4.4 Problema 2: planejamento logístico
4.4.3 Problema 2.2 planejamento e desenho das rotas de ônibus
4.4.3.1 Variáveis de decisão
𝑥𝑖𝑗𝑘 =
⎧ ⎨ ⎩
1 se o veículo 𝑘 percorre o arco (𝑖, 𝑗) ;
0 caso contrário 𝑘 ∈ 𝑉, 𝑖 ∈ 𝐷𝑆 e 𝑗 ∈ 𝑆𝐸;
𝑦𝑖𝑗𝑘 = variável para eliminação de sub-rotas, 𝑦𝑖𝑗𝑘∈ Z+, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐹, 𝑘 ∈ 𝑉. 4.4.3.2 Parâmetros
𝑑𝑖𝑗 = distância euclidiana entre os nós (𝑖, 𝑗) , 𝑖 ∈ 𝐷𝑆, 𝑗 ∈ 𝑆𝐸; 𝑝𝑖 = demanda (estudantes) no nó 𝑖, 𝑖 ∈ 𝑆;
𝑄𝑘 = capacidade de lotação do veículo 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑉. 4.4.3.3 Conjuntos
𝑆 = conjunto de todos os pontos de ônibus, determinados por do Problema 2.1 (4.4.6); 𝐷= nó de partida de todos os veículos, isto é, o depósito;
𝐸 = nó de chegada dos veículos, isto é, escola;
𝐷𝑆 = conjunto contendo todos os nós que tem saída de veículos, 𝐷𝑆 = 𝐷 ∪ 𝑆; 𝑆𝐸 = conjunto de todos os nós que tem entrada de veículos, 𝑆𝐸 = 𝑆 ∪ 𝐸; 𝑉 = conjunto de todos os veículos;
4.4.3.4 Formulação do modelo min 𝑧 = ∑︁ 𝑖∈𝐷𝑆 ∑︁ 𝑗∈𝑆𝐸 ∑︁ 𝑘∈𝑉 𝑥𝑖𝑗𝑘· 𝑑𝑖𝑗 ∀ 𝑖 ̸= 𝑗; (4.4.7) ∑︁ 𝑖∈𝑆 ∑︁ 𝑗∈𝑆𝐸 ∑︁ 𝑘∈𝑉 𝑥𝑖𝑗𝑘 = 1; (4.4.8) ∑︁ 𝑖∈𝐷𝑆 ∑︁ 𝑗∈𝑆 ∑︁ 𝑘∈𝑉 𝑥𝑖𝑗𝑘 = 1; (4.4.9) ∑︁ 𝑖∈𝑆 ∑︁ 𝑗∈𝑆𝐸 ∑︁ 𝑘∈𝑉 𝑝𝑖· 𝑥𝑖𝑗𝑘 = ∑︁ 𝑖∈𝑆 𝑝𝑖; (4.4.10) ∑︁ 𝑖∈𝐷𝑆 𝑥𝑖𝑤𝑘 − ∑︁ 𝑗∈𝑆𝐸 𝑥𝑤𝑗𝑘 = 0 ∀ 𝑘 ∈ 𝑉, 𝑤 ∈ 𝑆, 𝑖, 𝑗 ̸= 𝑤; (4.4.11) ∑︁ 𝑖∈𝑆 𝑝𝑖· ⎛ ⎝ ∑︁ 𝑗∈𝑆𝐸 𝑥𝑖𝑗𝑘 ⎞ ⎠ ≤ 𝑄𝑘 ∀ 𝑘 ∈ 𝑉; (4.4.12) ∑︁ 𝑖∈𝐷 ∑︁ 𝑗∈𝑆𝐸 𝑥𝑖𝑗𝑘 ≤1 ∀ 𝑘 ∈ 𝑉; (4.4.13) 𝑥𝑖𝑗𝑘 ∈ {0, 1} ∀ 𝑖 ∈ 𝐷𝑆, ∀ 𝑗 ∈ 𝑆𝐸 e ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 (4.4.14)
A função objetivo (4.4.7) minimiza a distância percorrida por todos os veículos no sistema de transporte. A restrição (4.4.8) determina que um veículo 𝑘 ∈ 𝑉 saia de um nó 𝑖 ∈ 𝑆 exatamente uma vez, por outro lado, a restrição (4.4.9) determina que um veículo 𝑘 ∈ 𝑉 entre exatamente uma única vez no nó 𝑗 ∈ 𝑆. A restrição (4.4.10) determina que toda a demanda seja atendida. A restrição (4.4.11) define a conectividade da rota, isto é, em uma rota os veículos visitam apenas uma vez um nó. A restrição (4.4.12) determina que a capacidade dos veículos não seja violada. A restrição (4.4.13) determina que o veículo saí apenas uma vez do depósito caso seja necessário.
