Método de pesquisa – simulação por dinâmica de sistemas

A simulação por sistemas dinâmicos é um método de simulação adequado para problemas de grande abrangência e agregação e com enfoque estratégico, que é o caso em questão. Esta abordagem de simulação foi criada por Forrester (1961) inspirada nos métodos de simulação de sistemas de automação e controle, adaptando-o a outros sistemas mais complexos, por isso também é conhecida por simulação de sistemas complexos. Posteriormente este método foi aperfeiçoado, dentre outros, por Roberts et al. (1983) e Sterman (2000).

Dois importantes conceitos são utiliza

trarmos situações onde a alteração em uma variável influencia indiretamente nela mesma. É o caso, por exemplo, do crescimento de populações,

d

número de indivíduos, caracterizando u outro lado o aumento no número de in mortes que faz decrescer o número de in de retro-alimentaçã

inado momento levam um tempo para que sejam observados os seus resultados. Deste modo, no exemplo da população, caso seja tomada a decisão de

criar um controle populacional com o objetivo de estabilizá-la, definindo-se que cada casal só pode ter dois filhos, esta medida só surtirá efeito quando as crianças que estão nascendo no momento em que a decisão foi tomada tornarem-se adultas. Este atraso nos efeitos das decisões também é observado em sistemas econômicos, quando se corta a taxa básica de juros e o efeito no aumento da atividade econômica só se verifica após certo tempo.

De acordo com Roberts et al. (1983), a construção de um modelo de simulação por sistemas dinâmicos deve seguir as seguintes etapas:

1. Definição do modo de referência; 2. Elaboração do diagrama causal; 3. Elaboração do diagrama de fluxo; 4. Equações;

5. Simulações.

A primeira etapa do método é a definição do modo de referência. Nesta etapa, são identificados os comportamentos reais das principais variáveis do sistema em estudo para serem posteriormente comparadas com os comportamentos das variáveis simuladas pelo modelo. O mais importante é observar o comportamento

Na Figura 11, tem-se o exemplo de um modo de referência, para o caso do crescimento de uma população de coelhos. Obser

da variável e não os valores numéricos exatos.

va-se que o comportamento da principal variável (quantidade de indivíduos) cresce exponencialmente. Este comportamento, portanto, deve ser observado também na simulação.

0 20000 40000 60000 80000 1000 120000 00 1 4 7 _{10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97} 100 po Número de i n d iví d uos

Figura 11 - Modo de referência para a população de coelhos

ama causal para a população de

c elhos. As variá ero de indiv entos e as

mortes. Quanto ivíduos, maior o

mortes. Esta relação é indicada pela seta acompanhada pelo sinal de positivo. Por s a vez o núme pulação crescer, ao passo que o número de mortes faz a população diminuir. A influência negativa das mortes sobre a população é apontada com o sinal negativo. Também no dos os ciclos de retro eta circular com

Tem

Analisando o modo de referência, deve-se elaborar o diagrama causal. Este deve apresentar todas as variáveis que devem fazer parte do modelo e suas inter- relações. Também devem ser identificados os ciclos de retro-alimentação, que podem ser positivos e negativos. Ciclos de retro-alimentação positivos fazem com que as variáveis aumentem exponencialmente, enquanto o ciclo negativo faz com que ocorram oscilações.

Na Figura 12 tem-se o exemplo do diagr o veis de interesse são o úm

maior o número de ind

n íduos, os nascim

número de nascimentos e

u ro de nascimentos faz a po

diagrama são identifica -alimentação com uma s o sinal respectivo.

Figura 12 - Diagrama causal da população de coelhos

No diagrama de fluxo, as variáveis são identificadas como níveis, vazões, variáveis auxiliares ou parâmetros, cada tipo com seu símbolo específico. Estas variáveis são conectadas com setas cheias q materiais e setas tracejadas que indicam fluxo de informações. Este diagrama é essencial para possibilitar a posterior definição das equações. Na Tabela 1 são apresentados os símbolos utilizados no diagrama d

Tabela 1 - Símbolos usados nos diagramas de fluxo

ue indicam fluxo de

e fluxo.

