4.1
Exercícios propostos para resolução nas aulas
1. Prove, usando a definição, que (a) lim x→13x + 2 = 5; (b) lim x→+∞ 2x x + 1 = 2.
2. Justifique convenientemente a seguinte afirmação: "@ lim
x→+∞sin(x)".
3. Seja g a função definida, em R, por
g(x) = x + 3, se x > −1 −x + 2, se x < −1. (a) Esboce o gráfico de g.
(b) Mostre que não existe lim
x→−1g(x).
4. Considere a função f real de variável real
f (x) = 2x + 3, se x < 1 x + 4, se x > 1. Calcule lim x → 1 x 6= 1 f (x) e lim x→1f (x).
5. Seja f a função definida, em R, por
f (x) = x + 2, se x > 1 2 − 3x, se x ≤ 1.
(a) Mostre que não existe lim
x→1f (x).
(b) Defina, em R, uma função g tal que lim
x→1(f + g)(x) = 4.
6. Para cada número real m, a expressão seguinte define uma função real de variável real:
h(x) = x2− m + 7, se x > 0 5, se x = 0 |x + 3| + m, se x < 0. (a) Determine m de modo que exista lim
x→0h(x).
(b) Calcule m de modo que lim
x→−5h(x) = h(0). Neste caso, a função é injectiva? Justifi-
que.
7. Seja f a função real de variável real definida por
f (x) = x2e−x, se x ≥ 1 sin(x − 1) x2− 1 , se x < 1.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) Determine os zeros da função dada.
(c) Calcule lim
x→−∞f (x).
8. Considere a função g, real de variável real,
g(x) = x + 1, se x > 2 1 2x, se x ≤ 2. (a) Calcule g(0) e g(3). (b) Mostre que ∀x ∈ [0, 3], g(x) 6= 5 2.
Isto contradiz o teorema de Bolzano? Justifique.
(c) Averigúe se a restrição de g ao intervalo [0, 2] é necessariamente limitada.
9. Sejam f e g duas funções contínuas em [a, b] tais que f (a) = g(b) e f (b) = g(a). Mostre que f − g tem pelo menos um zero pertencente ao intervalo [a, b].
10. Considere a função real de variável real definida por
f (x) = ex− 1, se x ≥ 0 cos(x) log(x + 1), se x < 0.
(a) Determine o domínio de f e estude-a quanto à continuidade. (b) Mostre que existe a ∈−π4, 1 tal que f (a) = 0.
(c) Justifique que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo [0, 1]. Indique os seus valores.
11. Considere a função real de variável real definida por
g(x) = 3x+ 2x 2 − ex , se x ≥ 0 arctan(x), se x < 0.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) Calcule lim
x→−∞g(x) e limx→+∞g(x).
(c) O teorema de Weierstrass garante a existência de máximo e mínimo da função no intervalo [−1, 1]?
12. Considere a função real de variável real definida por
f (x) = −1 xcos π 2 − x , se x < 1 ex− log(x2), se x ≥ 1.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) A função f é diferenciável em x = 1? Justifique.
(c) Calcule lim
x→−∞f (x).
(d) Verifique se é ou não possível prolongar f por continuidade ao ponto x = 0. 13. Considere a função g, real de variável real, tal que
g(x) = e−bx+b, se x < 1 (x − 2)2, se x ≥ 1.
Determine o número real b de modo a que a função g seja diferenciável em x = 1. 14. Seja A = [0, 2π] e considere a função
g : A → R
x ,→ 1 + | sin(x)|.
(a) Mostre que g é contínua no intervalo A, mas que não tem derivada no ponto x = π. (b) Seja an uma sucessão monótona de termos de A. Averigúe se an é necessariamente
15. Dada a função f (x) = π
3− 2 arccos 3x
2
, mostre que a recta de equação y − 3x +2π3 = 0 é tangente ao gráfico da função f . Determine o ponto de tangência.
16. Considere a função real de variável real definida por f (x) = cos(3x). (a) Calcule a terceira derivada de f .
(b) Prove, pelo princípio de indução matemática, que f(n)(x) = 3ncosnπ 2 + 3x
, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
17. Dadas as funções f e g definidas por f (x) = 2 cot(3x) e g(x) = π
2+arcsin(1−x), determine a derivada de f o g no ponto de abcissa 1.
18. Dadas as funções f : [−2, 0] → [0, π] x ,→ arccos(x + 1) e g : −1 5, +∞ → R x ,→ log2(5x + 1), calcule as derivadas de f e de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa. 19. Considere a função real de variável real
f (x) = x|x|, se x > −2 (x + 2)2− 4, se x ≤ −2.
