Métodos no domínio tempo – frequência

5.1.2.1 Transformada Fourier

A transformada de Fourier (FT) permite a decompor um sinal nas suas componentes de frequência individuais. É, por esta razão, largamente utilizada na análise e processamento de sinais. No entanto, a FT apresenta algumas limitações quando aplicada a sinais não estacionários (i.e. sinais cuja frequência varia ao logo do tempo como por exemplo um sinal ECG) uma vez que não permite saber o tempo de ocorrência das frequências mas apenas a sua composição. Assim sendo, ao nível da FT um sinal estacionário e um sinal não estacionário com a mesma composição de frequências são iguais.

Uma das soluções encontradas para ultrapassar este problema passa por dividir o sinal não estacionário em pequenos segmentos e considerar esses segmentos estacionários, a chamada transformada de Fourier de curto termo, do inglês short-time Fourier transform (STFT). A STFT mapeia um sinal 𝑥(𝑡) numa função bidimensional no tempo, 𝜏, e na frequência, 𝑓 , através da equação (5.8).

𝑇(𝑓, 𝜏) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑤(𝑡 − 𝜏)𝑒^{−𝑗2𝜋𝑓𝑡}𝑑𝑡

+∞ −∞

(5.8) Onde 𝑤(𝑡 − 𝜏) representa a função janela.

Uchaipichat e Inban [49] utilizaram este método para detetar os complexos QRS. A abordagem começa pela seleção uma fatia temporal da STFT a uma frequência específica, neste caso 45Hz seguida da aplicação de limiares como é visível na Figura 5.4.

Figura 5.4: Exemplo da aplicação da SFTF na deteção de complexos QRS [49]. a) Espectrograma da STFT de um segmento de ECG. b) Informação temporal da STFT para 45

HZ.

5.1.2.2 Transformada de onduletas

A transformada de onduletas, do inglês wavelet transfom (WT) é uma ferramenta que é utilizada para analisar sinais não estacionários no domínio da frequência. Permite obter uma representação tempo-frequência do sinal similar à representação obtida pela STFT. Existem dois tipos de transformada de onduletas, a transformada de onduletas contínua, do inglês continue wavelet transform (CWT) e a transformada de onduletas discreta, do inglês discrete wavelet transform (DWT).

5.1.2.2.1

A CWT corresponde a um mapeamento do sinal 𝑥(𝑡) num domínio bidimensional (a,b) através da equação (5.9). Resulta da combinação de mudança de escala (parâmetro dilatação 𝑎) e de localização (parâmetro translação 𝑏) da função mãe Ψ , equação (5.10). 𝑊(𝑎, 𝑏) = ∫ 𝑥(𝑡) Ψ_𝑎,𝑏^∗ (𝑡) 𝑑𝑡 +∞ −∞ (5.9) Ψ^∗ representa o conjugado de Ψ Ψ_𝑎,𝑏(𝑡) = ¹ √𝑎^{Ψ (} 𝑡 − 𝑏 𝑎 ^{) (5.10)}

A função onduleta mãe é uma função janela de comprimento finito e oscilatório, a Figura 5.5 mostra alguns exemplos de onduletas mãe.

Figura 5.5: Exemplos de onduletas mãe [50]

A CWT diferencia-se da STFT por considerar diferentes larguras de janela ao longo da análise do sinal, permitindo assim, adaptar a resolução em tempo e em frequência às várias bandas espectrais. Uma janela estreita resulta numa boa resolução em tempo e fraca resolução em frequência (ideal para analisar altas frequências), pelo contrário uma janela larga resulta numa boa resolução em frequência e má resolução em tempo (ideal para analisar baixas frequências).

