O método dos elementos finitos (FEM) [80]–[81] é empregado com grande sucesso na análise, simulação e otimização de problemas de eletromagnetismo. A estrutura a ser analisada é dividida (o que representa a discretização do domínio contínuo) em um grande número de elementos de geometria bem definida. O conjunto destes elementos, os quais compartilham nós e/ou arestas (e faces em três dimensões) entre si, é denominado malha, a qual é diretamente relacionada com qualidade das soluções dos problemas obtida. Dentro de cada elemento, os valores dos campos são calculados por meio de funções de interpolação. A forma da função de interpolação nos elementos é definida pelos valores dos campos, e algumas vezes por suas derivadas, nos pontos nodais. O relacionamento entre entre os constituintes (nós e/ou arestas e faces) de uma malha, denominado conectividade, é estabelecido mediante uma numeração global do conjunto destas entidades e de uma numeração local dos vértices de cada elemento [82]. Uma vantagem doFEMé a capacidade para lidar com geometrias arbitrárias. Para geometrias muito complexas, o tipo mais flexível de malhas é o que consegue adaptar-se sem quaisquer limitações à fronteira do domínio de solução, como é o caso, por exemplo, das malhas não estruturadas (Fig. 1.12).
Figura 1.12: Exemplo de domínio bidimensional dis- cretizado com malha não estruturada constituída por elementos finitos triangula- res. Os pontos nos vértices dos triângulos representam os nós.
Especificamente, vários problemas foram identificados quando do emprego de elementos finitos baseados em nós em problemas eletromagnéticos, entre eles a ocorrência de modos espú- rios [83]. Ao contrário das funções de base nodal (funções de interpolação escalares), um conjunto de funções de base vetorial (funções de interpolação vetoriais) foi desenvolvido para garantir que os divergentes dos campos elétrico e magnético sejam respeitados, eliminando-se por completo a ocorrência dos modos espúrios[84,85]. O conjunto de funções de base vetorial ou elementos vetoriais considera as arestas de cada elemento, ao invés dos nós, sendo por isto chamadas de funções de base de arestas. Bem sucedidamente aplicado em problemas envolvendo o guiamento em estruturas fechadas, havia ainda a complicação na solução de problemas envolvendo irradiação e espalhamento [86,80]. Visto que a condição de irradiação não está explícita em sua formulação, oFEMcarecia de estruturas (paredes) absorventes para simular, ou melhor, limitar (truncar) o espaço livre adjacente.
Equações de onda requerem uma fronteira que de alguma forma absorva as ondas que nela impinjam, ao mesmo tempo sem refleti-las, e que seja computacionalmente viável [87]. Uma das primeiras tentativas para tratar esta questão envolveu as denominadas condições de contorno absorventes (ABCs) [88,89]. A estabilidade numérica de métodos baseados nasABCs foi estudada por Ramahi [90]. Métodos baseados nasABCs estão (1) restritos à absorção de ondas exatamente (e
apenas) em alguns ângulos, especialmente em incidência normal, e são (2) formulados apenas para materiais homogêneos nas fronteiras [87].
Em1994, o problema das fonteiras absorventes para equações de ondas foi originalmente reformulado por Berenger [91], na medida em que ele alterou o foco da questão: ao invés de buscar por uma condição de contorno absorvente, ele encontrou uma camada de fronteira absorvente. Berenger demonstrou que um meio absorvente especial poderia ser construído de tal forma que ondas não refletiriam na interface: uma camada perfeitamente casada (PML). UmaPMLrepresenta uma camada absorvente artificial para equações de onda, usada com intuito de limitar (truncar) regiões computacionais em métodos numéricos, como é o caso doFEM, para simular problemas com fronteiras abertas. Outras formulações baseadas nasPMLs foram propostas posteriormente [92]–[94].
1.6.1 Simulador Numérico: Resumo Técnico
HFSS11, acrônimo de High Frequency Structure Simulator, é um programa comercial
para a simulação do funcionamento de estruturas eletromagnéticas. Este simulador numérico faz uso doFEMpara a geração de uma solução dos campos eletromagnéticos de componentes e dispositivos operando em altas frequências. A partir desta solução, os parâmetros-S podem ser calculados12.