Com implementação no GLPK o modelo anterior não consegue eliminar as subrotas, então é adicionado ao GLPK uma técnica baseada em uma resolução para o PCV:
𝑦𝑖𝑗𝑘≤ 𝑛 · 𝑥𝑖𝑗𝑘 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐹, 𝑘 ∈ 𝑉 ; (4.4.15) ∑︁ 𝑗∈𝑆𝐸 ∑︁ 𝑖∈𝑆 ∑︁ 𝑘∈𝑉 𝑦𝑗𝑖𝑘+ (se 𝑖 = 1 então 𝑛 + 1) = ∑︁ 𝑖∈𝑆 ∑︁ 𝑗∈𝑆𝐸 ∑︁ 𝑘∈𝑉 𝑦𝑖𝑗𝑘+ 1. (4.4.16)
4.5 Implementação e resultados
Nessa seção apresenta-se os resultados obtidos com implementações no GLPK com tempo de execução de 4 horas. O GLPK é um pacote GNU que oferece um Kit Programação Linear destinado a resolver problemas de Programação Linear (PL), Programação Inteira Mista (PIM) e outros problemas relacionados de grande escala. O GLPK suporta GNU MathProg modeling language que é um subconjunto da linguagem AMPL2. Os principais componentes do Pacote GLPK são:
• método simplex primal e dual;
• método de ponto interior primal e dual; • método branch-and-cut;
• tradutor para GNU MathProg;
• aplicativo de interface para programação; • solvers para solução de PL/MIP.
4.5.1 Problema 1
Utilizando o modelo do Problema 1 (4.3.1), os dados da Tabela 4.1 e considerando uma parti- cularidade do sistema de transporte de estudantes do município de Coxim - MS. O transporte de estudantes da zona rural3 que é composto por 22 veículos, assim para atender a zona urbana da
cidade está disponível 18 veículos para atendimento. Assim, foi utilizado o GLPK para solução do problema da zona urbana, sendo utilizada a Tabela 4.2 com as quantidades e tipos de veículos:
Tipo 3 4 5
Capacidade 35 40 60 Quantidade 4 4 10
Tabela 4.2: Tipos e quantidade de veículos - zona urbana
A implementação do problema representada na página 87, o GLPK utilizou 0,315 segundos. Os resultados mostrados na Tabela 4.3 obtidos indicam que 09 ônibus seriam suficientes para atender a demanda.
Para que esta solução seja validada, faz-se necessário aferir os parâmetros e considerar eventuais particularidades de rotas. Por exemplo, pode ser que um ônibus precise ser deslocado para um lugar no interior, no qual não há um número suficiente de estudantes para lotar a capacidade do veículo, ou ainda que, para lotar os veículos as rotas penalizem muito os estudantes em termos de tempo de transporte.
Tipo 3 4 5
Capacidade 35 40 60 Quantidade ótima 0 0 9
Tabela 4.3: Tipos e quantidade de veículos - zona urbana
3Os veículos destinados a zona rural não são de uso exclusivo dos estudantes, sendo que a população dessa região pode utiliza-los para compras ou outras atividades de necessidade de locomoção, como pagamento de contas e compras de bens alimentícios.
4.5.2 Problema 2
Utilizando o modelo do Problema 2.1 4.4.6 e a matriz de distâncias 𝑐𝑖𝑗 determinada pela Fórmula
(4.4.1) aplicada na Tabela A.1 da página 92 e adicionando a restrição:
𝑐𝑖𝑗 · 𝑥𝑖𝑗𝑘≤0, 7 ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 (4.5.1)
A restrição anterior limita a distância euclidiana máxima em quilômetros que um estudante deve percorrer até chegar ao ponto de ônibus. Com a implementação (A.2) da página 88, os resultados indicam a necessidade de 15 pontos de ônibus que são mostrados na Tabela 4.4, a representação gerada pelo Google Earth na Figura 4.5 e na Figura 4.6 representa as localizações dos pontos e dos estudantes4.
