ANÁLISE
MATEMÁTICA
I C
Prática
Departamento de Matemática FCT/UNL 2008/2009Estes apontamentos destinam-se aos alunos de Análise Matemática I da FCT-UNL e não têm qualquer objectivo comercial.
Colaboradores: Diogo Pinheiro
Nelson Chibeles Martins (co-autor dos capítulos 1 e 2) Filipe Marques (co-autor do capítulo 3)
Manuela Pedro (co-autora dos capítulos 5 e 6) Lourdes Afonso (co-autora do capítulo 8) Lídia Lourenço (co-autora do capítulo 9) Carmo Brás (co-autora do capítulo 10)
Índice
1 Noções Topológicas 1
1.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 1 1.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 3 1.3 Exercícios resolvidos . . . 5
2 Indução Matemática 11
2.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 11 2.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 12 2.3 Exercícios resolvidos . . . 13
3 Sucessões de números reais 17 3.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 17 3.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 20 3.3 Exercícios resolvidos . . . 23
4 Limites, Continuidade e Cálculo Diferencial 31 4.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 31 4.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 35 4.3 Exercícios resolvidos . . . 39
5 Teoremas fundamentais (Rolle, Lagrange e Cauchy). Indeterminações. 45 5.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 45
5.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 47 5.3 Exercícios resolvidos . . . 49 6 Teorema de Taylor, Fórmula de Taylor e Aplicações 53 6.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 53 6.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 55 6.3 Exercícios resolvidos . . . 57
7 Estudo de funções 63
7.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 63 7.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 64 7.3 Exercícios resolvidos . . . 65
8 Primitivação 73
8.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 73 8.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 77 8.3 Exercícios resolvidos . . . 80 9 Cálculo Integral. Áreas de figuras planas 89 9.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 89 9.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 91 9.3 Exercícios resolvidos . . . 93 10 Integrais impróprios 107 10.1 Exercícios propostos para resolução nas aulas . . . 107 10.2 Exercícios propostos para resolução autónoma . . . 109 10.3 Exercícios resolvidos . . . 110
1
Noções Topológicas
1.1
Exercícios propostos para resolução nas aulas
1. Considere os conjuntos A = [0, 2[, B = {0, 1, 2, 3}, C = Q, D = x ∈ R : x = n n + 1, n ∈ N . Para cada um destes conjuntos, determine:
(a) o interior; (b) a fronteira;
(c) o exterior; (d) a aderência;
(e) o derivado;
(f) o conjunto dos pontos isolados;
(g) o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes, caso existam; (h) o supremo e o ínfimo, caso existam;
(i) o máximo e o mínimo, caso existam. 2. Considere o seguinte conjunto:
E = {x ∈ R : |x − 3| ≥ 2} ∩ [−2, 8]. (a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de E.
(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de E. (c) Indique, justificando, se E é um conjunto limitado.
3. Considere o seguinte conjunto:
F = x ∈ N : x2− 5x + 9 > 3 ∩ x ∈ R : x2− 7x − 1 ≤ 7 .
(a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de F .
(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de F . (c) Indique, justificando, se F é um conjunto aberto ou um conjunto fechado. 4. Considere o seguinte conjunto:
G = x ∈ R : x = 1 + 2 sin π n + 1 , n ∈ N ∪ x ∈ R : x − 2 x + 1 > 0 . (a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de G.
(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de G. (c) Indique, justificando, se G é um conjunto aberto ou um conjunto fechado. 5. Considere o seguinte conjunto:
H =x ∈ Q : x2 < 9 ∪ x ∈ R \ Q : x2− 2x − 5 ≤ 0 . (a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de H.
(b) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de H.
(c) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de H.
6. Considere o seguinte conjunto:
I =x ∈ N : x2− 5x + 9 > 3 .
(a) Determine a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de I.
(b) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de I.
(c) Indique, justificando, se I é um conjunto limitado. 7. Considere o seguinte conjunto:
J = {x ∈ R : |x + 3| > |x + 1|} \ {−1}.
(a) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados de J .
(b) Determine, se existirem, o conjunto dos majorantes, o supremo, o máximo, o con-junto dos minorantes, o ínfimo e o mínimo de J .
1.2
Exercícios propostos para resolução autónoma
1. Considere os conjuntos A e B definidos por: A = x ∈ R : log(x) x − 4 > 0 , B =nx ∈ [−1, 1] : 0 < | arcsin(x)| ≤ π 4 o . (a) Exprima A e B na forma de intervalo ou união de intervalos.
(b) Determine, para os conjuntos A e B, a aderência, o derivado, o conjunto dos majo-rantes e o conjunto dos minomajo-rantes.
(c) Considere C = A ∪ B e D = A ∩ B. Exprima C e D na forma de intervalo ou união de intervalos.
(d) Determine a aderência, o derivado, o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes dos conjuntos C e D.
2. Considere a função f real de variável real definida por f (x) = 1
log(x2− 9) e seja A o seu
domínio. Considere, também, o seguinte subconjunto de R: B = {x ∈ R : |x + 1| < 1} .
(a) Exprima A e B na forma de intervalo ou união de intervalos. (b) Averigue se A ∩ B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado.
(c) Averigue se A ∪ B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado. (d) Averigue se A ∪ B e A ∩ B são conjuntos limitados.
3. Considere os conjuntos A e B definidos por:
A =nx ∈ R : | arctan(x)| ≤ π 4
o , B = {x ∈ R : (x − 1)(x + 3) ≤ 0} . (a) Exprima A e B na forma de intervalo ou união de intervalos.
(b) Determine o interior, a aderência, o derivado, o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes de A ∩ B.
(c) Averigue se A ∪ B é um conjunto fechado ou limitado.
(d) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado do conjunto A ∩ (R \ Q).
4. Considere os conjuntos A e B definidos por: A = x ∈ R : x 1 − |x| < 0 , B = x ∈ R : x = n 2n + 1, n ∈ N .
(a) Exprima A na forma de intervalo ou união de intervalos.
(b) Determine a aderência, o derivado, o conjunto dos minorantes e o conjunto dos majorantes de A ∪ B.
(c) Averigue se A ∪ B é um conjunto aberto ou um conjunto fechado. (d) Averigue se A ∩ B é um conjunto limitado.
5. Considere a função f real de variável real definida por f (x) = log(1 − x
2)
x , e designe por A o seu domínio. Considere o subconjunto de R:
B = x ∈ R : x = 2 + 1 n, n ∈ N . (a) Determine A.
(b) Determine a fronteira e o derivado de A ∩ Q.
(c) Determine o interior, a fronteira, a aderência e o derivado de B.
(d) Relativamente ao conjunto A ∪ B, determine o conjunto dos minorantes, o conjunto dos majorantes e, se existirem, o supremo, o máximo, o ínfimo e o mínimo.
1.3
Exercícios resolvidos
1. Considere a função f , real de variável real, definida por f (x) = √
x2− 4x + 3
log(x + 2) e seja A o seu domínio. Considere o seguinte subconjunto de R:
B = {x ∈ R : |x − 1| < 3}.
(a) Apresentando todos os cálculos, escreva A e B na forma de intervalo ou união de intervalos.
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B, e a fronteira de A ∩ B. Resolução
(a) O domínio da função f , real de variável real, é definido por
A =x ∈ R : x2− 4x + 3 ≥ 0 ∧ log(x + 2) 6= 0 ∧ x + 2 > 0 .
Para escrevermos o conjunto A na forma de intervalo ou união de intervalos temos que escrever cada uma das condições presentes na definição do conjunto A na forma de intervalo(s) de números reais e, após isso, intersectar os conjuntos obtidos. Quanto à primeira desigualdade, começamos por notar que o gráfico da função qua-drática g(x) = x2 − 4x + 3 é uma parábola com a concavidade voltada para cima (porque o coeficiente de x2 é positivo), e com dois zeros que podemos obter resol-vendo a equação g(x) = 0. Logo, aplicando a fórmula resolvente, obtemos
x2− 4x + 3 = 0 ⇔ x = 4 ± √ 16 − 4 × 3 2 = 4 ±√4 2 = 4 ± 2 2 ⇔ x = 3 ∨ x = 1. Assim, a desigualdade x2− 4x + 3 ≥ 0 é satisfeita sempre que x ∈] − ∞, 1] ∪ [3, +∞[.
Quanto à segunda condição, basta notar que
log(x + 2) 6= 0 ∧ x + 2 > 0 ⇔ x + 2 6= 1 ∧ x > −2 ⇔ x 6= −1 ∧ x > −2. Logo, esta condição é satisfeita para todo o x pertencente a ] − 2, −1[∪] − 1, +∞[. Intersectando os subconjuntos de R acima obtidos, concluímos que
A =] − 2, −1[∪] − 1, 1] ∪ [3, +∞[.
Para escrevermos o conjunto B na forma de intervalo ou união de intervalos temos de resolver a desigualdade |x − 1| < 3. Para isso, notamos que
|x − 1| < 3 ⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4. Logo, B =] − 2, 4[.
(b) O conjunto dos pontos interiores de B é int(B) =] − 2, 4[= B.
Por definição, o derivado de B é o conjunto dos pontos de acumulação de B. Assim, B0 = [−2, 4].
Calculando a intersecção dos conjuntos A e B, obtemos A ∩ B =] − 2, −1[∪] − 1, 1] ∪ [3, 4[. Donde, fr(A ∩ B) = {−2, −1, 1, 3, 4}.
