k cujos coeficientes angulares s˜ao estritamente maiores que (1− c), a saber, 1 − c2/2 para a
cota da arboricidade, √1− c para a cota do n´umero de arestas e 1 para as cotas da classe m´ınima e dos graus m´aximos.
Na pr´oxima se¸c˜ao, verificaremos a existˆencia de grafos para os quais a cota da convexidade se mostra justa, ou quase.
7.9
Limite inferior para a cota da convexidade
Nesta se¸c˜ao, trataremos da constru¸c˜ao de fam´ılias de grafos cujo n´umero de bicliques maximais seja pr´oximo da cota da convexidade, O(2|U|−C|W |2). A primeira fam´ılia apresen-
tada como cota inferior ´e essencialmente a fam´ılia CF CG(r, f ) e, assim, ser´a necess´ario que calculemos o n´umero de bicliques maximais do grafo Ferrers(2k).
Proposi¸c˜ao 7.24. O grafo F errers(2k) possui k bicliques maximais.
Prova. Sejam{u1, u2, . . . , uk} e {w1, w2, . . . , wk} suas classes de v´ertices e π2(B) o conjunto
das segundas coordenadas de suas bicliques maximais. Por defini¸c˜ao, para todo i, temos que N (ui) ={w1, w2, . . . , wi}. Pela Proposi¸c˜ao 5.1, temos que
π2(B) = n \ ui∈I N (ui)| I ⊆ U o .
Note que a interse¸c˜ao arbitr´aria de conjuntos da forma {w1, w2, . . . , wi} ´e novamente um
conjunto desta forma. Assim, o n´umero de conjuntos em π2(B), isto ´e, o n´umero de bicliques
maximais, ´e menor ou igual a k. As simples observa¸c˜oes de que cada N (ui) pertence a π2(B),
e de que F errers(2k) possui a propriedade da vizinhan¸ca distinta em U estabelecem que |π2(B)| ≥ k, e portanto, |π2(B)| = k.
Considere um membro da fam´ılia CF CG(r, f ), e sejam F o grafo F errers(2f ) e C o grafo CG(2r), com classes de v´ertices UF, WF e UC, WC, respectivamente. O grafo CF CG(r, f ) foi
definido como a uni˜ao disjunta de F e C, mais a adi¸c˜ao de arestas entre quaisquer v´ertices u e w, onde u pertence a UF e w a WC, ou u pertence a UC e w a WF. Esta opera¸c˜ao ´e
chamada de soma direta dos grafos bipartidos F e C, e o grafo resultante desta opera¸c˜ao ´e denotado F ⊕ C. Sobre o n´umero de bicliques maximais de uma soma direta, podemos provar o seguinte:
Lema 7.25. Sejam G1 e G2 dois grafos bipartidos e seja G = G1⊕ G2. Ent˜ao,
|B(G)| = |B(G1)| · |B(G2)|.
Prova. Sejam (A1, B1) e (A2, B2) bicliques maximais de G1 e G2, respectivamente. Note
u∈ A2´e adjacente a todo elemento de B2∪W1. Agora, vamos mostrar que (A1∪A2, B1∪B2)
´e uma biclique maximal de G. De fato, \ u∈A1∪A2 N (u) = \ u∈A1 N (u)∩ \ u∈A2 N (u) = (B1∪ W2)∩ (B2∪ W1) = (B1∩ B2)∪ (B1∩ W1)∪ (W2∩ B2)∪ (W2∩ W1) =∅ ∪ B1 ∪ B2∪ ∅ = B1∪ B2.
Um c´alculo an´alogo mostra que T
w∈B1∪B2N (w) = A1 ∪ A2, e assim, (A1 ∪ A2, B1∪ B2) ´e
uma biclique maximal de G.
Uma aplica¸c˜ao direta do Lema 7.25 sobre o grafo CF CG(r, f ), utilizando o fato de que este grafo ´e a soma direta entre CG(2r) e F errers(2f ), resulta no seguinte corol´ario: Corol´ario 7.26.
|B(CF CG(r, f))| = 2r· f.
