No decorrer da presente tese eu apresentei a minha proposta de framework baseado em estruturas modelo de Quillen para tratar questões concernentes às noções de localidade, em particular, Hanf/Gaifman-localidades. Eu mostrei que existe uma estrutura modelo STRUCT[σn]
̃ T (σn) (d,0)
coresobre STRUCT[σ
n]
̃ T (σn)
(d,0) que possui várias características interessantes, a saber, as equivalências homotópicas em STRUCT[σn]
̃ T (σn) (d,0)
corecoincidem com as equivalências homomórficas em STRUCT[σn]
̃ T (σn)
(d,0) e, o mais interessante, as equivalências k-homotópicas em STRUCT[σn]
̃ T (σn) (d,0)
corecoincidem com as k-equivalências lógicas, para cada sentença primitiva-positiva com quantifier-rank k.
Além disso, baseado no exposto acima, eu forneci na introdução uma definição de Hanf/Gaifman-localidades que mescla isomorfismos e equivalências
k-homotópicas como bases para a localidade; ou seja, a definição proposta por mim aqui
fornece o que eu chamo de ”STRUCT[σn]
̃ T (σn) (d,0) ← →HoSTRUCT[σn] ̃ T (σn) (d,0) -aproximação”, entre Hanf/Gaifman-localidades sob equivalência k-homotópica e
Hanf/Gaifman-localidades sob isomorfismo (o que, pelo Teorema 20, para cada sentença primitiva-positiva, significa uma ”aproximação” entre Hanf/Gaifman-localidades sob
k-equivalência lógica e Hanf/Gaifman-localidades sob isomorfismo).
Assim, a minha definição de Hanf/Gaifman-localidades sob (∼k, ≅)-equivalência
torna possível investigar as relações e correlações entre a Hanf/Gaifman-localidades sob
k-equivalência lógica e isomorfismos. Ou seja, a definição de Hanf/Gaifman-localidades
sob (∼k, ≅)-equivalência proposta nesta tese (na Introdução) visa fornecer um meio de
investigação das noções de localidade que permita enfraquecer a relação sob a qual se baseiam as noções de localidade em questão, mas sem perder a ligação com a relação mais forte (porém, mais segura e fácil de lidar) de isomorfismo. Obviamente, o principal objetivo
é entender como funciona o ”STRUCT[σn] T (σn) (d,0) ← →HoSTRUCT[σn] T (σn) (d,0) -aproximação” presente na definição de Hanf/Gaifman-localidades sob (∼k, ≅)-equivalência, e, claro, como
tal ”aproximação” pode ser útil.
Assim, em futuros trabalhos, a ideia é investigar o diagrama C Fn id[σn] // C Fn HoC id Ho //HoC (3.1)
induzido pela definição de Hanf/Gaifman-localidades sob (∼k, ≅)-equivalência proposta
nesta tese, onde id[σn] e idHo são, respectivamente, os funtores identidade sobre
STRUCT[σn] ̃ T (σn) (d,0) e HoSTRUCT[σn] ̃ T (σn)
(d,0) . Mas, o que o diagrama (3.1) nos diz? Para responder a essa questão, precisaremos de algumas definições.
Definição 107. Sejam C e D duas categorias com equivalências fracas (conhecidas, também, como categorias homotópicas). Então, um funtor F ∶ C → D é chamado funtor homotópico se F envia equivalências fracas para equivalências fracas.
Definição 108. Dado um funtor homotópico F ∶ C → D entre categorias com equivalências fracas cujas categorias de homotopia HoC e HoD existem, seu funtor derivado é o funtor FHo∶HoC → HoD que é unicamente induzido, a menos de um único isomorfismo, por sua
propriedade universal: C λC F // D λD HoC F Ho //HoD. (3.2)
É imediata a constatação de que o diagrama (3.1) é apenas uma instância particular do diagrama (3.2). Para ver isso, note que o funtor identidade id[σn](d,0) ∶ STRUCT[σn] ̃ T (σn) (d,0) → STRUCT[σn] ̃ T (σn) (d,0) é, obviamente, um funtor homotópico; e o funtor identidade idHo∶HoSTRUCT[σn]
̃ T (σn) (d,0) →HoSTRUCT[σn] ̃ T (σn) (d,0) é, claramente, seu funtor derivado.
