Localiza¸c˜ao absoluta

Para a localiza¸c˜ao dos eventos o HypoLine utiliza trˆes informa¸c˜oes: diferen¸ca de tempo da chegada da onda S pela onda P do evento, diferen¸ca de tempo de chegada da onda P entre quaisquer dois sensores e determina¸c˜ao da dire¸c˜ao do evento pelo m´etodo denominado de feixe.

Como exemplo, vamos considerar que as esta¸c˜oes est˜ao na superf´ıcie, e a abaixo da superf´ıcie supomos um semi-espa¸co homogˆeneo.

A primeira informa¸c˜ao ´e a diferen¸ca do tempo da chegada da onda S pela onda P (tS−tP) em cada sensor, gerando uma semi-esfera que vincula a localiza¸c˜ao espacial em trˆes dimens˜oes abaixo da superf´ıcie, como mostra a Figura 3.3.

Figura 3.3: Intersec¸c˜ao das semi-esferas geradas por tS−tP em cada uma das trˆes esta¸c˜oes com o plano que cont´em o evento (Joswig, 2008).

A intersec¸c˜ao entre os c´ırculos (proje¸c˜ao da esfera na superf´ıcie) na superf´ıcie fornecer´a a localiza¸c˜ao do epicentro (x, y). J´a a estimativa da profundidade ´e considerada como um parˆametro “externo”que pode ser modificado pelo int´erprete, em vez de ser determinado pela invers˜ao dos dados, como ´e feito comumente (Joswig, 2008).

A segunda informa¸c˜ao ´e a diferen¸ca de tempo de chegada da onda P (tP₁ −tP₂) entre quaisquer dois sensores, gerando um semi-hiperbol´oide que se reduz a uma hip´erbole com a intersec¸c˜ao com qualquer plano paralelo a superf´ıcie, como mostra a Figura 3.4.

Figura 3.4: Interse¸c˜ao entre o semi-hiperbol´oide e um plano paralelo a superf´ıcie (Joswig, 2008).

dois sensores S1 e S2 tamb´em na superf´ıcie da Terra. Se t1 ´e o intervalo de tempo que a onda emitida por F leva para alcan¸car o sensor S1 e t2 ´e o intervalo de tempo que a mesma onda emitida por F leva para alcan¸car o sensor S2, ent˜ao a diferen¸ca entre a distˆancia da fonte a S1 e a distˆancia da fonte a S2 ´e dada pela Equa¸c˜ao 3.1. Essa equa¸c˜ao ´e a defini¸c˜ao matem´atica do lugar geom´etrico de uma hip´erbole, com os sensores S1 e S2 ocupando os focos.

A Figura 3.5 mostra os sensores nos focos. Na Equa¸c˜ao 3.3 teremos infinitas combina¸c˜oes de F S1 e F S2 que resulta na constante ∆t.v (v ´e a velocidade de propaga¸c˜ao da onda).

F S1 −F S2 = ∆t.v (3.1)

Dessa forma, podemos dizer que a fonte est´a em algum ponto da hip´erbole. Sendo assim, necess´arios trˆes sensores, S1, S2 e S3 (consequentemente trˆes hip´erboles), para encontrar a localiza¸c˜ao da fonte, como mostra a Figura 3.6. Nesta figura, existem dois pontos onde as hip´erboles se interceptam. Mas, a sequˆencia temporal em que a onda P incide nos trˆes sensores determina qual conjunto de hip´erboles ser´a considerada para a solu¸c˜ao (hip´erboles representadas por linhas pontilhadas ou cont´ınuas). Nesse exemplo, o conjunto de hip´erboles representadas por linhas cont´ınuas.

Ent˜ao, para uma solu¸c˜ao no espa¸co 3-D (x, y, z), x e y o epicentro e z o hipocentro, com apenas dois sensores teremos um sistema sob-determinado (mais inc´ognitas do que

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Figura 3.5: Hip´erboles com sensores nos focos. Hip´erbole definida pela diferen¸ca de distˆancia entre a fonte aos sensores.

Figura 3.6: Intersec¸c˜ao entre as trˆes hip´erboles obtidas pela diferen¸ca de distˆancia entre a fonte aos sensores. A princ´ıpio ter´ıamos duas posi¸c˜oes onde poderia se encontrar a fonte. Mas, de acordo com a sequˆencia temporal em que os raios incidem nos sensores, apenas uma posi¸c˜ao ser´a a correta. A interse¸c˜ao entre as hip´erboles, representadas pelas linhas cont´ınuas, ser´a a solu¸c˜ao.

equa¸c˜oes). Sendo assim, s˜ao necess´arios trˆes sensores para gerar trˆes hip´erboles, tornando o sistema determinado e a interse¸c˜ao entre elas no ponto P = f (t1, t2, t3), que ´e chamada de ponto triplo, ser´a a solu¸c˜ao.

