Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção
Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1ª- série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-360-8
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.5:51 S239c
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design (projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos
profis-sionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem
caracte-rizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
São Paulo faz escola – Uma proposta curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
Orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – As potências e o crescimento/decrescimento
exponencial: a função exponencial 11
Situação de Aprendizagem 2 – Quando o expoente é a questão, o logaritmo é a
solução: a força da ideia de logaritmo 19
Situação de Aprendizagem 3 – As funções com variável no expoente: a exponencial
e sua inversa, a logarítmica 36
Situação de Aprendizagem 4 – As múltiplas faces das potências e dos logaritmos:
problemas envolvendo equações e inequações em diferentes contextos 43
Orientações para Recuperação 52
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno
para a compreensão do tema 54
Considerações finais 55
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 56
S
ãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA
CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famí-lias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organi-zados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jo-vens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
F
iChA dO CAdERnO
Expoentes e logaritmos: uma linguagem adequada para a compreensão
do crescimento ou decrescimento exponencial
nome da disciplina: Matemática
área: Matemática
Etapa da educação básica: Ensino Médio
Série: 1a
Volume: 3
temas e conteúdos: As potências e o crescimento/decrescimento
exponencial: a função exponencial
Quando o expoente é a questão, o logaritmo é a solução: a força da ideia de logaritmo
As funções com variável no expoente: a expo-nencial e sua inversa, a logarítmica
O
RiEntAÇãO gERAl SObRE OS CAdERnOS
Os temas escolhidos para compor o conteú do disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usual-mente ensinado nas escolas ou do que é apre-sentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de aborda-gem, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presen-te currículo, destacando-se a conpresen-textualiza- contextualiza-ção dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e exter-nos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos es-tão organizados em oito unidades de exten-são aproximadamente igual, que podem cor-responder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponí-veis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamen-to. A critério do professor, em cada Situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contem-plar as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente
o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e o de seus alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a for-ma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independen-tes e podem ser exploradas pelo professor com mais ou menos intensidade, segundo seu inte-resse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é que a forma de abordagem dos temas seja ex-plicitada nas que foram oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-no, sempre que possível, materiais de apoio (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem pro-posta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo básico do 3o bimestre da 1a sé-rie é a ideia de crescimento ou decrescimento exponencial, com a consolidação da lingua-gem das potências e a introdução da ideia de logaritmo.
As potências já foram apresentadas aos alunos no Ensino Fundamental (na 5a série, as primeiras noções; na 7a série, as potências com expoentes inteiros; na 8a série, expoentes ra-cionais e reais). Trata-se, agora, de consolidar seu significado, sintetizando os fatos conheci-dos na apresentação da função exponencial, com destaque para sua forma peculiar de cres-cimento ou decrescres-cimento.
Já os logaritmos, uma invenção genial do iní-cio do século XVII, cuja motivação primeira era a simplificação dos cálculos em uma época de limitados instrumentos para tal, a despeito da abundância de recursos atuais, permanecem como um tema especialmente relevante, não em razão de tais simplificações, mas pela sua adequação para a descrição de fenômenos em que as variáveis aparecem no expoente. Apre-sentar seu significado mais profundo, o que contribuiu para que sua importância se con-servasse, juntamente com as propriedades mais relevantes para seu uso em diferentes contextos, é um dos objetivos do bimestre. De modo aná-logo ao utilizado com a função exponencial, a apresentação da função logarítmica significará o coroamento das informações amealhadas sobre logaritmos.
Naturalmente, buscaremos uma articula-ção entre as funções exponencial e logarítmi-ca, uma vez que o que as distingue é apenas uma troca de posição entre as variáveis:
se y = a
f x, considerando x a variável inde-pendente, escrevemos y = f(x) = ax, e temos uma função exponencial;
quando
f y é a variável independente,
escre-vemos x = g(y) = loga y, e temos uma fun-ção logarítmica.
Ou seja, as funções exponencial e logarít-mica são inversas uma da outra.
Ao longo de todo o bimestre, serão apre-sentadas diversas situações concretas envol-vendo exponenciais e logaritmos, incluindo escalas logarítmicas (papéis loga rítmicos) para a construção de gráficos, o que possibilita a li-nearização de gráficos de funções não lineares. É muito importante que o professor conheça as diversas contextualizações dos logaritmos (graus de terremotos, acidez de líquidos, inten-sidade sonora, magnitude de estrelas, cálculo de juros, etc.) como possibilidades de enrique-cimento de seu curso, e não como uma obriga-ção de tratar todas elas em suas aulas, o que provavelmente não será possível, em razão do tempo disponível.
Quadro geral de conteúdos do 3º
–bimestre da 1ª
–série do Ensino Médio
Unidade 1 – Consolidação da ideia de potência – significado e operações com expoentes
inteiros, racionais e reais.
Unidade 2 – A função exponencial – crescimento, decrescimento e gráficos.
Unidade 3 – A ideia de logaritmo – uma ideia brilhante do século XVII cada vez mais
im-portante no século XXI.
Unidade 4 – Propriedades dos logaritmos – logaritmos em diferentes bases. Unidade 5 – Logaritmos em diferentes contextos: acidez, escala Richter e decibéis.
Unidade 6 – As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a logarítmica. Unidade 7 – Problemas envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes contextos –
equa-ções e inequaequa-ções.
S
itUAÇõES dE APREndizAgEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
AS POTÊNCIAS E O CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO
EXPONENCIAL: A FUNÇÃO EXPONENCIAL
crescimento ou decrescimento acontece a ta-xas constantes, as funções exponenciais cons-tituirão um novo padrão para a descrição e a compreensão de uma nova classe de fenôme-nos, de natureza não linear.
Ao estudar tais funções, os alunos estarão ampliando consideravelmente sua capacidade de expressão e de modelagem de diversos fe-nômenos naturais, o que favorecerá uma com-preensão mais ampla nos diversos contextos em que eles surgem.
Sugere-se que o professor utilize duas se-manas na consolidação dessa ideia de potên-cia e apresentação da função exponenpotên-cial. A ideia de potenciação como um recurso
para representar um produto em que os fa-tores são iguais já é conhecida pelos alunos desde o Ensino Fundamental, assim como as extensões de tal noção para o caso em que os expoentes são negativos, racionais, ou mes-mo irracionais.
O objetivo desta Situação de Aprendi-zagem é consolidar tais noções, na apre-sentação da função exponencial y = ax, ou f(x) = ax, sendo a base a um número positi-vo e diferente de 1. Assim como as funções f(x) = ax + b constituem um padrão para o estudo dos fenômenos lineares, em que o
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: significado da potenciação com expoentes naturais, inteiros,
racio-nais e reais; função exponencial, com a construção de seu gráfico e o destaque para suas propriedades relativas ao crescimento e decrescimento; funções exponenciais em diferen-tes contextos.
