Exemplo ilustrativo
Dispondo-se de uma tabela de logaritmos decimais (base 10), para se obter uma tabela de logaritmos na base 7, basta encontrar na própria tabela o logaritmo decimal de 7 (que é aproximadamente 0,845) e dividir todos os va-lores tabelados por esse valor. Por exemplo:
log log log , , 710 10 7 1 0 845 1 183 = = = log log log , , 7100 100 7 2 0 845 2 367 = = = log log log log , 7 7 0 845 N= N= N
Exercícios exemplares
Exercício 8Estabelecendo-se que log 2 = 0,30103, calcule:
a) o logaritmo de 10 na base 2;
Temos: log2 10 = log
log , , 10 2 1 0 30103 3 322 = = . b) o logaritmo de 5 na base 10; Como 5 =10
2, segue que log 5 =
= log 10 – log 2 = 1 – 0,30103 = 0,69897.
c) o logaritmo de 5 na base 2;
Temos, analogamente ao item a: log2 5 = log log , , , 5 2 0 69897 0 30103 2 322 = =
(Observar a resposta do item a) e notar que, em razão de termos 10 = 5 . 2, resulta que log2 10 = log2 5 + log2 2, ou seja, log2 10 = = log2 5 + 1.)
d) o logaritmo de 64 na base 5.
Como queremos calcular log5 64, podemos
escrever: log log
log , , 5 2 2 64 64 5 6 2 322 2 584 = = =
logaritmos: uma linguagem sugestiva em
diferentes contextos
O contexto em que surgiram os logaritmos era o de simplificação de cálculos, no início do século XVII. Tal significado prático não é, hoje, especialmente relevante diante dos inú-meros recursos tecnológicos disponíveis para isso. No entanto, a relevância dos logaritmos permaneceu e é possível afirmar que ela au-mentou. Como explicar tal fato?
A força da ideia de logaritmo provém do fato de que os logaritmos são expoentes, que podem ser utilizados para simplificar cál-culos, mas que também são especialmente adequados para representar de modo su-gestivo grandezas de valores muito grandes,
como as energias liberadas por ocasião dos terremotos, ou muito pequenas, como as quantidades de íons de hidrogênio livres em um líquido, que são responsáveis pela acidez, por exemplo. A expressão das gran-dezas correspondentes a esses fenômenos por meio de potências de 10 torna os núme-ros envolvidos menores (de 0 até por volta de 9 graus na escala Richter, e de 0 a 14 na indicação do pH). Como se sabe, a água tem pH igual a 7, a acidez de um líquido é tanto maior quanto menor é seu pH, entre 0 e 7, e o caráter básico, que se opõe ao ácido, signi-ficando menos H+ por litro, aumenta quanto mais o pH se aproxima de 14.
Exercícios exemplares
Nos exercícios seguintes, serão apresen-tados os elementos fundamentais para a compreensão dos fatos citados, ilustrando a importância da ideia de logaritmo em dife-rentes contextos.
Exercício 9
A energia liberada por ocasião de um ter-remoto pode ser muito grande, sendo fre-quentemente expressa por uma potência de 10. Para medir o potencial destrutivo de um terremoto, utiliza-se a escala Richter, que leva em consideração apenas o expoente da potência considerada em cada caso. Esse expoente indica a magnitude do terremoto. Existem aparelhos apropriados para medir tal magnitude: são os sismógrafos. A tabela a seguir registra o local, o ano de ocorrên-cia e a magnitude de alguns terremotos que ficaram famosos pelos estragos produzidos.
local ocorrênciaAno de Magnitude
Los Angeles 1994 6,6 Japão 1993 7,8 Irã 1990 7,7 São Francisco 1989 7,1 Armênia 1988 6,9 Cidade do México 1985 8,1 Grã-Bretanha 1984 5,5 Alasca 1964 8,4 Chile 1960 8,3 Ex-União Soviética 1952 8,5 São Francisco 1906 8,3 Colômbia 1906 8,6 Ilha de Krakatoa 1883 9,9
Com base nas informações anteriores, res-ponda às seguintes questões:
A competência específica mais mobilizada no presente exercício é a competência leitora. Além da compreensão da ideia de logaritmo como expoente, todas as informações necessá-rias para a solução encontram-se no texto.