ordem nº Latitude Longitude Demanda ordem nº Latitude Longitude Demanda 1 2 -18.537680 -54.745980 2 8 41 -18.509442 -54.758065 7 2 3 -18.532613 -54.750949 7 9 82 -18.501820 -54.738120 18 3 5 -18.529619 -54.739687 1 10 83 -18.501808 -54.751468 38 4 11 -18.526147 -54.734007 1 11 110 -18.499550 -54.680070 4 5 16 -18.520730 -54.743640 6 12 131 -18.496408 -54.693479 2 6 34 -18.510636 -54.756224 9 13 136 -18.495770 -54.742810 29 7 40 -18.509990 -54.742660 29 14 159 -18.488042 -54.733999 11 15 165 -18.478000 -54.729670 1 Demanda Total 165
Tabela 4.4: Localização dos pontos de ônibus
Figura 4.5: Pontos de ônibus - Google Earth
Figura 4.6: Pontos de ônibus e estudantes - Google Earth
4.5.3 Problema 2.2 - planejamento e desenho das rotas de ônibus
Para um estudo de caso, com os estudantes do IFMS Campus Coxim - MS, foi utilizado o modelo do Problema 1 (4.3.1) juntamente com a implementação descrita em (A.3) na página 89
para determinar os tipos e a quantidade mínima de ônibus para atender 165 estudantes do período matutino. Os resultados obtidos mostrados na Tabela 4.5 indicam que 3 veículos do tipo 5 seriam suficientes para atender estes estudantes.
Tipo 1 2 3 4 5
Capacidade 20 30 35 40 60 Quantidade 0 0 0 0 3
Tabela 4.5: Resultados de veículos para 165 estudantes
Usando as coordenadas dos pontos de ônibus apresentadas na Tabela 4.4 e adicionando mais dois pontos, referentes ao depósito e a escola. É interessante observar que estamos utilizando a distância euclidiana entre duas coordenadas geográficas e o IFMS está localizado em uma região ainda em desenvolvimento, que é a entrada para o Pantanal Sul Matogrossense e só existe uma estrada que leva até a escola, como podemos notar na Figura 4.7.
O modelo do Problema 2.2 (4.4.3.4) pode levar a definir rotas infactíveis, para solucionar esse problema, então adicionamos uma escola artificial, um ponto do percurso em que todos os ônibus terão que passar para chegar a escola.
Ainda adicionamos a restrição (4.5.2) abaixo, limitando a distância percorrida pelos ônibus, entre o primeiro e o último ponto de ônibus, em 35 𝑘𝑚, com isso o estudante minimizamos tempo de percurso do ônibus. ∑︁ 𝑖∈𝑆 ∑︁ 𝑗∈𝑆 𝑑𝑖𝑗 · 𝑥𝑖𝑗𝑘≤35 ∀ 𝑘 ∈ 𝑉 (4.5.2)
Deste modo adicionamos a Tabela 4.4 os pontos:
Ordem Latitude Longitude Escola 00 -18.494900 -54.754944 Depósito 16 -18.504920 -54.752250 Tabela 4.6: Coordenadas Escola Artificial e Depósito
Usando o modelo do Problema 2.2 (4.4.3.4) e a implementação (A.4) da página 90 no GLPK com busca de resultados limitados a 4 horas, as Tabelas 4.7, 4.9 e 4.11 mostram os resultados com abordagem de busca branch-and-cut e as Tabelas 4.8, 4.10 e 4.12 mostram os resultados com abordagem de busca heurísticas.