Competências e habilidades: expressar e modelar diversos fenômenos naturais envolvendo
potências, compreendendo-os nos diversos contextos em que eles surgem; enfrentar e re-solver situações-problema envolvendo expoentes e funções exponenciais.
Estratégias: articulação das noções sobre potências já estudadas em séries anteriores;
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Antes de iniciar o estudo das funções exponen - ciais, é importante que o professor proponha uma revisão dos conhecimentos sobre potên-cias já apresentados no Ensino Fundamental.
Nesta Situação de Aprendizagem, partin do-se de uma situação concreta, serão destacados apenas fatos fundamentais para a compreen-são da natureza da função exponencial.
Alguns fatos fundamentais sobre potências
Suponhamos que no país X a produção de determinado alimento foi igual a 1 tonelada no final do ano 2000 e, em razão de incentivos econômicos, passou a triplicar anualmente a partir daí. Conforme ilustra a tabela a seguir:
Ano (em toneladas)Produção P correspondentePotência
2000 1 30 2001 3 31 2002 9 32 2003 27 33 2004 81 34 2005 243 35 2006 729 36 2007 2 187 37 2008 6 561 38 2009 19 683 39 ... ... ... 2015 14 348 907 315 2000 + n 3n
A regularidade da multiplicação pelo fator 3 , a cada ano, conduz naturalmente à represen-tação da produção correspondente de modo simplificado, por meio de uma potência de 3:
n anos após o ano 2000, o valor da produção P
será 3n toneladas.
Ao iniciarmos o estudo das potências, os valores atribuídos ao expoente n somente po-diam ser números naturais: em an, n representa-va o número de fatores a, presentes no cálculo indicado. A partir daí, propriedades como am . an = am + n e am ÷ an = am – n pareciam na-turais, contando-se o número de fatores resul-tantes ao efetuar as operações indicadas.
Posteriormente, observou-se que, excluin-do-se o caso em que a = 0, a notação an
pode-ria ser estendida para o expoente 0 e para os expoentes negativos, uma vez que:
a
a
a
n n 0=
=
1
e a a a a a n n n n − = 0− = 0 = 1 , para todo n natural.Mais adiante, ao tratar dos números ra-cionais, as potências de expoente racional também foram consideradas: no caso da ta-bela inicialmente apresentada, calcular 30,5, por exemplo, significaria estimar a produção do alimento na metade do ano de 2001, ou seja, 0,5 ano após o momento em que a pro-dução começou a triplicar ano a ano. Uma interpretação natural para 30,5, portanto, foi a seguinte:
como se espera que 3
f 0,5. 30,5 seja igual a 30,5 + 0,5, ou seja, 31, segue daí que 30,5 é uma nova ma-neira de escrever 3, ou seja, 30 5 3 3
1 2
Dessa maneira, 31,5 representaria a pro-dução no meio do ano, entre 2001 e 2002, e teríamos: 31 5 3 3 3 3 3
3
2 1 0 5
, = = . , =
.
De forma análoga ao procedimento realiza-do para a1n, sendo n natural e a > 0, resulta que:
an an an an an n a 1 1 1 1 1 1 . . . ... = . = , ou seja, an na 1 =
A restrição a > 0 é necessária para nos resguardar dos casos em que o índice n da raiz é par, uma vez que, como sabemos, no conjunto dos números reais não exis-tem raízes quadradas, ou quartas, ou sex-tas, etc. de números negativos.
De modo geral, portanto, para m e n natu-rais, sendo a potência a
m n , temos a convenção: a a a m n n m n m n m = 1 =
(
)
= a a a a m n n m n m n m = 1 =(
)
= a (a > 0) Na tabela apresentada anteriormente, por exemplo, para calcular o valor da produção em 4,25 anos (ou seja, quatro anos e três me-ses) após o início do processo, teríamos:P=34 25=3 = 3 ≅106 60 17
4 4 17
, , toneladas
(usando-se uma calculadora científica).
Para complementar esse percurso com as potências, registremos que é possível calcular os valores de 3x mesmo que x não seja um nú-mero racional. Consideremos, por exemplo, o caso em que x = 2 . Como se pode interpre-tar a potência 3 2?
Naturalmente, qualquer número irracio-nal, como 2, pode ser aproximado, por falta ou por excesso, a um número racional, sendo que a aproximação sempre pode ser melhora-da, se desejarmos: Aproximação por falta Raiz quadrada de 2 Aproximação por excesso 1,4 2 1,5 1,41 2 1,42 1,414 2 1,415 1,4142 2 1,4143 1,41421 2 1,41422 1,414213 2 1,414214 1,4142135 2 1,4142136
Cada um dos números nas colunas da esquerda ou da direita é racional, podendo ser escrito na forma mn , com m e n inteiros. Logo, podemos calcular a potência 3 2 por meio de aproximações sucessivas em que os expoentes sejam números racionais. O nú-mero 3 2 representa o valor do qual as su-cessivas aproximações 3
m
n, com expoentes racionais, aproximam-se, quando aproxima-mos 2 por m
n .
Em consequência, sendo a > 0, podemos atribuir significado para ax, para a > 0 e para todo número real x. Quando a = 1, as potên-cias são todas iguais a 1; sendo a > 0 e a ≠ 1, então, a cada número real x corresponde um
outro real ax, ou seja, podemos definir a função y = ax, ou seja, f(x) = ax. Construímos, a seguir, algumas tabelas com diversos valores de x e os correspondentes valores de f(x), para al-guns valores de a: x 2x 3x 1 2 x 1 3 x 1 2 3 1 2 1 3 2 22 = 4 32 = 9 1 2 1 4 2 = 1 3 1 9 2 = 3 23 = 8 33 = 27 1 2 1 8 3 = 1 3 1 27 3 = 0 20 = 1 30 = 1 1 2 1 0 = 1 3 1 0 = 3 23 213 18 − = = 3 1 3 1 27 3 3 − = = 1 2 2 8 3 3 − = = 1 3 3 27 3 3 − = = 1 2 2 2 1 41 1 2= ≅ , 3 3 1 73 1 2= ≅ , 1 2 1 2 1 2 0 71 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ = = ≅ , 13 13 13 0 58 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎠⎟ = = ≅ ,
Podemos observar que: quando
f x aumenta uma unidade, a partir
de qualquer valor, ax é multiplicado por a. De fato, ax + 1 = ax . a, ou seja, para cada unidade a mais no valor de x, o valor de ax crescerá ou decrescerá, dependendo apenas do valor de a;
sendo a > 1, quando o valor de
f x
aumen-ta, o valor de ax também aumenta, ou seja, a função f(x) = ax é crescente;
sendo 0 < a < 1, quando o valor de
f x
Exemplos ilustrativos
Representaremos adiante o gráfi co de f(x) = ax para diversos valores de a.