Grande parte dos métodos de deteção de picos baseados em onduletas foram desenvolvidos partindo da abordagem de Mallat e Hwang [51]. Estes investigaram e comprovaram a relação entre as singularidades de um sinal e os máximos locais da sua transformada de onduletas. Os coeficientes da WT são utilizados para calcular o grau de singularidade do sinal (regularidade Lipschitz), através do qual são detetado os

complexos QRS. Outros algoritmos utilizam diretamente os coeficientes da WT comparando-os com limiares fixos. Existem ainda algoritmos que têm em conta outras regras adicionais de decisão heurísticas. [43], [44]

5.1.2.2.2

A transformada de onduletas discreta, do inglês discrete wavelet transform (DWT) resulta da discretização dos parâmetros de escala e de translação. Por exemplo, usando discretização logarítmica, DWT díade: 𝑎 = 𝑎₀𝑚 e 𝑏 = 𝑛 ∙ 𝑎₀𝑚∙ 𝑏₀ com 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ.

Ψ_𝑚,𝑛(𝑡) = ¹

√𝑎₀^{𝑚Ψ (}

𝑡 − 𝑛𝑏₀𝑎₀^𝑚

𝑎₀^{𝑚 ) (5.11)}

Sendo a DWT definida pela equação (5.12).

𝑊(𝑚, 𝑛) = ∫ 𝑥(𝑡) Ψ_𝑚,𝑛(𝑡) 𝑑𝑡

+∞ −∞

(5.12) A grande vantagem da aplicação da DWT é a grande redução no tempo e peso computacional, mantendo informação suficiente para a análise e síntese do sinal original.

Figura 5.6 Exemplo de um banco de filtros utilizado em Onduletas.

A DWT é normalmente aplicada em bancos de filtros. Um banco de filtros é uma estrutura de filtros passa-banda que decompõe o sinal em diferentes componentes de frequência (Figura 5.6). A DWT é obtida concatenando todos os coeficientes dos níveis de decomposição, começando pelo último. Os bancos de filtros permitem isolar as componentes de frequência mais proeminentes do sinal, uma vez que estas correspondem às zonas de maior amplitude da DWT. Este conceito é aplicado em algoritmos deteção de complexos QRS. [43], [44]

Coeficientes nível 1 Coeficientes nível 2 Coeficientes nível 3

5.1.2.3 Modo de decomposição empírico

Grande parte dos sistemas reais com que lidamos na prática são complexos e consistem num elevado número de componentes. A análise destes sistemas é por vezes difícil uma vez que a interação entre os vários componentes mascara as relações e regularidades desejadas de encontrar. Os métodos de decomposição ultrapassam esta dificuldade dividindo o sistema nos seus diversos componentes analisando cada um separadamente. Os vários métodos existentes diferem quanto ao tipo de abordagem, matemática ou empírica, grau de complexidade e área de aplicação. [52]

O modo de decomposição empírico, do inglês empirical mode decomposition

(EMD) consiste em dividir o complexo sinal em diferentes, pequenas e finitas funções de modo intrínsecas (IMF) de acordo com um critério. Este método difere da WT e da FT na medida em que as funções base para a decomposição são derivadas do próprio sinal (são intrínsecas ao sinal) constituído uma abordagem mais empírica. A determinação dos IMFs baseia-se no cálculo sucessivo de envelopes do sinal e interpolações até ser alcançada uma certa condição (mais detalhes em [53]).

a) b)

Figura 5.7: Exemplos da aplicação do método EMD na deteção de complexos QRS. [54] a) Os vários IMFs derivados de um segmento de sinal ECG. b) Passos para a deteção dos picos R.

O agrupamento dos modos corretos, ignorando os modos associados ao ruído permitem obter um sinal mais limpo com os complexos QRS mais destacados. Por norma a aplicação deste método na deteção de complexos QRS é seguida pela comparação do sinal limpo com um limiar como é exemplo o algoritmo implementado por Taouli [54]: após o cálculo dos IMFs (figura 5.7 a), os três primeiros são somados de acordo com a equação (5.13) seguindo-se aplicação de um limiar como é visível pela Figura 5.7.

𝑓₂𝑐₃(𝑡) = ∑ 𝑐_𝑖(𝑡)

3

𝑖