Limitac~ao Estrutural

Uma rede de Petri R= (P;T;I;O;K) e classicada como estruturalmente limitada(structural bounded) se e limitada para qualquer marcac~ao inicial.

Teorema 3.2.1

Uma rede de Petri R = (P;T;I;O;K) e estruturalmen- te limitada se, e somente se, existe um vetor de inteiros positivos W com dimens~ao #P tal queW:C0.

Seja uma marcac~ao M 2 A(R;M

0), de modo que, multiplicando-se o

vetorW pela equac~ao fundamental das redes de Petri, temos:

W:M =W:M0+W:C:s

Sendo W:C0 e s0, temos:

W:M W:M

0

Ent~ao a marcac~ao de cada lugar da rede e limitada a

M(p)(W:M

0)=W(p)

onde W(p) e p-esimo componente do vetorW.

3.2.2 Conservac~ao

A conservac~ao e uma importante propriedade das redes de Petri permitindo, por exemplo, a vericac~ao da n~ao-destruic~ao de recursos atraves da simples conservac~ao de marcas [20] [21].

Na gura 3.13 apresentamos uma rede na qual observamos esta proprie- dade. O disparo de qualquer transic~ao desta rede n~ao altera o numero de marcas, ou seja, recursos n~ao s~ao criados nem destrudos.

Denic~ao 3.2.1

-

Rede Estritamente Conservativa

: Seja uma rede marcadaN = (R;M0). N e dita estritamente conservativa se temos Mi(pk)

Figura 3.13: Estritamente Conservativa

Para que esta propriedade seja observada, e necessario que #I(tj) =

#O(tj), pois redes com esta estrutura n~ao possibilitam alterac~ao do numero

de marcas da rede.

Na rede da gura 3.14 apresentamos duas linhas de montagem que com- partilham duas maquinas, representadas pelas marcas no lugarp4. A linha

de montagem A ao iniciar suas operac~oes, requisita as duas maquinas (ob- servar o peso do arco entrep4 e t1). Caso essas duas maquinas n~ao estejam

disponveis, a linha de montagem aguardara ate que esta condic~ao seja sa- tisfeita. Ao encerrar suas tarefas, as maquinas s~ao liberadas. A linha B, no entanto, solicita apenas uma maquina, pois o peso do arco entre p4 e t2 e

1. De forma semelhante a linha A, quando a linha de montagem B encerra suas operac~oes, esta libera a maquina requisitada.

Esta rede n~ao pode ser classicada como uma rede estritamente conser- vativa, pois o numero de marcas da rede e alterado quando disparamos as transic~oes. Por exemplo, ao dispararmos a transic~aot1 as marcas dos lugares

p0 e p4 s~ao consumidas e e produzida apenas uma marca no lugarp2. Con-

tudo, e possvel transformar essa rede numa rede estritamente conservativa, atraves da alterac~ao dos valores dos arcos da rede, de forma que a restric~ao acima (#I(tj) = #O(tj)) seja verdadeira. Na gura 3.14.b apresentamos a

rede da gura 3.14.a transformada para atender a esta restric~ao. Isto signi- ca que o numero de arcos de sada det1 et2, respectivamente e alterado para

3 e 2, assim como os arcos de entrada det3 et4 para 3 e 2, respectivamente.

A conservac~ao nas redes de Petri n~ao se restringe, contudo, a manutenc~ao de um somatorio de marcas da rede ser constante. Como vimos anteriormen- te, dependendo da estrutura da rede, podemos converter uma rede que n~ao seja estritamente conservativa numa rede estritamenta conservativa. Redes

p p _p p p t t t t 0 1 2 ₄ 3 1 2 3 4 (a) 2 2 Linha A Linha B p p _p p p t t t t 0 1 2 ₄ 3 1 2 3 4 2 2 Linha A Linha B (b) 3 3 Maquina 2 2 Maquina Figura 3.14: Conservac~ao

com estas caractersticas, ou seja, que podem ser transformadas em redes estritamente conservativas, s~ao denominadas conservativas. Uma marca em um lugar pode representar diversos recursos que pode ser usado posterior- mente para criar diversas marcas atraves do disparo de transic~oes. O que temos de fato e um somatorio ponderado constante. Associamos a cada lu- gar da rede um peso (valor inteiro). Este peso e multiplicado pelo numero de marcas de cada lugar e ent~ao somado; este somatorio deve permanecer constante. S~ao associados pesos zero a lugares que n~ao s~ao importantes. Dado que todas as redes s~ao conservativas, se os pesos associados a todos lugares da rede forem zero, esta evid^encia n~ao nos fornece informac~ao rele- vante. Desta forma, uma rede e dita conservativa se esta e conservativa para algum vetor de peso de inteiros positivos.