Os problemas e exercícios apresentados a se-guir são exemplares, pois envolvem conceitos e procedimentos importantes referentes à função exponencial. No entanto, nem todos constam no Caderno do Aluno. Logo, cabe ao professor analisar as possibilidades de tempo e o grau de interesse dos seus alunos para propô-los à classe.
Exemplo 1 – Vamos esboçar os gráfi cos das
funções exponenciais a seguir, observando o crescimento ou o decrescimento em cada caso:
a) y = 2x b) y x = 1 2 y x = 1 2 y = 2x y = 2–x y = 3–x y = 5–x y = 5x y = 3x
Exemplo 3 – Considerando a função
exponen-cial f(x) = 12 x e notando que 1 2 2 1 = −, podemos escrever: f(x) = 12 x = 2(–1)x = 2–x. De modo ge-ral, sendo 0 < a < 1, então 1 1
a > , ou seja, toda função exponencial f(x) = ax decrescente pode ser representada na forma f(x) = a1
x − . Obser-vemos tal fato no gráfi co a seguir:
Exemplo 2 – Esbocemos, no mesmo
siste-ma de eixos, os gráfi cos de:
a) y = 3x b) y x = 1 3
Observando o crescimento ou o decrescimen-to em cada caso.
Exercícios exemplares
Exercício 1Uma população n de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 . 3t (t em horas).
a) Indique e calcule o valor de n para os
se-guintes valores de t:
I) t = 2 h II) t = 0,5 h
III) t = 23 h IV) t = 1,25 h
Calculando os valores de N, temos:
Calculando a potência 1,504, obtemos: 1,504 = 3 2 4 = 34 24= 8116 Segue que P0 = 162 000 . 16 81 = 32 000.
b) Qual é a produção estimada para o ano de
2010?
A produção estimada para o ano de 2010 é
P(10) = 32 000 . 1,5010 = 32 000 .3 2 10 10 ≅ ≅ 1 845 281 automóveis. Exercício 3
É possível construir o gráfico de uma fun-ção do tipo f(x) = 2kx de modo análogo ao de y = 2x, quando k é positivo, ou ao de y = 2–x, quando k é negativo. Nos dois casos, ocorre-rá apenas uma mudança na escala no eixo x. Para compreender tal fato, construa o gráfico de cada par de funções abaixo no mesmo sis-tema de coordenadas:
a) y = 2x e y = 23x
Para construir o gráfico de y = 2x e de y = 23x,
podemos escrever y = (23)x = 8x. Os valores
da seguinte tabela ajudam-nos a relacionar os dois gráficos a seguir:
x 0 1 2 3 4 –1 –2 2x 1 2 4 8 16 1 2 1 4 23x = 8x 1 8 64 512 4 096 1 8 1 64 Exercício 2
Em determinado país X, a produção de automóveis cresce em progressão geométri-ca, ano após ano, a partir do início do ano 2000, tendo aumentado 50% ao ano, desde então. Sabendo-se que em 2004 foram pro-duzidos 162 000 automóveis, pergunta-se:
a) Qual foi a quantidade produzida no ano
2000?
Chamando a quantidade produzida em 2000
de P0 , se a cada ano a produção aumenta
em 50%, então, a cada ano, o valor inicial fica multiplicado por 1,50. Após t anos, o valor da quantidade produzida P(t) será igual a:
P(t) = P0 .(1,5)t
Sabendo-se que, em 2004, ou seja, que para t = 4, o valor da produção foi de 162 000 automóveis, resulta que:
162 000 = P0 . 1,504, ou seja,
P0 = 162 000
1,504
b) Esboce o gráfico de n como função de t:
N = f(t).
O gráfico de N = f(t) = 5 000 . 3t é como
o gráfico de y = 3t, sendo cada ordenada y
multiplicada por 5 000:
b) y = 3−x e y = 3−0,5x
De maneira análoga, para construir o gráfico
de y = 3−x e y = 3−0,5x, podemos escrever: y = 3−x = (3−1)x = 1 3 x e y = 3−0,5x = ((30,5)−1)x = 1 3 x .
Os gráficos dessas funções são representados desta forma:
d) y = 7x e y = 7– 0,1x
Finalmente, para y = 7x e y = 7– 0,1x, temos:
y = 7 = (7 ) = 1 7 – 0,1x –1 101 x 10 x , ou seja, é
um gráfico do tipo y = ax com 0 < a < 1:
c) y = 5x e y = 51,5x Para y = 5x e y = 51,5x, temos y = 51,5x = = 53 125 1 2
(
)
=(
)
x x. Este último gráfico é
do tipo y = ax, com a = 53 125 1 2
(
)
=(
)
x x ≅ 11,2.Observe os gráficos a seguir:
De modo geral, dada uma constante k, o
gráfico de uma função do tipo f(x) = akx,
com a > 0 e a ≠ 1, pode ser obtido
imaginan-do-se o gráfico de y = (ak)x. Dependendo do
valor de k, a função poderá ser crescente ou
decrescente. Sendo a > 1, quando k é positi -
vo, a função é crescente; quando k é negativo,
a função é decrescente. Exercício 4
A população n de determinado município cresce exponencialmente, desde a sua funda-ção há 20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 .100,1t, sendo t em anos. Calcule:
a) O valor de n quando o município foi
fun-dado (t = 0).
Quando foi fundado, o município tinha uma
população N0 = 3 000 . 100 = 3 000.
b) O valor de n dez anos após a fundação. Dez anos após a fundação, a população era igual a:
N10 = 3 000 . 100,1.10 = 3 000 . 10 = 30 000.
c) O valor de n nos dias atuais.
O valor de N nos dias atuais (t = 20) é igual a
N20 = 3 000 . 100,1.20 = 3 000 . 102 = 300 000
de habitantes.
d) Depois de quanto tempo, após a fundação,
a população atingirá a marca de 3 000 000 de habitantes, se o ritmo de crescimento continuar assim.
Para termos N = 3 000 000, devemos ter:
3 000 000 = 3 000 . 100,1t, ou seja,
100,1t = 1 000, de onde obtemos 0,1 t = 3,
portanto, t = 30 anos.
e) Depois de quanto tempo, após a fundação,
o valor de n atingirá 600 000.