2. Considere a função f real de variável real definida por f (x) = arcsin(2x − 2)
|x − 1| ex e designe
por D o seu domínio. Considere o subconjunto de R:
A = {x ∈ R : x = (−1)ne−n ∧ n ∈ N}.
(a) Determine, justificando, o derivado e o conjunto dos minorantes de A. (b) Determine, justificando, a aderência de D e a fronteira de D ∩ (R \ Q). Resolução
(a) O conjunto A é constituído pelos termos da sucessão un = (−1)ne−n, n ∈ N. Esta
sucessão é convergente para o ponto x = 0, por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada
lim n→+∞ 1 en = 0 e − 1 ≤ (−1) n ≤ 1, ∀n ∈ N . O conjunto A é constituído apenas por pontos isolados tendo, no entanto, x = 0 como ponto de acumulação, uma vez que, pela definição de limite de uma sucessão, qualquer vizinhança de centro em 0 conterá, a partir de certa ordem, todos os termos da sucessão un. Portanto, A0 = {0}.
Para obter o conjunto dos minorantes de A comecemos por notar que a subsuces-são dos termos de ordem par, u2n = e−2n, n ∈ N, é monótona decrescente, e que
0 < u2n ≤ e12, ∀n ∈ N. Por outro lado, a subsucessão dos termos de ordem
ím-par, u2n−1 = −e1−2n, n ∈ N, é monótona crescente e satisfaz as desigualdades
−1
e ≤ u2n−1 < 0, ∀n ∈ N. Sendo assim, como a união dos conjuntos dos termos
destas duas subsucessões é o conjunto dos termos da sucessão un, então todos os
termos da sucessão un(i.e., todos os elementos de A) são superiores ou iguais ao
pri-meiro termo, u1. Portanto, o conjunto dos minorantes de A é ] − ∞, u1] =] − ∞, −1e].
(b) Comecemos por escrever o domínio D de f , dado por
D = {x ∈ R : −1 ≤ 2x − 2 ≤ 1 ∧ |x − 1| ex6= 0},
na forma de uma união de intervalos de números reais. Para isso, escrevemos cada uma das condições presentes na definição do conjunto D na forma de intervalo(s) de números reais e, após isso, intersectamos os conjuntos obtidos. Quanto ao primeiro conjunto de desigualdades, basta ver que
−1 ≤ 2x − 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2x ≤ 3 ⇔ 1
2 ≤ x ≤ 3 2,
donde −1 ≤ 2x − 2 ≤ 1 se e só se x ∈1 2,
3 2.
Quanto à segunda condição, basta notar que
|x − 1| ex= 0 ⇔ |x − 1| = 0 ∨ ex = 0.
Como ex > 0, ∀x ∈ R, e |x − 1| = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1, então x = 1 é solução da
equação |x − 1| ex = 0. Logo, |x − 1| ex 6= 0 se e só se x ∈ R \ {1}. Intersectando os dois subconjuntos de R acima obtidos, concluímos que
D = 1 2, 1 ∪ 1,3 2 .
Logo, int(D) =]12, 1[∪]1,32[, fr(D) = {12, 1,32} e consequentemente, pela definição de aderência, obtemos D =12,32.
Consideremos agora E = D ∩ (R \ Q) (i.e., E é o conjunto dos números irracionais que pertencem ao conjunto D).
Comecemos por notar que qualquer elemento de D é ponto fronteiro a E, dado que qualquer vizinhança centrada num elemento de D contém números racionais e números irracionais. Logo, D ⊆ fr(E). Por outro lado, visto que qualquer vizinhança de centro em 1 contém números racionais e números irracionais, obtemos que x = 1 é também um ponto fronteiro a E, donde concluímos que fr(E) = D ∪ {1} = [12,32]. 3. Considere a função f , real de variável real, definida por f (x) = π
2 + 3 arcsin(2x − 1). Designe por A o seu domínio e por B o seu contradomínio. Considere o subconjunto de R
C = {x ∈ R : x = earctan(n) ∧ n ∈ N}. (a) Determine A e B.
(b) Determine o interior de B ∩ Q, o conjunto dos minorantes de C e o derivado de A ∪ C.
Resolução
(a) O domínio da função f, real de variável real, é o conjunto A definido por A = {x ∈ R : −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1}.
Resolvendo o conjunto de inequações que define A, obtemos −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1. Logo, A = [0, 1].
Para calcular o contradomínio da função f , notemos que é válido o seguinte conjunto de desigualdades: −π 2 ≤ arcsin(2x − 1) ≤ π 2 ⇔ −3π 2 ≤ 3 arcsin(2x − 1) ≤ 3π 2 ⇔ π 2 − 3π 2 ≤ π 2 + 3 arcsin(2x − 1) ≤ π 2 + 3π 2 ⇔ −π ≤ π 2 + 3 arcsin(2x − 1) ≤ 2π. Logo, B = [−π, 2π].
(b) Dado um qualquer ponto x0 de B, sabe-se que qualquer vizinhança de centro em
x0 conterá números racionais e números irracionais. Logo, não existe qualquer
vi-zinhança de centro em x0 contida em B ∩ Q, isto é, x0 ∈ int(B ∩ Q). Portanto,/
int(B ∩ Q) = ∅.
Os elementos do conjunto C são os termos da sucessão un = earctan(n), n ∈ N. Uma
vez que ex e arctan(x) são funções reais de variável real estritamente crescentes, a sucessão uné monótona crescente. Sendo assim, todos os termos de unsão maiores ou
iguais que o primeiro termo u1 = earctan(1)= e
π
4. Portanto, o conjunto dos minorantes
de C é ] − ∞, eπ4].
Uma vez que a sucessão un é convergente para e
π
2 lim
n→+∞e
arctan(n)
= eπ2, obtemos
que eπ2 é um ponto de acumulação do conjunto C. Logo (A ∪ C)0 = [0, 1] ∪ {e π 2}. 4. Considere os subconjuntos de R A = {x ∈ R : x = arctan(n) ∧ n ∈ N}, B = x ∈ R : |x + 1| − 1 (x + 1)2 ≤ 0 .
(a) Determine, justificando, o derivado, o conjunto dos minorantes e o conjunto dos majorantes de A.
(b) Determine, justificando, a fronteira de B e a fronteira de B ∩ Q. Resolução
(a) Os elementos do conjunto A são os termos da sucessão un = arctan(n), n ∈ N. Uma
vez que a sucessão un é convergente para π2, pela definição de limite de uma sucessão
concluímos que π2 é um ponto de acumulação do conjunto A. Notando ainda que o conjunto A é constituído apenas por pontos isolados, obtemos que A0 = {π2}.
Sendo arctan(x) uma função real de variável real estritamente crescente, obtemos que a sucessão un é monótona crescente e, portanto, para todo o número natural
n, verificam-se as desigualdades u1 ≤ un < lim un. Logo, para todo o n ∈ N, π
4 ≤ un < π
2. Concluímos então que o conjunto dos minorantes de A é o intervalo
(b) Comecemos por escrever o conjunto B na forma de uma união de intervalos de números reais. Para isso, temos que resolver a inequação que define o conjunto B. Em primeiro lugar, observemos que o domínio de definição da função h(x) = |x + 1| − 1
(x + 1)2
é D = {x ∈ R : (x + 1)2 6= 0}.
Da desigualdade (x + 1)2 6= 0 obtemos x 6= −1, donde D = R\{−1}.
Notemos agora que o sinal da inequação (≤) que define o conjunto B, é completa-mente determinado pelo sinal de |x + 1| − 1 visto que (x + 1)2 ≥ 0, para todo x ∈ R.
Observemos ainda que
|x + 1| − 1 ≤ 0 ⇔ |x + 1| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x + 1 ≤ 1 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0, e que
|x + 1| − 1 = 0 ⇔ |x + 1| = 1 ⇔ x + 1 = −1 ∨ x + 1 = 1 ⇔ x = −2 ∨ x = 0. A tabela abaixo apresenta toda a informação acerca do sinal das diferentes expres-sões: −2 −1 0 |x + 1| − 1 + 0 − − − 0 + (x + 1)2 + + + 0 + + + |x + 1| − 1 (x + 1)2 + 0 − \\\\\ − 0 +
Obtemos então B = [−2, 0]\{−1} e portanto fr(B) = {−2, −1, 0}. Seja x0um ponto
qualquer de B. Qualquer vizinhança de centro em x0conterá números racionais e
nú-meros irracionais. Logo, x0 é ponto fronteiro a B ∩ Q. Além disso, também qualquer
vizinhança de centro em −1 conterá números racionais e números irracionais, pelo que x = −1 é um ponto fronteiro a B ∩ Q. Portanto, fr(B ∩Q) = B ∪{−1} = [−2, 0]. 5. Considere a função f real de variável real definida por f (x) = arcsin(x
2− 1)
log(x) e designe por D o seu domínio. Determine o interior de D e a fronteira de D ∩ Q.
Resolução
O domínio da função f , real de variável real, é o conjunto D definido por D =x ∈ R : −1 ≤ x2− 1 ≤ 1 ∧ x > 0 ∧ log(x) 6= 0 .
Para calcularmos o interior do conjunto D, começamos por escrever D na forma de uma união de intervalos de números reais. Para isso, escrevemos cada uma das condições presentes na definição do conjunto D na forma de intervalo(s) de números reais e, poste-riormente, intersectamos os conjuntos obtidos.
