Lugar das Raízes 1 Conceituação

O método do Lugar das Raízes foi proposto por W.R. Evans em 1948 e permite determinar a posição dos pólos de um sistema realimentado a partir do conhecimento dos pólos e zeros do sistema à malha aberta e em função do ganho da malha.

Para o entendimento do método, considere-se o sistema da Figura 9.4.

K G(s) U(s)

+ -

Y(s)

9

A função de transferência do sistema à malha fechada vale: Y(s)

= U(s)

KG(s)

1+ KG(s) (9.3)

O método permite determinar a posição das raízes de 1 + KG(s) = 0 a partir do conhecimento de G(s).

Um breve exemplo servirá para ilustrar esta ferramenta. Tomando G(s) = 1

s(s+2) , a função de transferência à malha fechada vale: G_MF (s) = K

s2_{+ 2s + K}.

Os pólos desta função de transferência encontram-se em: s_1,2= -1+_ √1 - K.√

Para 0 ≤ K ≤ 1, as raízes são s_1,2= -1+_ √1 - K.√ Para K > 1, as raízes são s1,2 = -1+_ j√K - 1.√

Este resultado está apresentado graficamente na Figura 9.5.

K = 2 -j1 +j1 K = 2 K = 0 K = 0 -2

Figura 9.5 - Exemplo de Lugar das Raízes

As raízes do sistema à malha fechada assumem posições diferentes no plano complexo em função do valor de K. Chama-se Lugar das Raízes (LR) o diagrama que apresenta o lugar que as raízes do sistema realimentado ocupam no plano complexo em função de K.

Evans estabeleceu uma série de regras para o traçado deste lugar geométrico sem a necessidade do cálculo das raízes, como foi feito no exemplo anterior. Atualmente, existem vários programas de computador que fazem este cálculo. No entanto, é útil conhecer as regras mais simples, uma vez que a partir delas já se torna possível esboçar algumas curvas.

Considerando G(s) = N(s) / D(s), as raízes de 1+KG(s) são as raízes de D(s) + KN(s) = 0.

Assim, para K= 0, esta igualdade reduz-se a D(s) = 0. Os valores de "s" que atendem esta condição são os pólos do sistema à malha aberta (REGRA 1).

Para K→ ∞, a igualdade será satisfeita se N(s) = 0. Os valores de “s” que satisfazem esta igualdade são os zeros do sistema à malha aberta (REGRA 2).

9

Concluí-se, assim, que o LR inicia nos pólos do sistema à malha aberta e termina nos zeros e que existem tantos ramos quantos são os pólos.

Como usualmente o número de pólos de um sistema é o maior do que o número de zeros, as regras 1 e 2 sugerem que alguns ramos devem tender a infinito quando K→ ∞, pois esta seria uma forma de também atender à equação D(s) + KN(s) = 0 .

Demonstra-se que estes ramos se encontram em um ponto do eixo real dado por:

α =

∑

pi -

∑

zi

n_p- n_z np nz

1 1 _{(REGRA 3),}

em que pi são os pólos do sistema à malha aberta e zi seus zeros, np o número de pólos e nz o número de

zeros.

Estas n_p - n_z assíntotas formam com o eixo real ângulos dados por

φj=

180° + 360° (j - 1)

n_p - n_z , j = 1,2,...., (np - nz) (REGRA 4).

Para os demais valores de K, considerando K > 0, verifica-se que: ∠G(s) = ∠ - 1 = -180°.

Esta simples relação permite concluir que existirão raízes sobre o eixo real sempre que existir um número ímpar de pólos mais zeros à direita do ponto considerado (REGRA 5).

Por outro lado, se∠G(s) = -180° então ∠G(s*) = 360° - ∠G(s) = -180°. Portanto, o LR é simétrico em relação ao eixo real (REGRA 6).