Para calcular depois de quantos anos a população atingirá 600 000, devemos ter:
600 000 = 3 000 . 100,1t, ou seja, 100,1t = 200.
Precisamos saber, então, qual o expoente da potência de 10 que seria igual a 200.
Sabemos que 102 = 100 e que 103 = 1 000.
Deve haver um número n, entre 2 e 3, tal que
10 n = 200. Somente descobrindo que número
é esse podemos completar os cálculos, pois
igualando o expoente de 10 a esse número n,
teremos: 0,1t = n, e então, t = 10 n. O número
n tal que 10n = 200 é aproximadamente
igual a 2,30 e o valor de t correspondente
é 23 anos. Para calcular números como esses, estudaremos os logaritmos nas próxi - mas unidades.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos tenham conso-lidado a noção e o cálculo de potências de expoente real, sintetizando tal conhecimento por meio da construção do gráfico da fun-ção exponencial y = ax, com a > 0 e a ≠ 1, reconhecendo tratar-se de uma função cres-cente quando a > 1, ou decrescres-cente quando 0 < a < 1. Também se espera que os alunos tenham certa familiaridade com os gráficos de funções da forma y = y0.akx, em que y
0 e k são
Na Situação de Aprendizagem anterior, foram exploradas as ideias de potências e de expoentes em situações concretas nas quais o crescimento ou decrescimento nada tinha de linear ou uniforme. Vimos que, quando uma grandeza y varia exponencialmente com ou - tra grandeza x, ou seja, quando y = ax, o cres-cimento ou decrescres-cimento de y, quando x aumenta, ocorre de modo muito mais acentua-do: para cada unidade a mais no expoente, o valor final de y é multiplicado por a. Isso signi-fica, em outras palavras, que a cada unidade a mais no expoente, o resultado final das potên-cias é multiplicado por a. Em outras palavras, se os expoentes constituem uma progressão aritmética de razão 1, as potências constituem uma progressão geométrica de razão igual a
a. Atribuindo arbitrariamente valores ao
ex-poente x, podemos determinar os valores da potência y = ax.
Nesta Situação, continuaremos a explorar tal vertente, com uma simples e fundamental diferença: agora, estaremos interessados em
determinar o valor do expoente x para va-lores arbitrariamente atribuídos à potência y = ax. Trata-se de um prolongamento natural do estudo das potências, e os expoentes a serem determinados serão chamados de logaritmos. Aprender a operar com tais expoentes quando eles constituem a variável dependente é o tema que agora se apresenta.
Compreender e explorar as propriedades dos logaritmos, como veremos, não passa de seu reconhecimento como expoentes de po-tências, nos cálculos já conhecidos. Sem dú-vida, a linguagem dos logaritmos amplifica muito a competência leitora: trata-se da leitu-ra e da compreensão de uma extensa classe de fenômenos, associados ao crescimento ou ao decrescimento exponencial.
Sugere-se que o professor utilize três sema-nas de atividades na apresentação inicial dos logaritmos. Posteriormente, nas Situações de Aprendizagem 3 e 4, os alunos terão contato mais específico com a temática.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
QUANDO O EXPOENTE É A QUESTÃO, O LOGARITMO É A
SOLUÇÃO: A FORÇA DA IDEIA DE LOGARITMO
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: logaritmo como expoente, sua importância na representação de números
muito grandes ou muito pequenos, bem como na realização dos cálculos inversos aos da po-tenciação; as propriedades dos logaritmos, correspondentes às propriedades similares da poten-ciação; noção de logaritmo em diferentes contextos.
Competências e habilidades: ler e compreender a classe de fenômenos associados ao
crescimen-to ou decrescimencrescimen-to exponencial; enfrentar e resolver situações-problema contextualizadas envolvendo logaritmos.
Estratégias: apresentação das propriedades dos logaritmos e da função logarítmica;
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Como na atividade anterior, partiremos de uma situação concreta em que os logaritmos surgirão de modo natural. A partir daí, serão apresentadas paulatinamente suas proprieda-des, que serão enfeixadas, ao final, por meio da função logarítmica. Exemplos ilustrativos e exercícios exemplares servirão de indicado-res da natureza das atividades a serem desen-volvidas em classe.
A ideia de logaritmo: mais viva e
importante do que nunca
Os logaritmos foram criados no início do século XVII, com o objetivo de simplificar cálculos. Comparada com o período atual, aquela era uma época com poucos recursos tecnológicos, em que os cálculos eram realiza-dos com instrumentos parcos e muito traba-lhosos, sobretudo os referentes à navegação. Quando surgiram, essa era a principal carac-terística e a grande vantagem dos logaritmos era simplificar os cálculos, de um modo facil-mente compreensível.
Hoje, no entanto, existem muitos instru-mentos disponíveis para efetuar os mais intrin-cados cálculos: das calculadoras eletrônicas aos computadores com preços cada vez mais acessíveis. Para que, então, estudar logaritmos?
A história da Matemática, no entanto, re-vela-nos uma especial surpresa quando o as-sunto é logaritmo. A despeito de seu enorme sucesso no século XVII, hoje, em pleno sécu-lo XXI, os sécu-logaritmos são mais importantes
do que o foram no momento de sua criação. Já não precisamos mais deles para simplificar os cálculos, mas seu significado e a força de sua linguagem tornaram-se fundamentais para a expressão e a compreensão de fenômenos em diferentes contextos, alguns deles surgidos em pleno século XX: nas medidas da intensi-dade sonora, da energia destruidora dos terre-motos, do índice de acidez de um líquido, da rapidez com que uma substância radioativa se desintegra, etc. Sem dúvida, hoje, mais do que ontem, é fundamental aprender logaritmos.
Para iniciar nosso percurso na aprendi-zagem dos logaritmos, retornaremos, no en-tanto, à problemática inicial: a simplificação dos cálculos.
Simplificação de cálculos: uma ideia
brilhante do século XVii
Para compreender o significado dos loga-ritmos quando surgiram, imaginemos a se-guinte situação: temos que calcular o valor de
E indicado na expressão a seguir:
E = 5 381,5 20,87⋅
(
)
⋅(
)
(
)
3 4 2 4 182 7 935,é possível escrever qualquer número positi-f
vo n como uma potência de 10: n = 10n; assim procedendo, o cálculo de uma multipli-f
cação se transforma no cálculo de uma adi - ção (dos expoentes); o cálculo de uma divisão se transforma no cálculo de uma subtra-ção (dos expoentes); o cálculo de uma raiz se transforma no cálculo de uma divisão (do expoente pelo índice da raiz), e assim por diante.
