4.4 O M´etodo de Aproximac¸˜ao Proposto
4.4.1 Limite Inferior
Conforme definido anteriormente, o vetor e% ´e o limite inferior para o vetor %Y, sendo
que e% cont´em o valor exato da medida para o processo uniformizado Y2, considerando
cada um dos estados como um estado inicial da cadeia de Markov discreta Y. Este li- mite inferior est´a relacionado com o processo ˜Y, resultante do complemento estoc´astico aplicado ao processo discreto Y.
Seja o seguinte sistema linear de equac¸˜oes, que define o limite inferior para %Y:
(I − eU)e%= r. (4.7)
1Este limite superior ´e necess´ario dado que o complemento estoc´astico que ser´a utilizado pelo m´etodo
´e uma aproximac¸˜ao do complemento estoc´astico exato.
A maior limitac¸˜ao inerente a Equac¸˜ao 4.7 ´e o fato da matriz eUser indeterminada para a grande maioria de modelos considerados neste cap´ıtulo. Esta indeterminac¸˜ao decorre do fato que o espac¸o de estados para os modelos considerados neste trabalho possui uma cardinalidade elevada (milh˜oes de estados). Portanto, a determinac¸˜ao da matriz exata eU implica em alto custo computacional em termos de gerac¸˜ao da cadeia, de armazenamento das informac¸˜oes e de n´umero total de multiplicac¸˜oes (operac¸˜oes entre matrizes e definic¸˜ao de uma inversa de ordem elevada).
A determinac¸˜ao do limite inferior est´a atrelada a dois casos distintos: o primeiro, quando a matriz eUpode ser calculada com um custo computacional baixo; ou, na grande maioria dos casos, quando somente podemos definir uma matriz aproximada para a matriz
e U.
Consideremos o caso mais geral, onde o complemento estoc´astico exato n˜ao ´e con- hecido. Para estes modelos, a seguinte t´ecnica, denominada path-based ([13],[118],[116], [40]) para a determinac¸˜ao do complemento estoc´astico ser´a utilizada. A t´ecnica path-
based consiste em explorar o grafo da cadeia de Markov que modela o sistema passo-a-
passo, sem a gerac¸˜ao de todos os caminhos e estados da cadeia. No caso espec´ıfico do m´etodo proposto, exploramos um caminho que comece em um estado i ∈ S e termine em um estado final j ∈ S, passando pelo conjunto de estados F. A medida de interesse a ser determinada ´e a probabilidade de dado que o processo Y deixou o conjunto S pelo estado i este tenha retornado ao conjunto S pelo estado j, considerando caminhos dentro do conjunto F. O caminho a ser considerado depender´a do parˆametro N que ser´a descrito a seguir.
Seja um inteiro N ≥ 2. Para todos os estados i, j pertencentes a S, constru´ımos um conjunto denominado PN, que engloba todos os caminhos que possuem a seguinte forma:
ξij = (i, f1, f2, · · · , fN −2, j), onde os estados f1, f2, · · · , fN −2pertencem a F. Para cada
um dos caminhos definidos, a probabilidade associada ´e a seguinte: p(ξij) = U (i, f1)U (f1, f2) . . . U (fN −1, j).
Ent˜ao, a probabilidade do processo evoluir do estado inicial i ∈ S ao estado final j ∈ S, considerando todos os caminhos no interior do conjunto F com tamanho N − 2 ´e dada por:
X
ξij∈PN
p(ξij) = (USFUF FN −2UF S)(ij).
Seja a matriz U0 definida atrav´es da seguinte equac¸˜ao:
U0 = USS + USF I + UF F + U2F F + · · · + UN −2F F
Comparando as Equac¸˜oes 4.8 e 4.5, nota-se que os elementos na matriz U0s˜ao menores
ou iguais aos elementos da matriz eU, e se %0 ´e a soluc¸˜ao para o sistema
(I − U0)%0 = r, (4.9)
temos:
%0 ≤ e% = %Y,S ≤ %Y. e a matriz U0 ´e uma aproximac¸˜ao para a matriz exata eU.