São necessários o desenho da estrutura investigada e a especificação das características materiais para cada objeto, além da identificação das portas, fontes, ou características especiais da superfície.
Este modelo geométrico, o qual representa a estrutura sob investigação, é automatica- mente dividido em um grande número de tetraedros. Sinteticamente, o procedimento é descrito com auxílio daFig. 1.13.
Figura 1.13: Representação de uma quantidade vetorial num elemento de aresta tetraédrico. (a) Em cada vértice, o HFSSarmazena as compo- nentes do campo que são tangenciais às arestas do tetraedro. O campo dentro de cada tetraedro é então interpolado a partir destes valores, deno- minados nodais. (b) A componente do campo vetorial no ponto intermediário das arestas sele- cionadas que for tangencial a uma face e normal à aresta também é armazenada. (c) O valor do vetor campo no interior de cada tetraedro é inter- polado a partir dos valores obtidos nos vértices do tetraedro.
Por assim representar as quantidades de campo, o sistema pode transformar as equações de Maxwell em equações matriciais, resolvidas mediante métodos numéricos tradicionais.
11HFSSé uma marca comercial da ANSOFT, LCC.
12Para o cálculo da matriz S associada a uma estrutura tridimensional são seguidos os seguintes procedimentos: (1) a
estrutura é dividida numa malha de elementos finitos, (2) a forma de onda dos campos de interesse suportados por cada porta da estrutura é obtida, (3) o diagrama de campo eletromagnético completo dentro da estrutura é realizado de modo a satisfazer às condições de contorno impostas por cada porta da estrutura, (4) a matriz S generalizada é gerada, então, a partir da relação entre as potências refletida e transmitida.
Há um compromisso a ser mantido envolvendo o tamanho da malha, o nível de precisão requerido, e a quantidade de recursos computacionais disponíveis. Visando à produção da malha ótima, o HFSSemprega um processo iterativo, denominado análise adaptativa, no qual a malha é automaticamente refinada em regiões críticas. Primeiro, é gerada uma solução baseada numa malha inicial de qualidade inferior. Em seguida, o programa refina a malha nas áreas de maior densidade de erros e gera uma nova solução. Quando os parâmetros selecionados convergem para o limite desejado, o processo iterativo (laço) é encerrado.
Os padrões de campo excitados em cada porta podem ser calculados anterior ao cálculo do campo eletromagnético tridimensional no interior da estrutura. O HFSScalcula o padrões de campo naturais (ou modos) que podem existir dentro de uma estrutura.
Para gerar uma solução numa determinada faixa espectral, realiza-se uma varredura que pode ser de três tipos: rápida, discreta ou interpoladora. A varredura rápida gera uma solução de campo completa e única para cada divisão na faixa de frequência. A escolha pela varredura rápida é adequada se o modelo ressoa abruptamente ou altera operação na banda de frequência. Pela varredura rápida será obtida uma representação precisa do comportamento próximo à ressonância da estrutura.
Mediante condições de contorno (ou de fronteira), o comportamento do campo é especi- ficado nas superfícies da região limítrofe do problema e interfaces do objeto. Quando o problema possui naturalmente limites geométricos, a região dentro da qual o campo será calculado já está bem definida e é igual à própria região do modelo geométrico. Quando a geometria da estrutura é aberta, caso deCDRAs sob plano de terra alimentadas por monopolo, é necessário delimitar a região do problema (pois deve-se considerar o espaço adjacente ao arranjo). Interior a esta região será obtida a solução de campo.
Quando oHFSScalcula campos irradiados, os valores dos campos sobre a superfície de irradiação são usados para calcular os campos no espaço ao redor do dispositivo. Este espaço é tipicamente dividido em duas regiões – a região de campo próximo e a região de campo distante. Na solução de estruturas irradiadoras e espalhadoras num domínio classificado como irrestrito e infinito, o aplicativo trunca o problema num domínio restrito e finito. Teoricamente, uma condição de contorno deve ser transparente, ou seja, não deve produzir qualquer reflexão não física como resultado do truncamento artificial. OHFSStrabalha com dois tipos de condições de fronteira de irradiação: condição de contorno absorvente (ABC) de primeira ordem e camadas perfeitamente ajustadas (PMLs).