Quanto às primeiras desigualdades, devemos observar que x2 − 1 ≥ −1 ⇔ x2 ≥ 0 é uma
condição universal, e que x2− 1 ≤ 1 ⇔ x2 ≤ 2 ⇔ −√2 ≤ x ≤√2. Obtemos então que o
Relativamente à segunda condição, basta ver que
x > 0 ∧ log(x) 6= 0 ⇔ x > 0 ∧ x 6= 1.
Logo, esta condição é satisfeita para todo o x pertencente a R+\ {1}.
Intersectando os subconjuntos de R acima obtidos, podemos então concluir que D = ]0, 1[∪]1,√2], e portanto int(D) =]0, 1[∪]1,√2[.
Para calcularmos a fronteira de D ∩ Q devemos começar por observar que todos os pontos de D são fronteiros a D ∩ Q, uma vez que qualquer vizinhança centrada num ponto de D conterá números racionais e números irracionais. Logo D ⊆ fr(D ∩ Q). Pelas mesmas razões, 0 e 1 são pontos fronteiros a D ∩ Q. Portanto, fr(D ∩ Q) = [0,√2].
2
Indução Matemática
2.1
Exercícios propostos para resolução nas aulas
1. Mostre, usando o princípio de indução matemática, que (a) n X k=0 (2k + 1) = (n + 1)2, ∀n ∈ N0; (b) n! ≤ nn, ∀n ∈ N; (c) 42n− 1 é múltiplo de 5, ∀n ∈ N; (d) n X k=1 k k + 2 − k − 1 k + 1 = n n + 2, ∀n ∈ N; (e) 3 n n! < 4 2 3 4 n , ∀n > 3; (f) n3+ 5n é divisível por 3, ∀n ∈ N. 2. Considere a proposição p(n) : sin(2nπ) = 1
(a) Mostre que p(j) verdadeira =⇒ p(j + 1) verdadeira.
(b) Mostre que p(n) não é verdadeira para nenhum número natural n.
3. Observando as igualdades 1 − 1 2 = 1 2 1 − 1 2 1 −1 3 = 1 3 1 − 1 2 1 −1 3 1 − 1 4 = 1 4 · · · ·
2.2
Exercícios propostos para resolução autónoma
1. Prove, usando o princípio de indução matemática, que para x0 ∈ [1, +∞[ se tem
(1 + x0)n ≥ 1 + nx0,
para todo o número natural n.
2. Mostre, usando o princípio de indução matemática, que (a) n X k=1 4 (k + 1)(k + 2) = 2n n + 2, ∀n ∈ N; (b) n−1 X k=1 k2 < n 3 3 , ∀n ∈ N \ {1}; (c) 43n− 4n é múltiplo de 5, ∀n ∈ N. 3. Dada a sucessão (un)n∈N definida por
u1 = 1 u2 = 2 un+1 = un+ un−1 2 , n ≥ 2 prove, por indução matemática, que
un+1− un= (−1)n−1
1
2.3
Exercícios resolvidos
1. Mostre, usando o princípio de indução matemática, que
n X k=1 (k + 1) = n(n + 3) 2 , ∀n ∈ N. Resolução: Consideremos a condição p(n) : n X k=1 (k + 1) = n(n + 3)
2 . Pretendemos mostrar que p(n) é válida para todo o número natural n.
i) Para n = 1 a condição reduz-se a
1
X
k=1
(k + 1) = 2 = 1(1 + 3) 2 , pelo que p(1) é verdadeira.
ii) Provemos agora que a propriedade é hereditária. Assim, assumimos que p(n) é verda-deira e pretendemos provar que p(n + 1) também é verdaverda-deira, onde
p(n) : n X k=1 (k + 1) = n(n + 3) 2 e p(n + 1) : n+1 X k=1 (k + 1) = (n + 1)(n + 4) 2 . Como (n + 1)(n + 4) 2 = n2 + 5n + 4
2 , pretendemos então provar que
n+1 X k=1 (k+1) = n 2+ 5n + 4 2 . Consideremos então o primeiro membro da tese. Desdobrando o somatório, obtemos
n+1 X k=1 (k + 1) = n X k=1 (k + 1) + n+1 X k=n+1 (k + 1).
Pela hipótese de indução sabemos que
n X k=1 (k + 1) = n(n + 3) 2 . Logo, n+1 X k=1 (k + 1) = n X k=1 (k + 1) + n+1 X k=n+1 (k + 1) = n(n + 3) 2 + n + 2 = n(n + 3) + 2(n + 2) 2 = n2 + 5n + 4 2 . Assim, n+1 X k=1 (k + 1) = n 2+ 5n + 4 2 .
Portanto, por i) e ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que
n
X
k=1
(k + 1) = n(n + 3)
2. Mostre, usando o princípio de indução matemática, que n X k=1 1 2 k = 1 − 1 2 n , ∀n ∈ N. Resolução: Consideremos a condição p(n) : n X k=1 1 2 k = 1 − 1 2 n
. Pretendemos mostrar que p(n) é válida para todo o número natural n.
i) Para n = 1 a condição reduz-se a
1 X k=1 1 2 k = 1 2 1 = 1 2 = 1 − 1 2 1 ,
pelo que p(1) é verdadeira.
ii) Provemos agora que a propriedade é hereditária. Assim, assumimos que p(n) é verda-deira e pretendemos provar que p(n + 1) também é verdaverda-deira, onde
p(n) : n X k=1 1 2 k = 1 − 1 2 n e p(n + 1) : n+1 X k=1 1 2 k = 1 − 1 2 n+1 .
Considerando o primeiro membro da tese e desdobrando o somatório, obtemos
n+1 X k=1 1 2 k = n X k=1 1 2 k + n+1 X k=n+1 1 2 k .
Usando a hipótese de indução, sabemos que
n X k=1 1 2 k = 1 − 1 2 n , pelo que n+1 X k=1 1 2 k = n X k=1 1 2 k + n+1 X k=n+1 1 2 k = 1− 1 2 n + 1 2 n+1 = 1−21 2 1 2 n + 1 2 n+1 = 1 − 2 1 2 n+1 + 1 2 n+1 = 1 − 1 2 n+1 . Assim, n+1 X k=1 1 2 k = 1 − 1 2 n+1 . Portanto, por i) e ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que
n X k=1 1 2 k = 1 − 1 2 n , ∀n ∈ N.
3. Prove, pelo princípio de indução matemática, que 10n+1+ 3 × 10n+ 5 é múltiplo de 9,
∀n ∈ N. Resolução:
Consideremos a condição p(n) : 10n+1+ 3 × 10n+ 5 é múltiplo de 9. Pretendemos mostrar que p(n) é válida para todo o número natural n.
i) Para n = 1 a condição reduz-se a p(1) : 101+1+ 3 × 101+ 5 = 135 é múltiplo de 9. Logo, p(1) é verdadeira.
ii) Provemos agora que a propriedade é hereditária. Assim, assumimos que p(n) é verda-deira e pretendemos provar que p(n + 1) também é verdaverda-deira, onde
p(n) : 10n+1+3×10n+5 é múltiplo de 9 e p(n+1) : 10n+2+3×10n+1+5 é múltiplo de 9. Considerando o primeiro membro da tese, comecemos por notar que
10n+2+ 3 × 10n+1+ 5 = 10 (10n+1+ 3 × 10n) + 5 = 10 (10n+1+ 3 × 10n+ 5 − 5) + 5 = 10 (10n+1+ 3 × 10n+ 5) − 10 × 5 + 5 = 10 (10n+1+ 3 × 10n+ 5) − 9 × 5.
Usando a hipótese de indução, ∃k ∈ N : 10n+1+ 3 × 10n+ 5 = 9 × k. Logo,
10n+2+ 3 × 10n+1+ 5 = 10 (10n+1+ 3 × 10n+ 5) − 9 × 5 = 10 × 9 × k − 9 × 5 = 9 (10 × k − 5),
pelo que 10n+2+ 3 × 10n+1+ 5 é múltiplo de 9.
Portanto, por i) e ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que 10n+1+ 3 × 10n+ 5 é múltiplo de 9, ∀n ∈ N.
4. Mostre, pelo princípio de indução matemática, que 3n > 2n+1, ∀n ∈ N \ {1}.
Resolução:
Consideremos a condição p(n) : 3n > 2n+1. Pretendemos mostrar que p(n) é válida para todo o número natural n, maior que um.
i) Para n = 2 a proposição reduz-se a
32 = 9 > 8 = 22+1, pelo que p(2) é verdadeira.
ii)Provemos agora que a propriedade é hereditária. Assim, assumimos que p(n) é verda-deira e pretendemos provar que p(n + 1) também é verdaverda-deira, onde
p(n) : 3n> 2n+1 e p(n + 1) : 3n+1> 2n+2.
Considerando o primeiro membro da tese, como 3n+1 = 3 × 3n, aplicando a hipótese de
indução obtemos 3n+1 = 3 × 3n > 3 × 2n+1. Como 3 > 2, as desigualdades anteriores
implicam que 3n+1> 2 × 2n+1 = 2n+2. Logo, 3n+1> 2n+2.
Portanto, por i) e ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que 3n > 2n+1, ∀n ∈ N \ {1}.
3
Sucessões de números reais
3.1
Exercícios propostos para resolução nas aulas
1. Considere a sucessão definida por recorrência u1 = √ 2 un+1 = √ 2un , ∀ n ∈ N.
(a) Prove, por indução, que 0 < un < 2 , ∀ n ∈ N.
