Sistema de Banco de Dados

Como um ´ultimo exemplo para o estudo do m´etodo proposto, iremos considerar um sistema de banco de dados composto por diversas CPUs, discos r´ıgidos e unidades de mem´oria. Cada componente possui o seguinte comportamento: falhas que podem ser reparadas ocorrem com taxa φc e as que n˜ao podem ser reparadas com taxa φ(1 − c). A

Tabela 4.18: Resultados para o sistema de banco de dados.

s L.I. ECRA L.S. E.R.

3 1.8139e6 1.8333e6 1.8354e6 4.7e−3 10 1.8150e6 1.8333e6 1.8870e6 9.6e−3

Tabela 4.19: Reduc¸˜ao do espac¸o de estados para o sistema de banco de dados composto por CPUs e discos r´ıgidos.

s |Ω| | ˜Ω| Taxa de Reduc¸˜ao N

3 390625 256 1525 7

10 429998169 256 1679680 7

taxa de reparo ´e de γ.

Primeiramente, suponhamos que o nosso interesse seja o comportamento das unidades de CPU e dos discos r´ıgidos. Para este estudo, consideremos um sistema com 3 CPUs e 5 discos r´ıgidos. A medida a ser calculada ´e o MTTF. Para aumentarmos o espac¸o original do modelo e ao mesmo tempo calcularmos a soluc¸˜ao exata, aplicaremos o mesmo procedimento apresentado na Sec¸˜ao 4.3.4. Cada componente possui um tempo de reparo distribu´ıdo segundo uma distribuic¸˜ao Coxian com s est´agios. As Tabelas 4.18 e 4.19 mostram os resultados e a taxa de reduc¸˜ao do espac¸o de estados quando o m´etodo proposto ´e utilizado, respectivamente. Estamos interessados, primeiramente, no comportamento da CPU e do disco r´ıgido. Os valores exatos para o MTTF s˜ao obtidos utilizando a propriedade de strong lumpability. Os valores para os parˆametros s˜ao: CPU: φc = 1e−5, φ(1−c) = 1e−6e γ = 1; Disco: φc = 1e−3, φ(1−c) = 1e−4 e γ = 5. Para obter o resultado exato, modelamos o mesmo sistema utilizando a propriedade de strong lumpability.

Consideremos o comportamento da unidade de mem´oria. Neste ´ultimo estudo de caso, nosso sistema tem 4 CPUs, 5 discos r´ıgidos e 3 unidades de mem´oria. Supon- hamos que a cada falha de um componente, sem direito a reparo, o nosso sistema tem uma perda econˆomica de R$ 500, 00 para cada CPU, R$ 5000, 00 para cada disco r´ıgido e R$ 1000, 00 para cada mem´oria. Para o caso onde a falha pode ser reparada, a perda econˆomica ´e de R$ 100, 00 para cada um dos trˆes tipos de componentes. A medida de interesse a ser calculada ´e o total de capital perdido at´e que o sistema falhe totalmente (estado onde todos os componentes n˜ao est˜ao em funcionamento). Este cen´ario pode representar um site web comercial, onde a perda de desempenho afeta o capital total acu-

Tabela 4.20: Resultados para o sistema de banco de dados, considerando o comporta- mento das unidades de mem´oria.

L.I. ECRA L.S. E.R.

−4.4740e10 −4.4741e10 −4.4753e10 1.2e−4

Tabela 4.21: Reduc¸˜ao do espac¸o de estados para o sistema de banco de dados composto por CPUs, discos r´ıgidos e unidades de mem´oria.

|Ω| | ˜Ω| Taxa de Reduc¸˜ao N

531441 4096 129 6

mulado. A Tabela 4.20 mostra os resultados para este sistema. O valor exato para o valor esperado da perda econˆomica ´e obtido explorando a propriedade de strong lumpability. Os valores para os parˆametros s˜ao:CPU: φc = 2e−6, φ(1 − c) = 1e−5; Disco: φc = 1e−5, φ(1 − c) = 1e−5; Mem´oria: φc = 1e−5, φ(1 − c) = 1e−4 e γ = 1 para todos os com- ponentes. Os valores negativos s˜ao explicados devido a natureza da medida e significam que o sistema est´a perdendo capital. A Tabela 4.21 mostra a taxa de reduc¸˜ao no total de estados do modelo.

