O método de simulação de Monte Carlo

Quando se utiliza um modelo matemático para descrever um sistema, pode aconte- cer que o modelo seja complexo demais, ou não permita uma solução analítica. Nesse caso, a simulação computacional pode ser considerada uma ferramenta de grande valia na obtenção de uma resposta para um problema particular.

A simulação de Monte Carlo é o nome dado à simulação que envolve a utilização de números aleatórios. Esse nome é uma referência a cidade de Monte Carlo, no principado de Mônaco, famosa por seus cassinos (Beck, 2005).

O uso do método de simulação de Monte Carlo para determinar a incerteza de medição tem sido nos últimos anos objeto de estudo, sendo uma evidência deste fato a criação de um

3.3. Métodos para a propagação das incertezas 59 suplemento ao GUM (INMETRO, 1998), o qual apresenta as diretrizes para a utilização do método de simulação de Monte Carlo na propagação da incerteza de uma medição (Cox e Harris, 2001, 2006, Cox e Siebert, 2006)

O suplemento 1 do GUM (BIPM et al., 2005) consolida duas idéias básicas: (a) o uso de uma função densidade de probabilidade para expressar uma dada informação sobre os possíveis valores de uma variável aleatória; (b) o uso de um modelo que correlaciona as quantidades de entrada com a quantidade de saída, isto é, o mensurando. O suplemento 1 do GUM é baseado no conceito geral de propagação de FDPs dos parâmetros de entrada, para obter a FDP do mensurando (resposta do modelo), e a mesma recomenda o uso do método de simulação de Monte Carlo como a ferramenta básica para realizar este propósito (Cox e Siebert, 2006).

A técnica de simulação de Monte Carlo permite a avaliação da incerteza associada com a variável de resposta y relacionada com um conjunto de variáveis de entrada (x1,

x2, ..., xk) pelo modelo

y = f (x1, x2, ..., xk). (3.17)

Se todas as variáves de entrada (x1, x2, ..., xk) são descritas por funções densidade de

probabilidade conhecidas, um algoritmo pode ser utilizado para gerar um vetor de entrada xj = (x1, x2, ..., xk). Cada elemento xi desse vetor deverá ser gerado de acordo com a

sua FDP. Através da aplicação do vetor gerado xi à equação (3.17), a correspondente

resposta yj é obtida. Se esse processo de simulação é repetido N vezes (N >> 1), a saída

é um vetor (y1, y2, ..., yN) que pode ser considerado como uma amostra da população

da resposta (figura (3.4)). Através dessa amostra da população de resposta do sistema pode-se determinar uma FDP, que descreve o comportamento da resposta do sistema (Cordero e Roth, 2004, 2005). Pelo fato do método propagar valores das distribuições do parâmetros de entrada pelo modelo matemático da simulação para formar a distribuição da resposta do modelo é que se definiu o método de simulação de Monte Carlo como um "método de propagação de distribuições"(BIPM et al., 2005).

De forma resumida, a avaliação da incerteza da simulação usando a técnica de SMC é realizada em duas fases. A primeira consiste em estabelecer o modelo da simulação e as distribuições de probabilidade dos parâmetros de entrada, enquanto a segunda fase envolve a avaliação do modelo, ou seja, a propagação das incertezas através do modelo. Sendo o formato da distribuição de saída obtido a partir da avaliação do modelo matemático com base na combinação de amostras aletórias das variáveis de entrada.

Os principais estágios para a determinação de uma estimativa da distribuição da va- riável de saída são:

• Definição da variável de saída (para o caso da avaliação da incerteza de uma medição, tem-se que a variável de saída é o valor da grandeza a ser medida);

3.3. Métodos para a propagação das incertezas 60 Geração de valores  aleatórios de acordo  com as FDPs das  variáveis de entrada Avaliação do  modelo Armazenamento  do resultado Repetição por N vezes

Figura 3.4: Princípio do método de simulação de Monte Carlo. • Definição das variáveis de entrada do modelo;

• Definição de um modelo relacionando a variável de saída com as variáveis de entrada; • Com base no conhecimento disponível, definir os tipos de distribuições das variáveis

de entrada e os respectivos valores que definem essas distribuições;

• Propagar as funções de densidade de probabilidade das variáveis de entrada através do modelo para obter a função de densidade de probabilidade da variável de saída. A figura (3.5) apresenta a seqüência de ações necessárias para avaliar a incerteza da simulação usando a SMC, segundo publicado no Suplemento 1 do Guia para a Ex- pressão da Incerteza de Medição, intitulado "Métodos Numéricos para a Propagação de Distribuições"(BIPM et al., 2005).

Na simulação de Monte Carlo, modelos matemáticos não-lineares, distribuições as- simétricas das grandezas de influência, contribuições não-normais dominantes, correlações entre grandezas de influência e outras dificuldades para a aplicação do método de propa- gação de incertezas (LPU) não precisam receber atenção especial. De forma similar, considerações sobre a normalidade da estimativa de saída e a aplicabilidade da fórmula de Welch-Satterthwaite tornam-se desnecessárias. No entanto, a qualidade dos resultados obtidos irá depender dos seguintes fatores (Konrat e Donatelli, 2006):

• Representatividade do modelo matemático;

• Qualidade da caracterização das variáveis de entrada;

• Características do gerador de números pseudo-aleatórios utilizado; • Número de simulações realizadas (M);

• Procedimento de definição do intervalo de abrangência.

O método de simulação de Monte Carlo não é um método de solução exato, porque um número finito de amostras é utilizado (Thacker et al, 2001). Assim, a natureza da aproximação pode ser reduzida através do aumento do número de amostras. Pode-se adotar com um dos critérios para a definição do número de amostras necessárias do método a análise da estabilização da resposta com o número de simulações, figura (3.6).

3.3. Métodos para a propagação das incertezas 61 Parâmetros das FDPs  das quantidades de influencia Número de  simulações M Probabilidade de abrangência p “M” amostras aleatórias obtidas  das FDPs das quantidades de influência Modelo Matemático Avaliação do modelo matemático (vetor com “M” elementos) Aproximação da função de  distribuição  acumulada para o vetor da quantidade de saída Estimativa do valor da quantidade de saída Incerteza Expandida Entradas Processamento Resultados

Figura 3.5: Fluxograma simplificado da avaliação de incerteza da simulação usando o método de simulação de Monte Carlo (Adaptado de (BIPM et al., 2005)).

O método de simulação de Monte Carlo é um método numérico, sendo as principais limitações do método na análise de incerteza de problemas viscoelásticos o tempo de simulação computacional elevado, crítico na avaliação de incerteza de simulações pelo método de elementos finitos com um elevado número de graus de liberdade, com solução não-linear, e para problemas no domínio do tempo com elevado tempo de simulação.