(a) Determine o domínio de f . (b) Estude f quanto à continuidade.
(c) Determine a função derivada f0.
(d) Determine a função segunda derivada f00.
20. Considere a função f real de variável real definida por
f (x) = e|x−1|, se x > 0 arctan(x), se x ≤ 0. (a) Estude a função f quanto à continuidade.
(b) Estude a função f quanto à diferenciabilidade e determine a função f0. (c) Determine o sinal da função segunda derivada f00.
(Nota: pode usar, sem demonstrar, que lim
x→0
arctan(x) x = 1.)
4.2
Exercícios propostos para resolução autónoma
1. Prove, usando a definição, que (a) lim x→0+ 1 x = +∞; (b) lim x→+∞log 1 2 x = −∞.
2. Seja f a função real de variável real definida por
f (x) = −2x, se x < −1 x2+ 1, se − 1 ≤ x < 2 3x − 2, se x > 2. Investigue se existe (a) lim x→−1f (x); (b) lim x→2f (x).
3. Seja h a função definida, em R, por
h(x) = |x + 3| x + 3 , se x 6= −3 2, se x = −3. (a) Determine, se existir, lim
x→−3h(x).
(b) Esboce o gráfico da função h e determine o seu contradomínio.
(c) Diga, justificando, o valor lógico da proposição ∀x, y ∈ R h(x) = h(y) ⇒ x = y. 4. Considere a função real de variável real definida por
f (x) = sin(x2− 4) x − 2 , se x > 2 x − a, se x ≤ 2.
(a) Determine, caso exista, o valor de a que torna a função contínua no ponto x = 2. (b) Considerando a = 2, calcule os zeros da função.
(c) Calcule lim x→+∞f (x). 5. Considere, em R, as funções f (x) = 1 x e g(x) = x2 − 9 x3− 27.
(b) Mostre que não há nenhuma extensão de f que seja contínua em R. (c) Indique um prolongamento de g a R que seja contínuo.
6. Seja f uma função real de variável real, contínua em [a, b]. Sabendo que f (a) ≤ a e f (b) ≥ b, prove que f tem pelo menos um ponto fixo no intervalo [a, b] (Nota: c é um ponto fixo de f , se f (c) = c).
7. Considere a função real de variável real definida por
g(x) = 2 πarcsin |x − 2|, se x ≤ 3 e−(x−3)2, se x > 3.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) Calcule lim
x→2
g(x)
x − 2. (Nota: pode usar, sem demonstrar, que limx→0
arcsin(x) x = 1.) (c) O teorema de Weierstrass garante a existência de máximo e mínimo da função no
intervalo 5 2, 4
?
8. Considere a função real de variável real definida por
h(x) = 2x3− 5x + m, se x ≥ −1 (x − 1) log(e + (x + 1)2) x2+ x − 2 , se x < −1.
(a) Determine m de modo a que a função seja contínua em x = −1. Considere, nas próximas alíneas, o valor de m obtido na alínea (a).
(b) Indique o conjunto dos pontos onde h é contínua, justificando detalhadamente. (c) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa a proposição
∃x ∈] − 1, 0[: h(x) = 1. 9. Seja g a função real de variável real definida por
g(x) = x2+ 2x + 2, se x ≤ −2 −1 + e x+1(x − 1) (x2− 1)5x , se x > −2.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) Calcule lim
x→+∞g(x) e limx→1g(x).
(c) Justifique que a restrição da função ao intervalo [−4, −2] atinge um mínimo nesse intervalo.
(a) esin(x); (b) arctan(x2); (c) arcsin(x2); (d) log(cos(x)); (e) sin(x)5; (f) |x + 1|; (g) p(log(x) + 1)3; (h) tan(√x);
(i) tan2(x4) + cot(x);
(j) arctan s 1 − cos(x) 1 + cos(x) ! ; (k) sin(x) + cos(x) sin(x) − cos(x); (l) log(log(x) + 2); (m) log ex 1 + ex .
11. Dada a função real de variável real definida por y(x) = e2xsin(5x), verifique que y00(x) −
4 y0(x) + 29 y(x) = 0.
12. Considere a função real de variável real g(x) = xe−x. (a) Determine A = {x ∈ R : g00(x) = 0}.
(b) Demonstre, pelo princípio de indução matemática, que g(n)(x) = (−1)n(x−n)e−x, ∀x ∈
R, ∀n ∈ N.
13. Considere, em R, a função f definida por f (x) = mx + 1
2x + m. Determine o número real m de forma a que a recta tangente ao gráfico de f , no ponto de abcissa x = 1, faça um ângulo de 135o com o semi-eixo positivo das abcissas.