4.8 Sum´ario das Contribuic¸˜oes

Como principais contribuic¸˜oes deste cap´ıtulo, podemos citar os seguintes pontos: 1. O aumento da complexidade dos sistemas a serem representados e o surgimento de

diversas outras medidas de interesse fazem com que novos tipos de m´etodos con- tinuem a ser pesquisados e propostos. Partindo desta motivac¸˜ao, apresentamos um m´etodo aproximado que calcula a medida denominada valor esperado da recom- pensa acumulada at´e a absorc¸˜ao, considerando a classe de modelos Markovianos onde o espac¸o de estado ´e da ordem de milh˜oes de estados. Os processos aqui abor- dados n˜ao s˜ao irredut´ıveis, diferentemente dos trabalhos encontrados anteriormente na literatura. O m´etodo apresentado ´e extremamente atrativo para os casos onde o processo que modela o sistema em estudo permanece a maior parte do tempo em um conjunto pequeno de estados;

perior. Um amplo conjunto de exemplos foi apresentado, mostrando a eficiˆencia do m´etodo proposto. Para todos os exemplos, observamos que os sistemas de equac¸˜oes a serem resolvidos possuiam uma dimens˜ao muito menor do que o espac¸o de esta- dos original do modelo.

3. O conjunto de medidas de interesse que podem ser obtidas por este m´etodo ´e bem amplo, variando de medidas importantes em confiabilidade, como o Mean Time to

Failure, a medidas em an´alise de desempenho, como tamanho m´edio de uma fila

Cap´ıtulo 5

Medidas de Interesse para Modelos com

V´arias Recompensas Associadas a cada

Estado

5.1 Introduc¸˜ao

Conforme mostrado nos cap´ıtulos anteriores, modelos Markovianos com recompensas s˜ao uma ferramenta poderosa para obtenc¸˜ao de in´umeras medidas de interesse, como medidas de dependability e desempenho (Cap´ıtulo 4), ou medidas relacionadas a modelos de fila de fluido (Cap´ıtulo 3).

A caracter´ıstica comum em grande parte dos m´etodos encontrados na literatura para obtenc¸˜ao destas medidas de interesse ´e que cada estado da cadeia de Markov que repre- senta o sistema a ser estudado possui uma ´UNICA taxa de recompensa associada a ele ([31],[5],[30],[100],[106],[128],[3],[4],[22],[19],[21]). Um conjunto restrito de trabalhos considera a variˆancia da taxa associada a um estado. Estes s˜ao os modelos de fluido

de segunda ordem ([78],[97]). Nestes modelos s˜ao considerados o primeiro e segundo

momentos (m´edia e variˆancia) da distribuic¸˜ao do fluido atribu´ıdo ao processo, ou, equiva- lentemente, da recompensa atribu´ıda por unidade de tempo em um estado. Estes modelos s˜ao ´uteis, por exemplo, quando os modelos de fluido de primeira ordem (que consideram somente a m´edia), n˜ao conseguem capturar a variabilidade da chegada de informac¸˜oes em uma fila. Este comportamento difere do comportamento dos modelos que iremos tratar neste cap´ıtulo. Nos modelos aqui apresentados, v´arias recompensas de taxas s˜ao atribu´ıdas a um estado. A cada entrada em um estado o processo acumula ou perde uma

determinada recompensa segundo uma determinada probabilidade. A Figura 5.1 mostra a diferenc¸a entre os modelos de fluido de segunda ordem e o modelo que ser´a considerado neste cap´ıtulo. t1 t1 t1 t1 CR(t) r1(p1) r3(p3) r5(p5) t1 t1 t1 t1 CR(t) (a) (b)

Figura 5.1: (a) Modelo considerado neste cap´ıtulo, onde a cada recompensa ri, associ-

amos uma probabilidade de ocorrˆencia da mesma. (b) Fluido de segunda ordem.