(b) Prove que a sucessão é monótona crescente. 2. Considere a sucessão de termo geral un =
(−1)3n √
n . Indique, justificando, quais das se-guintes sucessões são subsucessões de un:
(a) √1 2n; (b) √1 n; (c) −√1 n; (d) √ 1 2n+1.
3. Mostre, usando a definição, que (a) lim n→+∞ 2 n= +∞; (b) lim n→+∞ en+ 2 en = 1; (c) lim n→+∞ 1 n2 = 0; (d) lim n→+∞ 1 n2+ n + 3 = 0.
4. Dê exemplos de sucessões (un) e (vn) tais que un → 0, vn→ +∞ e que:
(a) lim
(b) lim
n→+∞unvn = 0 ;
(c) lim
n→+∞unvn não existe.
5. Calcule, se existirem, os seguintes limites: (a) lim n→+∞ n √ n2+ n; (b) lim n→+∞ (−1)n+1 n − 2 n3+ 2n2− 2 ; (c) lim n→+∞ sin(√n) √ n ; (d) lim n→+∞ sin q 1 n q 1 n ; (e) lim n→+∞ 1 + n −2n ; (f) lim n→+∞ nn−2 (n + π)n(n 2+ 1); (g) lim n→+∞ √ n2 + 5 +√3n 3 √ 2n3+ n2+ n 2 +n 2+ 1 n√n ; (h) lim n→+∞ 2nsin(n2+ 2n) 22n+1+ 2n ; (i) lim n→+∞ nn2 (1 + n2)n22 ; (j) lim n→+∞2 2n+1 n + 2 4n + 1 n ; (k) lim n→+∞( √ 2n + 1 −√2n) cos n3+ 1 ; (l) lim n→+∞ n X k=1 n n2+ k; (m) lim n→+∞ n √ 2n+ 3n+1; (n) lim n→+∞sin(n 2 ); (o) lim n→+∞ n X k=1 (sin n)2 5n3 + k; (p) lim n→+∞n n r 1 23nn!. 6. Considere a sucessão un= 1 n + 1 n + 1 + · · · + 1 2n.
(a) Prove que a sucessão é limitada. (b) Prove que a sucessão é monótona.
(c) Prove que a sucessão é convergente.
7. Usando a caracterização de conjuntos fechados em termos de limites de sucessões conver-gentes, mostre que os seguintes conjuntos não são fechados:
(a) ]0, 1];
(b) {x ∈ R : x = n+1n , n ∈ N}.
8. Calcule os sublimites das seguintes sucessões e indique em cada caso os respectivos limite superior e limite inferior:
(a) (−1)n n n + 1; (b) (−1)nn + n; (c) cos(nπ) + cos(2nπ) n ; (d) √nn2nsinnπ 2 .
9. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência, u1 = 1 un+1= 2 + √ un , ∀ n ∈ N.
(a) Mostre que a sucessão é monótona. (b) Mostre que un≤ 4 , ∀ n ∈ N.
(c) Mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu limite.
3.2
Exercícios propostos para resolução autónoma
1. Considere a sucessão de termo geral un =
3 n + 1. (a) Calcule os cinco primeiros termos da sucessão. (b) Averigúe se a sucessão é monótona e limitada. 2. Verifique se as seguintes sucessões são limitadas:
(a) vn= 5n2+ 8 5n2+ 1; (b) wn = arccot(n) se n par − arctan(n) se n ímpar.
3. Verifique se as seguintes sucessões são monótonas: (a) un= cos n1 + 5; (b) zn= 1 n se n par (−2)n se n ímpar.
4. As sucessões un e vn verificam as seguintes condições:
i) ∀ n ∈ N 0 < un< vn;
ii) ∀ n ∈ N vn é decrescente.
Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: (a) vn é convergente;
(b) un é convergente;
(c) un é decrescente.
5. Mostre, usando a definição, que (a) lim n→+∞log(n) = +∞; (b) lim n→+∞ 1 2n = 0; (c) lim n→+∞ n +√n n +√n + 1 = 1.
6. Dê exemplos de sucessões (un) e (vn) tais que un→ +∞ e vn→ −∞, que verifiquem
(a) lim
(b) lim
n→+∞(un+ vn) = +∞ ;
(c) lim
n→+∞(un+ vn) não existe.
7. Considere as sucessões de números reais definidas por u1 = 35 un+1 = un6−3 , ∀ n ∈ N e vn= 5un+ 3 .
(a) Mostre que vn é uma progressão geométrica.
(b) Deduza a expressão analítica de vn e un.
(c) Calcule o limite de un.
8. Considere a sucessão de termo geral un = sin
nπ
2
. Encontre sucessões vn estritamente
crescentes tais que wn = un◦ vn seja subsucessão de un, e que verifiquem
(a) wn = 1 , ∀ n ∈ N;
(b) wn = 0 , ∀ n ∈ N.
9. Calcule os seguintes limites: (a) lim n→+∞ n tan 1 n ; (b) lim n→+∞ cos 2 (n) sin 1 n ; (c) lim n→+∞ n2+ 3 n2+ 1 n2 ; (d) lim n→+∞ 1 5n+ 3. 7n −n1 ; (e) lim n→+∞ √ 5n2+ 1 −√5n2− 1 + √n n ; (f) lim n→+∞ (n + 1) n2 + (n + 1)2 n3 + · · · + (n + 1)n nn+1 ; (g) lim n→+∞ 1 3 √ n3 + 4 + 1 3 √ n3+ 5 + · · · + 1 3 √ n3+ 2n; (h) lim n→+∞ n10− 1 n10 n5 ; (i) lim n→+∞ 2n− en+1 en− 2n+1.
10. Usando a caracterização de conjuntos fechados em termos de limites de sucessões conver-gentes, mostre que os seguintes conjuntos não são fechados:
(a) [0, 1[; (b) Q.
11. Calcule os sublimites das seguintes sucessões, e indique, em cada caso, o limite superior e o limite inferior: (a) √2n + 1 − (−1)n√2n + 3; (b) (−1)nsin 2(n) 2n 1 n.
12. Considere a sucessão de números reais positivos definida, por recorrência, por u1 = 5 un+1= 5un− 4 un , ∀ n ∈ N.
(a) Prove por indução que 4 < un, ∀ n ∈ N.
(b) Prove que a sucessão é convergente.
13. Sendo a ∈ R, com 0 < a < 1, considere a sucessão definida por recorrência do seguinte modo u1 = 3 un+1= un+ 3 an, ∀ n ∈ N.
(a) Prove, por indução, que un = 3 n
X
k=1
ak−1, ∀ n ∈ N. (b) Mostre que a sucessão e monótona.
(c) Calcule o seu limite.
3.3
Exercícios resolvidos
1. Prove, usando a definição, que lim√ 1
n + 2 = 0. Resolução:
Queremos provar que
∀ε > 0 ∃ p ∈ N : n > p ⇒ 1 √ n + 2 − 0 < ε. Como √ 1
n + 2 é sempre positivo, a propriedade anterior reduz-se a ∀ε > 0 ∃ p ∈ N : n > p ⇒ √ 1
n + 2 < ε. Seja ε > 0 fixo arbitrariamente.
Atendendo a que √ 1 n + 2 <
1 √
n, ∀n ∈ N, para satisfazer a definição, basta tomar p como o menor número inteiro maior ou igual que 1
ε2. De facto, n > p ≥ 1 ε2 ⇒ n > 1 ε2 ⇒ 1 n < ε 2 ⇒ √1 n < ε. Logo, n > p ⇒ √ 1 n + 2 < 1 √ n < ε. Provámos então que
∀ε > 0 ∃ p ∈ N : n > p ⇒ √ 1
n + 2 < ε. 2. Determine, justificando, o limite das sucessões:
(a) xn= sin(n) n2 X j=1 j n5; (b) yn = n X j=0 sin(√n) pj + 2n3. Resolução:
(a) Começamos por calcular o lim
n2
P
j=1
j n5.
A sucessão
n2
P
j=1
j
n5 pode ser reescrita na forma n2 X j=1 j n5 = 1 n5 + 2 n5 + · · · + n2 n5 | {z } n2 parcelas , pelo que, n2 1 n5 ≤ n2 X j=1 j n5 ≤ n 2 n2 n5, ∀ n ∈ N.
Tendo em conta que
lim n 2 n5 = lim 1 n3 = 0 , lim n 4 n5 = lim 1 n = 0 ,
podemos concluir, pelo teorema das sucessões enquadradas, que
lim n2 X j=1 j n5 = 0 .
Uma vez que −1 ≤ sin(n) ≤ 1, ∀ n ∈ N, podemos concluir que
lim sin(n) n2 X j=1 j n5 = 0 ,
por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.
(b) A resolução desta alínea é análoga à anterior, uma vez que yn pode ser reescrita na
forma yn = sin( √ n) n X j=0 1 pj + 2n3 = sin( √ n) 1 √ 0 + 2n3 + · · · + 1 √ n + 2n3 | {z } n+1 parcelas ,
atendendo a que sin(√n) não depende do índice do somatório. Assim, vamos pri-meiro calcular lim
n
P
j=0
1
pj + 2n3. Comecemos por observar que
(n + 1)√ 1 n + 2n3 ≤ n X j=0 1 pj + 2n3 ≤ (n + 1) 1 √ 2n3, ∀ n ∈ N.
Dividindo o numerador e o denominador de ambas as fracções pela potência de maior grau, obtemos lim√n + 1 n + 2n3 = lim 1 √ n+ 1 n3/2 q 1 n2 + 2 = 0 e limn + 1√ 2n3 = lim 1 √ n + 1 n3/2 √ 2 = 0. Logo, pelo teorema das sucessões enquadradas, concluímos que
lim n X j=0 1 pj + 2n3 = 0.