14. Considere, em R, as funções f (x) = 1 2arcsin(x − 2) e g(x) = 1 2 x+2 . (a) Determine o domínio e o contradomínio de f e de g.
(b) Calcule as derivadas de f e de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa. (c) Determine a derivada de g o f , no ponto de abcissa 2.
15. Estude a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções, no ponto x = 0:
(a) f (x) = cos π2 − x , se x ∈h−π 2, 0 i x log π2x + e , se i0,π 2 i ;
(b) g(x) = x 1 + ex1 , se x 6= 0 0, se x = 0.
16. Considere a função real de variável real f : [−3, 4] → R definida por
f (x) = √ 2 − x, se − 3 ≤ x < 2 3x − 6 x , se 2 ≤ x ≤ 4. (a) Prove que a função admite máximo e mínimo.
(b) Calcule a função derivada f0 e a função segunda derivada f00.
(c) Seja dn uma sucessão monótona de termos de Df. Averigúe se dn é necessariamente
convergente para um ponto de Df.
17. Considere a função real de variável real definida pela expressão
g(x) = sin(x) + cos(x) 1 − cos(x) , se x 6= 0 1, se x = 0. (a) Determine o domínio de g e estude-a quanto à continuidade.
(b) Calcule os zeros de g. Justifique a existência desses zeros usando o teorema de Bolzano.
(c) Estude a função g quanto à diferenciabilidade. 18. Considere a função real de variável real definida por
h(x) = |x2− 9|, se x ≥ 0 log(x2+ e4), se x < 0.
(a) Determine o domínio de h e estude a função quanto à continuidade. (b) Estude a função h quanto à diferenciabilidade.
4.3
Exercícios resolvidos
1. Prove, usando a definição, que lim
x→14 x + 2 = 6.
Resolução:
Queremos provar que ∀δ > 0 ∃ ε > 0 : |x − 1| < ε ⇒ |(4 x + 2) − 6| < δ, isto é, que ∀δ > 0 ∃ ε > 0 : |x − 1| < ε ⇒ 4 |x − 1| < δ.
Seja δ > 0 fixo arbitrariamente.
Para verificar a definição, basta tomar ε = δ4. De facto, considerando este valor para ε, obtemos |x − 1| < ε ⇒ 4|x − 1| < 4 ε = 4δ
4 = δ.
Assim, concluímos que ∀δ > 0 ∃ ε = δ4 > 0 : |x − 1| < ε ⇒ 4 |x − 1| < δ. 2. Considere a função f real de variável real, definida por
f (x) = log(1 − x2), se − 1 < x < 0 −x2, se x ≥ 0 arctan(−x) , se x ≤ −1. (a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade de f .
(c) Estude a diferenciabilidade de f nos pontos x = −1 e x = 0. Sugestão: pode usar, sem demonstrar, que lim
y→0
log(1 + y) y = 1. (d) Determine os zeros da função.
(e) Calcule lim
x→−∞f (x).
(f) Averigúe se, no intervalo [2, 3], a função f é limitada. Resolução:
(a) Comecemos por notar que
Df = {x ∈ R : (1 − x2 > 0 ∧ −1 < x < 0) ∨ x ≥ 0 ∨ x ≤ −1}.
Como 1 − x2 > 0 ⇔ x2 < 1 ⇔ −1 < x < 1, então 1 − x2 > 0 ∧ −1 < x < 0 é
equivalente a −1 < x < 0. Logo, Df = R.
(b) No interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, a função é contínua. Nomeadamente, f é contínua em ] − 1, 0[ por ser a composição de duas funções contínuas no seu domínio (função quadrática e função logarítmica), é contínua em ]0, +∞[ por ser uma função quadrática e, finalmente, é contínua
em ] − ∞, −1[ por ser também a composição de duas funções contínuas (função trigonométrica inversa e função linear). Falta estudar a continuidade da função nos pontos x = 0 e x = −1.
Vamos então estudar a continuidade da função no ponto x = 0, começando por calcular os seus limites relativos. Assim, temos
lim x→0+f (x) = limx→0+−x 2 = 0 e lim x→0−f (x) = limx→0−log(1 − x 2 ) = 0. Logo, como lim
x→0+f (x) = limx→0−f (x) = 0 então lim
x → 0 x 6= 0
f (x) = 0. Além disso, aten- dendo a que f (0) = 0 então lim
x→0f (x) = 0. Consequentemente, f é contínua em
x = 0.