A motivac¸˜ao para os modelos considerados neste cap´ıtulo s˜ao as cadeias de Markov ocultas (Hidden Markov Models - HMM), tamb´em referenciados como Markov sources ou func¸˜oes probabil´ısticas de uma cadeia de Markov. A teoria b´asica para esta classe de modelos foi publicada em uma s´erie de artigos cl´assicos por Baum et al nas d´ecadas de 60 e 70, sendo utilizada em aplicac¸˜oes para processamento de sinal de voz (referˆencias destes trabalhos podem ser encontradas em [119]). Todavia, a utilizac¸˜ao destes modelos para aplicac¸˜oes em diversas outras ´areas, incluindo redes de computadores, tem aumentado nos ´ultimos anos ([41],[37],[138],[50],[126]).

Como exemplo de motivac¸˜ao do estudo de m´etodos para obter medidas de interesse para modelos com v´arias recompensas em cada estado consideremos o dimensionamento de uma rede de dados [37]. O tr´afego de um canal da Internet pode ser modelado a partir de um modelo de Markov oculto. Neste caso, a recompensa de taxa ´e a taxa de chegada de pacotes no canal. Devido a diferenc¸a de algumas ordens de grandeza nas taxas de chegada e taxas de transic¸˜ao entre os estados, a abordagem de fluido ´e computacionalmente mais atrativa que a modelagem de pacotes.

Uma das medidas de interesse necess´aria para o dimensionamento da rede ´e a dis- tribuic¸˜ao de probabilidade do conte´udo da fila de um roteador. Como um determinado estado pode ter um conjunto de recompensas atribu´ıdo a ele, os m´etodos tradicionais cita- dos no comec¸o desta sec¸˜ao n˜ao podem ser diretamente aplicados para esta medida. Desta forma, um modelo Markoviano equivalente foi utilizado no trabalho apresentado em [37] e as medidas de interesse foram calculadas utilizando os m´etodos tradicionais, onde uma

´unica taxa de recompensa ´e atribu´ıda a cada estado. Chamaremos este modelo de modelo Markoviano expandido. Em muitos casos, o aumento consider´avel no tamanho da matriz geradora referente ao modelo Markoviano expandido inviabiliza a aplicac¸˜ao de alguns m´etodos, seja por limitac¸˜oes decorrentes do alto custo computacional ou por problemas de precis˜ao num´erica.

O maior objetivo deste cap´ıtulo ´e propor um m´etodo aproximado, mas computa- cionalmente eficiente para a obtenc¸˜ao da distribuic¸˜ao da recompensa acumulada de um modelo de Markov oculto. Considerando CR a recompensa acumulada e x uma quanti- dade previamente escolhida, propomos uma equac¸˜ao para a obtenc¸˜ao de P [CR ≤ x] = limt→∞P [CR(t) ≤ x], sendo 0 ≤ CR ≤ B. A soluc¸˜ao aproximada proposta ´e baseada

em um algoritmo iterativo, cuja acur´acia ´e validada atrav´es de diversos exemplos. Nosso m´etodo considera que a recompensa acumulada possui limites inferior e superior, pois este ´e o caso de grande parte dos modelos de sistemas de comunicac¸˜ao. No entanto, o caso onde a recompensa n˜ao ´e limitada superiormente ´e facilmente obtido a partir da equac¸˜ao diferencial obtida, diferindo somente nas condic¸˜oes de contorno que devem ser consideradas.

Este cap´ıtulo est´a estruturado da seguinte forma. Na Sec¸˜ao 5.2 apresentamos a descri- c¸˜ao dos Modelos de Markov oculto e expandido. Uma equac¸˜ao diferencial que descreve o comportamento da vari´avel aleat´oria CR ´e obtida na Sec¸˜ao 5.3. O objetivo da Sec¸˜ao 5.4 ´e descrever o algoritmo iterativo proposto, que fornece uma soluc¸˜ao aproximada para a medida de interesse P [CR ≤ x] = limt→∞P [CR(t) ≤ x]. O conjunto de exemplos

que estudam a acur´acia da aproximac¸˜ao e a taxa de convergˆencia do algoritmo iterativo ´e apresentado na Sec¸˜ao 5.5. As principais contribuic¸˜oes deste cap´ıtulo s˜ao descritas na Sec¸˜ao 5.6.