Quando dois ramos do LR se encontram em um ponto do eixo real, os ramos explodem para o plano complexo com ângulos de +_ 90°. O exemplo anterior ilustrou este fato (REGRA 7).

9.2.2 Posição de Pólos e Resposta no TempoTT

Numerosos processos podem ser aproximados como possuindo dois pólos dominantes. A função de transferência parametrizada em termos do coeficiente de amortecimento (ξ) e da freqüência natural não amortecida (ω_n) permite o estabelecimento de critérios de projeto com base no LR. Assim, para H(s) dado por:

H(s) = 2 n ω 2 n ω s2 _{+ 2ξω} ns + (9.4)

pode-se obter a resposta ao degrau unitário e apresentá-la com o tempo normalizado (ω_nt) e parametrizada em função deξ (Figura 9.6).

Os pólos deste sistema são dados por:

s_1,2 = -ξω_n+_ ω_n

_√√

ξ_ξ2 _{− 1} (9.5)

9

y(t) ωnt ξ = 0 ξ = 0,7 0.1 0.2 0 2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 0.3 0.4 0 4 0.5 0.6 0 6 0.8 0.9 1.0 1.0

Figura 9.6 - Respostas ao degrau para um sistema de segunda ordem

ωn − ξωωn x cosθ = ξ x θ

Figura 9.7 - Posição dos pólos do sistema de segunda ordem7

De um modo geral, a posição dos pólos e a resposta no tempo podem ser qualitativamente relacionadas como na Figura 9.8.

Im(s)

Re(s) ESTÁVEL INSTÁVEL

9

Deste conjunto de observações, percebe-se que a resposta no tempo pode ser inferida a partir do posicionamento dos pólos dominantes. Por exemplo, para coeficientes de amortecimento maiores que 0,7, o ângulo θ (Figura 9.7) deve ser menor que 45º. Os tempos de assentamento estão intimamente relacionados à parte real das raizes, portanto ao produtoξω_n. Por sua vez, o sobrepasso M_p (Figura 9.3) depende deξ.

9.2.3 Procedimentos para projeto

A partir de determinada especificação dada em termos de sobrepasso ou tempo de assentamento, pode-se delimitar uma região do plano complexo onde devem se situar as raízes dominantes do sistema realimentado.

As seguintes relações são bastantes úteis: 4,6 →

ξωn

t_s(1%)

t = |parte real dos polos| > 4,6 _t

s

.

M_p = 5% → ξ = 0,7→ θ = cos-1ξ = 45°.

Mp = 15% → ξ = 0,5→ θ = cos

-1 _{ξ = 60°.}

Uma vez delimitada esta região, cabe ao projetista, engenhosamente, encontra o compensador e o ganho da malha de controle de modo que as raízes fornecidas pelo traçado do LR se encontrem na região pré- estabelecida.

Para esta tarefa, o auxílio propiciado por programas de computador facilita extremamente o trabalho. Por exemplo, no MATLAB, existem disponíveis as ferramentas RLTOOL e SISOTOOL. Diferentes tipos de compensadores podem ser testados, o valor do ganho variado e a resposta no tempo observada.

O projetista, no entanto, precisa de uma boa noção do que está sendo calculado. Assim, o conhecimento das regras básicas do LR ajuda bastante. Por exemplo, se for necessário trazer as raízes do sistema realimentado para a esquerda do plano complexo, a REGRA 2 ensina que deve-se introduzir um zero na malha aberta. Em outras palavras, isto significa um compensador PD, cuja função de transferência é dada por:

G_R(s) = K(1+T_Ds). (9.6)

O compensador lead, dado por:

Gc (s)= K 1 + TDs

1 +αT_Ds (9.7)

comα<1, fornece uma realização da operação Proporcional Derivativa com atenuação da ação derivativa em altas freqüencias, portanto, mais realista.

9.3 Resposta em Freqüência

No documento Acionamento, Comando e Controle de Máquinas Elétricas - Richard M. Stephan (páginas 83-87)