Na expressão E apresentada anteriormen-te, se pudermos escrever:
381,5 = 10a 20,87 = 10b 4182 = 10c 7,935 = 10d
Então, conhecendo os valores de a, b, c e d, e usando apenas propriedades da potenciação, po-demos afirmar que o valor da expressão E será:
E =10
a + 3b + 4c – 2d 5
( )
A chave da questão é a representação de qualquer número positivo n como 10n, o que é fácil quando se tem n igual a 10, 100, 1 000, 10 000, etc., mas já não parece tão simples para valores de n como 2, 17, 537, 30, 200 ou 1 932,5, por exemplo.
Não é simples, mas é possível, e esse é o grande mérito dos matemáticos que investi-ram nesse terreno. A possibilidade de se es-crever n como 10n é equivalente à afirmação de que é possível calcular o valor da potência 10x para qualquer número real x, e não apenas para os valores inteiros de x.
Pois bem, quando escrevemos N = 10n e nos preparamos para simplificar, daqui para frente, os cálculos envolvendo tal número, es-tamos entrando na seara dos logaritmos.
Se N = 10n, então o expoente
n é chamado
“logaritmo de N”: n = log N.
Exemplo ilustrativo
Para uma familiarização com a linguagem, calculemos os logaritmos de alguns números.
a) Sendo N = 100 = 102, então o logaritmo de n é 2: log 100 = 2. b) Sendo N = 1 000 = 103, então o logaritmo de n é 3: log 1 000 = 3. c) Sendo N = 10 = 101, então o logaritmo de n é 1: log 10 = 1. d) Sendo N = 1 = 100,
então o logaritmo de n é igual a 0: log 1 = 0. e) Sendo N = 10 = 1012, então o logaritmo de n é 1 2 : log 10 = 1 2 . f) Sendo N = 0,01 = 10−2, então o logaritmo de n é –2: log 0,01 = –2. g) Sendo N = 13, como 101 < 13 < 102, então o logaritmo de n é um número n tal que 1 < n < 2:
1 < log 13 < 2.
h) Sendo N = 751, como 102 < 751 < 103, então o logaritmo de n é um número n tal que 2 < n < 3:
i) Sendo N = 3,22, como 100 < 3,22 < 101, então o logaritmo de n é um número n tal
que 0 < n < 1 : 0 < log 3,22 < 1.
j) Sendo n menor ou igual a zero, então n
não tem logaritmo, pois 10n é sempre posi-tivo, para todo n.
tabelas de logaritmos
Para facilitar os cálculos, tal como era su-gerido pelos criadores dos logaritmos, foram criadas longas tabelas contendo uma lista dos valores de n e do logaritmo correspondente, representado por log n. Tais tabelas (tábuas
de logaritmos) eram disponibilizadas para os
calculadores e constituíram algo que se asse-melha aos modernos softwares de hoje.
n (n = 10n) n (n = log n) 10 000 4 6 000 3,77815 3 000 3,47712 2 000 3,30103 1 000 3 600 2,77815 300 2,47712 200 2,30103 100 2 60 1,77815 30 1,47712 20 1,30103 10 1 6 0,77815 3 0,47712 2 0,30103 1 0
Os valores apresentados foram escolhidos como exemplos, mas são sugestivos de cer-tas regularidades existentes em uma tabela de logaritmos.
Por exemplo, como a razão 3 000
300 é igual a 10, a diferença entre seus logaritmos deve ser igual a 1, ou seja, eles têm a mesma parte decimal, diferindo apenas na parte inteira. O mesmo acontece com os logaritmos de 300, de 30 e de 3.
Também notamos que, como 6 = 2 . 3, então: log 6 = log 2 + log 3 = 0,30103 + 0,47712 = = 0,77815.
Outras regularidades podem ser ainda ob-servadas na tabela.
Fatos assim constituem indícios de que não é necessário colocar na tabela os logaritmos de todos os números, o que seria impossível. Tabelando-se os logaritmos de alguns núme-ros, como os naturais de 1 a 10 000, os demais podem ser calculados aproximadamente a partir deles.
Dispondo de uma tabela como a indicada ante-riormente, para calcular o valor da expressão E já citada, o procedimento poderia ser o seguinte:
localizamos os números 381,5; 20,87; 4 182 f
e 7,935 na coluna n da tabela e determi-namos os valores de a, b, c e d na coluna dos logaritmos;
efetuamos os cálculos sobre os valores de f
a, b, c e d, obtendo o valor do expoente,
que é o logaritmo de E; localizamos tal expoente de
f E na coluna
Observações sobre a tabela de logaritmos, (ou tábua de logaritmos):
1. Naturalmente, se na tabela aparecem ape-nas os números naturais de 1 a 10 000, não vamos encontrar 381,5. Entretanto, sabe-mos que seu logaritmo situa-se entre 2 e 3 e que sua parte decimal é a mesma de 3 815, assim, determinamos o logaritmo de 381,5. 2. A construção de uma tabela é um
proces-so longo e trabalhoproces-so. Os logaritmos dos números que não são potências inteiras da base são números irracionais e, na prática, são expressos em termos aproximados, com um número fixo de casas decimais. Apenas para se ter uma ideia inicial de como os cál-culos poderiam ser feitos, sugerimos que o professor mostre aos alunos algumas estra-tégias de cálculo aproximado, no caso dos logaritmos decimais. Uma delas pode ser a seguinte:
o logaritmo de 1 é 0; f
o logaritmo de 10 é 1; f
para preencher as lacunas entre 1 e 10, po-f
demos extrair a raiz quadrada de 10; como
f 10 = 1012, segue que log 10 = 0,5; extraindo a raiz quadrada da raiz quadra-f
da de 10, temos o log 4
10
= 0,25; de modo geral, sendof A e b dois núme -
ros cujos logaritmos conhecemos, ex-traindo a raiz quadrada de A.b, temos: log AB = 1
2 . (log A + log B);
assim, com paciência, as lacunas entre as po-f
tências inteiras podem ser preenchidas. Reiteramos, no entanto, que as tábuas de logaritmos são um instrumento de importân-cia histórica, mas sem interesse no presente, uma vez que dispomos de muitos outros ins-trumentos para calcular logaritmos.
Exercícios exemplares
A seguir, serão propostos alguns exercícios que podem servir de base para o professor explorar a ideia de logaritmo anteriormen-te exposta, propiciando um anteriormen-tempo para sua assimilação. Ao mesmo tempo, servem de pretexto para que sejam apresentadas as pro-priedades dos logaritmos, que não passam das propriedades das potências “vestidas em outra roupa”. Nesse primeiro momento, tra-tamos apenas dos logaritmos de base 10, os logaritmos decimais. Mais adiante, tais noções serão generalizadas para qualquer base.
