4.3 Cálculo da Armadura
4.3.1 Método da Flexão
Como discutido no item 3.4.1 deste trabalho, o trabalho a flexão da sapata rígida pode ser caracterizado nas duas direções, admitindo-se a tração uniformemente distribuída na largura da base da sapata e compressão concentrada na região do pilar, não se admitindo essa hipótese para sapatas muito alongadas. Autores sugerem limitar a relação entre os lados “L” e “B” em no máximo 3 (CAMPOS (2015)), e 2,5 (ALONSO (2010)).
CARVALHO e PINHEIRO (2009) esclarecem que o dimensionamento a flexão de sapatas pode ser comparado ao de vigas, com a diferença de que a região de concreto comprimida não é retangular, como ilustra a figura 4.4.
Figura 4.4 – Esforços normais provenientes da flexão.
Fonte: CARVALHO e PINHEIRO (2009).
Como a largura da seção de concreto comprimida diminui a partir da linha neutra, o item 17.2.2 da NBR 6118:2014 multiplica a tensão αc.fcd pelo fator 0,90,
O cálculo do momento fletor solicitante que será utilizado para dimensionar a área de aço na base da sapata deverá ser feito para na seção de referência a 0,15.Bp da face do pilar, onde há a tensão σs, como mostra a figura 4.5.
Figura 4.5 - Esforços atuantes na sapata para o cálculo da armadura transversal.
Fonte: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/ concreto3/Sapatas.pdf.
Para cargas centradas, o momento fletor solicitante característico (Mk)
que solicita a armadura transversal é calculado através da equação 4.7, resultado do diagrama azul da figura 4.6, e o momento que solicita a armadura longitudinal, resultado do diagrama vermelho, é calculado pela equação 4.8. As tensões e os diagramas estão indicados na figura 4.6.
Mk =σmáx2 . (. L B − B2 p+ 0,15. Bp) 2 4.7 Mk =σmáx2. B. (L − L2 + 0,15. Lp p) 2 4.8
Figura 4.6 – Prisma de tensões para cargas centradas.
Já em cargas excêntricas, para incluir o efeito da assimetria gerada, é preciso antes calcular a tensão σs que faz parte do diagrama de tensões solicitantes.
Quando há excentricidade apenas no eixo “x”, flexão composta simples, a tensão σs pode ser calculada pela equação 4.9, quando a excentricidade cair dentro
do núcleo central de inércia, ou pela equação 4.10, quando a excentricidade cair fora do núcleo. Essas equações foram deduzidas pelo Autor considerando um diagrama trapezoidal e triangular de tensões, respectivamente.
𝜎𝑠 =(σmáx− σmín). (L + L2. L p− 0,3. Lp)+ σmín 4.9 𝜎𝑠 =3. (L/2 − eσmáx x) × (3. ( L 2 − ex) − (L − Lp) 2 ) 4.10 As tensões e os diagramas utilizados no cálculo do momento solicitante estão indicados na figura 4.7
Figura 4.7 – Prisma de tensões para cargas excêntricas dentro do núcleo de inércia (à esquerda) e fora do núcleo de inércia (à direita).
Fonte: Elaborado pelo Autor.
Quando a excentricidade for apenas no eixo “y”, flexão composta simples, a tensão σs pode ser calculada pela equação 4.11, quando a excentricidade cair
dentro do núcleo central de inércia, ou pela equação 4.12, quando a excentricidade cair fora do núcleo. Novamente, essas equações foram deduzidas pelo Autor considerando um diagrama trapezoidal e triangular de tensões, respectivamente.
𝜎𝑠 =(σmáx− σmín). (B + B2. B p− 0,3. Bp)+ σmín 4.11 𝜎𝑠 =3. (B/2 − eσmáx y) × (3. ( B 2 − ey) − (B − Bp) 2 ) 4.12
As tensões e os diagramas utilizados no cálculo do momento solicitante estão indicados na figura 4.8.
Figura 4.8 – Prisma de tensões para cargas excêntricas dentro do núcleo de inércia (à esquerda) e fora do núcleo de inércia (à direita).
Fonte: Elaborado pelo Autor.
Para cargas excêntricas nas duas direções, o nível de complexidade aumenta porque a linha neutra não é alinhada com os eixos principais de inércia da base da sapata.
Quando a excentricidade cair nas zonas 1, 3 e 5, a tensão σs azul pode
ser calculada pela equação 4.11, já que são diagramas trapezoidais, onde σ1= σmáx
e σ2 = σmín. No entanto, na zona 4 a tensão σs azul é calculada pela equação 4.13,
deduzida a partir do diagrama triangular de tensões.
