “ 0, 02q.
É possível ainda observar no gráfico dos cavalos suscetíveis, que o quantil 0,975 dá um salto abrupto, ai comparar o obtido para θ2 em 0,008 e 0,01. Neste mesmo intervalo também há
um leve crescimento da média. Por este motivo, um estudo mais detalhado neste intervalo foi feito na figura 6.
0 0.005 0.01 1 0 2 4 6 Cavalos Suscetíveis 104 0 0.005 0.01 1 0 2 4 6
Pop. Total de Cavalos
104 0 0.005 0.01 1 0 500 1000 1500 2000 Cavalos Soropositivos 0 0.005 0.01 1 6 8 10 12 14 R g
Figura 6 – Soluções determinística e estocástica ao aplicar taxas diárias de controle, θ1
menores que 0,01, no modelo (3.19) com parâmetros adotados no cenário 5, do capítulo anterior. Da esquerda para a direita e de cima para baixo, temos as subfiguras: cavalos suscetíveis, população total de cavalos, cavalos soropositivos e Rg. Com exceção deste último gráfico, nos demais temos as
curvas: média (azul), mediana (vermelha), respectiva coordenada no equilíbrio endêmico (preta) das equações (3.21) à (3.25), quantis 2, 5% (verde) e 97, 5% (rosa), os quais limitam um intervalo de confiança de aproximadamente 95%.
Foram utilizados os valores de θ1 : 0; 0,0005; 0,001; 0,003; 0,005; 0,0065; 0,008;
0,0085; 0,009; 0,0095. Para cada valor foram feitas 520 iterações, de 20 000 dias cada, e considerados os valores do último dia.
É possível observar na figura 6 que, para a população de cavalos soropositivos, o último valor não nulo do quantil 0,025 é em θ1 “ 0, 009. A partir desse mesmo valor, na
população de cavalos suscetíveis, ocorre um salto no quantil 0,975 e um leve aumento na média.
Diante dos resultados obtidos para θ1 e θ2(os parâmetros de controle em I e Ac),
podemos afirmar que em cenários onde as duas taxas sejam não nulas, o valor assumido por
θ1 será predominante para o comportamento do sistema. Isso porque ao fazer o controle
na categoria de Infectados, além de ser a categoria que tem a maior probabilidade de transmissão (conforme os pesos dos parâmetros estudados no capítulo 2), é também uma categoria que serve de passagem para Ac. Dessa forma, fazer o controle em I, além de
evitar que essa categoria transmita, se evita também que cavalos desta categoria passem para a categoria Ac, onde continuarão a transmitir.
fixas as taxas de transmissão. Ou seja, há uma política de controle da doença mas ainda há uma prática que contribui para a transmissão. Dessa forma, uma política de controle aliada à prática adequada de manejo, que faz com que a contribuição para a transmissão diminua drasticamente, pode contribuir para resultados ainda melhores. Isto é, além de sacrificar e/ou segregar animais soropositivos de maneira adequada, se também forem adotadas as medidas de prevenção recomendadas, tais como compartilhamento de tralhas entre animais somente do mesmo grupo (soropositivo ou suscetíveis) e o não compartilhamento de agulhas/seringas contaminadas, é possível que a doença seja controlada e erradicada da tropa em um tempo muito menor.
3.3
Discussões
Como era de se esperar, os limiares obtidos para o modelo que considera a transmissão direta e indireta, foram obtidos na respectiva parcial, referente ao modelo em questão, na subseção 3.2.1. Isso devido ao fato de se considerar somente uma forma de transmissão, direta ou indireta, ou ainda para o caso onde ambas as transmissões estão presentes, mas devido ao manejo dos soropositivos conhecidos, somente a categoria Ad
transmite.
Em se tratando de submodelos que tratam de uma ou das duas formas de transmissão, direta e indireta, na subseção 3.2.2 constatamos que em um modelo com uma população suscetível, a expressão analítica de χ0 representa a fração de suscetíveis no
equilíbrio endêmico. Já para modelos onde há duas populações suscetíveis, esta expressão corresponde ao produto das frações de suscetíveis no equilíbrio endêmico.