Estudemos agora a continuidade da função no ponto x = −1, pelo mesmo processo: lim x→−1+f (x) = limx→−1+log(1 − x 2) = −∞ e lim x→−1−f (x) = limx→−1−arctan(−x) = π 4. Assim, como lim
x→−1+f (x) 6= limx→−1−f (x) então não existe lim
x → −1 x 6= −1
f (x). Consequente- mente, não existe lim
x→−1f (x), pelo que f não é contínua em x = −1.
Concluímos assim que f é contínua em R \ {−1}.
(c) Como a função não é contínua em x = −1 então não é diferenciável neste ponto. Assim, precisamos apenas de estudar a diferenciabilidade da função no ponto x = 0. Calculando as derivadas laterais, obtemos
f0(0+) = lim x→0+ f (x) − f (0) x − 0 = limx→0+ −x2− 0 x = limx→0+−x = 0 e f0(0−) = lim x→0− f (x) − f (0) x − 0 = limx→0− log(1 − x2) − 0 x = limx→0− log(1 + (−x2)) −x2 (−x) = 0.
Como f0(0+) = f0(0−) = 0 então existe e é finita f0(0), pelo que f é diferenciável em x = 0.
(d) Para determinar os zeros da função, necessitamos de analisar separadamente os três ramos.
Assim, no intervalo ] − 1, 0[ temos f (x) = 0 ⇔ log(1 − x2) = 0 ⇔ 1 − x2 = 1 ⇔ x2 =
0 ⇔ x = 0. Como 0 /∈] − 1, 0[, então f não tem nenhum zero neste intervalo.
Relativamente ao intervalo [0, +∞[, temos f (x) = 0 ⇔ −x2 = 0 ⇔ x = 0. Como
0 ∈ [0, +∞[, então x = 0 é um zero da função.
Por último, no intervalo ] − ∞, −1], de f (x) = 0 ⇔ arctan(−x) = 0 ⇔ −x = 0 ⇔ x = 0 concluímos novamente que a função não tem nenhum zero neste intervalo, uma vez que x = 0 não pertence ao intervalo ] − ∞, −1].
(e) Tem-se que lim
x→−∞f (x) = limx→−∞arctan(−x) =
π 2.
(f) Como f é contínua em R \ {−1}, então f é contínua no intervalo I = [2, 3]. Pelo teorema de Weierstrass, como I é um intervalo fechado e limitado ele é transformado, por esta função contínua, num intervalo fechado e limitado. Logo, f (I) é um intervalo fechado e limitado. Assim, o contradomínio - f (I) - é limitado pelo que f é, neste intervalo, limitada.
3. Considere a função
g : [0, 2] → [−π2,π2] y ,→ arcsin(y − 1).
Calcule a derivada de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa. Resolução:
Consideremos I = [−π2,π2], e a função
f : I → [0, 2] x → sin(x) + 1.
Como f é uma função estritamente monótona e contínua em I, f é invertível (em I), sendo
g : [0, 2] → I
y → arcsin(y − 1). a sua função inversa.
Pelo teorema da derivada da função inversa, sabemos então que sendo f diferenciável no ponto x = g(y) e f0(x) 6= 0 (x ∈] − π2,π2[) , então g é diferenciável em y = f (x) e
g0(y) = 1 f0(g(y)) = 1 cos(g(y)) = 1 cos(arcsin(y − 1)).
Precisamos agora de simplificar a expressão cos(arcsin(y − 1)). Como x = arcsin(y − 1) ⇔ sin(x) = y − 1, basta-nos encontrar o valor de cos(x), a partir do valor de sin(x). Pela fórmula fundamental da trigonometria, e atendendo a que x ∈ I, obtemos cos(x) = p
1 − sin2(x) = p1 − (y − 1)2. Concluímos assim que
g0(y) = 1
p1 − (y − 1)2.
4. Considere a função f real de variável real definida por
f (x) = x2− 1, se x < 1 arcsin(x − 1), se x ≥ 1.
(a) Determine o domínio da função. (b) Calcule, se existir, lim
x→1f (x).
(c) A função é injectiva? Justifique.
(d) Mostre que ∃c ∈]0,32[ tal que f (c) = π 12.
(e) Justifique que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo [0,32]. (f) Determine a função derivada f0.
Resolução:
(a) Comecemos por notar que Df = {x ∈ R : x < 1 ∨ (−1 ≤ x − 1 ≤ 1 ∧ x ≥ 1)}. Como
−1 ≤ x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 então −1 ≤ x − 1 ≤ 1 ∧ x ≥ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2. Assim, Df =] − ∞, 2].
