M´ aximos e M´ınimos e o Teorema do Valor

Intermedi´ario

Esta aula será dedicada ao estudo dos máximos e m´ınimos de fun¸cões

f : I → R, em que I é um intervalo de R, e do Teorema do Valor Intermediário que s˜ao tópicos da maior relevância na Análise Matemática. As questões relativas a máximos e m´ınimos são importantes por seus aspectos matemáticos mas também por suas aplica¸cões. A natureza nos fornece muitos fenˆomenos nos quais os extremos de fun¸cões aparecem de

maneira bastante natural. Nesse ponto o(a) leitor(a) deve recordar das aulas de Cálculo referentes a esse assunto. Come¸caremos com algumas defini¸cões.

1 M´aximos e M´ınimos

Defini¸c˜ao 47. Diz-se que a fun¸cão f : I → R é limitada superiormente se existir um número M tal que f (x)≤ M, para todo x ∈ I.

Isso signiﬁca que o conjunto {f(x); x ∈ I} ´e limitado superiormente e assim existe sup{f(x); x ∈ I}.

Defini¸c˜ao 48. Diz-se que a fun¸c˜ao f : I → R atinge m´aximo global ou

absoluto em um ponto ¯x∈ I se f(x) ≤ f(¯x), para todo x ∈ I. Nesse caso, f é limitada superiormente e sup{f(x); x ∈ I} = max {f(x); x ∈ I} = f (¯x). Diz-se então que ¯x é ponto de máximo global ou absoluto de f , ao

passo que f (¯x) ´e o valor m´aximo global ou absoluto de f .

Doravante, o termo máximo de uma fun¸c˜ao significar´a máximo global ou absoluto.

UFPA An´alise - aula 8 118

Temos também os conceitos análogos aos das defini¸cões anteriores para fun¸cões limitadas inferiormente e pontos de m´ınimo dados a seguir.

Defini¸c˜ao 49. Diz-se que a fun¸c˜ao f : I → R ´e limitada inferiormente se existir uma constante N tal que f (x)≥ N, para todo x ∈ I.

Isso signiﬁca que o conjunto{f(x); x ∈ I} ´e limitado inferiormente, ou seja, existe inf{f(x); x ∈ I}.

Observemos que os ´inﬁmos e supremos, citados previamente, existem em virtude do Postulado de Dedekind 2.

Defini¸c˜ao 50. Diz-se que a fun¸c˜ao f : I → R atinge m´ınimo global ou

absoluto em um ponto x∈ I se f(x) ≥ f(x), para todo x ∈ I. Nesse caso,

f é limitada inferiormente e inf{f(x); x ∈ I} = min {f(x); x ∈ I} = f(x). Diz-se então que x é ponto de m´ınimo global ou absoluto de f , ao passo que f (x) é o valor m´ınimo global ou absoluto de f .

Doravante, o termo m´ınimo de uma fun¸c˜ao signiﬁcar´a m´ınimo global

ou absoluto.

Quando f : I → R for, simultaneamente, limitada superiormente e inferiormente, diz-se, simplesmente, que f ´e limitada.

Para melhor entendimento desses conceitos, analisemos os exemplos a seguir.

Exemplo 69. Considere a fun¸c˜ao f (x) = x para x∈ [0, 1), representada graficamente na figura a seguir.

0 1 x y 1 f x =x( )

Como 0 ≤ f(x) < 1, f é limitada superiormente e inferiormente. Além disso, f (0) = 0, ou seja, 0 é ponto de m´ınimo de f , mas, apesar de f ser limitada superiormente, não existe nenhum ponto do seu dom´ınio que atinja o valor 1, que é o supremo dos valores de f .

Exemplo 70. Consideremos a fun¸cão f (x) = x2 para x ∈ (0, 1], cujo gráfico é mostrado a seguir.

0 1 x y 1 f x =x( ) 2

Temos que 0 < f (x) ≤ 1 e, assim, f é limitada superiormente e inferiormente. Além disso, f (1) = 1, e da´ı 1 é ponto de máximo de f , mas, apesar de f ser limitada inferiormente, não existe nenhum ponto do seu dom´ınio que atinja o valor 0, que é o ´ınfimo dos valores de f .

Exemplo 71. A fun¸cão f (x) = 1_x, para x > 0, cujo gráfico encontra-se a seguir, é limitada inferiormente por 0, mas não é limitada superiormente.

0 _x

f x =( ) 1_x

Observemos que inf{1_x; x > 0}= 0, mas n˜ao existe nenhum x > 0 tal que f (x) = 0.