Exercício 1
a) log 6 c) log 4 e) log 72
b) log 9 d) log 12 f) log 3 600
Os itens desse exercício constituem os primeiros usos da linguagem dos logaritmos para expressar fatos sobre potências. A partir dos logaritmos de alguns números, podemos obter os logaritmos de outros, efetuando cálculos com potências. Dados os valores dos logaritmos de 2 e de 3, podemos calcular os logaritmos dos números indicados.
Se log 2 ≅ 0,30 (ou seja, 2 ≅ 100,30) e log 3 ≅ 0,47
(ou seja, 3 ≅ 100,47), então:
a) log 6 = log (2 . 3) = log (100,30 . 100,47) =
= log 100,30 + 0,47 = log 100,77 = 0,77.
(Relembre: log N = n significa que
N = 10n, ou seja, log 10n = n).
b) log 9 = log (3 . 3) = log (100,47.100,47) =
= log 100,94 = 0,94.
c) log 4 = log (2 . 2) = log (100,30 . 10 0,30) =
= log 100,60 = 0,60.
De modo geral, repetindo procedimentos
realizados nos itens a, b e c do exer -
cício 1, sendo A = 10a e B = 10b,
pode-mos escrever:
log A.B = log (10a . 10b) = log 10 a + b =
= a + b = log A + log B;
no caso de A = B, podemos escrever:
log A2 = log A + log A = 2 . log A;
analogamente, sendo n um número
na-tural qualquer, podemos concluir que
log An = n . log A
d) log 12 = log (2 . 2 . 3) =
= log (100,30 . 100,30 . 100,47) = log 101,07 = 1,07.
Usando a observação do item anterior,
poderíamos escrever:
log 12 = log (2 . 2 . 3) =
= log 2 + log 2 + log 3 = 0,30 + 0,30 + + 0,47 = 1,07.
e) log 72 = log (2 . 2 . 2 . 3 . 3) = 3 . log 2 + + 2 . log3 = 3 . 0,30 + 2 . 0,47 = 1,84. f) log 3 600 = log (2 . 2 . 3 . 3 . 10 . 10)=
= 2 . log 2 + 2 . log 3 + 2 . log 10 = = 2 . 0,30 + 2 . 0,47 + 2 . 1 = 3,54.
(Lembrar que 10 = 101; logo, temos log 10 = 1.
Notar que 103 < 3 600 < 104; logo, o logaritmo
de 3 600 na base 10 é um número entre 3 e 4). Exercício 2
A população de certa região A cresce ex-ponencialmente de acordo com a expressão NA = 6 000 . 100,1t (t em anos). Em outra região b, verifica-se que o crescimento da população ocorre de acordo com a fórmula NB = 600 . 100,2t (t em anos). De acordo com esses modelos de crescimento, responda às questões a seguir:
Nesse exercício, continuamos a praticar cálculos envolvendo potências e logaritmos. O contexto é o da análise do crescimento da população de duas cidades A e B, segundo os
modelos de crescimento NA = 6 000 . 100,1t e
NB = 600 . 100,2t (t em anos).
a) Qual é a população inicial de cada uma das
regiões?
A população inicial de cada região é obtida
se optarmos por outra base a, diferente de 10, somos obrigados a registrá-la. Assim, log n re-presenta o logaritmo de n na base 10, também chamado de logaritmo decimal de n; já o loga-ritmo de n em qualquer outra base a deverá ser escrito: loga n. Potência logaritmo 8 = 23 3 = log 2 8 243 = 35 5 = log 3 243 625 = 54 4 = log 5 625 81 = 92 2 = log 9 81 9 81 1 2 = 1 2 = log81 9 3 81 1 4 = 14 = log81 3 11 121 1 2 = 12 = log121 11 1 32=2 −5 − =5 1 32 2 log 27 1 3 3 − = − =3 127 3 log 1 32 1 2 5 = 5 1 32 2 = log1 7 7 3 1 3 = 1 3 7 7 3 = log 1 5 5 1 2 = – − =1 2 1 5 5 log N = N1 1 = log N N 1 = 170 0 = log 17 1 N = a7 7 = log a N N = 13a a = log 13 N x = 3n n = log 3 x x = yz z = log y x
b) Depois de quantos anos, a partir do
ins-tante inicial, as duas regiões terão a mes - ma população?
As populações de A e B serão iguais quando t for
tal que 6 000 . 100,1t = 600 . 100,2t; daí concluímos
que 6 000 600 10 10 0 2 0 1 = ,,tt, ou seja, 100,1t = 10; logo, 0,1t = 1 e t = 10 anos.
c) Qual é a população de cada uma das regiões
15 anos após o instante inicial? (Dado: 10
3
2 ≅ 31,62)
15 anos após o instante inicial, teremos:
NA = 6 000 . 100,1.15 = 6 000 . 101,5; usando o
valor aproximado fornecido 10 31 62
3 2≅ , ,
resulta que NA = 189 720habitantes;
NB = 600 . 100,2.15 = 600 . 103 = 600 000
habitantes.
logaritmos em qualquer base: significado
e aplicações
Já vimos que é possível escrever cada nú-mero positivo n como uma potência de 10: se
n = 10n, então n = log n.
Na verdade, pode-se escrever cada número positivo n como uma potência de uma base a (a > 0 e a ≠ 1) que não necessita ser igual a 10.
De modo geral, se n = an, então dizemos
que n é o logaritmo de n na base a, e escreve-mos: n = loga n.
Por exemplo, como 16 = 24, dizemos que
4 é o logaritmo de 16 na base 2, e escrevemos:
4 = log2 16.
Exemplo ilustrativo
Na tabela anterior são apresentados alguns logaritmos em bases diferentes da base 10. Observe com atenção, registrando o que muda quando a base não é mais 10 e o que perma-nece invariável.
Apenas para ilustrar: o logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero, e o logaritmo da base é sempre igual a 1.
Note que, quando a base é maior do que 1, os números maiores que a base têm logarit-mos maiores que 1, e os menores que a base têm logaritmos menores que 1. Por outro lado, quando a base é menor que 1 (positiva, sempre), os números maiores que a base têm logaritmos menores que 1 e números menores que a base têm logaritmos maiores que 1.
Note ainda que, quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos positi-vos, e os menores que 1 têm logaritmos negativos. Quando a base é menor que 1, os números maio-res que 1 têm logaritmos negativos e os me-nores que 1 têm logaritmos positivos.
A exploração da tabela deve ser feita com atenção e pode levar bastante tempo. As in-formações dela extraídas, registradas na ta-bela da página anterior, são fundamentais para a construção dos gráfi cos da função lo-garítmica, que será apresentada na Situação de Aprendizagem 3.