Nó de saída Nó de chegada distância percorrida (𝑘𝑚)
16 - Depósito 02 3.082 02 01 0.769 01 03 1.115 03 04 0.713 04 11 6.410 11 12 1.457 12 15 4.331 15 14 1.206 14 13 1.266 13 00 - Escola 1.283
Distância total percorrida (𝑘𝑚) 21.632 Demanda atendida 58 estudantes
Tabela 4.7: Rota 1 - branch-and-cut
Nó de saída Nó de chegada Distância percorrida (𝑘𝑚)
16 - Depósito 10 0.356 10 11 7.533 11 12 1.457 12 15 4.331 15 14 1.206 14 00 - Escola 2.337
Distância total percorrida (𝑘𝑚) 17.22 Demanda atendida 56 estudantes
Nó de saída Nó de chegada distância percorrida (𝑘𝑚) 16 - Depósito 06 0.761 06 08 0.199 08 05 0.235 05 07 2.120 07 00 - Escola 1.972
Distância total percorrida (𝑘𝑚) 5.287
Demanda atendida 51
Tabela 4.9: Rota 2 - Busca branch-and-cut
Nó de saída Nó de chegada Distância percorrida (𝑘𝑚)
16 - Depósito 07 1.158 07 01 3.099 01 02 0.769 02 06 2.506 06 08 0.235 08 00 - Escola 1.650
Distância total percorrida (𝑘𝑚) 9.417 Demanda atendida 54 estudantes
Tabela 4.10: Rota 2 - Busca heurística
Nó de saída Nó de chegada distância percorrida (𝑘𝑚)
16 - Depósito 10 0.356
10 09 1.934
09 00 - Escola 1.408
Distância total percorrida (𝑘𝑚) 3.698
Demanda atendida 56
Tabela 4.11: Rota 3 - Busca branch-and-cut
Nó de saída Nó de chegada Distância percorrida (𝑘𝑚)
16 - Depósito 04 3.045 04 03 0.713 03 05 1.073 05 09 2.182 09 13 0.835 13 00 - Escola 1.283
Distância total percorrida (𝑘𝑚) 9.131 Demanda atendida 55 estudantes
Figura 4.8: Sistema de rotas - Busca branch-and-cut - Google Earth
As Figuras 4.8 e 4.9 representam o sistema de rotas desenvolvido para o IFMS Campus Coxim, utilizando a busca branch-and-cut e a busca heuristica, respectivamente. As Tabelas 4.13 e 4.14 resumem a distância total percorrida entre o depósito e a escola.
Rota 𝑘𝑚 - percurso
Rota 1 35.96
Rota 2 9.78
Rota 3 6.75
Total 52.49
Tabela 4.13: Distância total percorrida em 𝑘𝑚 - Busca branch-and-cut
Rota 𝑘𝑚 - percurso
Rota 1 25.30
Rota 2 14.50
Rota 3 14.60
Total 54.40
Tabela 4.14: Distância total percorrida em 𝑘𝑚 - Busca Heurística
Atualmente o município de Coxim utiliza 4 veículos para atender o (IFMS) e como relatado pelos estudantes os percursos podem durar até 01:30 horas, pelas soluções apresentadas nas Tabelas 4.13 e 4.14, temos uma economia de 1 veículo, além disso, o tempo de execução do percurso é minimizado resultando em menor tempo de permanência do estudante no veículo. Uma possível consequência da utilização das rotas é aumento de rendimento e diminuição de evasão escolar.
Capítulo 5
Considerações finais
Nesta dissertação apresentamos uma revisão sobre o problema de planejamento do transporte escolar. Para tanto, apresentamos os principiais algoritmos para roteamento de veículos, incluindo diversas sub-classes do problema e alguns métodos para solução (exatos e heurísticas).
Além da revisão da literatura, no Capítulo 4 apresentamos dois estudos de casos que motivaram o desenvolvimento deste trabalho. O primeiro com o objetivo de determinar a quantidade mínima de veículos necessário para atender toda a rede escolar urbana de Coxim - MS e, no segundo, foi feito um planejamento completo de sistema de rotas de transportes para os estudantes do período matutino do IFMS Campus Coxim.
Para o primeiro estudo de caso foi proposto um modelo de programação linear inteira, que foi implementado no GLPK e a solução obtida sugere uma quantidade total de 31 veículos para atender todo o sistema escolar, 22 veículos para a zona rural e mais 9 veículos para atender a zona urbana, ou seja, uma economia de 9 veículos do total utilizado atualmente pelo sistema, com esse resultado não podemos afirmar que essa quantidade será a mínima, é um resultado muito superficial, como nas redes urbanas existem algumas restrições especificas, como por exemplo, acesso restrito por veículos menores que pode mudar completamente a solução.
Para que se tenha mais certeza nessa quantidade de veículos é imprescindível a coleta de informações específicas em contra partida do poder público. Esse estudo teve como principal objetivo determinar a quantidade mínima de veículos para atender os estudantes do Problema 2 (4.4).