Exemplo 72. A fun¸c˜ao f (x) = 1

1 + x2, x∈ R ´e limitada superiormente

e inferiormente. Observando o gr´afico de f

f x =( ) 1 x 1 y 0 _x 1 + 2 vemos que sup { 1 1 + x2, x∈ R } = 1 = f (0) inf { 1 1 + x2, x∈ R } = 0 ,

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notamos quef (x) > 0, para todo x ∈ R. Isso mostra que a fun¸c˜ao n˜ao atinge m´ınimo.

O próximo lema garante que toda fun¸cão cont´ınua, definida em um intervalo fechado e limitado, é limitada superiormente e inferiormente.

Lema 2. Toda fun¸c˜ao cont´ınua f : [a, b] → R ´e limitada superiormente e inferiormente.

Demonstra¸c˜ao. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo

fechado e limitado [a, b]. Suponhamos, por contradi¸c˜ao, que f n˜ao seja limitada superiormente. Assim, para cada n ∈ N, existe xn ∈ [a, b] tal

que f (xn) > n. Usando o teorema de Bolzano-Weierstrass, encontramos

uma subsequˆencia (xnj) de (xn) convergindo para algum ponto ¯x∈ [a, b],

isto ´e, xnj → ¯x. Usando a continuidade de f, obtemos f(xnj) → f(¯x).

Isso implica que a sequˆencia (f (xnj)) ´e, em particular, limitada. No

entanto, isso contradiz o fato de que f (xnj) > nj. Portanto, f ´e limi-

tada superiormente. Para mostrarmos que f ´e limitada inferiormente,

procedemos de maneira an´aloga. 2

Usando o lema que acabamos de demonstrar provaremos, no pr´oximo teorema, um dos principais resultados a respeito de fun¸c˜oes cont´ınuas.

Teorema 44. Toda fun¸c˜ao cont´ınua f : [a, b] → R atinge m´aximo e m´ınimo em [a, b].

Demonstra¸c˜ao. Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo

fechado e limitado [a, b]. Pelo lema 2, f ´e limitada superiormente e infe- riormente. Fa¸camos M = sup{f(x); x ∈ [a, b]}. Em virtude da deﬁni¸c˜ao

de supremo, existe uma sequˆencia (xn) em [a, b] tal que f (xn)→ M. Logo, Observemos que a existˆencia

dessa sequˆencia maximizante ´

e decorrˆencia do exerc´ıcio 12 do Cap´ıtulo 1. Justifique, como exerc´icio, a sua existˆencia.

usando o teorema de Bolzano-Weierstrass, encontramos uma subsequˆencia (xnj) de (xn) que converge para um certo ¯x ∈ [a, b]. Como f ´e cont´ınua,

segue de xnj → ¯x que f(xnj) → f(¯x). Como f(xn) → M, teremos que f (xnj) → M. Pela unicidade do limite, conclu´ımos que f(¯x) = M, ou

seja, tal fun¸c˜ao atinge m´aximo em [a, b]. De maneira an´aloga mostramos

que f atinge m´ınimo em [a, b]. 2

Pelo teorema precedente, qualquer fun¸cão definida em um intervalo fechado e limitado atinge máximo e m´ınimo. No entanto, uma fun¸cão cont´ınua pode atingir máximo ou m´ınimo mesmo em algum intervalo não- limitado como, por exemplo, a reta R. Veremos, no próximo teorema, uma situa¸cão na qual isso ocorre. Para tanto, necessitamos da seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜ao 51. Uma fun¸c˜ao f : R → R ´e dita coerciva se lim

x→+∞f (x) =

lim

x→−∞f (x) = +∞.

Por exemplo, a fun¸c˜ao f (x) = x2_{, com x} _{∈ R, ´e coerciva, enquanto}

f (x

) =

x3, com x∈ R, n˜ao o ´e.

Teorema 45. Toda fun¸c˜ao cont´ınua e coerciva f :R → R atinge m´ınimo. Demonstra¸c˜ao. Observemos que a coercividade de f ´e traduzida da seguinte maneira: dado M ∈ R, existe R > 0 tal que f(x) > M se

|x| > R. Portanto, para M = f(0), existe R > 0 tal que f(x) > f(0)

se |x| > R. Sendo f cont´ınua, usando o Teorema 44, ela atinge m´ınimo em algum ponto x0 do intervalo [−R, R]. Assim, f(x0) ≤ f(x), para todo x ∈ [−R, R]. Tamb´em, f(x0) ≤ f(0) < f(x), para todo x ∈ R com |x| > R. Combinando esses dois ´ultimos fatos, conclu´ımos que

f (x0)≤ f(x), para todo x ∈ R, e assim x0 ´e ponto de m´ınimo da fun¸c˜ao

f . 2

2 Teorema do Valor Intermedi´ario

Nos dois próximos lemas veremos que se uma fun¸cão cont´ınua, definida em um intervalo, assumir valores de sinais contrários nas extremidades do intervalo, então a fun¸cão possuirá um zero nesse intervalo. O primeiro desses lemas será usado na demonstra¸cão do teorema do valor intermediário, um dos principais resultados desta aula.

