MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 1 Generalidades

Os métodos numéricos estão sendo amplamente empregados na prática da engenharia dentro dos escritórios de empresas de consultoria e projeto, deixando de ser apenas uma ferramenta de pesquisa, devido ao avanço e a maior capacidade dos softwares disponíveis atualmente. A sua utilização em maior escala deve-se também a grande diversidade e complexidade em que as obras geotécnicas estão se tornando.

Segundo Rohlfes Jr. (1996), as enormes complexidades encontradas nos estados naturais do meio geológico, como meio não-homogêneo, comportamento não-linear do material, condições de tensões "in situ", variações espaciais e temporais das propriedades do solo, geometrias arbitrárias e descontinuidades, tomam muito complexa a obtenção de soluções analíticas fechadas. O fato é que um modelo numérico nada mais é que uma representação matemática de um processo físico real, entretanto o modelo geralmente tem a finalidade de traduzir e implicar os fenômenos físicos complexos, porém, de uma forma que seus resultados sejam os mais realísticos possíveis.

De acordo com Aires (2006), na prática a modelagem numérica apresenta algumas vantagens em relação a modelagem real, são elas: o tempo de duração para a execução de cada modelo uma vez que o modelo real demanda uma quantidade maior de tempo para sua elaboração, variedade de concepções que podem ser estudados em um modelo, segurança quando nos casos dos estudos possuírem contaminantes e/ou rupturas de estruturas. Entretanto, o modelo numérico possui determinadas limitações, algumas vezes associados a capacidade do computador e principalmente voltado ao responsável por desenvolver as formulações de um modelo em função do saber manuseá-lo.

A análise de um problema em um programa computacional é uma etapa muito importante no processo de modelagem para que o problema real possa ser corretamente avaliado .O método mais utilizado para uma análise numérica tensão deformação é o

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Método dos Elementos Finitos (MEF), porém, o sucesso na análise depende da experiência do usuário, como geotécnico e como usuário do programa, pois os resultados podem ser afetados pela seleção da malha de elementos finitos, pelas condições de contorno, pela seleção dos parâmetros de entrada e interpretação crítica dos resultados (Mendes, 2010).

Ainda segundo Mendes (2010), o MEF permite simular e analisar o comportamento mecânico de uma estrutura bem como as influências sobre a vizinhança, mantendo os parâmetros geométricos da estrutura e do solo, além de possibilitar incrementar carregamentos estáticos e dinâmicos, condições de contorno mais elaboradas, diferentes modelos constitutivos (lineares e não lineares, elásticos e plásticos), análise temporal, sequência construtiva, etc.

4.5.2. Formulação do Método dos Elementos Finitos

O método dos elementos finitos consiste em discretizar um meio contínuo em pequenos elementos, finitos, mantendo as propriedades do meio original. Deste modo, a ideia central do método é discretizar o domínio, representando-o aproximadamente pela reunião de um número finito de elementos, que podem ser triangulares ou quadráticos nos problemas bidimensionais, e tetraedros e hexaedros em problemas tridimensionais.

Os elementos são interligados entre si por meio de pontos, denominados de nós. As cargas do sistema são aplicadas nos nós de forma a produzir a mesma energia do sistema original (Mendes, 2010). A solução resulta da interpolação de uma solução aproximada a partir do reequilíbrio do sistema, obtido a partir do somatório da contribuição de todos os elementos.

A análise de um problema por meio do Método dos Elementos Finitos pode ser direcionada a partir de três procedimentos diferentes: o Método dos Deslocamentos (ou da Rigidez), o Método do Equilíbrio (ou das Tensões) e o Método Misto. No método dos deslocamentos, estes constituem as incógnitas, sendo determinados com base no Princípio da Energia Potencial Mínima; no método de equilíbrio, as tensões são escolhidas como incógnitas e o Princípio de Energia Complementar Mínima é aplicado

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e, no caso do terceiro procedimento, as tensões e os deslocamentos são escolhidos como incógnitas. A maioria dos problemas da Engenharia Geotécnica têm sido resolvidos utilizando-se o Método dos Deslocamentos (Rohlfes Jr, 1996).

De acordo com este autor, a resolução de um problema geotécnico por meio do Método dos Elementos Finitos envolve algumas etapas, conforme comentadas a seguir:

- Discretização do contínuo - Consiste na divisão do meio contínuo em um número finito de elementos com formas diversificadas conectados por nós situados no contorno e/ou no centro dos mesmos. Três condições devem ser cumpridas a nível local, dentro do elemento, e a nível global, em toda a região discretizada: o equilíbrio de forças, a compatibilidade dos deslocamentos e a lei constitutiva do material;

- Seleção de funções de forma - Consiste em adotar uma função para representar as variáveis incógnitas dentro do elemento, sejam elas de deslocamentos ou forças. Pelo método dos deslocamentos, a relação entre o deslocamento em um ponto arbitrário dentro do elemento e aqueles correspondentes aos nós do mesmo pode ser expressar por uma equação que contenha as funções de forma ou funções de interpolação;

- Derivação das equações correspondentes ao elemento: as soluções das equações que definem as propriedades de um elemento podem ser variadas, tais como o método da rigidez direta, métodos variacionais, métodos residuais, etc. Pelo método da rigidez é construída a matriz de rigidez, composta pelos coeficientes das equações de equilíbrio derivadas a partir da geometria e das leis constitutivas adotadas em cada elemento.

- Montagem do sistema global de equações - Esta etapa consiste na combinação das equações que expressam o comportamento de cada elemento, para montar um sistema de equações que expressam o comportamento da região em sua totalidade. As forças atuantes no meio são convertidas em forças nodais equivalentes, obtendo-se assim, uma relação de equilíbrio entre a matriz de rigidez, o vetor de deslocamentos nodais, e o vetor de forças nodais. As matrizes de rigidez de cada elemento são associadas, formando assim um sistema global.

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- Resolução do sistema de equações – A partir da etapa anterior, obtém-se um sistema de equações que deve ser resolvido para determinar o valor das incógnitas nodais. Com base nos valores das variáveis nodais é determinado o estado de deformação em cada elemento. Estas deformações, juntamente com as deformações iniciais e as leis constitutivas de cada material, definirão o estado de tensão no elemento e no seu contorno.

As soluções de problemas não lineares pelo MEF, geralmente são obtidas por meio de processo iterativo, ou processo incremental, ou ainda processo misto que é a combinação dos dois primeiros.

Uma descrição detalhada, das etapas acima resumidas, pode ser encontrada em Zienkiewicz (1977) segundo Rohlfes Jr. (1996). A interação solo-estrutura é um dos grandes diferenciais neste tipo de análise, uma vez que se altera o estado de deformação e consequentemente da tensão e a interface solo-estrutura pode ser analisada tanto no contato da cortina quanto no contato da ancoragem com o solo (Mendes, 2010).