Para o segundo estudo de caso, o Problema 2 (4.4) foi feito um planejamento completo de sistema de rotas de transporte escolar para os estudantes do período matutino do IFMS Campus Coxim. Foi utilizado o período matutino pelo fato de ter a maior quantidade de turmas, no período vespertino a escola conta com apenas duas turmas totalizando um total de 37 estudantes distribuídos por toda a cidade e no período noturno com muitos cursos a distância em que a presença do estudante só é requerida uma vez por semana. Nesse problema verificou-se que a coleta e organização de dados pode se tornar muito complexa dependendo dos objetivos.
Utilizamos o problema localização de facilidades para determinar a localização dos pontos de ônibus, foi necessário a localização geográfica de cada um dos estudantes pesquisados. Para os en- dereços que o Google Earth conseguia encontrar, utilizou-se as coordenadas geográficas fornecidas por este software. Para os outro casos, foi necessário o deslocamento até a localização com um
aparelho GPS para marcar a latitude e longitude do ponto.
Observamos que, dependendo da quantidade de estudantes é muito complexo definir exatamente esse tipo de dados e por isso muitos trabalhos consideram a localização dos pontos de ônibus fixa. Um dos maiores desafios em problemas de otimização combinatória é o tempo de execução computacional para se chegar em uma boa solução, em particular os PRV não fogem dessa regra, são problemas da classe NP-Difícil e os grafos que representam estes problemas, mesmo com poucos vértices, podem implicar na inviabilidade da solução num curto espaço de tempo.
Em muitos casos os métodos exatos são improdutivos para determinar uma solução para o problema, as heurísticas e meta-heurísticas são desenvolvidas para tentar contornar esse tipo de problema, podemos encontrar soluções tão boas quanto as exatas e com tempo computacional muito menor, o que é suficiente para aplicações da vida real.
A metodologia utilizada no GLPK para contornar o problema de eliminação de sub-rotas do Problema 2.2 (4.4.15) e (4.4.16), baseada em um procedimento do Problema do Caixeiro Viajante aumentou a complexidade do problema, com apenas 17 vértices no grafo do sistema, com 4 horas de execução o GLPK sugere uma solução atendendo todas as restrições do problema.
Foi utilizado dois pacotes do GLPK para solução um com busca de soluções baseado em branch-
and-cut e outro uma busca de soluções por uma heurística de projeção, os dois métodos utilizam o
Simplex para determinar as soluções, só muda a maneira de como as soluções são pesquisadas na árvore de busca. A metodologia branch-and-cut representada na Tabela 4.13 em termos de distância total percorrida por todos os veículos é melhor que a solução da metodologia de busca heurística mostrada na Tabela 4.14, já em relação a distância percorrida por veículos o método heurístico obteve melhores resultados, equilibrando as distâncias percorrida pelo 3 veículos utilizados no sistema de rotas.
Um método de avaliar a qualidade do transporte escolar é o tempo de percurso que cada estudante permanece o veículo e, devemos ter um equilíbrio entre as distância percorrida pelas as rotas dos veículos para que se tenha isonomia do transporte escolar.
Comprando as duas soluções encontrada percebemos que a solução pelo método exato mostrado na Tabela 4.13 minimiza o percurso total percorrido para 52.14 𝑘𝑚, enquanto no método heurístico mostrado na Tabela 4.14 a distância total percorrida foi de 54.40 𝑘𝑚. Observando a distância percorrida pelos veículos que pode ser vista na Tabela 4.13 não há equilíbrio, pois, a rota 1 percorre 35.96 𝑘𝑚, a rota 2 9.78 𝑘𝑚 e a rota 3 6.75 𝑘𝑚, o resultado disso implica que os estudantes atribuídos a rota 1 permanecem por um maior tempo no veículo, muito desigual com os outros veículos. Já a distância percorrida pelos veículos usando método de busca heurístico visualizado na Tabela 4.14 é melhor distribuída, sendo assim aumentado a equidade entre as rotas.
A diferença de distância total percorrida entre as duas soluções sugeridas pelo GLPK é de 1.91 𝑘𝑚, que é uma economia de 38.20 𝑘𝑚 mensais (um veículo trabalhando 20 dias por mês), concluímos que em relação ao custo do transporte o sistema de rotas dado pela Figura 4.8 é melhor, já em relação a qualidade do transporte medido pelo tempo que cada estudante permanece no veículo o sistema de rotas na Figura 4.9 se torna mais interessante.
Para próximos trabalhos pode-se ser feito refinamento nos sistemas de rotas utilizando alguma metologia apresentada na subseção 3.2.3.
