Método do Mínimo Círculo Circunscrito

Vamos assumir que para uma dada história de tensões cisalhante Ψ projetada em um plano ∆ de alguma maneira o vetor tensão médio está localizado sobre esse plano conforme a figura 4.4. Assim, a amplitude da tensão cisalhante é igual à dimensão do segmento que une o vetor tensão médio à maior distância de um ponto da curva Ψ.

Figura 4.4: Definição da amplitude da tensão cisalhante e valor médio para o método do mínimo círculo.

Para tal, deve-se localizar o vetor τmque aponta para o centro desse círculo que circunscreve

a curva Ψ e a amplitude da tensão cisalhante será igual ao raio desse círculo. Este método é denominado método do mínimo círculo circunscrito (MCC).

Em aplicações práticas de critérios de fadiga, a expressão analítica da história de tensões geralmente é desconhecida. Ao invés disso, a história de tensões é discretizada numa seqüencia de componentes da tensão cisalhante no plano de corte e a curva contínua Ψ fica aproximada por uma curva poligonal cujos vértices formam um conjunto de m pontos. O problema para determinar o MCC da curva Ψ é equivalente a um problema de geometria para obter um menor círculo que circunscreve todos os pontos de um polígono de m vértices.

Existem inúmeras abordagens para obter esse mínimo círculo, dentro das quais as seguintes se destacam:

- Algoritmo de combinação de pontos [70]; - Algoritmos aleatórios [71];

- Algoritmo incremental [34; 38]; e

- Algoritmos pré-definidos em pacotes comerciais [72].

Considerando que o algoritmo incremental é o mais utilizado e amplamente aceito para obter a amplitude e a média da tensão cisalhante, nesse trabalho iremos apresentá-lo e implementá-lo numericamente com o propósito de compará-lo com o método a ser apresentado nesse trabalho.

Os demais algoritmos para o MCC não serão apresentados, mas estão à disposição do leitor na referência [73].

O algoritmo incremental foi proposto inicialmente por Dang Van et al. [33] inspirado nos métodos empregados na teoria da plasticidade. Papadopoulos [34], também, apresentou com sucesso o método do mínimo círculo com algoritmo incremental para obter os valores médio e da amplitude da tensão cisalhante.

Para entender como funciona este método, inicialmente, considere um plano ∆ definido pelo seu vetor unitário n e obtenha as componentes do vetor tensão cisalhante (Equação 4.4) sobre esse plano para um número finito de instantes ti, i = 1, 2, ..., m do carregamento periódico.

Desta forma, o conjunto τ(ti), i = 1, 2, ..., m formado pela curva Ψ descrita por τ sobre ∆ fica

discretizado por um polígono Pol de m vértices. Após esta discretização, o problema fica restrito em obter o menor círculo que circunscreve essa curva poligonal composta por m vértices que correspondem ao conjunto das componentes do vetor cisalhante, τ(ti), i = 1, 2, ..., m. Nesse

contexto, pode-se obter infinitos círculos circunscritos à história da tensão cisalhante discretizada no plano ∆, porém, o menor dos círculos será único [74]. O centro desse círculo determina o valor da tensão média τm no plano ∆. Matematicamente, o problema em obter τm é formulado

por: τm = min w  max ti kτ (t i) − wk  , (4.12)

onde τ(ti) é um elemento do conjunto de m vértices de Pol e w é um ponto de ∆.

A relação min-max dada pela equação 4.12 é obtida da seguinte maneira: assuma que inicial- mente, escolhe-se arbitrariamente um ponto w′ pertencente ao plano ∆ como um candidato para

ser o centro do mínimo círculo que circunscreve a curva poligonal Pol (Figura 4.5).