Por outro lado temos
−1 ≤ sin(√n) ≤ 1, ∀ n ∈ N o que nos permite concluir que,
lim sin(√n) n X j=0 1 pj + 2n3 = 0,
por se tratar do produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada. 3. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucessões:
(a) √nn n!; (b) 1 5n 5n − 1 n + 1 n ; (c) 4 √ n + 1 n√n + 3 sin( √ n + 1); (d) sin n1 cos(√n + 1). Resolução:
(a) Comecemos por notar que
lim √nn
n! = lim
n
r nn
Seja un = nn n! > 0 , ∀ n ∈ N. Como limun+1 un = lim (n+1)(n+1) (n+1)! nn n! = lim(n + 1) (n+1)n! (n + 1)! nn = lim(n + 1) n(n + 1) n! (n + 1) n! nn = lim(n + 1) n nn = lim 1 + 1 n n = e, e atendendo a que limun+1 un = e ⇒ lim√nu n= e,
concluímos que lim n√n
n! = e.
(b) Comecemos por notar que 1 5n 5n − 1 n + 1 n = 5n − 1 5n + 5 n e que 5n − 1 5n + 5 = 1 + −6 5n + 5. Logo, lim 1 5n 5n − 1 n + 1 n = lim 5n − 1 5n + 5 n = lim 1 + −6 5n + 5 5n+5! n 5n+5 .
Assim, como lim 1 + −6 5n + 5 5n+5 = e−6 e lim n 5n + 5 = 1 5, obtemos lim 1 5n 5n − 1 n + 1 n = e−615 = e−65.
(c) Dividindo o numerador e o denominador da fracção pela potência de maior grau obtemos, sucessivamente, lim 4 √ n + 1 n√n + 3 = lim 4 √ n n3/2 + 1 n3/2 √ n3 n3/2 + 3 n3/2 = lim 4 pn n6 + 1 n3/2 1 + n3/23 = lim 4 q 1 n5 + 1 n3/2 1 + 3 n3/2 = 4 √ 0 + 0 1 + 0 = 0.
Uma vez −1 ≤ sin(√n + 1) ≤ 1 , ∀ n ∈ N, temos que lim 4 √ n + 1 n√n + 3 sin( √ n + 1) = 0,
por se tratar do produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada. (d) Tendo em conta que
lim sin 1 n = sin(0) = 0 e que −1 ≤ cos(√n + 1) ≤ 1, ∀ n ∈ N, podemos concluir que
lim sin 1 n
cos(√n + 1) = 0,
por ser o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada. 4. Considere a sucessão de números reais definida por recorrência,
x1 = √ 3 xn+1= √ 3 xn.
(a) Mostre, por indução matemática, que √3 ≤ xn< 3, ∀n ∈ N.
(b) Mostre que a sucessão é crescente.
(c) Verifique que a sucessão é convergente e determine o seu limite. Resolução:
(a) Queremos provar, pelo princípio de indução matemática, que a propriedade√ 3 ≤ xn < 3 é verificada, para todo o número natural n.
(i) Para n = 1, a propriedade reduz-se a √
3 ≤ x1 =
√ 3 < 3
pelo que, para n = 1, obtemos uma proposição verdadeira.
(ii) Queremos agora provar que se a propriedade é válida para um certo número natural n, então também é válida para o número natural seguinte, i.e, queremos provar que √3 ≤ xn< 3 ⇒
√
3 ≤ xn+1 < 3.
Por hipótese,√3 ≤ xn< 3. Logo, obtemos sucessivamente
√ 3 ≤ xn< 3 ⇒ 3√3 ≤ 3 xn< 9 ⇒ q 3√3 ≤√3 xn< 3 ⇒ √3 ≤ q 3√3 ≤ xn+1 < 3,
pelo que √3 ≤ xn+1 < 3.
Por (i) e (ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que √3 ≤ xn < 3,
∀n ∈ N.
(b) Queremos provar que xn+1− xn > 0, ∀n ∈ N. Basta ver que
xn+1− xn = √ 3xn− xn = √3√xn− √ xn √ xn = √xn( √ 3 −√xn).
Como, pela alínea (a), √xn > 0 e
√ xn < √ 3, então √xn( √ 3 −√xn) > 0. Logo,
xn+1− xn > 0, ∀n ∈ N, pelo que concluímos que a sucessão é estritamente crescente.
(c) Pela alínea (a), sabemos que a sucessão é limitada e, pela alínea (b), sabemos que a sucessão é monótona. Então, podemos concluir que a sucessão é convergente. Seja lim xn = a. Então, lim xn+1 = a, uma vez que (xn+1)n∈N é uma subsucessão de
(xn)n∈N, e qualquer subsucessão de uma sucessão convergente, é convergente para o
mesmo limite. Temos então
lim xn+1 = lim √ 3 xn lim xn+1 = √ 3plim xn ⇔ a = √3 a ⇒ a2 = 3 a ⇔ a = 0 ∨ a = 3.
Podemos então concluir que lim xn = 3, uma vez que, como
√
3 ≤ xn < 3, ∀n ∈ N,
então √3 ≤ lim xn≤ 3.
5. Seja a ∈ R um número positivo. Considere a sucessão de números reais definida, por recorrência, x1 = 0, x2 = a xn+2 = xn+1+ x2n.
(a) Mostre que a sucessão é crescente. (b) Mostre que xn > 0, ∀n ∈ N \ {1}.
(c) Mostre que se existir b ∈ R tal que lim xn = b, então b = 0.
(d) Tendo em conta as alíneas anteriores, calcule lim xn.
Resolução:
(a) Como xn+2− xn+1= x2n ≥ 0 , ∀n ∈ N, temos
isto é,
xn+1− xn ≥ 0 , ∀n ∈ N \ {1} .
Como a > 0, temos ainda que x2− x1 = a − 0 ≥ 0. Podemos então concluir que
xn+1− xn ≥ 0 , ∀n ∈ N .
(b) Vamos mostrar, pelo princípio de indução matemática, que xn> 0, ∀n ∈ N \ {1},
o que é equivalente a
xn+1 > 0, ∀n ∈ N.
(i) Para n = 1, a propriedade reduz-se a x2 = a > 0 pelo que, para n = 1, obtemos
uma proposição verdadeira.
(ii) Queremos agora provar que se a propriedade é válida para um certo número natural n, então também é válida para o número natural seguinte, i.e, queremos provar que xn+1 > 0 ⇒ xn+2 > 0.
Por hipótese de indução, xn+1 > 0 e, como x2n ≥ 0, ∀n ∈ N, obtemos xn+2 =
xn+1+ x2n≥ 0.
Por (i) e (ii), provámos, pelo princípio de indução matemática, que xn+1 > 0 , ∀n ∈
N.
(c) Suponhamos que existe b ∈ R, tal que lim xn = b. Assim, como (xn+1)n∈Ne (xn+2)n∈N
são subsucessões de (xn)n∈N, e qualquer subsucessão de uma sucessão convergente é
convergente para o mesmo limite, temos que lim xn+1 = lim xn+2= b .
Uma vez que xn+2 = xn+1+ x2n obtemos
lim xn+2= lim xn+1+ (lim xn)2 ⇔ b = b + b2 ⇔ b = 0.
Portanto, se lim xn= b e b ∈ R, então lim xn= 0.
(d) Pela alínea (a), a sucessão é monótona crescente. Vejamos agora que a sucessão não é limitada. De facto, se a sucessão fosse limitada, pelo teorema da sucessão monótona e pela alínea (c), teríamos que lim xn = 0. Mas, xn ≥ x2, ∀ n ≥ 2, isto
é, xn ≥ a > 0 , ∀ n ≥ 2, pelo que lim xn ≥ a > 0, o que contradiz a alínea (c) (isto
é, lim xn = 0 é uma contradição com o facto de termos uma sucessão monótona
crescente cujo segundo termo é estritamente positivo). Podemos então concluir que xn não é limitada. Mas, por ser monótona crescente, xn é limitada inferiormente
(x1 ≤ xn, ∀ n ∈ N). Podemos assim concluir que a sucessão não é limitada por
não ser limitada superiormente, isto é, o conjunto dos termos da sucessão não tem majorantes.
Seja L > 0. Se L não é majorante do conjunto dos termos da sucessão, então ∃ m0 ∈ N : xm0 > L .
Uma vez que xn é crescente, n > m0 ⇒ xn≥ xm0 > L.
Podemos então concluir que
∀L > 0 ∃ m0 ∈ N : n > m0 ⇒ xn> L.
4
Limites, Continuidade e
Cálculo Diferencial
4.1
Exercícios propostos para resolução nas aulas
1. Prove, usando a definição, que (a) lim x→13x + 2 = 5; (b) lim x→+∞ 2x x + 1 = 2.
2. Justifique convenientemente a seguinte afirmação: "@ lim
x→+∞sin(x)".
3. Seja g a função definida, em R, por
g(x) = x + 3, se x > −1 −x + 2, se x < −1. (a) Esboce o gráfico de g.
(b) Mostre que não existe lim
x→−1g(x).
4. Considere a função f real de variável real
f (x) = 2x + 3, se x < 1 x + 4, se x > 1. Calcule lim x → 1 x 6= 1 f (x) e lim x→1f (x).