Símbolo Significado Símbolo Significado

Nível – representa

variáveis que se acumulam

Fonte/sorvedouro

inesgotável –

representam lugares onde a quantidade de material é teoricamente infinita. ao longo do tempo.

variáveis envolvidas no

Vazão – representa

variáveis que causam variações nos níveis.

Fluxo de materiais – identifica a direção e o inter-relacionamento das fluxo de materiais Parâmetro – representam variáveis exógenas. Fluxo de informações – identifica a direção e o inter-relacionamento das variáveis envolvidas no fluxo de materiais envolvidas no fluxo de informações. Variável auxiliar – variáveis intermediárias População de coelhos Nascimentos Mortes + - + + + -

coelhos. O tamanho da população é um nível, visto que ele assume valores que se cumulam ao longo do tempo. Já as mortes e os nascimentos são fluxos, pois

determ f mos os parâmetros

que sã a vi . Sã áveis exógenas que

não sã n d lo e podem ser alteradas no sentido

de modificar o comportamento do sistema.

gura 1

iscretos Δt. As equações dos níveis têm o seguinte formato geral:

Fs o fluxo de saída. Os indicadores t,t-1...indicam o período de tempo.

parâmetros e das variáveis auxiliares.

m lo do mode população de coelhos têm-se as seguintes equações:

Pt = Pt-1 + (Nt – Mt)xΔT (nível da população) (10)

a

inam as variações no tamanho da população. Por im, te o a taxa de natalid de e o tempo médio de da o vari o afetadas por ne huma outra no mo e

Fi 3 - Diagrama de fluxo para a população de bactérias

A partir do diagrama de fluxo, definem-se as equações do modelo para os níveis, fluxos e variáveis auxiliares. A evolução no tempo do modelo é feita a partir de intervalos d

Nt = Nt-1 + (Fet – Fst)xΔt (9)

Onde N é o nível, Fe é o fluxo de entrada e

Os fluxos são funções dos

Para o exe p lo da

População de coelhos Taxa de nascimentos

Mortes

Tempo médio de vida

Nt = Pt x Tn (fluxo de nascimentos) (11)

Mt = Pt /Tv (fluxo de mortes) (12)

= Período de tempo

t = População no início do período t

Mt = Mortes no período t

n = Taxa de natalidade

s finitas). Deste modo, realiza-se uma simplificação, considerando que os fluxos não variam dentro de um intervalo de tempo ΔT.

de um determinado nível temos:

ões do nível N. Considerando que dt seja um tempo discreto ΔT, temos:

E, portanto: Onde :

t

ΔT = intervalo discreto de tempo P

Nt = Nascimentos no período t

T

Tv = Tempo de vida médio

Como é possível notar pelas equações de níveis, a simulação por sistemas dinâmicos se baseia em equações diferenciais, porém utilizando tempos discretos (diferença

Deste modo, durante a simulação, deve-se usar algum tipo de método de integração numérica. O método mais simples e mais comum é o método de Euler. Segundo Sterman (2000), este método considera simplesmente o tempo diferencial de uma equação diferencial como um tempo discreto ΔT.

Desta forma, considerando que F é o fluxo líquido (entradas menos saídas)

F = dN/dt (13)

Sendo, portanto, F a taxa instantânea de alteraç

Nt+1 =Nt + Ft *ΔT (15)

empo ΔT, mais os resultados da integração se aproximarão da solução analítica. Porém, intervalos muito pequenos exigem

ara a maioria dos problemas, o método de Euler é suficiente, pois, segundo Sterm

o método de integração numérica utilizado.

imulação deve retratar o modo de referência, o que indicará que o modelo está aderente à realidade.

Esta equação, considerando que Ft é o fluxo líquido de N, é igual à equação

(9).

Neste caso, quanto menor for o intervalo de t

uma capacidade computacional maior. Deve-se, portanto, determinar uma margem de erro, variando os valores de Δt durante as simulações, que poderá ser tolerada.

Outro método mais sofisticado, encontrado em programas de simulação por sistemas dinâmicos, é o de Runge-Kutta. Este método encontra uma aproximação melhor do fluxo médio entre um intervalo e outro. Primeiramente, são calculadas estimativas dos fluxos para o próximo instante t com o método de Euler. Em seguida, é calculada a média entre os fluxos nos instantes t e t+1. Assume-se este valor para o fluxo no instante t. Com este método, que é o de Runge-Kutta de segunda ordem, obtém-se uma melhor aproximação do fluxo no intervalo de tempo (Sterman, 2000).