Para finalizar, ressaltamos que além dos métodos revisados e das aplicações propostas esta dissertação propiciou ao autor o aprendizado de como utilizar a matemática como aplicação de
problemas da vida real e, muitos das métodos e algoritmos utilizados aqui pode ser trabalhado com estudantes do ensino médio para aplicações de conteúdos das grades curriculares, por exemplo, no ensino de trigonometria uma ótima aplicação é o cálculo de distâncias entre duas coordenadas geo- gráficas, que ao mesmo tempo envolve a distância euclidiana. Aprendemos também que problemas com poucas variáveis dependendo de como abordamos não encontramos uma solução exata em curto tempo de execução.
Referências Bibliográficas
[1] Junhyuk Park e Byung-In Kim. “The school bus routing problem: A review”. Em: European
Journal of operational research 202.2 (2010), pp. 311–319.
[2] Byung-In Kim e Sangwon Jeong. “A comparison of algorithms for origin–destination ma- trix generation on real road networks and an approximation approach”. Em: Computers &
Industrial Engineering 56.1 (2009), pp. 70–76.
[3] Lawrence D Bodin e Lon Berman. “Routing and schedung of school buses by computer”. Em: Transportation Science 13.2 (1979), pp. 113–129.
[4] Rita M Newton e Warren H Thomas. “Design of school bus routes by computer”. Em: Socio-
Economic Planning Sciences 3.1 (1969), pp. 75–85.
[5] Gilles Dulac, Jacques A Ferland e Pierre A Forgues. “School bus routes generator in urban surroundings”. Em: Computers & Operations Research 7.3 (1980), pp. 199–213.
[6] Luc Chapleau, Jacques-A Ferland e Jean-Marc Rousseau. “Clustering for routing in densely populated areas”. Em: European Journal of Operational Research 20.1 (1985), pp. 48–57. [7] Robert Bowerman, Brent Hall e Paul Calamai. “A multi-objective optimization approach to
urban school bus routing: Formulation and solution method”. Em: Transportation Research
Part A: Policy and Practice 29.2 (1995), pp. 107–123.
[8] Shen Lin. “Computer solutions of the traveling salesman problem”. Em: Bell System Tech-
nical Journal, The 44.10 (1965), pp. 2245–2269.
[9] Jacques Desrosiers et al. TRANSCOL: A multi-period school bus routing and scheduling
system. Montréal: Université de Montréal, Centre de recherche sur les tranports, 1981.
[10] Brian T Bennett e Denos C Gazis. “School bus routing by computer”. Em: Transportation
Research 6.4 (1972), pp. 317–325.
[11] Ferland J.A. Rousseau J.-M. Lapalme G. Chapleau L. Desrosiers J. “An overview of a school busing system”. Em: Jaiswal, N.K. (Ed.), Scientific Management of Transport Systems.
North-Holland (1981), pp. 235–243.
[12] Golden B. Assad A.-Ball M.O. Bodin L.D. “Routing and scheduling of vehicles and crews: the state of the art”. Em: Computers and Operations Research 10.2 (1983), pp. 63–211. [13] Armin Fügenschuh. “Solving a school bus scheduling problem with integer programming”.
[14] Rita M Newton e Warren H Thomas. “Bus routing in a multi-school system”. Em: Computers
& Operations Research 1.2 (1974), pp. 213–222.
[15] Lawrence D Bodin. “A taxonomic structure for vehicle routing and scheduling problems”. Em: Computers & Urban Society 1.1 (1975), pp. 11–29.
[16] Derek Graham e Henry LW Nuttle. “A comparison of heuristics for a school bus scheduling problem”. Em: Transportation Research Part B: Methodological 20.2 (1986), pp. 175–182. [17] Jacques Desrosiers et al. “Methods for routing with time windows”. Em: European Journal
of Operational Research 23.2 (1986), pp. 236–245.
[18] Jeffrey Braca et al. “A computerized approach to the New York Cityschool bus routing problem”. Em: Iie Transactions 29.8 (1997), pp. 693–702.
[19] LYO Li e Z Fu. “The school bus routing problem: a case study”. Em: Journal of the Opera-
tional Research Society (2002), pp. 552–558.
[20] Eugene L Lawler. “A procedure for computing the k best solutions to discrete optimization problems and its application to the shortest path problem”. Em: Management Science 18.7 (1972), pp. 401–405.
