Os métodos X11 e X11-ARIMA

O método X11-ARIMA, método este utilizado nos diversos institutos estatísticos em vários países, foi aplicado nesta tese para se obter uma série pura sem o efeito da sazonalidade e da tendência e desta forma, verificar o comportamento da mesma sem a interferência destes componentes nas séries de insolação, radiação e série eólica.

Aqui se descreve como se originou a fusão dos dois métodos X11 e X11- ARIMA e como são utilizados estes modelos na melhoria do ajustamento sazonal dos valores situados na extremidade da série. Objetivou-se aqueles valores mais recentes, por meio do alongamento da série e desta forma diminuindo os propensos erros que podem ocorrer sem estes ajustamentos sazonais.

Em 1973 iniciou-se nas Estatísticas do Canadá, sob supervisão de Estela B. Dagum, uma pesquisa com vistas à obtenção de um método que suprisse alguns dos problemas do método mais utilizado até então - o método do Census X11 desenvolvido em 1967 nos EUA. Este foi chamado ARIMA no X11.

O método X11 consiste em sucessivas filtragens pela aplicação de filtros lineares, partindo da premissa que a série original pode ser decomposta em quatro componentes: a tendência (!_!), que traduz o comportamento da variável sobre o

tempo; o ciclo (!_!), que traduz os movimentos oscilatórios de longo prazo; a sazonalidade (!!), que se refere às oscilações em torno da tendência de

periodicidade inferior ao ano; a componente errática ou residual (!_!), que traduz os movimentos irregulares, explicadas por causas fortuitas ou desconhecidas, para onde são remetidos os movimentos não explicados pelos componentes anteriores para qual se assume um comportamento aleatório.

Quando esses componentes da série temporal são independentes podem ser relacionadas de forma aditiva:

!_! = !_!+ !_!+ !_!+ !_! (3.33) onde: !_! é a tendência !_! é o ciclo !_! é a sazonalidade !_! é o componente residual.

Se os diferentes componentes são interdependentes o modelo é multiplicativo:

!_! = !_!∗ !_!∗ !_!∗ !_! (3.34)

O método das médias móveis constitue-se numa base importante do método de dessazonalização X11. Estes são filtros lineares que permitem eliminar ou atenuar as oscilaçãoes associadas a algumas frequências. Chama-se média móvel de coeficiente [!_!] o operador designado por!! !_! . O valor no instante t da série bruta é substituído por uma média ponderada dos p valores da série, o valor atual e os f valores futuros da série.

! !_! = !!_!!!!!_!!_!!! (3.35)

Um algoritmo simples de dessazonalização pode ser representado por quatro etapas (Ladiray & Quenneville, 2001):

1. Estimação tendência-ciclo por média móvel: busca reproduzir na melhor forma possível a componente tendência-ciclo procurando eliminar o componente estacionário e reduzir ao máximo a componente irregular.

!_! = !_!(!_!) (3.36)

2. Estimativa da componente estacionária-irregular:

!_!+ !_! = !_!− !_! (3.37)

3. Estimativa da componente estacionária por média móvel em cada mês:

!!_!! = !_![ !_!+ !_! ] (3.38)

e consequentemente

!! = !!+ !! − !! (3.39)

4. Estimativa da série corrigida de variações estacionárias:

!_!= !_!+ !_! = !_!− !_! (3.40)

O método X11 emprega o princípio do algoritmo simples acima descrito, utilizando médias móveis escolhidas e testadas na estimação dos componentes através de interações computacionais.

O procedimento X11-ARIMA consiste basicamente em (Escária, 1995):

- modelar a série original por um processo integrado, autorregressivo, média móvel (ARIMA) do tipo Box-Jenkins;

- extrapolar as observações não ajustadas em cada extremo da série a partir do modelo ARIMA que melhor se ajustem ao comportamento da série original em termos de previsão;

- ajustar sazonalmente a série estendida, com a utilização dos filtros do método do Census X11.