Para o caso do SNS que s˜ao quatro sensores, permutando cada trˆes sensores, gera quatro pontos triplo, P1 = f (t1, t2, t3), P2 = f (t1, t2, t4), P3 = f (t1, t3, t4) e P4 = f (t2, t3, t4), consequentemente quatro solu¸c˜oes.

O programa HypoLine permite a visualiza¸c˜ao dos quatros pontos triplo devido a con- tribui¸c˜ao de cada fase. Nesse caso, a medida do espalhamento dos pontos triplo ser´a a medida da consistˆencia da localiza¸c˜ao do hipocentro.

Generalizando, o n´umero de hip´erboles H ´e dado pela Equa¸c˜ao 3.2, onde N ´e o n´umero de sensores e k um n´umero inteiro que varia de 1 at´e N − 1. O n´umero de pontos triplo T (solu¸c˜oes) ´e dado pela Equa¸c˜ao 3.3, com N sendo o n´umero de sensores e k um n´umero inteiro que varia de 1 at´e N − 2. A Tabela 4.1 mostra o n´umero de ponto triplo (T) e hip´erboles (H) em fun¸c˜ao do n´umero de sensores (N).

H = N −1 X k=1 k = N ! (N − 2)!2! (3.2) T = N −2 X k=1 k(N − 1 − k) = N ! (N − 3)!3! (3.3) N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 H 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 T 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220

Tabela 3.1: N´umero de hip´erboles e pontos triplos em fun¸c˜ao do n´umero de sensores. N ´e o n´umero de sensores, H o n´umero de hip´erboles geradas pelo n´umero N de sensores e T ´e o n´umero de ponto triplo gerados por N sensores (Joswig, 2006).

Se fossem mais que quatro sensores, o n´umero de solu¸c˜oes seria muito alto, como pode ser visto na Tabela 3.1. Desse modo, a solu¸c˜ao ficaria imposs´ıvel (dif´ıcil visualiza¸c˜ao gr´afica no programa HypoLine), sendo necess´aria uma an´alise residual da diferen¸ca de tempo de chegada da onda P no sentido dos m´ınimos quadrados. Isso diminuiria as vantagens do m´etodo nanoss´ısmico, como rapidez para encontrar a solu¸c˜ao.

A terceira e ´ultima informa¸c˜ao ´e obtida pela an´alise do ˆangulo de incidˆencia da frente de onda no sensor. O programa HypoLine permite fazer isso de dois modos.

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O primeiro modo consiste em registrar as trˆes componentes da primeira onda do evento que incide no sensor triaxial e calcular o vetor resultante, que dar´a a dire¸c˜ao do evento.

O segundo modo ´e chamado de feixe (Joswig, 2006), que consiste em calcular a dire¸c˜ao do evento com base na diferen¸ca de tempo que a mesma frente de onda incide em dois sensores. Para ilustrar, imaginamos uma frente de onda plana se propagando em duas dimens˜oes, de acordo com a Figura 3.7, incidindo no tempo t1 no sensor S1 e no tempo t2 no sensor S2. A distˆancia que a frente de onda percorre no intervalo de tempo ∆t = t2−t1 ´e igual a v.∆t. J´a na Figura 3.8, devido a frente de onda est´a incidindo de outra dire¸c˜ao, a distˆancia v.∆t ´e menor. Ent˜ao, haver´a apenas uma dire¸c˜ao que permite o valor dessa distˆancia, que ser´a a dire¸c˜ao do evento.

Figura 3.7: Frente de onda incidindo no sensor S1 no tempo t1. E ap´os um tempo ∆t = t2−t1 no sensor S2.

Figura 3.8: Frente de onda incidindo no sensor S1no tempo t1. E ap´os um tempo ∆t = t2−t1, diferente do exemplo anterior, no sensor S2.

A ferramenta feixe trata a frente de onda sendo plana por que a frente de onda esf´erica emitida por uma fonte s´ısmica pode ser aproximada por uma frente de onda plana devido `a separa¸c˜ao entre os sensores ser pequena (m´aximo 100 m).

Para uma frente de onda se propagando em trˆes dimens˜oes, a velocidade v na Figura 3.7 e 3.8 ser´a a velocidade aparente da frente de onda dada pela rela¸c˜ao na Equa¸c˜ao 3.4. α ´e a velocidade de propaga¸c˜ao da onda e i o ˆangulo de incidˆencia da onda, de acordo com a Figura 3.9.

Figura 3.9: Frente de onda de velocidade α incidindo na superf´ıcie da Terra com um ˆangulo i. Modificada de Lay & Wallace (1995).

v = α

sin i (3.4)

A Equa¸c˜ao 3.4 tamb´em pode ser expressa pela Equa¸c˜ao 3.5, em termos da vagarosidade horizontal.

v = 1

p (3.5)

A jun¸c˜ao dessas trˆes informa¸c˜oes, que ´e a base do m´etodo nanoss´ısmico, permite identi- ficar e localizar eventos em locais com baixa raz˜ao sinal-ru´ıdo.

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