Métodos de solução

Problemas relativamente de pequenos porte normalmente são resolvidos por métodos exatos, preferencialmente na maioria das vezes são utilizados métodos heurísticos na maioria dos estudos. Aqui descreveremos a explicação detalhada dos métodos de solução utilizados para cada sub- problema. E também serão apresentados as metaheurísticas aplicadas na solução de um PROE.

Nos últimos anos estão sendo propostas várias metaheurísticas para solução de problemas de otimização combinatória: Arrefecimento Simulado (SA), Arrefecimento Determinístico (AD), Busca Tabu (BT), Algoritmos Genéticos (AG), Otimização por Colônia de Formigas (OCF) e Redes Neurais (RN). Essas metaheurísticas tem sido amplamente utilizadas em PRV (Gendreau, Laporte e Potvin [41], Cordeau et al. [42], Yu, Yang e Yao [43], Belfiore, Yoshida Yoshizaki et al. [44]) mas apenas alguns trabalhos tem aplicado metaheurísticas para um PROE conforme Park e Kim [1].

Thangiah e Nygard [45] proporam um sistema automatizado de planejamento de ônibus es- colares chamado GENROUTER. GENROUTER utiliza uma abordagem em duas fases com uma variação dos métodos cluster-first e route-second. Na primeira fase é utilizado um método chamado de setorização genética baseada em um (AG) com a função de criar os cluster das residências dos estudantes. Para o melhor conjunto de cluster obtidos na primeira fase, a segunda fase melhora as rotas utilizando métodos de localização ótima.

Como citado por Park e Kim [1], em Corberán et al. [46] foi usado um método evolutivo para melhorar a dispersão de soluções iniciais geradas por duas heurísticas que se baseiam em mecanismos de clusters. Utilizando um método SA e um BT, em Spada, Bierlaire e Liebling [21] foi melhorada uma solução inicial baseada em uma heurística de inserção. Utilizando um algoritmo para gerar clusters, em Ripplinger [27] mostrado uma solução factível, para o PROE e usado um algoritmo BT a solução inicial foi melhorada. Com quatro heurísticas diferentes, sendo duas apresentadas em Corberán et al. [46], Pacheco e Martí [47] construiu um conjunto de soluções factíveis a partir do algoritmo proposto em Fisher [48] e estudado um mecanismo de inserção. As soluções encontradas por essas quatro heurísticas foram melhoradas através de uma BT.

Capítulo 2

Problemas de roteamento de veículos e

técnicas de solução

Neste capítulo apresentamos uma revisão da literatura sobre os problemas de distribuição de mercadorias entre depósitos e clientes. Estes problemas são conhecidos como Problemas de Rote- amento de Veículos (PRV) 1. Os modelos e algoritmos propostos para solução desses problemas,

podem ser aplicados de forma eficaz não somente a problemas destinados a entrega e coleta de bens, mas para a solução de diversos problemas do mundo real que derivam em sistemas de transportes. As aplicações mais típicas desse tipo de problema são:

• coleta de lixo; • limpeza de ruas;

• planejamento de transporte escolar; • sistemas dial-a-ride;

• transporte de pessoas portadoras de necessidades específicas (PNE); • roteamento de vendedores e de unidades de manutenção.

A distribuição de bens se refere ao serviço feito, em um determinado período de tempo, para um conjunto de clientes por um conjunto de veículos que são operados por um conjunto de operadores (motoristas para o caso de caminhões, ônibus, etc.), a qual é executado em uma rede de estradas ou caminhos convenientes. Em particular, a solução de um PRV visa a determinação de um conjunto de rotas (caminhos, linhas, etc) cada uma realizada por um único veículo iniciando e terminando em seu próprio depósito, de maneira que todos os requisitos de seus clientes sejam cumpridos e todas as limitações operacionais sejam satisfeitas e o custo de transporte seja minimizado. Descrevemos as características típicas dos problemas de roteamento e programação considerando seus componentes principais (rede de estradas, veículos e motoristas), as principais restrições a serem impostas na construção das rotas e os possíveis objetivos a serem minimizados.

A rede de estradas utilizada para o transporte de mercadorias geralmente é descrita através de um grafo, no qual os arcos representam partes da estrada e os vértices representam os cruzamentos, depósitos e localização dos clientes. Os arcos e consequentemente os grafos correspondentes podem ser direcionados ou não, ou seja, eles podem ser percorridos por apenas uma direção (vias de único sentido, geralmente de cidades ou rodovias) ou em ambas as direções. A cada arco é atribuído um custo que normalmente representa a distância à percorrer ou o tempo de percurso, que irá depender do tipo de veículo usado ou o período em que o percurso acontece. Podendo ser em horários de picos e com grande congestionamento de veículos.

Como observado em Toth e Vigo [49], normalmente os clientes são caracterizados da seguinte forma:

• vértice do grafo da rede de estradas em que um cliente está localizado;

• quantidade de bens (demanda), possivelmente de diferentes tipos que devem ser entregues ou coletados nos clientes;

• períodos do dia (janela de tempo) em que um cliente pode ser atendido, possivelmente por motivos em que o cliente se encontra aberto ou por limitações de transito. Por exemplo, nos centros de algumas cidades brasileiras só pode ocorrer carga e descarga de mercadorias das 18:00 às 06:00.

• tempo necessário para carga e descarga de mercadorias que depende do tipo de veículo; • subconjunto de veículos disponíveis que podem ser destinados ao cliente, por razão de limi-

tações de acesso ou restrições do cliente para carga e descarga.