a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter
é potencialmente quantas vezes mais des-trutivo que um terremoto de 4 graus? Um terremoto de 8 graus na escala Richter é potencialmente 10 vezes mais destrutivo do que um terremoto de 7 graus, uma vez que o grau representa o expoente de uma potência de 10 que é usada para expressar a energia liberada, que produz os estragos. Analogamente, um terremoto de 8 graus é 100 vezes mais destrutivo do que um de
6 graus, 1 000 vezes mais destrutivo que um de 5 graus e 10 000 vezes mais destrutivo que um de 4 graus.
b) Um caminhão muito pesado passou pela
rua e produziu um pequeno tremor. Um sismógrafo registrou 2,5 graus na escala Richter. Se 4 caminhões passarem juntos pela rua, podemos afirmar que o tremor correspondente será de 10 graus?
Para aumentar 1 grau na escala Richter, seja de 1 para 2 graus, de 2 para 3, de 2,5 para 3,5, etc., será necessária uma energia destrutiva 10 vezes maior, uma vez que o grau é o expoen te de uma potência de 10. Se 4 cami nhões passarem juntos pela rua, po-demos afirmar que o tremor corresponden-te será de pouco mais de 2,5 graus, uma vez que a energia correspondente será apenas 4 vezes maior. Se fosse possível termos simul-taneamente 10 000 caminhões passando pela rua, então o sismógrafo registraria 4 graus a mais, ou seja, 6,5 graus. É possível calcular que, para atingir 10 graus (nunca existiu um terremoto desse nível), seriam necessários cerca de 316 . 105 caminhões. (Para fazer esse cálculo, sabemos que a energia destruti-va é diretamente proporcional a 10n, ou seja, En = K . 10n. Calculando a razão E E 10 2,5 , obte-mos 10 10 10 2,5 , ou seja, 316 . 105 (aproximada-mente). Basta descobrir por quanto é neces-sário multiplicar E2,5 para se obter E10.)
Exercício 10
Para caracterizar a acidez de um líquido, usa-se um indicador chamado de pH (poten-cial hidrogeniônico). O pH dá uma ideia da
quantidade de íons H+ que se encontram li-vres, no líquido, indicando a concentração (quantidade por unidade de volume) de tais íons. A própria água (H2O) tem íons H+ livres: são relativamente poucos, mas existem. Há, na água, cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 107 litros. Em uma limonada existem mais íons H+ livres: digamos, 1 íon-grama para cada 102 li tros. Em alguns líquidos, há menos íons H+ do que na água: no leite de magnésia, por exemplo, cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 1010 li tros. Dizemos que o pH da água é 7, o pH da limo-nada é 2, e o pH do leite de magnésia é 10. A escala do pH varia de 0 a 14, situando a água bem no meio. Os líquidos com pH entre 0 e 7 têm um caráter ácido; os que têm pH entre 7 e 14 têm um caráter básico. Para combater a aci-dez estomacal, por exemplo, costuma-se ingerir uma colher de leite de magnésia.
A tabela a seguir representa os valores apro-ximados do pH de alguns líquidos.
líquido ph Ácido sulfúrico 0,1 Suco de laranja 3,0 Vinho 3,4 Suco de tomate 4,2 Café 5,0 Leite 6,9 Água 7,0 Sangue humano 7,4 Água do mar 8,2 Leite de magnésia 10,0 Amônia 13,0 Hidróxido de potássio 14,0
Com base nessas informações, responda às seguintes questões:
a) O que significa dizer que determinado
líqui-do tem pH igual a 6?
Dizer que determinado líquido tem pH igual a 6 significa dizer que existe 1 íon-grama de H+ para cada 106 litros.
b) Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para
cada 100 litros, qual é o seu pH?
Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para cada 100 litros, seu pH é igual a 2.
c) Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem
mais ou menos íons de hidrogênio livres do que a água? Quantas vezes?
Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem 10 vezes menos H+ do que a água (a razão de 1 para 108
é 10 vezes menor do que a razão 1 para 107).
d) Qual é a diferença entre os valores do pH de
dois líquidos, um deles com mil vezes mais íons H+ livres do que o outro?