A segregação e/ou sacrifício dos animais soropositivos, de forma adequada, aliada a boas práticas de manejo, pode produzir resultados ainda melhores que os obtidos na subseção 3.2.3, quando aplicamos as taxas diárias de controle, θ1 e θ2 e, mantivemos
fixos os parâmetros de transmissão direta. Isso mostra que o programa de controle e prevenção da AIE, se feito de forma adequada, pode controlar e erradicar a doença de uma propriedade, de maneira efetiva, tendo em vista que é um conjunto de ações. Tais medidas de controle e prevenção tem sido apontadas em estudos recentes como necessárias para conter o avanço da doença. Em (PARREIRA et al.,2016), devido à importância do cavalo no Pantanal, os autores recomendam a inclusão de cuidados sanitários nas práticas de manejo dos animais. São justamente os principais fatores da transmissão direta. Apesar de tratar da região Norte do Brasil, o estudo feito em (RIBEIRO; FREIRIA, 2018) também sugere como estratégia de controle da doença, o não compartilhamento de equipamentos equestres e a realização de exames sorológicos para monitoramento do rebanho. O controle da doença também é enfatizado por (GOMES et al., 2018), que constata que cavalos soropositivos podem ter um desempenho até 40% menor que um cavalo saudável. Esse
desempenho menor é o motivo de haver a troca de cavalos durante o dia de trabalho. Mais uma vez, outro fator que tem relevante importância na dinâmica da doença. Portanto, a adoção de práticas adequadas de manejo: pode antecipar a extinção dos soropositovos, de acordo com os estudos da subseção 3.2.3; atende ao apelo destes estudos citados, além de outros que sugerem fortemente tais medidas; credenciará a propriedade por seguir a instrução normativa número 45, de junho de 2004 (AGRICULTURA,2004); pode erradicar de maneira eficiente a doença da propriedade, o que consequentemente a qualificará como livre da doença.
4 Conclusões e Trabalhos Futuros
Como discutido na subseção 1.5.1, Rg e χ0 são limiares distintos, mas que no
estudo da estabilidade do respectivo sistema, são equivalentes. Além do mais, é possível estabelecer uma relação de equivalência entre um limiar destes e o raio espectral da matriz obtida no método NGM equivalente ao outro limiar, ao usar o método da matriz da próxima geração, quando tais limiares são construídos utilizando a conjectura provada em (YANG; GREENHALGH,2015). Para χ0 há ainda na subseção 3.2.2 a constatação para
submodelos do modelo (3.1). No caso de haver uma população suscetível no modelo, a expressão analítica de χ0 corresponde à fração de suscetíveis no equilíbrio endêmico. Já
para o caso onde há duas populações suscetíveis (quando há transmissão via vetor, por exemplo), a expressão analítica de χ0 corresponde ao produto das frações de suscetíveis
no equilíbrio endêmico. Ainda sobre o método NGM, enunciamos e provamos o teorema
1.2, que garante que para ambas as formulações utilizadas do método, para o modelo em questão, é possível fazer o uso da função de Lyapunov proposta por (SHUAI; DRIESSCHE,
2013). Um trabalho futuro fica o estudo deste teorema para outros modelos matemáticos mais gerais, como os propostos pelos autores citados.
Na análise de sensibilidade feita no capítulo 2 e discutida na seção 2.4, cons- tatamos que em cenários onde as duas formas de transmissão direta apresentam taxas relativamente altas, a transmissão indireta tem um peso muito pequeno na transmissão. Isso porque ao aumentar os valores e os intervalos de variação dos parâmetros de trans- missão direta, as variâncias dos parâmetros de transmissão indireta não foram afetadas. Ou seja, neste modelo, um aumento considerável na transmissão direta não significa que a transmissão indireta irá aumentar na mesma proporção. A real consequência destes parâmetros pode ser muito maior, tendo em vista a possível subestimação dos parâmetros, como discutido na referida seção. Apesar destes resultados alarmantes, na subseção 3.2.3
discutimos as taxas de controle diário nas categorias I e Ac, as quais combinadas com o
manejo adequado, podem contribuir para o controle e até a erradicação da doença. A obtenção de um multigrafo orientado, relacionando as funções de Lyapunov envolvidas na prova da estabilidade global, do ponto de equilíbrio endêmico, possibilitou estabelecer uma interação/relação entre as funções que dependem da mesma variável, e com isso diminuir a possibilidade de como formar cada constante. Este fato se encontra no apêndice Be foi inspirado no método apresentado por (SHUAI; DRIESSCHE, 2013), onde os autores propõem um método algébrico para um grafo orientado. Fica então como trabalho futuro, estudar a viabilidade de um método algébrico para a obtenção dos coeficientes de uma função de Lyapunov, de acordo com o que foi exposto neste referido apêndice.
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