Ainda assim, o número de círculos que contém essa curva com centro em w′ é infinito, mas

apenas um deles, o menor dos círculos conterá todos os vértices da curva poligonal Pol. O raio desse círculo é igual a mais longa corda entre todos os segmentos que une w′ _{a todos os vértices}

de Pol. Para um dado w′, o raio R′do menor círculo com centro em w′e circunscrito a Pol é igual

a:

R′ _{= max} ti k τ (t

Figura 4.5: Gráfico para o problema de min-max para o método do mínimo círculo. Uma vez determinado o centro τm, a amplitude da tensão cisalhante no plano de corte é obtida

por:

τa = max ti kτ(t

i) − τmk . (4.14)

A parte da minimização pode ser entendida da seguinte forma: após determinado o menor círculo circunscrito centrado no candidato w′, pode-se escolher um outro candidato, digamos

w′′para determinar um outro círculo de raio R′′, menor que o anterior mas também circunscrito à

curva poligonal Pol. Desta forma, obtendo novos w procura-se entre todos os candidatos, o centro de um círculo que fornece o menor raio. Em outras palavras, procura-se minimizar a quantidade max

ti kτ (t

i) − wk variando w.

A solução do problema de min-max dada pela equação 4.12 está baseada no teorema estabe- lecido e convenientemente demonstrado em [34], expresso como:

Teorema 1: o mínimo círculo circunscrito a uma polígono Pol é dado por qualquer um dos cír- culos cujo diâmetro é igual ao segmento de reta que une dois vértices qualquer de Pol ou um dos círculos circunscritos para todos os triângulos gerados a partir de três vértices de pol.

O algoritmo para achar o mínimo círculo circunscrito ao polígono Pol em um plano qualquer é sintetizado da integralmente na próxima página.

Algoritmo 4.1: Algoritmo Incremental (MCC) InícioAlgoritmo

τa ← 0 /* Inicialização da amplitude da tensão cisalhante */

Para cadaθr, φs, r = 1, · · · , m, s = 1, · · · , v faça

τk ← τ(tk, θi, φj), k = 1, · · · , n /* Discretização da história de tensões cisalhantes em um período */

ρ_{k ← n}1

n

P

k=1

τk /* Determinação inicial de um centro do círculo (ρ). A escolha natural é a média

de todos os vértices referentes à discretização da história das tensões cisalhantes no plano de corte */

R0 ← Valor Inicial /* valor inicial do raio do círculo, cujo valor deve ser extremamente pequeno*/

Para cadaτk faça

Dk ← kτk− ρk−1k /* Distância do centro do círculo ρk

−1até os pontos τk*/

Pk ← Dk− Rk−1/* valor referente o valor de quanto Pi estão fora do círculo*/

SePk ≤ tol

Rk ← Rk−1/* Raio do círculo permanece inalterado*/

ρk ← Rk−1 /* Localização do centro do círculo permanece inalterado*/

senão

Rk ← Rk−1+ χPK /* Incremento de um valor χ no raio do círculo anterior */

ρk ← ρk−1 + (Dk − Rk)τk−ρ_Dk−1

k /* Mudança da localização do centro do círculo */

FimSe

AtéDk ≤ tol /* tolerância máxima de quanto Pi estão fora do círculo */

SeRk > τa

τa ← Rk/* Armazena o maior valor da amplitude da tensão cisalhante*/

FimSe

Até a avaliação de todos os planosθr, θs

FimAlgoritmo

O processo inicia com um raio cujo valor inicial deve ser muito próximo de zero. O fator de expansão do raio do círculo e o incremento da translação do centro de círculo devem possuir um valor de modo ser pequeno o suficiente para manter uma precisão adequada, mas grande também para permitir que computacionalmente o resultado seja apresentado dentro de um número adequado de repetições. Esta tolerância, representada por χ = 0.05 é considerada um valor adequado entre o tempo computacional e a convergência [75]. A tolerância χ mostrada na figura 4.6 (tol) significa a menor distância entre todos os vértices da curva poligonal Ψ ao menor círculo. No cálculo numérico, o tempo de processamento está diretamente relacionada com o fator de expansão do raio (χ) e a precisão da amplitude máxima da tensão cisalhante vai depender da

tolerância tol.

Figura 4.6: Tolerância do método do mínimo círculo para uma dada história de tensão cisalhante.