Portanto, o que eu estou mostrando aqui é que a investigação sobre como funciona o ”STRUCT[σn] ̃ T (σn) (d,0) ← →HoSTRUCT[σn] ̃ T (σn) (d,0) -aproximação” presente na definição, fornecida nesta tese, de Hanf/Gaifman-localidades sob (∼k, ≅)-equivalência, ou
seja, sobre como funciona a ”aproximação” entre Hanf/Gaifman-localidades sob equivalência k-homotópica e Hanf/Gaifman-localidades sob isomorfismo (pelo Teorema 20, para cada sentença primitiva-positiva com quantifier-rank k, entre
Hanf/Gaifman-localidades sob k-equivalência lógica e Hanf/Gaifman-localidades sob isomorfismo), bem como tal ”aproximação” pode ser útil nas questões sobre localidade, está inteiramente inserida no contexto da relação entre funtores homotópicos e seus funtores derivados. Em outras palavras, a definição de Hanf/Gaifman-localidades sob (∼k, ≅)-equivalência, proposta nesta tese, mostra que existe uma ”ponte” entre as
investigações sobre localidade de lógicas e as investigações sobre a relação entre funtores homotópicos e seus funtores derivados; e, mais ainda, que tal ”ponte” revela um âmbito ainda inexplorado nas questões concernentes a localidade de lógicas, a saber, a possibilidade de uma ”aproximação” entre certos enfraquecimentos da relação sob a qual a indistinguibilidade de d-vizinhanças padrão repousa (por exemplo, enfraquecer de isomorfismo para equivalência lógica) e a relação padrão (ou seja, isomorfismos).
Agora, irei um pouco mais fundo nas implicações dessa ”ponte”. Uma outra definição, também proposta nesta tese (Introdução), generaliza a definição de Hanf/Gaifman-localidades de modo a comportar qualquer relação de indistinguibilidade de d-vizinhanças que venha do framework proposto nesta tese, a saber, o framework baseado em estruturas modelo de Quillen. Agora, para uma dada estrutura modelo M sobre STRUCT[σn]
̃ T (σn)
(d,0) , note que a ”aproximação” entre Mwe-equivalências e isomorfismos na indistinguibilidade de d-vizinhanças (o que denotarei por ”Mwe←
→HoM-aproximação”) pode, também, ser inserida totalmente no contexto da relação entre funtores homotópicos e seus funtores derivados. Mais ainda, é possível utilizar essa ”ponte” entre o contexto do Mwe←
→HoM-aproximação e a relação entre funtores homotópicos e seus funtores derivados para investigar as relações entre localidades surgindo em diferentes tipos de lógicas. Para ver isso, considere a seguinte definição.
Definição 109. Dadas duas categorias homotópicas C e D, nós temos o seguinte:
• Uma transformação natural entre dois funtores C → D vai ser chamada uma
equivalência fraca natural se ela envia os objetos de C para equivalências fracas em D.
• Dois funtores C → D são ditos serem naturalmente fracamente equivalentes se eles podem ser conectados por um zigzag de equivalências fracas naturais.
• Um funtor homotópico F ∶ C → D é dito ser uma equivalência homotópica de
categorias homotópicas se existe um funtor homotópico F′
∶ C → D tal que as
composições F′
○F e F ○ F′ são naturalmente fracamente equivalentes aos funtores
identidade 1C e 1D, respectivamente.
Nós podemos definir a categoria de categorias homotópicas e funtores homotópicos. Logo, nós temos uma categoria onde é possível relacionar as diferentes estruturas modelo M sobre STRUCT[σn]
̃ T (σn)
(d,0) , e investigar, via equivalências fracas naturais, as propriedades de Mwe-equivalências na indistinguibilidade de d-vizinhanças.
Assim, nós podemos investigar, via equivalências fracas naturais, tanto várias Mwe-equivalências, levando em conta apenas uma lógica, quanto uma única
Mwe-equivalência, mas levando em conta várias lógicas. E, tendo em vista que, para
cada funtor homotópico nós temos o seu funtor derivado unicamente induzido, a menos de um único isomorfismo, a minha proposta leva a um framework geral baseado em estruturas modelo de Quillen (categorias homotópicas), capaz de não só relacionar vários frameworks particulares baseados em estruturas modelo de Quillen, mas, também, lidar com o Mwe←
→HoM-aproximação, para cada estrutura modelo M e sua categoria de homotopia HoM.
No que segue, vou mostrar como é possível definir estruturas modelo de núcleos (cores) que relacione equivalência k-homotópica e k-equivalência lógica não somente para sentenças primitivas-positivas com quantifier-rank k, mas para todas as sentenças de FO. Além disso, o mesmo processo pode ser utilizado para definir estruturas modelo que abarquem sentenças de extensões importantes de FO, bem como outras lógicas.