𝜎𝑠 =tg(β). (t + L/2) . [tgσmáx (β). (t +L2) − (B − B2 p+ 0,15. Bp)] 4.13
Quando a excentricidade cair nas zonas 1, 4 e 5, a tensão σs vermelho
pode ser calculada pela equação 4.9, já que são diagramas trapezoidais, onde σ1 =
σmáx e σ3 = σmín. No entanto, na zona 3 a tensão σs vermelha é calculada pela
equação 3.14, deduzida a partir do diagrama triangular de tensões.
𝜎𝑠 =tg(α). (s + B/2) . [tgσmáx (α). (s +B2) − (L − L2 + 0,15. Lp p)] 4.14
As tensões σs azul e σs vermelha estão indicadas nas figuras 4.9 e 4.10,
assim como o diagrama de tensões utilizado para calcular o momento fletor solicitante em cada direção.
Figura 4.9 – Prisma de tensões e diagrama utilizado no cálculo do momento fletor solicitante. Zona 1 (à esquerda) e Zona 3 (à direita).
Fonte: Elaborado pelo Autor.
Figura 4.10 – Prisma de tensões e diagrama utilizado no cálculo do momento fletor solicitante. Zona 4 (à esquerda) e Zona 5 (à direita).
Fonte: Elaborado pelo Autor.
O momento fletor solicitante pode ser calculado pela equação 3.14, para o diagrama de tensões azul, que solicitará a armadura transversal de tração da base da sapata, e pela equação 3.15 que solicitará a outra direção, diagrama de tensões vermelho, armadura longitudinal.
Mk =σS2 × (. L B − B2 p+ 0,15. Bp) 2 +(σmáx− σ3 S). L× (B − B2 p+ 0,15. Bp) 2 4.14 Mk= σS2 × (. B L − L2 + 0,15. Lp p) 2 +(σmáx− σ3 S). B× (L − L2 + 0,15. Lp p) 2 4.15
No caso da flexão composta simples, por segurança, o momento solicitante para a direção não correspondente ao da excentricidade será calculado como uma carga uniforme de tensão σmáx, cujos momentos fletores para as duas
No estado limite último, a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) deve equilibrar a resultante das tensões de tração do aço (Fs), e o
binário produzido por essas forças deve ser igual ao momento aplicado na seção (Md). CARVALHO e PINHEIRO (2009) deduzem as equações 4.16 e 4.17 a partir do
equilíbrio da seção entre a força Fc (em relação à linha de ação da força Fs) e o
momento aplicado, considerando uma seção resistente de formato trapezoidal, para determinar a posição da linha neutra. A equação 4.16 calcula a linha neutra correspondente à armadura transversal e a equação 4.17, à armadura longitudinal.
[(−0,273 . cot(𝛼𝐿)). xLN3 + (0,512. d . cot(𝛼𝐿) − 0,256. Lp). xLN2 + (0,64. Lp. d). xLN] −Mf d
cd = 0 4.16
[(−0,273 . cot(𝛼𝑇)). xLN3 + (0,512. d . cot(𝛼𝑇) − 0,256. 𝐵p). xLN2 + (0,64. Bp. d). xLN] −Mf d
cd = 0 4.17
Onde "αT" e “αL” são os ângulos de talude da sapata, "Bp" e “Lp” são os
lados do pilar e "d" é a altura útil da seção.
Por fim, calculada a posição da linha neutra, a área de aço pode ser determinada pela equação 4.18, armadura transversal, e equação 4.19, armadura longitudinal. As =ffcd yd. (Lp. 0,64. xLN+ 0,512. xLN 2 . cot (α 𝐿)) 4.18 As = ffcd yd. (Bp. 0,64. xLN+ 0,512. xLN 2 . cot (α 𝑇)) 4.19
Ainda se deve respeitar uma quantidade de armadura mínima, definida como um percentual da área da seção resistente. Esses valores são encontrados pela equação 4.20, armadura mínima transversal, e equação 4.21, armadura mínima longitudinal.
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,67. ρmín. [h0. L + (Lp+ 5). (hsap− h0) + ((L − Lp− 5)/2). (hsap− h0)] 4.20
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,67. ρmín. [h0. B + (Bp+ 5). (hsap− h0) + ((B − Bp− 5)/2). (hsap− h0)] 4.21
A NBR 8681:2003 no item 5.3.3 permiti que seja adicionado um coeficiente de majoração extra para as ações em um valor até 1,20, em função da gravidade das consequências de uma eventual ruína.