O pr´oximo teorema mostra uma fam´ılia de grafos com trˆes parˆametros, cujos membros possuem Ω(2|U|−CC) bicliques maximais. Em uma subfam´ılia de dois parˆametros, o n´umero de bicliques maximais ´e Ω(2|U|−C|W |), apresentando uma folga linear em |W | perante a cota
da convexidade.
Teorema 7.27. Para todo k, l, c ∈ N∗ satisfazendo l ≥ k + 1 e 3 ≤ c ≤ k, existe um grafo
bipartido G = (U, W, E) com |U| = k, |W | = l, C(G) = c e |B(G)| = 2k−c+1· (c − 1) + 1.
Em particular, se c = αl para uma constante racional α satisfazendo 0 < α < 1, ent˜ao segue que |B(G)| = 2k−c+1(αl− 1) + 1 = Ω(2k−c· l).
Prova. Seja f = c− 1 e r = k − c + 1. Observe que f ≥ 2. Tomamos G1 como sendo o grafo
CF CG(r, f ). Pela Proposi¸c˜ao 7.22, a convexidade de G1 ´e f + 1 = c, e pelo Corol´ario 7.26,
o n´umero de bicliques maximais de G1´e 2r· f = 2k−c+1(c− 1). Note que G1 possui r + f = k
v´ertices em cada uma de suas classes.
Seja G o grafo obtido ap´os a adi¸c˜ao de l − k ≥ 1 v´ertices isolados `a classe W de G1.
Assim, G possui k v´ertices em U e l v´ertices em W . Claramente as convexidades de G1 e G
s˜ao iguais, e portanto, C(G) = c. Tamb´em s˜ao iguais os n´umeros de bicliques maximais com arestas de G1 e G. No entanto, G possui exatamente uma biclique maximal sem arestas:
(∅, W ), ao passo que G1n˜ao possui nenhuma. Portanto, o resultado desta opera¸c˜ao de adi¸c˜ao
de v´ertices ´e um grafo G que atende as exigˆencias do enunciado.
A partir de agora e at´e o fim desta se¸c˜ao, o objetivo buscado ´e mostrar uma fam´ılia de grafos para a qual a cota da convexidade ´e assintoticamente justa. A fim de chegarmos a este resultado, ser´a necess´ario estabelecermos primeiramente que a cota superior para grafos convexos, contida na Proposi¸c˜ao 7.16, ´e assintoticamente justa.
Definiremos, assim, uma fam´ılia de grafos convexos, que mostraremos possuir um n´umero de bicliques maximais quadr´atico em|W |. Sejam k, l ∈ N com k ≤ ⌈l
7.9. Limite inferior para a cota da convexidade 131 de (k, l) ´e denotado IG(k, l) e definido da seguinte maneira: IG(k, l) = (U, W, E) onde U ={u1, u2, . . . , uk} e W = {w1, w2, . . . , wl} s˜ao dois conjuntos disjuntos e seu conjunto de
arestas ´e definido por E ={uiwj | i = 1, . . . , k, j = i, . . . , i+k−1}. Estamos particularmente
interessados em casos em que l = ⌈k
2⌉ e, por isso, retratamos na Figura 7.11 os grafos
interordinais para k variando de 1 at´e 6, enquanto que l =⌈k 2⌉.
(a) IG(1,1) (b) IG(1,2) (c) IG(2,3)
(d) IG(2,4) (e) IG(3,5) (f) IG(3,6) Figura 7.11: Grafos interordinais de ordem 1 at´e 6, com l =⌈k
2⌉.