As vezes não há possibilidade de atender os clientes. Nestes casos as quantidades a serem entregues ou coletadas podem ser reduzidas ou não, podendo ocorrer a possibilidade de não aten- dimento de um grupo de clientes. Deste modo, podem ser atribuídos prioridades ou penalizações para a falta total ou parcial do serviço.

Os percursos realizados pelos veículos para os clientes serem atendidos começam e terminam em um ou mais depósito, localizados nos vértices do grafo que representam as estradas. Cada depósito é caracterizado pelo número, tipo de veículos e quantidade total de bens que suporta. Em algumas aplicações do mundo real os clientes são divididos entre os depósitos e os veículos devem retornar ao depósito de partida ao fim de cada percurso. Quando isso ocorre, o PRV pode ser decomposto em problemas independentes cada um associado a um depósito distinto.

Por outro lado, o transporte de mercadorias é realizado usando uma frota de veículos compostos por tamanhos fixos ou definidos de acordo com a exigências de cada cliente. Normalmente os veículos são caracterizados como segue.

• Depósito de saída do veículo, com a possibilidade de que o depósito ao final do percurso seja diferente do depósito de partida;

• Capacidade do veículo expressa pela quantidade máxima, ou o volume, ou o número de caixas que o veículo pode transportar;

• Possibilidade do veículo ser dividido em subcompartimentos, cada um caracterizado pela sua capacidade e tipo de produtos que podem ser transportados;

• dispositivos disponíveis para a operação de carga de descarga, por exemplo máquinas empi- lhadeiras ou material humano.

• subconjunto de arcos da estrada que podem ser percorridos pelos veículos;

• custo associado pela utilização do veículo que podem ser por unidade de distância, por unidade de tempo, por rota, etc.

Os operadores dos veículos devem satisfazer várias condições ajustadas por contratos sindicais ou normas das empresas como período máximo de trabalho diário, número de intervalos durante o serviço, duração máxima de períodos de condução, horas extras máxima permitida por dia, etc. Existem também restrições impostas aos condutores associados aos veículos correspondentes.

As vias devem satisfazer várias limitações operacionais que dependem da natureza dos veículos e dos bens transportados, refletindo na qualidade do serviço executado e as características de cada cliente. Algumas restrições operacionais são:

• ao longo da rota a demanda de carga do veículo não pode ser maior que a capacidade do mesmo;

• os clientes atendidos em uma rota pode exigir a entrega, coleta ou ambos de bens;

• os clientes podem ser atendidos somente dentro de sua janela de tempo ou dentro do período de trabalho dos operadores.

Pode ser imposta uma ordem em que os clientes devem ser atendidos na rota, esse tipo de restrição determina que um cliente deve ser atendido antes ou depois de um conjunto de clientes da mesma rota, este tipo de situação é conhecido como o problema da coleta e entrega, em que em uma mesma rota um mesmo veículo deve coletar mercadorias e entregar em outro cliente.

Outro tipo de restrição de procedência impõem que clientes de diferentes tipos são atendidos na mesma rota. Neste caso, os clientes tem ordem fixa de atendimento, essa situação aparece para os PRV com Backhauls, que é um problema de coleta e entrega, mas pela dificuldade de organização dos produtos nos veículos, esse problema restringe-se as entregas que devem ser feitas antes das coletas.

A avaliação do custo total do transporte e a verificação das restrições operacionais requerrm um conhecimento do custo e do tempo de viagem entre cada par de clientes e entre o depósito e os clientes. Para isso, o grafo da estrada original, que as vezes é muito escasso, é geralmente transformado em um grafo completo, cujo os vértices do grafo representam os clientes e os depósitos. Para cada par de vértices 𝑖 e 𝑗 do grafo completo é associado um custo 𝑐𝑖𝑗 ao arco (𝑖, 𝑗) do

caminho mínimo que liga o vértice 𝑖 ao vértice 𝑗. O tempo de percurso 𝑡𝑖𝑗 é associado ao arco

(𝑖, 𝑗) do grafo completo que representa a soma de todos o tempos do caminho mais curto que liga o vértice 𝑖 ao vértice 𝑗, ou seja, consideramos um grafo completo em vez de considerar o grafo original da estrada, que pode ser um grafo direcionado ou não, dependendo das matrizes de custo e tempo de viagem correspondentes que podem ser assimétricas ou simétricas respectivamente.

Vários objetivos para os Problemas de Roteamento de Veículos podem ser considerados, alguns deles são:

• minimizar o custo total do transporte, dependendo da distância ou tempo total da rota e custos fixos associados aos veículos e seus operadores correspondentes;

• minimizar o número de veículos ou operadores para atender todos os clientes; • balanceamento das rotas para o tempo de viagem e carregamento dos veículos;

• minimizar as punições relativas aos clientes não atendidos ou atendidos parcialmente. É possível ainda considerar uma combinação desses objetivos.

Em algumas aplicações os veículos podem operar em mais de uma rota e por um tempo maior, onde alguns percursos podem durar mais de um dia. Algumas vezes temos que levar em con- sideração versões estocásticas do problema que dependem de tempos dinâmicos, ou seja, alguns problemas a priori há apenas um conhecimento parcial de demandas dos clientes, dos custos e do tempo total de viagem. Já em alguns casos, não há nenhum conhecimento associados aos arcos das redes de estradas.

2.1 Alguns problemas de roteamento e seus modelos ma-

temáticos

Nesta seção apresentaremos alguns tipos de PRV encontrados na literatura e esboçaremos seu modelo matemático de modo mais geral.