[21] Michela Spada, Michel Bierlaire e Th M Liebling. “Decision-aiding methodology for the school bus routing and scheduling problem”. Em: Transportation Science 39.4 (2005), pp. 477–490. [22] Zhuo Fu, Richard Eglese e Leon YO Li. “A new tabu search heuristic for the open vehicle routing problem”. Em: Journal of the operational Research Society 56.3 (2005), pp. 267–274. [23] Feiyue Li, Bruce Golden e Edward Wasil. “The open vehicle routing problem: Algorithms, large-scale test problems, and computational results”. Em: Computers & Operations Research 34.10 (2007), pp. 2918–2930.
[24] David Bredström e Mikael Rönnqvist. “Combined vehicle routing and scheduling with tem- poral precedence and synchronization constraints”. Em: European journal of operational re-
search 191.1 (2008), pp. 19–31.
[25] Der-San Chen et al. “A bus routing system for rural school districts”. Em: Computers &
Industrial Engineering 19.1 (1990), pp. 322–325.
[26] Craig B Howley, Aimee A Howley e Steven Shamblen. “Riding the school bus: A comparison of the rural and suburban experience in five states”. Em: Journal of Research in Rural
Education 17.1 (2001), pp. 41–63.
[27] David Ripplinger. “Rural school vehicle routing problem”. Em: Transportation Research Re-
cord: Journal of the Transportation Research Board 1922.1 (2005), pp. 105–110.
[28] James Bookbinder e Steven Edwards. “School-bus routing for program scheduling”. Em:
Computers & Operations Research 17.1 (1990), pp. 79–94.
[29] Der-San Chen, Henry A Kallsen e Richard C Snider. “School bus routing and scheduling: an expert system approach”. Em: Computers & Industrial Engineering 15.1 (1988), pp. 179– 183.
[30] Julien Bramel e David Simchi-Levi. “A location based heuristic for general routing problems”. Em: Operations research 43.4 (1995), pp. 649–660.
[31] Robert A Russell e Reece B Morrel. “Routing special-education school buses”. Em: Interfaces 16.5 (1986), pp. 56–64.
[32] G u Clarke e John W Wright. “Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points”. Em: Operations research 12.4 (1964), pp. 568–581.
[33] Emanuel S Savas. “On equity in providing public services”. Em: Management Science 24.8 (1978), pp. 800–808.
[34] Marshall L Fisher, Ramchandran Jaikumar e Luk N Van Wassenhove. “A multiplier ad- justment method for the generalized assignment problem”. Em: Management Science 32.9 (1986), pp. 1095–1103.
[35] Seda Bektaş T. Elmastaş. “Solving school bus routing problems through integer program- ming”. Em: Journal of the Operational Research Society 58.12 (2007), pp. 1599–1604. [36] B Gavish e E Shlifer. “An approach for solving a class of transportation scheduling problems”.
Em: European Journal of Operational Research 3.2 (1979), pp. 122–134.
[37] G.P. White. “An improvement in Gavish-Shlifer algorithm for a class of transportation sche- duling problems”. Em: European Journal of Operational Research 9.2 (1982), pp. 190–193. [38] Bektas T. Kara I. “Integer linear programming formulations of multiple salesman problems
and its variation”. Em: European Journal of Operational Research 174.3 (2006), pp. 1449– 1458.
[39] Patrick Schittekat, Marc Sevaux e K Sorensen. “A mathematical formulation for a school bus routing problem”. Em: Service Systems and Service Management, 2006 International
Conference on. Vol. 2. IEEE. 2006, pp. 1552–1557.
[40] Arthur J Swersey e Wilson Ballard. “Scheduling school buses”. Em: Management Science 30.7 (1984), pp. 844–853.
[41] Michel Gendreau, Gilbert Laporte e Jean-Yves Potvin. “Metaheuristics for the capacitated VRP”. Em: The vehicle routing problem 9 (2002), pp. 129–154.
[42] Jean-François Cordeau et al. New heuristics for the vehicle routing problem. Springer, 2005. [43] Bin Yu, Zhong-Zhen Yang e Baozhen Yao. “An improved ant colony optimization for vehicle routing problem”. Em: European journal of operational research 196.1 (2009), pp. 171–176. [44] Patrı Belfiore, Hugo Tsugunobu Yoshida Yoshizaki et al. “Scatter search for a real-life he-