O procedimento X11 ARIMA assume que os principais componentes da série temporal seguem um modelo aditivo ou multiplicativo. A estimativa é feita com diferentes tipos de médias móveis fornecidas sequencialmente em treze passos que são:

- rácio ou relação entre a série original e a série resultante da aplicação de uma média móvel centrada de 12 termos (2 x 12) à série original, obtendo-se uma primeira estimativa dos componentes sazonal e irregular (SI);

- média móvel ponderada de 5 termos (3 x 3 moving average) dos SI para cada mês separadamente, obtendo-se uma estimativa dos fatores sazonais;

- cálculo de uma média móvel centrada de 12 termos (2 x 12) da série dos fatores sazonais obtidos anteriormente. Repete-se seis vezes o primeiro e o último valor da média disponível para obter-se os valores iniciais e finais. Ajustar os fatores para somarem 12 (ou 0 na sazonalidade aditiva), para qualquer período de 12 meses através do cálculo entre a série dos fatores e a série de média móvel obtido anteriormente;

- rácio entre a série dos SI (sazonalidade irregular) e a série dos fatores sazonais calculada anteriormente com vistas à obtenção de uma estimativa da componente irregular;

- cálculo de um desvio padrão móvel de 5 anos relativamente às estimativas do componente irregular e teste do valor do componente irregular do ano central contra 2,5!. Retira-se então os valores acima de 2,5! como extremos e recalcula-se o desvio padrão móvel de 5 anos. Atribui-se um peso 0 aos elementos da série dos componentes irregulares que se encontram acima de 2,5! e um peso 1 aos que se encontram no intervalo (1,5!!2,5!);

- para os dois primeiros anos, utilizam-se os limites do desvio padrão

calculados para o terceiro ano, para os dois últimos, utiliza-se o valor do antepenúltimo ano. Para substituir um valor extremo no início ou no fim da série utiliza-se o valor da média entre o rácio vezes o peso e os três valores do rácio respeitante aquele mês com peso total mais próximo;

- cálculo de uma média móvel ponderada de 5 termos aos rácios SI, com valores extremos substituídos, para cada mês em separado, obtendo-se uma nova estimativa dos fatores sazonais;

- cálculo de uma média móvel centrada de 12 termos (2 x 12) da série dos fatores sazonais obtidos anteriormente. Para obter os valores iniciais e finais, repete-

se seis vezes o primeiro e o ultimo valor da média disponível. Ajustam-se os valores para somarem 12 (ou 0 na sazonalidade aditiva), em qualquer período de 12 meses através do cálculo do rácio entre a série dos fatores e a série de média móvel obtida anteriormente (repetição do passo 3 mas com novos fatores);

- cálculo do rácio entre a série original e os fatores sazonais obtidos anteriormente, obtendo-se uma primeira estimativa da série dessazonalizada;

- cálculo de uma média móvel de Henderson de 9, 13 ou 23 termos à série ajustada sazonalmente, dividindo-se a série tendência-ciclo resultante à série original, obtendo-se uma nova estimativa dos SI;

- cálculo de uma média móvel ponderada de 7 termos aos rácios SI obtidos anteriormente para cada mês separadamente, obtendo-se uma nova estimativa dos fatores sazonais;

- cálculo de uma média móvel centrada de 12 termos da série dos fatores sazonais obtidos anteriormente. Para obter os valores iniciais, repetem-se seis vezes o primeiro e o último valor da média disponível. Ajustar os fatores para somarem 12 (ou 0 na sazonalidade aditiva), em qualquer período de 12 meses através do cálculo do rácio entre a série dos fatores e a série de média móvel obtida anteriormente (repete passo 3 com novos fatores sazonais);

- rácio entre a série original e os fatores sazonais, obtendo-se a série ajustada sazonalmente.

A inclusão do modelo ARIMA no X11 é fundamental quando a estrutura sazonal se altera rapidamente e de forma aleatória. Como a série é estendida, os filtros aplicados às observações dos extremos são semelhantes aos aplicados às observações centrais o que, de acordo com Dagum (1982), minimiza a magnitude das revisões dos fatores sazonais em termos de erro quadrático médio (o X11- ARIMA é um minimum mean square error seasonal adjustment method). Temos assim que o X11-ARIMA é um procedimento iterativo, obtendo-se as estimativas por aplicação sucessiva dos filtros.

O objetivo principal do método ARIMA no X11 é a melhora do ajustamento sazonal dos valores situados nas extremidades da série, principalmente, aqueles mais recentes, por meio do alongamento da mesma. Sem o referido alongamento (alisamento), o ajustamento sazonal das observações situadas nos extremos da série fica mais propenso a erros e, por consequência, a maiores revisões no futuro, uma vez que estas observações não podem ser submetidas aos mesmos filtros

simétricos como ocorre nas observações situadas na parte central da série. Para não ocorrer estes fatos, e suprimir os erros que estes extremos possam causar é que se faz o estudo dos extremos (Arita e Dias 2000).