Exercícios exemplares
Potências e logaritmos misturam-se na-turalmente em contextos práticos: afinal, o logaritmo nada mais é que um expoente. Seguem alguns exercícios que podem servir de base para a assimilação da linguagem
dos logaritmos, agora em diferentes bases. Vamos praticar?
Exercício 3
Calcule os logaritmos indicados a seguir:
a) log2128 e) log2 1 256 b) log3 81 f) log3 1 243 c) log13169 g) log16913 d) log5 3 125 h) log125 25
Os diversos itens exploram apenas o signifi -cado direto dos logaritmos em diferentes bases, conforme a defi nição:
N = an signifi ca que n = log
a N, ou seja, loga an = n (com a > 0 e a ≠ 1). a) log2 128 = log2 27 = 7; b) log3 81 = log3 34 = 4; c) log13 169 = log13 132 = 2; d) log5 3 125 = log5 55 = 5; e)log 1 256 = log 2 = -8 2 2 – 8 –8; f) log 1 243 = log 3 = – 5 3 3 –5 ; g) log 13 = log 169 = 1 2 169 g169 1 g 1 169 1 2
(Poderíamos também escrever: log169 13 = n,
o que signifi ca que 169n = 13, ou seja, 132n = 131,
de onde sairia n = 1
2);
h) se log125 25 = n, então 125n = 25, e segue
que 53n = 52, ou seja, n = 2
3.
Exercício 4
a) log2 52 c) log7 400
b) log3 300 d) log5 813
Você pode indicar a resposta usando a no-tação dos logaritmos, sem precisar calculá-los; indique dois inteiros consecutivos entre os quais o logaritmo se encontra.
A ideia de logaritmo, em qualquer base, traduz o fato de que se um número N situa-se entre an e an + 1, então log
a N situa-se entre os inteiros
n e n + 1, ou seja, é sempre possível encontrar dois inteiros que aproximam o logaritmo de qualquer número dado, um por falta, outro por excesso. Os exercícios apenas destacam tal fato.
a) Como 25 < 52 < 26, então 5 < log
2 52 < 6.
b) Como 35 < 300 < 36, então 5 < log
3 300< 6.
c) Como 73 < 400 < 74, então 3 < log
7 400 < 4.
d) Como 54 < 813 < 55, então 4 < log
5 813 < 5.
Exercício 5
Uma população n de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 . 3t, t em horas. Indique o valor de t para o qual se tem:
a) N = 15 000 d) N = 350 000
b) N = 25 000 e) N = 470 000
c) N = 250 000
Nesse exercício, a ideia é expressar as res-postas às perguntas formuladas na forma de logaritmos, sem precisar calculá-los, apenas reforçando a ideia de que, ao resolver equações, os logaritmos surgem quando temos incógnitas nos expoentes. Se a população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a
ex-pressão N = 5 000 . 3t (t em horas), temos:
a) Para N = 15 000, resulta 5 000 . 3t = 15 000,
ou seja, 3t = 3; logo, t = 1 hora.
b) Para N = 25 000, resulta 5 000 . 3t = 25 000,
ou seja, 3t = 5; logo, t = log
3 5 horas.
c) Para N = 250 000, resulta 5 000 . 3t = 250 000,
ou seja, 3t = 50; logo, t = log
3 50 horas
(pode-mos dizer que 3 < t < 4).
d) Para N = 350 000, resulta 5 000 . 3t = 350 000,
ou seja, 3t = 70; logo, t = log
3 70 horas
(pode-mos dizer que 3 < t < 4).
e) Para N = 470 000, resulta 5 000 . 3t = 470 000,
ou seja, 3t = 94; logo, t = log
3 94 horas
(pode-mos dizer que 4 < t < 5).
Exercício 6
A partir de um valor inicial igual a 1 000, certa população P1 de bactérias dobra a cada meia hora, ou seja, P1 = 1 000 . 22t (t em horas). Simultaneamente, partindo de um valor inicial 8 vezes maior, outra população P2 de bactérias cresce mais lentamente que P1, dobrando de valor a cada duas horas, ou seja, P2 = 8 000 . 20,5t (t em horas).
Trata-se de exercício similar ao 2, já apresen-tado, envolvendo agora o número de bacté - rias de duas colônias, que dobram de tamanho
em períodos distintos. A população P1
do-bra a cada 0,5 hora; logo, seu valor inicial é multiplicado por 4 a cada hora, e temos:
P1 = 1 000 . 4t = 1 000 . 22t.
De modo análogo, P2 dobra a cada duas
horas, ou seja, seu valor inicial é multiplicado por 2 a cada 2 horas, ou seja, é multiplica - do por 2 a cada hora, e temos:
Pergunta-se:
a) Em que instante t as duas populações terão
o mesmo valor?
As populações terão o mesmo valor quando
1 000 . 22t = 8 000 . 20,5t, ou seja, quando
21,5t = 8 = 23; teremos, então: 1,5t = 3 e,
portanto, t = 2 horas.
b) Em que instante t a população P1 será oito
vezes maior que P2?
Teremos P1 oito vezes maior que P2 quando
1 000 . 22t = 8 . 8 000 . 20,5t. Efetuando os
cálculos, temos: 21,5t = 64 = 26; segue que
1,5t = 6 e, portanto, t = 4 horas.
c) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t = 3?
(Use o valor aproximado 223 = 2,83.)
Quando t = 3, teremos: P1 = 1 000 . 22 . 3 = 1 000 . 26 = 64 000 bactérias. P2 = 8 000 . 20,5 . 3 = 8 000 .21,5 = 8 000 . 2,83 = = 22 640 bactérias (usando a aproximação 2 3 2 ≅ 2,83.) Exercício 7
Certa substância radioativa decompõe-se de tal forma que sua massa m reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo . 2–0,25t, sendo mo o valor inicial da massa. Partindo-se de 60 g da substância, pergunta-se:
Nesse exercício, com cálculos análogos aos anteriores, há um decrescimento na massa m de uma substância radioativa. Se ela reduz-se à metade a cada 4 horas, então ela é mul-tiplicada por 1
2 a cada 4 horas, ou seja, é
multiplicada por 1
2 a cada 2 horas, ou,
ainda, é multiplicada por 1
2 = 12
4 = 2–0,25
a cada hora; daí a expressão m = mo . 2–0,25t. Se
a massa inicial era 60 g, então m = 60 . 2–0,25t.
a) Qual será a massa restante após 8 horas? A massa restante após 8 horas será
m8 = 60 . 2 –0,25 . 8 = 60 . 2–2 = 60
4 = 15 g.
b) Após quanto tempo a massa restante será
igual a 12 g? (Utilize o valor aproximado 5 ≅ 22,32.)