O pr´oximo lema apresenta o c´alculo do n´umero de bicliques maximais com arestas do grafo interordinal. Como consequˆencia, seguir´a que a cota superior sobre grafos convexos, presente na Proposi¸c˜ao 7.16, ´e assintoticamente justa. De fato, por constru¸c˜ao, o grafo IG(k, l) ´e convexo sobre W e possui l v´ertices naquela classe e, de acordo com o Lema7.28, no caso em que k =⌈l/2⌉, temos que o n´umero de bicliques maximais de IG(k, l) = IG(⌈l/2⌉, l) ´e pelo menos 12[2l(2l + 1)] = Ω(l2).
Lema 7.28. Sejam k, l∈ N∗ com k ≤ ⌈l
2⌉. O n´umero de bicliques maximais com arestas do
grafo IG(k, l) ´e
k(k + 1)
2 .
Prova. Sejam U ={u1, u2, . . . , uk} e W = {w1, w2, . . . , wl} as classes de v´ertices em quest˜ao.
Vamos mostrar que toda primeira coordenada de biclique maximal com arestas ´e um conjunto da forma
{ui, ui+1, . . . , ui+p}, para algum i ∈ [k] e algum 0 ≤ p ≤ k − i.
De fato, seja A6= ∅ uma primeira coordenada de uma biclique maximal com arestas. Se A contiver apenas um elemento, n˜ao h´a o que provar. Caso contr´ario, sejam ui, uj elementos
de A com i < j. Pela constru¸c˜ao de IG(k, l), temos que N (ui) = {wi, wi+1, . . . , wi+k−1} e
que N (uj) ={wj, wj+1, . . . , wj+k−1}. Claramente:
j ≤ k e i ≥ 1 ⇒ j − i < k ⇒ j ≤ i + k − 1, assim como i < j ⇒ i + k − 1 ≤ j + k − 1. Logo,
N (ui)∩ N(uj) ={wj, wj+1. . . , wi+k−1}.
Seja B = ∩ux∈AN (ux) a segunda coordenada da biclique maximal associada a A. Do fato
de ui, uj ∈ A e de (A, B) ser biclique, temos claramente que
B ⊆ N(ui)∩ N(uj).
Agora mostraremos que, para todo x tal que i ≤ x ≤ j, vale que ux ∈ A. De j ≥ x e i ≤ x,
conclu´ımos que N (ux) ={wx, wx+1, . . . , wx+k−1} ⊇ {wj, . . . , wi+k−1}. Assim, temos que vale
que N (ux) ⊇ N(ui)∩ N(uj), e portanto, N (ux) ⊇ B. Ent˜ao, para todo w ∈ B, existe a
aresta uxw. Como (A, B) ´e maximal, conclu´ımos que ux ∈ A. Consequentemente, A ´e um
conjunto da forma mencionada.
Agora mostraremos a rec´ıproca, isto ´e, ser´a provado que todo conjunto da forma {ui, ui+1, . . . , ui+p}, para algum i ∈ [k] e algum 0 ≤ p ≤ k − i,
´e a primeira coordenada de alguma biclique maximal com arestas. Seja S ={ui, ui+1, . . . , ui+p}
um tal conjunto, e seja B =Tp
j=0N (ui+j) ={wi+p, wi+p+1, . . . , wi+k−1}. Claramente, (S, B)
´e uma biclique. Vamos mostrar que (S, B) ´e maximal e possui arestas.
Primeiramente, mostramos que n˜ao existe T ) S tal que (T, B) ´e uma biclique (isto ´e, o par (S, B) ´e uma biclique U -maximal). Seja ux ∈ U \ S e, portanto, x < i ou x > i + p.
Suponha o caso em que x < i. Ent˜ao, temos que x + k− 1 < i + k − 1, e portanto, ux n˜ao
´e adjacente a wi+k−1. Agora, suponha o caso em que x > i + p. Ent˜ao, temos que ux n˜ao
´e adjacente a wi+p. Em qualquer um dos dois casos, temos que ux n˜ao ´e adjacente algum
v´ertice de B, e portanto (S, B) ´e U -maximal.