O vetor %0, soluc¸˜ao para o sistema linear com |˜Ω| vari´aveis, ´e o limite inferior para
˜
% e por transitividade para o vetor %Y. Para definir a matriz que representa o comple- mento estoc´astico aproximado, precisamos explorar o conjunto de estados r´apidos cujo a distˆancia ´e de, no m´aximo, N − 2 a partir do conjunto S. A explorac¸˜ao destes estados da cadeia ´e feita atrav´es do tipo de busca em extens˜ao3. Conforme iremos mostrar na sec¸˜ao
3.7, limites estreitos s˜ao definidos, mesmo considerando pequenos valores de N.
Exemplo Base: Para os valores calculados atrav´es do exemplo base, vamos considerar
que inicialmente o sistema se encontra no estado i = 1 com probabilidade igual a 1. Por conseguinte, consideraremos somente o elemento i = 1 de todos os vetores apresentados at´e o momento.
Primeiramente, o valor exato da medida para a cadeia discretizada do sistema hipot´eti- co apresentado ´e de %Y
1 = 1.0001e6. Passemos ao caso onde n˜ao consideramos o espac¸o
total de estados. Como dito anteriormente, o valor do limite inferior depende se ´e poss´ıvel ou n˜ao a determinac¸˜ao da matriz exata eU. Para o caso onde conhecemos esta matriz, temos que ˜%1 = 9.9991e5.
Para o caso onde podemos somente calcular a matriz aproximada U0, devemos escol-
her o parˆametro N. A t´ıtulo de ilustrac¸˜ao, consideremos trˆes valores distintos:
1. N = 3. Para este valor de parˆametro, temos que a matriz U0 ser´a definida da
seguinte forma: U0 = U
SS + USF(I + UF F)UF S. Considerando i = 1 e j = 1
temos, por exemplo, que um caminho dentro do conjunto F pode ser escrito como {1, 5, 5, 1}. Devemos considerar os caminhos que possuem somente uma transic¸˜ao dentro do conjunto F. A medida resultante ap´os utilizarmos este complemento estoc´astico aproximado ´e de %0
1 = 9.2366e5 < ˜%1.
3A busca em extens˜ao ´e uma estrat´egia simples em que o n´o raiz ´e expandido primeiro, em seguida
2. N = 4. Para este valor de parˆametro, temos que a matriz U0 ser´a definida da
seguinte forma: U0 = U
SS + USF(I + UF F + U2F F)UF S. Considerando i = 1
e j = 2, por exemplo, devemos considerar os caminhos com no m´aximo duas transic¸˜oes dentro do conjunto F. Um exemplo de um caminho com duas transic¸˜oes em F pode ser escrito da seguinte maneira: {1, 5, 5, 6, 2}. A medida resultante ap´os utilizarmos este complemento estoc´astico aproximado ´e de %0
1 = 9.9254e5 < ˜%1.
3. N = 5. Para este valor de parˆametro, temos que a matriz U0 ser´a definida da
seguinte forma: U0 = U
SS + USF(I + UF F + U2F F + U3F F)UF S. Se temos
i = 1e j = 3, por exemplo, temos que um caminho dentro do conjunto F, com trˆes transic¸˜oes ´e dado por {1, 5, 5, 6, 7, 3}. Para a construc¸˜ao da matriz U0, deve-
mos considerar caminhos com no m´aximo trˆes transic¸˜oes dentro do conjunto F. A medida resultante, ap´os utilizarmos a matriz U0, ´e igual a %0
1 = 9.9932e5 < ˜%1.
Este pequeno exemplo mostra, como esperado, que quanto mais caminhos exploramos dentro do conjunto F, mais pr´oximo estamos do valor do limite inferior quando o com- plemento estoc´astico exato ´e utilizado.