A massa restante será igual a 12 g quando
tivermos 60 . 2–0,25t = 12, ou seja, 5 = 20,25.t
Utilizando o valor aproximado 5 ≅ 22,32, temos:
2,32 = 0,25t e, portanto, t = 9,28 horas. (Poderíamos escrever a parte final da solução
da seguinte maneira: 5 = 20,25t equivale a dizer
que 0,25t = log2 5, ou seja, t = 4 . log2 5. O
valor aproximado fornecido é justamente o logaritmo de 5 na base 2.)
logaritmos: as propriedades
fundamentais, em qualquer base
Já vimos que os logaritmos nada mais são que expoentes; suas propriedades mais funda-mentais decorrem das correspondentes pro-priedades das potências.
(m + n), o que significa dizer que o logaritmo de (am . an) é igual a (m + n). Em outras pala-vras, o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
Podemos observar a relação entre as pro-priedades das potências e dos logaritmos na tabela a seguir: (a > 0, a ≠ 1; m, n e k naturais quaisquer) Propriedade M = aPotênciasm n = an logaritmos m = loga M n = loga n Produto M . N = am + n log a (M . N) = loga M + loga N
Quociente MN =am n− loga M loga loga
N M N = − Potência Mk = amk log a (Mk) = k .loga M Raiz kM M a m 1 k = k =
Tais propriedades são válidas, portanto, qualquer que seja a base a em que estamos calculando os logaritmos. As propriedades re-lativas a potências também podem ser estendi-das para qualquer expoente real k.
Para a determinação dos logaritmos na base 10, ou seja, dos logaritmos decimais, exis-tem tabelas construídas desde o século XVII, por meio de aproximações sucessivas. Atual-mente, podemos obter os logaritmos utilizan-do calculautilizan-doras eletrônicas científicas.
Uma vez construída uma tabela de logarit-mos para uma determinada base, por exemplo, a base 10, podemos determinar o logaritmo de um número n em qualquer outra base por meio de um procedimento simples, descrito a seguir: temos o logaritmo de f n na base 10, que é igual a n, ou seja, N = 10n; queremos o logaritmo de f n em outra base a,
ou seja, queremos saber o valor de m tal que N = am;
como N = 10
em notação simbólica, temos: f log log log N N a a =
com um procedimento análogo, podería-f
mos obter a expressão que permite a mu-dança de uma base conhecida a para uma
nova base b: logaritmo de n na base a logaritmo de b na base a logaritmo de n na base b = log log log b a a N N b =
Exemplo ilustrativo
Dispondo-se de uma tabela de logaritmos decimais (base 10), para se obter uma tabela de logaritmos na base 7, basta encontrar na própria tabela o logaritmo decimal de 7 (que é aproximadamente 0,845) e dividir todos os va-lores tabelados por esse valor. Por exemplo:
log log log , , 710 10 7 1 0 845 1 183 = = = log log log , , 7100 100 7 2 0 845 2 367 = = = log log log log , 7 7 0 845 N= N= N
Exercícios exemplares
Exercício 8Estabelecendo-se que log 2 = 0,30103, calcule:
a) o logaritmo de 10 na base 2;
Temos: log2 10 = log
log , , 10 2 1 0 30103 3 322 = = . b) o logaritmo de 5 na base 10; Como 5 =10
2, segue que log 5 =
= log 10 – log 2 = 1 – 0,30103 = 0,69897. c) o logaritmo de 5 na base 2;
Temos, analogamente ao item a:
log2 5 = log log , , , 5 2 0 69897 0 30103 2 322 = =
(Observar a resposta do item a) e notar que, em razão de termos 10 = 5 . 2, resulta que
log2 10 = log2 5 + log2 2, ou seja, log2 10 =
= log2 5 + 1.)
d) o logaritmo de 64 na base 5.
Como queremos calcular log5 64, podemos
escrever: log log
log , , 5 2 2 64 64 5 6 2 322 2 584 = = =
logaritmos: uma linguagem sugestiva em
diferentes contextos
O contexto em que surgiram os logaritmos era o de simplificação de cálculos, no início do século XVII. Tal significado prático não é, hoje, especialmente relevante diante dos inú-meros recursos tecnológicos disponíveis para isso. No entanto, a relevância dos logaritmos permaneceu e é possível afirmar que ela au-mentou. Como explicar tal fato?
como as energias liberadas por ocasião dos terremotos, ou muito pequenas, como as quantidades de íons de hidrogênio livres em um líquido, que são responsáveis pela acidez, por exemplo. A expressão das gran-dezas correspondentes a esses fenômenos por meio de potências de 10 torna os núme-ros envolvidos menores (de 0 até por volta de 9 graus na escala Richter, e de 0 a 14 na indicação do pH). Como se sabe, a água tem pH igual a 7, a acidez de um líquido é tanto maior quanto menor é seu pH, entre 0 e 7, e o caráter básico, que se opõe ao ácido, signi-ficando menos H+ por litro, aumenta quanto mais o pH se aproxima de 14.
Exercícios exemplares
Nos exercícios seguintes, serão apresen-tados os elementos fundamentais para a compreensão dos fatos citados, ilustrando a importância da ideia de logaritmo em dife-rentes contextos.
Exercício 9
A energia liberada por ocasião de um ter-remoto pode ser muito grande, sendo fre-quentemente expressa por uma potência de 10. Para medir o potencial destrutivo de um terremoto, utiliza-se a escala Richter, que leva em consideração apenas o expoente da potência considerada em cada caso. Esse expoente indica a magnitude do terremoto. Existem aparelhos apropriados para medir tal magnitude: são os sismógrafos. A tabela a seguir registra o local, o ano de ocorrên-cia e a magnitude de alguns terremotos que ficaram famosos pelos estragos produzidos.
local ocorrênciaAno de Magnitude
Los Angeles 1994 6,6 Japão 1993 7,8 Irã 1990 7,7 São Francisco 1989 7,1 Armênia 1988 6,9 Cidade do México 1985 8,1 Grã-Bretanha 1984 5,5 Alasca 1964 8,4 Chile 1960 8,3 Ex-União Soviética 1952 8,5 São Francisco 1906 8,3 Colômbia 1906 8,6 Ilha de Krakatoa 1883 9,9
Com base nas informações anteriores, res-ponda às seguintes questões:
A competência específica mais mobilizada no presente exercício é a competência leitora. Além da compreensão da ideia de logaritmo como expoente, todas as informações necessá-rias para a solução encontram-se no texto.
a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter
é potencialmente quantas vezes mais des-trutivo que um terremoto de 4 graus?