5. Seja f a função definida, em R, por
f (x) = x + 2, se x > 1 2 − 3x, se x ≤ 1.
(a) Mostre que não existe lim
x→1f (x).
(b) Defina, em R, uma função g tal que lim
x→1(f + g)(x) = 4.
6. Para cada número real m, a expressão seguinte define uma função real de variável real:
h(x) = x2− m + 7, se x > 0 5, se x = 0 |x + 3| + m, se x < 0. (a) Determine m de modo que exista lim
x→0h(x).
(b) Calcule m de modo que lim
x→−5h(x) = h(0). Neste caso, a função é injectiva?
Justifi-que.
7. Seja f a função real de variável real definida por
f (x) = x2e−x, se x ≥ 1 sin(x − 1) x2− 1 , se x < 1.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) Determine os zeros da função dada.
(c) Calcule lim
x→−∞f (x).
8. Considere a função g, real de variável real,
g(x) = x + 1, se x > 2 1 2x, se x ≤ 2. (a) Calcule g(0) e g(3). (b) Mostre que ∀x ∈ [0, 3], g(x) 6= 5 2.
Isto contradiz o teorema de Bolzano? Justifique.
(c) Averigúe se a restrição de g ao intervalo [0, 2] é necessariamente limitada.
9. Sejam f e g duas funções contínuas em [a, b] tais que f (a) = g(b) e f (b) = g(a). Mostre que f − g tem pelo menos um zero pertencente ao intervalo [a, b].
10. Considere a função real de variável real definida por
f (x) = ex− 1, se x ≥ 0 cos(x) log(x + 1), se x < 0.
(a) Determine o domínio de f e estude-a quanto à continuidade. (b) Mostre que existe a ∈−π4, 1 tal que f (a) = 0.
(c) Justifique que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo [0, 1]. Indique os seus valores.
11. Considere a função real de variável real definida por
g(x) = 3x+ 2x 2 − ex , se x ≥ 0 arctan(x), se x < 0.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) Calcule lim
x→−∞g(x) e limx→+∞g(x).
(c) O teorema de Weierstrass garante a existência de máximo e mínimo da função no intervalo [−1, 1]?
12. Considere a função real de variável real definida por
f (x) = −1 xcos π 2 − x , se x < 1 ex− log(x2), se x ≥ 1.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) A função f é diferenciável em x = 1? Justifique.
(c) Calcule lim
x→−∞f (x).
(d) Verifique se é ou não possível prolongar f por continuidade ao ponto x = 0. 13. Considere a função g, real de variável real, tal que
g(x) = e−bx+b, se x < 1 (x − 2)2, se x ≥ 1.
Determine o número real b de modo a que a função g seja diferenciável em x = 1. 14. Seja A = [0, 2π] e considere a função
g : A → R
x ,→ 1 + | sin(x)|.
(a) Mostre que g é contínua no intervalo A, mas que não tem derivada no ponto x = π. (b) Seja an uma sucessão monótona de termos de A. Averigúe se an é necessariamente
15. Dada a função f (x) = π
3− 2 arccos 3x
2
, mostre que a recta de equação y − 3x +2π3 = 0 é tangente ao gráfico da função f . Determine o ponto de tangência.
16. Considere a função real de variável real definida por f (x) = cos(3x). (a) Calcule a terceira derivada de f .
(b) Prove, pelo princípio de indução matemática, que f(n)(x) = 3ncosnπ 2 + 3x
, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
17. Dadas as funções f e g definidas por f (x) = 2 cot(3x) e g(x) = π
2+arcsin(1−x), determine a derivada de f o g no ponto de abcissa 1.
18. Dadas as funções f : [−2, 0] → [0, π] x ,→ arccos(x + 1) e g : −1 5, +∞ → R x ,→ log2(5x + 1), calcule as derivadas de f e de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa. 19. Considere a função real de variável real
f (x) = x|x|, se x > −2 (x + 2)2− 4, se x ≤ −2.
(a) Determine o domínio de f . (b) Estude f quanto à continuidade.
(c) Determine a função derivada f0.
(d) Determine a função segunda derivada f00.
20. Considere a função f real de variável real definida por
f (x) = e|x−1|, se x > 0 arctan(x), se x ≤ 0. (a) Estude a função f quanto à continuidade.
(b) Estude a função f quanto à diferenciabilidade e determine a função f0. (c) Determine o sinal da função segunda derivada f00.
(Nota: pode usar, sem demonstrar, que lim
x→0
arctan(x) x = 1.)
4.2
Exercícios propostos para resolução autónoma
1. Prove, usando a definição, que (a) lim x→0+ 1 x = +∞; (b) lim x→+∞log 1 2 x = −∞.
2. Seja f a função real de variável real definida por
f (x) = −2x, se x < −1 x2+ 1, se − 1 ≤ x < 2 3x − 2, se x > 2. Investigue se existe (a) lim x→−1f (x); (b) lim x→2f (x).
3. Seja h a função definida, em R, por
h(x) = |x + 3| x + 3 , se x 6= −3 2, se x = −3. (a) Determine, se existir, lim
x→−3h(x).
(b) Esboce o gráfico da função h e determine o seu contradomínio.
(c) Diga, justificando, o valor lógico da proposição ∀x, y ∈ R h(x) = h(y) ⇒ x = y. 4. Considere a função real de variável real definida por
f (x) = sin(x2− 4) x − 2 , se x > 2 x − a, se x ≤ 2.
(a) Determine, caso exista, o valor de a que torna a função contínua no ponto x = 2. (b) Considerando a = 2, calcule os zeros da função.
(c) Calcule lim x→+∞f (x). 5. Considere, em R, as funções f (x) = 1 x e g(x) = x2 − 9 x3− 27.
(b) Mostre que não há nenhuma extensão de f que seja contínua em R. (c) Indique um prolongamento de g a R que seja contínuo.
6. Seja f uma função real de variável real, contínua em [a, b]. Sabendo que f (a) ≤ a e f (b) ≥ b, prove que f tem pelo menos um ponto fixo no intervalo [a, b] (Nota: c é um ponto fixo de f , se f (c) = c).
7. Considere a função real de variável real definida por
g(x) = 2 πarcsin |x − 2|, se x ≤ 3 e−(x−3)2, se x > 3.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) Calcule lim
x→2
g(x)
x − 2. (Nota: pode usar, sem demonstrar, que limx→0
arcsin(x) x = 1.) (c) O teorema de Weierstrass garante a existência de máximo e mínimo da função no
intervalo 5 2, 4
?
8. Considere a função real de variável real definida por
h(x) = 2x3− 5x + m, se x ≥ −1 (x − 1) log(e + (x + 1)2) x2+ x − 2 , se x < −1.
(a) Determine m de modo a que a função seja contínua em x = −1. Considere, nas próximas alíneas, o valor de m obtido na alínea (a).
(b) Indique o conjunto dos pontos onde h é contínua, justificando detalhadamente. (c) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa a proposição
∃x ∈] − 1, 0[: h(x) = 1. 9. Seja g a função real de variável real definida por
g(x) = x2+ 2x + 2, se x ≤ −2 −1 + e x+1(x − 1) (x2− 1)5x , se x > −2.
(a) Determine o domínio da função e estude-a quanto à continuidade. (b) Calcule lim
x→+∞g(x) e limx→1g(x).
(c) Justifique que a restrição da função ao intervalo [−4, −2] atinge um mínimo nesse intervalo.
(a) esin(x); (b) arctan(x2); (c) arcsin(x2); (d) log(cos(x)); (e) sin(x)5; (f) |x + 1|; (g) p(log(x) + 1)3; (h) tan(√x);
(i) tan2(x4) + cot(x);
(j) arctan s 1 − cos(x) 1 + cos(x) ! ; (k) sin(x) + cos(x) sin(x) − cos(x); (l) log(log(x) + 2); (m) log ex 1 + ex .
11. Dada a função real de variável real definida por y(x) = e2xsin(5x), verifique que y00(x) −
4 y0(x) + 29 y(x) = 0.
12. Considere a função real de variável real g(x) = xe−x. (a) Determine A = {x ∈ R : g00(x) = 0}.
(b) Demonstre, pelo princípio de indução matemática, que g(n)(x) = (−1)n(x−n)e−x, ∀x ∈
R, ∀n ∈ N.
13. Considere, em R, a função f definida por f (x) = mx + 1
2x + m. Determine o número real m de forma a que a recta tangente ao gráfico de f , no ponto de abcissa x = 1, faça um ângulo de 135o com o semi-eixo positivo das abcissas.
14. Considere, em R, as funções f (x) = 1 2arcsin(x − 2) e g(x) = 1 2 x+2 . (a) Determine o domínio e o contradomínio de f e de g.
(b) Calcule as derivadas de f e de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa. (c) Determine a derivada de g o f , no ponto de abcissa 2.
15. Estude a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções, no ponto x = 0:
(a) f (x) = cos π2 − x , se x ∈h−π 2, 0 i x log π2x + e , se i0,π 2 i ;
(b) g(x) = x 1 + ex1 , se x 6= 0 0, se x = 0.
16. Considere a função real de variável real f : [−3, 4] → R definida por
f (x) = √ 2 − x, se − 3 ≤ x < 2 3x − 6 x , se 2 ≤ x ≤ 4. (a) Prove que a função admite máximo e mínimo.
(b) Calcule a função derivada f0 e a função segunda derivada f00.
(c) Seja dn uma sucessão monótona de termos de Df. Averigúe se dn é necessariamente
convergente para um ponto de Df.
