Principal Desafio para o Framework baseado em Categorias Modelo

Categorias Modelo de Quillen

Como visto em §1.3.6, existem três problemas com o framework baseado em jogos: (1) o problema do fragmento/extensão; e (2) o problema da uniformidade; e (3) o fato de nada podermos fazer quanto a (1) e (2).

Primeiro, devemos lembrar que o framework baseado em categorias modelo, proposto por mim nesta tese, não é apenas uma nova técnica para encarar os problemas que surgem com o enfraquecimento da noção de localidade (que por sua vez é uma maneira de lidar com a rigidez da localidade baseada em isomorfismos), mas, antes, uma nova abordagem para encarar o problema. Ou seja, se a rigidez da noção de localidade baseada em isomorfismos não permite, em certos casos, a aplicação de técnicas baseadas em localidade, então a primeira coisa que vem à mente é enfraquecer tal noção. Essa foi a estratégia (ARENAS; BARCELÓ; LIBKIN, 2005). A estratégia proposta aqui, no entanto, é a seguinte: em vez de enfraquecermos a noção de localidade em razão de um certo ambiente, nós devemos buscar um novo ambiente onde a noção possa ser aplicada. Assim, o framework baseado em categorias modelo, proposto por mim nesta tese, tem as óbvias vantagens de não precisar retornar a jogos, e de possuir uma alternativa para o problema da uniformidade, ou seja, o framework proposto por mim aqui possui as ferramentas para lidar com a metade do problema (3). Mas, e quanto ao problema (1)? Tal problema é o principal desafio do framework baseado em categorias modelo.

A pergunta que se coloca é: as ferramentas para tratar (2) podem ser utilizadas para tratar (1)? Como sabemos, a maleabilidade de fazer com que extensões e fragmentos de lógicas herdem propriedades que garantam a propriedade de localidade vem do fato de que a relação sob a qual repousa a localidade ser a relação de isomorfismos de vizinhanças. Sendo assim, obviamente que se temos um ambiente onde, por exemplo, podemos ter todos os isomorfismos, a maleabilidade a cerca de herança de propriedades que garante localidade pode ser mantida, diferente do caso do framework baseado em jogos, onde nenhum tal ambiente pode ser encontrado.

Enfim, ainda não possuo uma ideia clara de como provar que o framework baseado em categorias modelo não possui o problema (1). Mas, tal problema se configura, sem nenhuma dúvida, como o maior desafio para o framework proposto por mim aqui, e a sua resolução provará que, de fato, o framework baseado em categorias modelo é melhor do que o framework baseado em jogos.

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