Denic~ao 3.2.2

-

Rede Conservativa

: uma rede marcada N = (R;M0)

e dita conservativa com relac~ao a um vetor de pesos W = (w1;w2;:::;wn),

se wi:Mk(pi) = wi:M0(pi), onde n = #P e wi e um inteiro positivo, 8pi 2P e 8Mk 2A(R;M

0):

O teorema C.0.2, no ap^endice C, mostra que uma rede e conservativa se, e somente se, existe um vetor caracterstico W de inteiros positivos tal que

C
W = 0.

Como vimos, a rede da gura 3.14.a n~ao e uma rede estritamente con- servativa, contudo esta rede e conservativa para um vetor de pesos W =

(1;3;1;2;1), pois a soma ponderada permanece constante para qualquer dis- paro de transic~ao ( wi:Mk(pi) = 4; 8Mk 2 A(R;M

0)). Observe-se que

uma rede estritamente conservativa e uma particularizac~ao das redes con- servativas, onde o peso associado a cada lugar e 1.

p p p p p t t t 0 1 2 3 4 1 2 ₃ t 0

Figura 3.15: Rede n~ao Conservativa

A rede da gura 3.15 e uma rede n~ao-conservativa, pois n~ao ha um vetor de pesos com valores inteiros positivos que satisfaca a propriedade de conser- vac~ao. Atraves do vetorW = (1;1;1;1;0) obtemos um somatorio constante de marcas, para isso, no entanto, associamos ao lugar p5 um peso 0, o que

vai de encontro a denic~ao de rede conservativa. Dizemos contudo que esta rede tem componentes conservativos (dado que este vetor e uma soluc~ao) ou ainda que esta rede e parcialmente conservativa.

Denic~ao 3.2.3

-

Rede Parcialmente Conservativa

: uma rede marca- daN = (R;M0) e dita parcialmente conservativa com relac~ao a um vetor de

pesosW = (w1;w2;:::;wn), para umW 6 = 0, onden= #P ewie um inteiro n~ao-negativo, se wi:Mk(pi) = wi:M0(pi); 8pi2P e 8Mk 2A(R;M 0):

O teorema C.0.3, no ap^endice C, mostra que uma rede e parcialmente conservativa se, e somente se, existe um vetor caracterstico W de inteiros n~ao-negativos tal que C
W = 0 eW 6= 0.

Na rede que apresentamos na gura 3.15, vericamos a presenca de com- ponentes conservativos (parcialmente conservativa). Note-se que nos lugares

p0;p1 ep3;p4 o numero de marcas pemanece constante.

O conservacionismo de uma rede indica a necessidade de recursos. Por exemplo, se utilizarmos uma rede de Petri para moldar o comportamento de um programa, se a rede for conservativa, sabemos que o programa necessita de espaco constante para a sua execuc~ao.

3.2.3 Repetitividade

Uma rede marcada eclassicada como repetitiva se para uma marcac~ao e uma sequ^encia de transic~oes disparaveis, para esta marcac~ao, todas as transic~oes da rede s~ao disparadas ilimitadamente.

Denic~ao 3.2.4

-

Rede Repetitiva

: sejaN = (R;M0) uma rede marcada

esuma sequ^encia de transic~oes. N e dita repetitiva se existe uma sequ^encia

s tal que M0[s > Mi e toda ti

2T dispara um numero innito de vezes em

s.

O teorema C.0.4, no ap^endice C, mostra que uma rede e repetitiva se, e somente se, existe um vetor caracterstico s de inteiros positivos C:s0 e

s6= 0.

Suponha que existe um vetors onde cada componente deste vetor e um inteiro positivo, tal que Mi M0 =C:s

0 isto signica que a sequ^encia s

pode ser repetida indenidamente.

(a) (b) t t t 0 1 0 p p p 1 ₂ t 0 t 1 t₃ 2 t 2 Figura 3.16: Repetitividade

A gura 3.16.a apresenta uma rede repetitiva. Observe-se que quando disparamos a transic~aot0 geramos duas marcas, uma no lugar p1 e uma no

lugarp2, o que possibilita o disparo das demais transic~oes. Se dispararmos a

transic~aot2 e a transic~aot1 o lugarp0 aumentara sua marcac~ao com relac~ao

Denic~ao 3.2.5

-

Rede Parcialmente Repetitiva

: seja N = (R;M0)

uma rede marcada e s uma sequ^encia de transic~oes. N e dita parcialmente repetitiva se existe uma sequ^enciastal que M0[s > Mi e algumas transic~oes

ti disparam um numero innito de vezes em s.

O teoremaC.0.5, no ap^endice C, mostra que uma rede e parcialmente repetitiva se, e somente se, existe um vetor s n~ao-nulo, cujos componentes s~ao numeros naturais eC:s0.

Na gura 3.16.b apresentamos uma rede parcialmente repetitiva. Nes- sa rede, as transic~oes t0;t1 e t3 podem ser disparadas indenidamente, no

entanto a transic~aot2 so pode ser disparada uma vez.

No documento Introduc~ao as Redes de. Petri e Aplicac~oes. por. Paulo Romero Martins Maciel. Rafael Dueire Lins. Paulo Roberto Freire Cunha (páginas 95-100)