Por outro lado, a escolha de B, como intersec¸c˜ao de adjacˆencias, garante que (S, B) tamb´em ´e W -maximal, e portanto, trata-se de uma biclique maximal.
Resta mostrarmos que (S, B) possui arestas. Claramente, temos que S 6= ∅. Al´em disso, o v´ertice wk pode ser facilmente verificado como adjacente a todo u∈ U e, portanto, a todo
u∈ S, e, assim, pela W -maximalidade de (S, B), segue que wk ∈ B ⇒ B 6= ∅.
O n´umero de conjuntos da forma{ui, ui+1, . . . , ui+p} com i ∈ [k] e 0 ≤ p ≤ k − i ´e
k + (k− 1) + . . . + 1 = k(k + 1)
2 .
A fim de estender o resultado do lema anterior para a cota da convexidade, consideraremos a seguinte constru¸c˜ao. A uni˜ao disjunta de um grafo interordinal, IG = IG(⌈l1/2⌉, l1),
e um grafo coroa de tamanho “constante”, resulta em um grafo de convexidade elevada (no sentido da diferen¸ca entre |U| e C ser constante) e com pelo menos |B(IG)| = Θ(l2
7.9. Limite inferior para a cota da convexidade 133 bicliques maximais. Sejam k e l o n´umero de v´ertices das classes U e W deste grafo. Note que l1 = Θ(l). Pelo fato da convexidade ser elevada, temos que a cota da convexidade,
neste caso, ´e o produto de uma fun¸c˜ao quadr´atica em l por 2α, onde α = k− C ´e uma
constante. Neste caso, o n´umero de bicliques maximais, assim como a cota da convexidade, pertencem a Θ(l2). O conte´udo do pr´oximo teorema ´e um desenvolvimento mais formal
desta argumenta¸c˜ao. Como resultado, segue a constru¸c˜ao de uma fam´ılia infinita, de um parˆametro, para a qual a cota da convexidade ´e assintoticamente justa.
Teorema 7.29. Para todo k, l, c ∈ N∗ satisfazendo l ≥ k + 2 e 3 ≤ c ≤ k, existe um grafo
bipartido G = (U, W, E) com |U| = k, |W | = l, C(G) = c e |B(G)| = 2k−c+2+ 1 2 lc 2 m − 2 lc 2 m − 1+ 2.
Em particular, se c = k− α e k = βl para duas constantes α, β satisfazendo 0 ≤ α ≤ k e 0 < β < 1, ent˜ao vale que |B(G)| = 2α+2+ 1
2(⌈βl−α2 ⌉ − 2)(⌈βl−α2 ⌉ − 1) + 2 = Ω(l2). Neste
caso, a cota da convexidade ´e assintoticamente justa.
Prova. Seja GC o grafo coroa CG(2(k− c + 2)), e sejam assim UC ={u1, u2, . . . , uk−c+2} e
WC ={w1, w2, . . . , wk−c+2} suas classes de v´ertices, de maneira que E(Gc) ={uiwj | i 6= j}.
Seja GIGo grafo IG(⌈c2⌉−2, c), com classes de v´ertices UIG ={uk−c+3, uk−c+4, . . . , uk−c+⌈c/2⌉}
e WIG ={wk−c+3, wk−c+4, . . . , wk+2}. Seja, ainda, G1 a c´opia disjunta dos grafos GC e GIG,
e sejam U1 = UC∪ UIG e W1 = WC∪ WIG as classes de G1. Assim:
U1 ={u1, u2, . . . , uk−c+⌈c/2⌉}
W1 ={w1, w2, . . . , wk+2}.
Sendo G1 dado pela uni˜ao disjunta dos grafos GC e GIG, temos que, pela Proposi¸c˜ao 7.15,
o n´umero de bicliques maximais com arestas de G1 ´e a soma das bicliques maximais com
arestas de GC e GIG, isto ´e, 2k−c+2+12(⌈2c⌉ − 2)(⌈2c⌉ − 1). ´E imediato verificar que G1 possui
as duas bicliques maximais sem arestas poss´ıveis, e, portanto, |B(G1)| = 2k−c+2+ 1 2 lc 2 m − 2 l2cm− 1+ 2.