17. Considere a função real de variável real definida pela expressão
g(x) = sin(x) + cos(x) 1 − cos(x) , se x 6= 0 1, se x = 0. (a) Determine o domínio de g e estude-a quanto à continuidade.
(b) Calcule os zeros de g. Justifique a existência desses zeros usando o teorema de Bolzano.
(c) Estude a função g quanto à diferenciabilidade. 18. Considere a função real de variável real definida por
h(x) = |x2− 9|, se x ≥ 0 log(x2+ e4), se x < 0.
(a) Determine o domínio de h e estude a função quanto à continuidade. (b) Estude a função h quanto à diferenciabilidade.
4.3
Exercícios resolvidos
1. Prove, usando a definição, que lim
x→14 x + 2 = 6.
Resolução:
Queremos provar que ∀δ > 0 ∃ ε > 0 : |x − 1| < ε ⇒ |(4 x + 2) − 6| < δ, isto é, que ∀δ > 0 ∃ ε > 0 : |x − 1| < ε ⇒ 4 |x − 1| < δ.
Seja δ > 0 fixo arbitrariamente.
Para verificar a definição, basta tomar ε = δ4. De facto, considerando este valor para ε, obtemos |x − 1| < ε ⇒ 4|x − 1| < 4 ε = 4δ
4 = δ.
Assim, concluímos que ∀δ > 0 ∃ ε = δ4 > 0 : |x − 1| < ε ⇒ 4 |x − 1| < δ. 2. Considere a função f real de variável real, definida por
f (x) = log(1 − x2), se − 1 < x < 0 −x2, se x ≥ 0 arctan(−x) , se x ≤ −1. (a) Determine o domínio da função.
(b) Estude a continuidade de f .
(c) Estude a diferenciabilidade de f nos pontos x = −1 e x = 0. Sugestão: pode usar, sem demonstrar, que lim
y→0
log(1 + y) y = 1. (d) Determine os zeros da função.
(e) Calcule lim
x→−∞f (x).
(f) Averigúe se, no intervalo [2, 3], a função f é limitada. Resolução:
(a) Comecemos por notar que
Df = {x ∈ R : (1 − x2 > 0 ∧ −1 < x < 0) ∨ x ≥ 0 ∨ x ≤ −1}.
Como 1 − x2 > 0 ⇔ x2 < 1 ⇔ −1 < x < 1, então 1 − x2 > 0 ∧ −1 < x < 0 é
equivalente a −1 < x < 0. Logo, Df = R.
(b) No interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, a função é contínua. Nomeadamente, f é contínua em ] − 1, 0[ por ser a composição de duas funções contínuas no seu domínio (função quadrática e função logarítmica), é contínua em ]0, +∞[ por ser uma função quadrática e, finalmente, é contínua
em ] − ∞, −1[ por ser também a composição de duas funções contínuas (função trigonométrica inversa e função linear). Falta estudar a continuidade da função nos pontos x = 0 e x = −1.
Vamos então estudar a continuidade da função no ponto x = 0, começando por calcular os seus limites relativos. Assim, temos
lim x→0+f (x) = limx→0+−x 2 = 0 e lim x→0−f (x) = limx→0−log(1 − x 2 ) = 0. Logo, como lim
x→0+f (x) = limx→0−f (x) = 0 então lim
x → 0 x 6= 0
f (x) = 0. Além disso, aten-dendo a que f (0) = 0 então lim
x→0f (x) = 0. Consequentemente, f é contínua em
x = 0.
Estudemos agora a continuidade da função no ponto x = −1, pelo mesmo processo: lim x→−1+f (x) = limx→−1+log(1 − x 2) = −∞ e lim x→−1−f (x) = limx→−1−arctan(−x) = π 4. Assim, como lim
x→−1+f (x) 6= limx→−1−f (x) então não existe lim
x → −1 x 6= −1
f (x). Consequente-mente, não existe lim
x→−1f (x), pelo que f não é contínua em x = −1.
Concluímos assim que f é contínua em R \ {−1}.
(c) Como a função não é contínua em x = −1 então não é diferenciável neste ponto. Assim, precisamos apenas de estudar a diferenciabilidade da função no ponto x = 0. Calculando as derivadas laterais, obtemos
f0(0+) = lim x→0+ f (x) − f (0) x − 0 = limx→0+ −x2− 0 x = limx→0+−x = 0 e f0(0−) = lim x→0− f (x) − f (0) x − 0 = limx→0− log(1 − x2) − 0 x = limx→0− log(1 + (−x2)) −x2 (−x) = 0.
Como f0(0+) = f0(0−) = 0 então existe e é finita f0(0), pelo que f é diferenciável em x = 0.
(d) Para determinar os zeros da função, necessitamos de analisar separadamente os três ramos.
Assim, no intervalo ] − 1, 0[ temos f (x) = 0 ⇔ log(1 − x2) = 0 ⇔ 1 − x2 = 1 ⇔ x2 =
0 ⇔ x = 0. Como 0 /∈] − 1, 0[, então f não tem nenhum zero neste intervalo.
Relativamente ao intervalo [0, +∞[, temos f (x) = 0 ⇔ −x2 = 0 ⇔ x = 0. Como
0 ∈ [0, +∞[, então x = 0 é um zero da função.
Por último, no intervalo ] − ∞, −1], de f (x) = 0 ⇔ arctan(−x) = 0 ⇔ −x = 0 ⇔ x = 0 concluímos novamente que a função não tem nenhum zero neste intervalo, uma vez que x = 0 não pertence ao intervalo ] − ∞, −1].
(e) Tem-se que lim
x→−∞f (x) = limx→−∞arctan(−x) =
π 2.
(f) Como f é contínua em R \ {−1}, então f é contínua no intervalo I = [2, 3]. Pelo teorema de Weierstrass, como I é um intervalo fechado e limitado ele é transformado, por esta função contínua, num intervalo fechado e limitado. Logo, f (I) é um intervalo fechado e limitado. Assim, o contradomínio - f (I) - é limitado pelo que f é, neste intervalo, limitada.
3. Considere a função
g : [0, 2] → [−π2,π2] y ,→ arcsin(y − 1).
Calcule a derivada de g, utilizando o teorema da derivada da função inversa. Resolução:
Consideremos I = [−π2,π2], e a função
f : I → [0, 2] x → sin(x) + 1.
Como f é uma função estritamente monótona e contínua em I, f é invertível (em I), sendo
g : [0, 2] → I
y → arcsin(y − 1). a sua função inversa.
Pelo teorema da derivada da função inversa, sabemos então que sendo f diferenciável no ponto x = g(y) e f0(x) 6= 0 (x ∈] − π2,π2[) , então g é diferenciável em y = f (x) e
g0(y) = 1 f0(g(y)) = 1 cos(g(y)) = 1 cos(arcsin(y − 1)).
Precisamos agora de simplificar a expressão cos(arcsin(y − 1)). Como x = arcsin(y − 1) ⇔ sin(x) = y − 1, basta-nos encontrar o valor de cos(x), a partir do valor de sin(x). Pela fórmula fundamental da trigonometria, e atendendo a que x ∈ I, obtemos cos(x) = p
1 − sin2(x) = p1 − (y − 1)2. Concluímos assim que
g0(y) = 1
p1 − (y − 1)2.
4. Considere a função f real de variável real definida por
f (x) = x2− 1, se x < 1 arcsin(x − 1), se x ≥ 1.
(a) Determine o domínio da função. (b) Calcule, se existir, lim
x→1f (x).
(c) A função é injectiva? Justifique.
(d) Mostre que ∃c ∈]0,32[ tal que f (c) = π 12.
(e) Justifique que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo [0,32]. (f) Determine a função derivada f0.
Resolução:
(a) Comecemos por notar que Df = {x ∈ R : x < 1 ∨ (−1 ≤ x − 1 ≤ 1 ∧ x ≥ 1)}. Como
−1 ≤ x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 então −1 ≤ x − 1 ≤ 1 ∧ x ≥ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2. Assim, Df =] − ∞, 2].
(b) Comecemos por calcular os limites relativos. Temos lim
x→1−f (x) = limx→1−x
2 − 1 = 0 e
lim
x→1+f (x) = limx→1+arcsin(x − 1) = arcsin(0) = 0. Como limx→1+f (x) = limx→1−f (x) = 0
então lim
x → 1 x 6= 1
f (x) = 0. Além disso, atendendo a que f (1) = 0, concluímos que lim
x→1f (x) = 0.
(c) Para a função ser injectiva, tem de ser verdadeira a proposição ∀x, y ∈ Df, f (x) = f (y) ⇒ x = y.
Atendendo a que f (−1) = f (1) = 0 então verifica-se a negação da proposição ante-rior, isto é,
∃x, y ∈ Df : f (x) = f (y) ∧ x 6= y,
pelo que f não é injectiva.
(d) Vimos, na alínea (b), que existe lim
x→1f (x) pelo que f é contínua no ponto x = 1.
Além disso, no interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, podemos afirmar que f também é contínua. De facto, em ]−∞, 1[ a função é contínua por se tratar de uma função polinomial e, em ]1, 2[ a função é contínua por se tratar da composição de duas funções contínuas (uma função trigonométrica inversa, que é contínua no seu domínio, e uma função linear). Ainda, f é contínua em x = 2, uma vez que lim
x→2−f (x) = limx→2−arcsin(x − 1) = arcsin(1) =
π
2 = f (2). Concluímos assim que f é contínua em ] − ∞, 2] pelo que, em particular, f é contínua em [0,32]. Como, por outro lado, f (0) = −1 e f 32 = arcsin 1
2 = π
6 então, pelo teorema de Bolzano,
toda a função contínua não passa de um valor para outro sem passar por todos os valores intermédios, i.e., considerando k = 12π, como f (0) = −1 < 12π < π6 = f 32 então ∃c ∈]0,32[: f (c) = k = 12π.