A diferença entre os valores do pH de dois líquidos, um deles com mil vezes mais íons H+ livres do que o outro é igual a 3; o de maior pH tem mil vezes menos íons H+.
a água tem 1 íon-grama de H
f + para 107
litros, ou seja, a razão é 1
107 e dizemos
que seu pH é 7;
um ácido tem mais íons-grama de H
f +. Por
exemplo, se tem 1 para 103 litros, ou seja,
a razão é 1
103, dizemos que seu pH é 3;
já um líquido básico, tem menos H
f +. Por
exemplo, se tem 1 para 1012 litros, ou seja,
a razão é 1
1012, dizemos que seu pH é 12.
A escala de pH varia de 0 a 14, situan-do-se a água em seu ponto médio.
Exercício 11
O ouvido humano é muito versátil e percebe sons de uma gama de intensidades muito am-pla. A intensidade sonora é a medida da energia transportada pelas ondas sonoras por segundo e por unidade de área (perpendicular à direção da propagação). Entre o som de baixa intensidade, quase inaudível, e o ruído que produz dor nos ouvidos, a intensidade varia em uma escala que vai de 1 a 1012. Para medir a intensidade sono-ra, utiliza-se apenas o expoente correspondente a cada intensidade. Ele corresponde ao número de “béis” (plural de bel, unidade escolhida em homenagem ao físico Alexandre Graham Bell). Assim, se ao som fracamente audível correspon-de 0 bel, ao som que produz dor corresponcorrespon-de- corresponde-rá 12 béis. Como o bel se revelou uma unidade muito grande para distinguir os diversos níveis de som, em situações práticas, costuma-se usar o
decibel, que corresponde à décima parte do bel.
A tabela a seguir registra as intensidades sonoras correspondentes a algumas situa - ções cotidianas:
Como no exercício anterior, o que se exi-ge aqui, além da ideia de logaritmo como ex-poente, é a competência leitora. A escala de pH também é logarítmica, ou seja, os valores são expoentes. Porém, como se trata de nú-meros pequenos, uma vez que a quantidade
de íons H+ por litro é pequena, os expoentes
tipo de som intensidade (watts/m2) números
proporcionais Medida em bel em decibelMedida
Som fracamente
audível 10−12 1 0 0
Ruído das folhas
de uma árvore 10−11 10 1 10 Sussurro humano 10−10 102 2 20 Conversa comum 10−6 106 6 60 Barulho dos carros no tráfego pesado 10−5 107 7 70 Britadeira manual usada na rua 10−2 1010 10 100
Som que produz
dor e dano 1 1012 12 120
Com base nas informações anteriores, res-ponda às seguintes questões:
a) Um som de intensidade de 90 decibéis é
quantas vezes mais intenso que outro de intensidade de 80 decibéis?
Um som de 90 decibéis, ou seja, 9 béis, é 10 vezes mais intenso do que um de 8 béis, ou seja, 80 decibéis, uma vez que o número de béis corresponde ao expoente de uma potência de 10 que representa a intensidade.
b) Quantos decibéis correspondem a uma
bri-tadeira defeituosa, que emite um som com intensidade 100% maior do que o normal (tabela)?
O som emitido por uma britadeira é de 10 béis, que corresponde à intensidade 1010 vezes maior do que a do som fracamente
audível. Se a intensidade se tornar 100% maior, será igual a 2 . 1010 vezes maior do que a do som fracamente audível. Para saber a quantos béis tal intensidade corresponde, será necessário escrever tal número como uma potência de 10: 2 . 1010 = 10n
Logo, o valor de n será o logaritmo de 2 . 1010 na base 10, ou seja: n = log (2 . 1010) = = log 2 + 10 = 10,30 (usando o valor aproximado log 2 ≅ 0,30).
O som terá, portanto, 10,3 béis, ou seja, 103 decibéis.
c) Qual fórmula relaciona o número n de
béis de um som com sua intensidade sonora i?
Para calcular o número n de béis, expressa-mos a razão entre a intensidade I e a inten-sidade do som fracamente audível por meio de uma potência de 10:
I n
10−12 =10 .
Daí segue que: n = I
− log 1012 (n em béis).
d) Qual fórmula relaciona o número n de
decibéis de um som com sua intensidade sonora I? Segue que n= I − 10 1012 .log (n em decibéis).