3.6 Métodos de Resolução do PRV
3.6.1 Métodos Heurísticos
Ø Algoritmo das economias ou algoritmo de CLARK and WRIGHT:
O método das economias ou método de CLARK and WRIGHT, é um método bastante conhecido no meio acadêmico devido ser um método robusto e acurado. Segundo BALLOU
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(2001), as comparações com resultados ótimos para problemas pequenos com um número limitado de restrições, tem mostrado que o método das economias difere em apenas 2%. O objetivo do método das economias é minimizar a distância total percorrida por todos os veículos e minimizar indiretamente o número de veículos necessários para servir todas as paradas. O método baseia-se no conceito de “ganhos” obtidos ao ser inserido um novo ponto de entrega a uma rota existente.
Admitem que existem “n” pontos a serem visitados (coleta ou entrega) e que o veículo parte do depósito D e retorna ao mesmo após o ciclo. Parte da suposição, inicial, que a solução preliminar do problema de roteirização (a pior) consiste de n veículos, sendo que cada veículo visita um único ponto e retorna ao depósito. O percurso total da frota para realizar esse tipo de serviço é dado por:
onde:
i D
l , : é a distância entre o depósito e o ponto i L : a distância total obtida na roteirização
n : número total de paradas (clientes) a serem realizadas visitas.
Supõe-se, a seguir que o veículo, após atender o ponto i visite também o ponto j na mesma viagem. Passa-se da configuração (a) para a configuração (b) de acordo com a figura 3.2 a seguir.
FIG. 3.2 União de dois nós para formar um roteiro único
O “ganho” obtido, em termos de percurso, é dado por:
∑
=∗
=
n i i Dl
L
1 ,2
53 j i j D i D j D j i i D j D i D b a j i
L
L
d
d
d
d
d
d
d
d
S
,=
−
=2∗
,+2∗
,−[
,+
,+
,]=
,+
,−
, j i j D i D j id
d
d
S
,=
,+
,−
,Na escolha de dois pontos i e j para constituir a seqüência de um roteiro, procura-se selecionar o par com maior valor do ganho
S
i, j. Há combinações, no entanto, que violam as restrições de tempo, capacidade, etc, não sendo por isso factíveis.O método de CLARK and WRIGHT explora esse conceito e pode ser descrito como a seguir:
1. Calcular os ganhos Si,j para todos os pares i, j (i j , i D , j D ).
2. Ordenar os pares i, j na ordem decrescente dos valores do ganhoSi,j.
3. Começar pelo par i, j com maior ganhoSi,j e proceder na seqüência obtida em 2.
4. Para um par de nós i, j, correspondente ao K-ésimo elemento da seqüência 2 verificar se i e j estão ou não incluídos num roteiro já existente:
4.1. Se i e j não estão incluídos em nenhum dos roteiros já abertos, então criar um novo roteiro com os nós i e j.
4.2. Se exatamente um dos pontos i ou j já pertence a um roteiro pré-estabelecido, verificar se esse ponto é o primeiro ou o último do roteiro (adjacente ao nó D, depósito). Se isso ocorrer, acrescentar o arco i, j a esse roteiro. Caso contrário, passar para a etapa seguinte, saltando o par i, j.
4.3. Se ambos os nós já pertencem a dois roteiros pré-estabelecidos (roteiros diferentes), verificar se ambos são extremos dos respectivos roteiros (adjacentes ao nó D). Nesse caso fundir os dois roteiros num só. Caso contrário, passar para a etapa seguinte, pulando o par i, j.
4.4. Se ambos os nós i e j pertencem a um mesmo roteiro, pular para a etapa seguinte. 5. Continuar o processo até que o total de clientes da lista de ganhos tenha sido exaurido. Se
sobrar algum ponto não incluído em nenhum roteiro, deverão ser formados roteiros individualizados, ligando o depósito a cada ponto e retornando à base.
Ø Matching based:
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iteração a econômia Si,j obtida juntando as rotas “q” e “p” é computado como ) ( ) ( ) ( ,j i j i j i t S t S t S S
S = + − U , onde S é o conjunto de vértices da rota k, e k t(Sk) é o comprimento de uma solução ótima do problema do caixeiro viajante para S . k
Um problema de combinação das economias dos conjuntos S é resolvido usando os k valores de Si,j como custos combinados, e as rotas que correspondem as combinações ótimas que foram unidas serão mantidas se forem viáveis. Uma possível variante desse método consiste em aproximar os valores de t(Sk) em vez de computá-los exatamente.
Ø Método de varredura ou “SWEEP”:
O método de varredura é mais simples que o método das economias e menos preciso, porém é também muito conhecido no meio acadêmico. Os cálculos necessários são simples mesmo para problemas grandes. Segundo BALLOU (2001), o percentual de erro médio, quando utilizado este algoritmo em relação a um roteiro ótimo é de 10%. Segundo BALLOU (2001), a desvantagem deste método tem relação com a maneira como as rotas são formadas. O processo tem dois estágios com as paradas sendo atribuídas aos veículos primeiro. Então, é determinada a seqüência de paradas nas rotas. Por causa deste processo em dois estágios, as questões de tempo como o tempo total de uma rota e janelas de tempo, não são bem manipuladas.
O método de varredura funciona como a seguir:
1. Localize todas as paradas incluindo o depósito em um mapa.
2. Estenda uma linha reta do depósito em qualquer direção. Gire a linha no sentido horário, ou no sentido anti-horário, até que cruze uma parada. Se a parada for introduzida na rota, a capacidade do veículo será excedida? Se não, prossiga com a rotação da linha até que a parada seguinte seja cruzada. Quando o volume acumulado das paradas, incluindo esta última exceder a capacidade do veículo, exclua o último ponto e feche a rota. Continuando a varredura da linha, comece uma rota nova com o último ponto que foi excluído da rota precedente. Continue com a varredura até que todos os pontos estejam atribuídos à s rotas.
3. Dentro de cada rota, arranje em seqüência as paradas para minimizar a distancia. O que pode ser feito aplicando os métodos OPT-2, OPT-3, mencionados anteriormente.
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FIG. 3.3 Método de varredura. Ø Algoritmo da Pétala
Algoritmo da Pétala, uma extensão natural do método SWEEP, deve gerar diversas rotas, chamadas de pétalas RYAN, HJORRING e GLOVER (1993), e faz uma seleção final resolvendo um conjunto de problemas particionados:
∑
∈S K k kx d Min Sujeito a: ) ,..., 1 ( 1i n x a S K k ik = =∑
∈ 0 = k x ou 1 com (k∈s),Onde S é o conjunto das rotas, xk =1 se e somente se a rota k pertencer à solução, a é ik
o parâmetro binário igual a 1 somente se o vértice i pertence à rota k , e d é o custo da rota k
(Pétala) k . Se as rotas corresponderem aos setores adjacentes dos vértices, então este problema possui a propriedade de coluna circular e será resolvido em tempo polinomial.