P

an (2000), os erros advindos da definição das condições iniciais, parâmetros e das especificações dos modelos costumam ser bem maiores do que os erros advindos d

Para o problema deste estudo iremos utilizar o método de Euler, pois é mais próximo dos modelos de reposição de estoque que estão sendo simulados, que seguem a reposição periódica, de forma que os fluxos entre um instante e outro são realmente constantes.

Posteriormente, pode-se variar os parâmetros com o intuito de construir cenários alternativos ao da situação originalmente estudada.

oftwa dispo ç delos de

dinâmica de sistemas n , , ensim e

P sim. Estes softwa s possuem onde é

possível desenvolver o iagrama de quais o

programa facilita a definição das eq e m Porém,

dependendo da complexi de do mode , l tá-lo em

plan el a p i as. A utilização do

E tem a vantagem d ser mais did c u ecimento

m omum, de forma tornar fác n c modelo.

Portanto, neste trabalho, como o model s e muito

g e devido às van gens aponta s d t

u para a implementa o da simula

eguem nas Tabelas 2 e 3 o exemplo da implementação do modelo da órmulas utilizadas.

aplica as s são

Morais (2004), que desenvolve o modelo de uma cadei suprime na ind tria eletrônica, observando os impactos nos tempos de produção e entrega, Franco (2005), que simula o processo de terceirização logística, e Roman Filho (2005), que analisa uma cadeia de suprimentos na indústria aeronáutica avaliando o impacto das escolhas de modais de transporte e regimes alfandegários.

Existem diversos s res níveis para a implementa ão de mo . Os mais comuns são o Dy amo, iThink Stella V

ower re módulos com interfaces gráficas

d fluxo dos modelos, a partir dos uações e r aliza as si ulações. da lo é perfeitamente possível imp an ilhas eletrônicas como o Exc art r das equações definid

xcel e áti a, pois é m programa de conh

ais c a il a compree são e repli ação do

o não po sui uma complexidad

rande ta da do uso o Excel, es a plataforma será

sada çã ção.

S

população de coelhos em Excel. Na tabela 2 estão os valores e na 3 as f

Alguns exemplos de ção da simulação por sistem dinâmico

A B C D E F G Fluxos 1 Parâmetros Níveis Instante ΔT 1 Mortes 2 População Nascimentos 3 Taxa de nascimentos 0,3 1 1.000 300 200 4 Tempo de vida médio 5 2 1.100 330 220 5 3 1.210 363 242 6 4 1.331 399 266 7 5 1.464 439 293 8 6 1.611 483 322 9 7 1.772 531 354 10 8 1.949 585 390 11 9 2.144 643 429 12 10 2.358 707 472 13 11 2.594 778 519 14 12 2.853 856 571 15 13 3.138 942 628 16 14 3.452 1.036 690 17 15 3.797 1.139 759 18 16 4.177 1.253 835 19 17 4.595 1.378 919 20 18 5.054 1.516 1.011 21 19 5.560 1.668 1.112 22 20 6.116 1.835 1.223

Tabela 3 - Fórmulas utilizadas na implementação em Excel do modelo da população de coelhos

A B C D E F G Fluxos 1 Parâmetros Níveis Instante ΔT 1 Mortes 2 População Nascimentos 3 Taxa de nascimentos 0,3 1 1.000 =D2*$B$2 =D2/$B$3 4 Tempo de vida médio 5 2 =D2+(E2-F2)/$B$1 ... ... 5 3 ... ... ... 6 4 ... ... ... 7 5 ... ... ... 8 6 ... ... ... 9 7 ... ... ... 10 8 ... ... ... 11 9 ... ... ... 12 10 ... ... ... 13 11 ... ... ... 14 12 ... ... ... 15 13 ... ... ... 16 14 ... ... ... 17 15 ... ... ... 18 16 ... ... ... 19 17 ... ... ... 20 18 ... ... ... 21 19 ... ... ... 22 20 ... ... ...