(b) Comecemos por calcular os limites relativos. Temos lim
x→1−f (x) = limx→1−x
2 − 1 = 0 e
lim
x→1+f (x) = limx→1+arcsin(x − 1) = arcsin(0) = 0. Como limx→1+f (x) = limx→1−f (x) = 0
então lim
x → 1 x 6= 1
f (x) = 0. Além disso, atendendo a que f (1) = 0, concluímos que lim
x→1f (x) = 0.
(c) Para a função ser injectiva, tem de ser verdadeira a proposição ∀x, y ∈ Df, f (x) = f (y) ⇒ x = y.
Atendendo a que f (−1) = f (1) = 0 então verifica-se a negação da proposição ante- rior, isto é,
∃x, y ∈ Df : f (x) = f (y) ∧ x 6= y,
pelo que f não é injectiva.
(d) Vimos, na alínea (b), que existe lim
x→1f (x) pelo que f é contínua no ponto x = 1.
Além disso, no interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, podemos afirmar que f também é contínua. De facto, em ]−∞, 1[ a função é contínua por se tratar de uma função polinomial e, em ]1, 2[ a função é contínua por se tratar da composição de duas funções contínuas (uma função trigonométrica inversa, que é contínua no seu domínio, e uma função linear). Ainda, f é contínua em x = 2, uma vez que lim
x→2−f (x) = limx→2−arcsin(x − 1) = arcsin(1) =
π
2 = f (2). Concluímos assim que f é contínua em ] − ∞, 2] pelo que, em particular, f é contínua em [0,32]. Como, por outro lado, f (0) = −1 e f 32 = arcsin 1
2 = π
6 então, pelo teorema de Bolzano,
toda a função contínua não passa de um valor para outro sem passar por todos os valores intermédios, i.e., considerando k = 12π, como f (0) = −1 < 12π < π6 = f 32 então ∃c ∈]0,32[: f (c) = k = 12π.
Observação: Para estarmos nas condições do teorema de Bolzano, apenas precisamos de provar que f é contínua em [0,32]. Por isso, uma resolução alternativa seria provar
que f é contínua nos intervalos ]0, 1[ e ]1,32[, no ponto x = 1 (com justificações análogas às anteriores) e, ainda, que lim
x→0+f (x) = f (0) e lim x→32− f (x) = f 3 2 .
(e) Vimos, na alínea anterior, que f é contínua no intervalo I = [0,32]. Pelo corolário do teorema de Weierstrass, como I é um intervalo limitado e fechado, então a função atinge neste intervalo um máximo e um mínimo.
(f) No interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, podemos calcular f0 utilizando as regras de derivação. Assim, obtemos
f0(x) = 2 x, se x < 1 1 p1 − (x − 1)2, se 1 < x < 2.
Vamos agora estudar a diferenciabilidade de f no ponto x = 1, por definição. Cal- culando as derivadas laterais, obtemos
f0(1+) = lim x→1+ f (x) − f (1) x − 1 = limx→1+ arcsin(x − 1) − 0 x − 1 = limx→1+ arcsin(x − 1) x − 1 = 1 e f0(1−) = lim x→1− f (x) − f (1) x − 1 = limx→1− (x2− 1) − 0 x − 1 = limx→1− (x − 1)(x + 1) x − 1 = limx→1−x+1 = 2.
Como f0(1+) 6= f0(1−) então não existe f0(1). Notemos ainda que não definimos
derivada no ponto x = 2 porque este não é um ponto interior a Df.
Podemos então concluir que
f0(x) = 2 x, se x < 1 1 p1 − (x − 1)2, se 1 < x < 2.
5. Considere as funções f e g definidas por f (x) = tan(2x) e g(x) = π + arctan(1 − x). (a) Determine uma equação da tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1. (b) Determine a derivada de f o g no ponto de abcissa 1.
Resolução:
(a) Uma equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1 é y − g(1) = g0(1)(x − 1).
Como g0(x) = −1
1 + (1 − x)2, então g é diferenciável em R, e g
0(1) = −1. Por outro
lado, g(1) = π. Logo, obtemos a equação da recta tangente y − π = −x + 1.
(b) Vimos, na alínea (a), que a função g é diferenciável em R e, por outro lado, sabemos que a função f é diferenciável em Df = {x ∈ R : x 6= π4 + kπ2, k ∈ Z}, e que
f0(x) = 2
cos2(2x). Assim, sendo g diferenciável no ponto 1 e f diferenciável no
ponto g(1), pelo teorema da derivada da função composta, f ◦ g é diferenciável em 1 e (f ◦ g)0(1) = f0(g(1)) · g0(1). Atendendo aos cálculos efectuados anteriormente, obtemos então (f ◦ g)0(1) = f0(π) · (−1) = 2 · (−1) = −2.