Tomamos G = (U, W, E) como sendo G1 ap´os a adi¸c˜ao de c− ⌈2c⌉ v´ertices isolados a U1 e
l− k − 2 v´ertices isolados a W1. Assim, G possui, nas classes U e W , respectivamente, k e l
v´ertices. Verifica-se facilmente que cada biclique maximal com arestas de G tamb´em ´e uma biclique maximal com arestas de G1, e reciprocamente. Al´em disso, G tamb´em possui duas
bicliques maximais sem arestas. Logo, temos que |B(G)| = |B(G1)|. Assim, resta somente
mostrar que a convexidade de G ´e c.
Seja σ : [l] → W dada por σ(i) = wi. Pela constru¸c˜ao do grafo interordinal, cada v´ertice
de UIG possui vizinhan¸ca convexa sob σ, assim como os v´ertices u1 e uk−c+2 de UC, bem
como os c− ⌈c
2⌉ v´ertices isolados adicionados a U, perfazendo um total de c v´ertices. Isto
mostra que C(G)≥ c.
Vamos mostrar agora que no m´aximo dois v´ertices de UC possuem vizinhan¸ca convexa
sob qualquer bije¸c˜ao τ : [l]→ W . Note que isto implica que C(G) ≤ c, pois |UC| = k − c + 2
bije¸c˜ao, e sejam ui, uj ∈ UC com i 6= j dois v´ertices com vizinhan¸ca convexa sob τ. Note
que N (ui)∩ N(uj) = r− 2. Como N(ui) e N (uj) s˜ao τ -intervalos, segue que N (ui)∩ N(uj)
tamb´em ´e. Al´em disso, como N (ui)6= N(uj) e |N(ui)| = |N(uj)|, temos que o v´ertice τ(1)
n˜ao pertence a ambos os conjuntos, bem como o v´ertice τ (l). Consequentemente, temos que existe x∈ {2, 3, . . . , l − r + 2} com
N (ui)∩ N(uj) = {τ(x), τ(x + 1), . . . , τ(x + r − 3)}. (7.7)
Note que N (ui)\ N(uj) = {wj} e que N(uj)\ N(ui) = {wi}, pela defini¸c˜ao de adjacˆencias
do grafo CG(2k). Do fato de N (ui) e N (uj) serem τ -intervalos distintos, e tamb´em de (7.7),
conclu´ımos que τ (x−1) = wie τ (x+r−2) = wj ou τ (x−1) = wie τ (x+r−2) = wj. Assim,
todo τ -intervalo que contenha wi e wj possui no m´ınimo x + r−2−(x−1)+1 = r elementos.
Por fim, seja us ∈ UC com s 6= i, s 6= j. De s 6= i e s 6= j, temos que us ´e adjacente a wi e
wj. Como o grau de us ´e r− 1, temos que N(us) n˜ao pode ser um τ -intervalo, em virtude
de|N(us)| = r − 1 e de wi, wj ∈ N(us). Em outras palavras, us n˜ao possui a propriedade da
vizinhan¸ca convexa.
No caso em que c = k−α para uma constante 0 ≤ α ≤ k, temos que a cota da convexidade ´e 2|U|−C· [|W |(|W | + 1)/2 + 1] = 2α· [l(l + 1)/2 + 1] = O(l2). Se, adicionalmente, tivermos
que k = βl para uma constante 0 < β < 1, ent˜ao temos que o n´umero de bicliques maximais do grafo G ´e |B(G)| = |B(G1)| = 2α+2+ 1 2 βl − α 2 − 2 βl − α 2 − 1 = Ω(l2).
Na pr´oxima se¸c˜ao, abordaremos a quest˜ao do c´alculo da convexidade de um grafo bipar- tido.