Observação: Para estarmos nas condições do teorema de Bolzano, apenas precisamos de provar que f é contínua em [0,32]. Por isso, uma resolução alternativa seria provar
que f é contínua nos intervalos ]0, 1[ e ]1,32[, no ponto x = 1 (com justificações análogas às anteriores) e, ainda, que lim
x→0+f (x) = f (0) e lim x→32− f (x) = f 3 2 .
(e) Vimos, na alínea anterior, que f é contínua no intervalo I = [0,32]. Pelo corolário do teorema de Weierstrass, como I é um intervalo limitado e fechado, então a função atinge neste intervalo um máximo e um mínimo.
(f) No interior do intervalo onde está definido cada um dos ramos da função, podemos calcular f0 utilizando as regras de derivação. Assim, obtemos
f0(x) = 2 x, se x < 1 1 p1 − (x − 1)2, se 1 < x < 2.
Vamos agora estudar a diferenciabilidade de f no ponto x = 1, por definição. Cal-culando as derivadas laterais, obtemos
f0(1+) = lim x→1+ f (x) − f (1) x − 1 = limx→1+ arcsin(x − 1) − 0 x − 1 = limx→1+ arcsin(x − 1) x − 1 = 1 e f0(1−) = lim x→1− f (x) − f (1) x − 1 = limx→1− (x2− 1) − 0 x − 1 = limx→1− (x − 1)(x + 1) x − 1 = limx→1−x+1 = 2.
Como f0(1+) 6= f0(1−) então não existe f0(1). Notemos ainda que não definimos
derivada no ponto x = 2 porque este não é um ponto interior a Df.
Podemos então concluir que
f0(x) = 2 x, se x < 1 1 p1 − (x − 1)2, se 1 < x < 2.
5. Considere as funções f e g definidas por f (x) = tan(2x) e g(x) = π + arctan(1 − x). (a) Determine uma equação da tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1. (b) Determine a derivada de f o g no ponto de abcissa 1.
Resolução:
(a) Uma equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1 é y − g(1) = g0(1)(x − 1).
Como g0(x) = −1
1 + (1 − x)2, então g é diferenciável em R, e g
0(1) = −1. Por outro
lado, g(1) = π. Logo, obtemos a equação da recta tangente y − π = −x + 1.
(b) Vimos, na alínea (a), que a função g é diferenciável em R e, por outro lado, sabemos que a função f é diferenciável em Df = {x ∈ R : x 6= π4 + kπ2, k ∈ Z}, e que
f0(x) = 2
cos2(2x). Assim, sendo g diferenciável no ponto 1 e f diferenciável no
ponto g(1), pelo teorema da derivada da função composta, f ◦ g é diferenciável em 1 e (f ◦ g)0(1) = f0(g(1)) · g0(1). Atendendo aos cálculos efectuados anteriormente, obtemos então (f ◦ g)0(1) = f0(π) · (−1) = 2 · (−1) = −2.
5
Teoremas fundamentais
(Rolle, Lagrange e Cauchy).
Indeterminações.
5.1
Exercícios propostos para resolução nas aulas
1. Seja f a função real de variável real definida por f (x) = x4− x2− 1.
(a) Mostre que f verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo [−2, 2].
(b) Determine o(s) ponto(s) em que a recta tangente ao gráfico da função é horizontal. 2. Considere a função g : [−1, 3] → R, definida por g(x) = |x − 1|.
(a) Mostre que g é contínua no seu domínio e que g(−1) = g(3). (b) Verifique que g0(x) não se anula para qualquer valor de x.
(c) Explique por que motivo não existe contradição com o teorema de Rolle.
3. Determine o número exacto de zeros da função real de variável real, definida por h(x) = x4− 2x3+ 1.
4. Considere a função real de variável real definida, no intervalo [−2, 2], por f (x) = x
3
4 + 1. (a) Mostre que esta função verifica as condições do teorema de Lagrange.
(b) Determine o(s) ponto(s) em que a recta tangente ao gráfico de f é paralela ao segmento de extremos A (−2, f (−2)) e B (2, f (2)).
5. Considere a função real de variável real definida, no intervalo [−1, 8], por f (x) = x23.
(a) Mostre que não existe c no intervalo ] − 1, 8[ tal que f0(c) = f (8) − f (−1) 8 − (−1) . (b) A alínea anterior contradiz o teorema de Lagrange? Justifique.
6. Considere a função real de variável real, definida por g(x) = 1 + x log(x). Aplicando o teorema de Lagrange à função g, mostre que o seguinte conjunto de desigualdades é satisfeito
1 + log(x) < log(4x) < 1 + log(2x), ∀x ≥ 1. Sugestão: considere intervalos da forma [x , 2x], com x ≥ 1.
7. (a) Seja f uma função real de variável real, diferenciável num intervalo I. Mostre, utilizando o teorema de Lagrange que, se existir M > 0 tal que |f0(x)| ≥ M, ∀x ∈ I, então |f (x) − f (y)| ≥ M |x − y| , ∀x, y ∈ I.
(b) Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que | tan(x) − tan(y)| ≥ |x − y|, ∀x, y ∈i−π 2, π 2 h .
8. Seja f a função real de variável real definida por f (u) = log(u).
(a) Mostre que o teorema do valor médio de Lagrange pode ser aplicado à função f , em qualquer intervalo da forma [1, x], para x > 1, e determine o valor médio para o caso em que x = e.
(b) Prove, utilizando o referido teorema que, ∀x > 1, x − 1 < log (xx) < x2− x.
9. Considere f, uma função contínua e diferenciável em [0, +∞[ tal que f (0) = 0 e 0 < f0(x) ≤ 1.
(a) Justifique que f só se anula num ponto.
Sugestão: Considere o intervalo [0, b], b > 0, e aplique o teorema de Rolle. (b) Prove que ∀x ≥ 0, f (x) ≤ x.
10. Verifique que não é possível aplicar a regra de Cauchy no cálculo dos limites seguintes, e calcule-os por um outro processo.
(a) lim x→+∞ 2x − sin(x) 3x + sin(x); (b) lim x→0+ x 2 2 + sin 1 x .
11. Calcule, se existirem, os seguintes limites: (a) lim x→0 x3− x log(x + e) − 1; (b) lim x→0+ x + log (sin(x)) log(x) ; (c) lim x→+∞ log (x2+ 1) 1 + log(x) ; (d) lim x→0+ cot(x) − 1 x ; (e) lim x→0+(tan(x) log(x)); (f) lim x→1+(x − 1) tan(x−1); (g) lim x→0+(e x+ 2x)1x.
5.2
Exercícios propostos para resolução autónoma
1. Considere a equação x5− 20x + 1 = 0.
(a) Determine quantas soluções tem esta equação e localize-as em R. (b) Mostre que existe uma única solução no intervalo ]0, 2[.
2. Seja h : R → R uma função diferenciável e a, b e c três números reais distintos tais que h(a) = h(b) = h(c). Qual das seguintes afirmações é verdadeira? Justifique.
(a) h0 tem, pelo menos, dois zeros; (b) h0 tem, no máximo, dois zeros; (c) h0 tem exactamente dois zeros.
3. Mostre que x = 0 é a única solução da equação ex = 1 + x.
4. Seja f uma função de classe C1 em R, tal que 1 ≤ f0(x) ≤ 4 , ∀x ∈]2, 5[ . Mostre que 3 ≤ f (5) − f (2) ≤ 12.
5. Sejam f e g funções de classe C1 em R, tais que f0(x) = g0(x) , ∀x ∈ R. Sabendo que g(x) = x3 − 4x + 6 e que f (1) = −5, determine f .
6. Mostre, utilizando o teorema de Lagrange, que se 0 < x < y então √y −√x < y − x 2√x. Conclua que se 0 < x < y então √xy < 1
2(x + y). 7. Prove, aplicando o teorema de Lagrange, que:
(a) arcsin(x) > x , ∀x ∈ ]0, 1[. (b) arctan(2x) > 2x
1 + 4x2, ∀x ∈ R +.
8. Seja f uma função diferenciável em [0, +∞[ tal que f (0) = 3 e f0(x) = 0, ∀x ≥ 0. (a) Calcule, justificando, f (5).
Sugestão: Aplique o teorema de Lagrange ao intervalo [0, 5]. (b) Mostre que f é necessariamente uma função constante.
(c) Considere a função g(x) = ex2−1. Existe algum ponto onde a função g tem uma
tangente paralela ao gráfico de f ?
9. Calcule, se existirem, os seguintes limites: (a) lim x→0 3x2− sin2(x) arctan (x2) ; (b) lim x→0 sin2(x2) (1 − cos(x))2;
(c) lim x→+∞ log x+1x sin 1x ; (d) lim x→π2 arctanπ 2 − x tan(x); (e) lim x→0 1 x2 − cos(3x) x2 ; (f) lim x→0 1 sin(x) − 1 x ; (g) lim x→0+(tan(x)) 1 log(x); (h) lim x→+∞ 1 + 1 x ex ; (i) lim x→1(1 + log(x)) 1 x−1.