Lema 3. Seja f : [a, b]→ R uma fun¸cão cont´ınua tal que f(a) < 0 < f(b). Então existe a < c < b tal que f (c) = 0. Nesse caso, diz-se que c é um zero da fun¸cão f .

Demonstra¸c˜ao. Seja f : [a, b] → R como no enunciado do lema .

Consideremos o conjunto A = {x ∈ [a, b]; f(x) < 0}. Esse conjunto ´e limitado superiormente (b ´e uma cota superior de A) e n˜ao-vazio, pois

a ∈ A. Pelo Postulado de Dedekind 2, A possui supremo, digamos c.

Claramente c ≤ b. Como f(b) > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ [b − δ, b] ent˜ao f (x) > 0 e, assim, cada elemento do intervalo [b− δ, b] ´e uma cota superior de A. Como c = sup A, segue-se que c≤ b − δ < b. Mostremos que f (c) = 0. Se f (c) > 0, existiria ε > 0 tal que x∈ [c−ε, c+ε] implicaria

f (x) > 0. Como c = sup A e f (c−ε) > 0, ter´ıamos que c−ε seria uma cota

superior de A menor que o seu supremo, o que ´e imposs´ıvel. Suponhamos

f (c) < 0. Nesse caso, existiria ε > 0 tal que x ∈ [c − ε, c + ε] ⊂ [a, b]

implicaria f (x) < 0. Em particular, f (c + ε) < 0 e assim c + ε∈ A. Como

c ´e o sup de A, isso ´e imposs´ıvel. Ent˜ao f (c) = 0. Segue da´ı que a < c, o

que conclui a demonstra¸c˜ao desse lema. 2

Lema 4. Seja f : [a, b]→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua com f(a) > 0 > f(b). Ent˜ao existe a < c < b tal que f (c) = 0.

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Demonstra¸cão. Consideremos a fun¸cão g : [a, b] → R definida por

g(x) = −f(x). Claramente g ´e cont´ınua e g(a) = −f(a) < 0 < −f(b) = g(b). Aplicando o lema 3 `a fun¸c˜ao g, encontramos c∈ (a, b) com g(c) = 0

e ent˜ao f (c) = 0. 2

Teorema 46. (Teorema do Valor Intermedi´ario) Seja f : [a, b]→ R uma fun¸cão cont´ınua tal que f (a) < d < f (b), para algum número real d. Então existe a < c < b tal que f (c) = d.

Demonstra¸cão. Consideremos a fun¸cão cont´ınua g : [a, b]→ R definida por g(x) = f (x)− d. Assim, g(a) = f(a) − d < 0 e g(b) = f(b) − d > 0. Agora, aplicando o lema 3 à fun¸c˜ao g, que ´e cont´ınua, conclu´ımos que existe c∈(a, b), satisfazendo g(c) = 0 ou, de maneira equivalente,f(c) = d.

Observemos que no teorema do valor intermedi´ario, quando d = 0, reca´ımos nas condi¸c˜oes do lema 3.

Corol´ario 10. Todo polinˆomio de grau ´ımpar e coeficientes reais possui pelo menos uma raiz real.

Demonstra¸c˜ao. Seja p = p(x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0 um polinˆomio de grau ´ımpar com coeﬁcientes reais no qual an > 0. Como ´e

conhecido, tem-se que lim

x→+∞p(x) = +∞ e limx→−∞p(x) =−∞

de onde conclui-se que existem pontos a, b ∈ R que satisfazem f(a) < 0 e f (b) > 0. Pelo teorema do valor intermedi´ario, existe c ∈ R tal que

f (c) = 0, o que conclui a demonstra¸c˜ao do corolário. 2 Utilizaremos, a seguir, o teorema do valor intermediário para mostrar que fun¸cões cont´ınuas levam intervalos em intervalos.

Corol´ario 11. Seja f : I → R uma fun¸cão cont´ınua definida no intervalo I. Então a imagem f (I) de f é também um intervalo.

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, observemos que um conjunto X ⊂ R

é um intervalo não-degenerado (não se reduz a um ponto) se dados

a, b∈ X, a < b e se a < x < b ent˜ao x ∈ X. Se f for uma fun¸c˜ao constante,

nada h´a a demonstrar. Suponhamos f n˜ao-constante e consideremos dois pontos quaisquer y1 e y2 em f (I) de modo que y1 < y2 e seja y tal que

y1 < y < y2. Como y1 e y2 pertencem `a imagem de f , existem x1, x2 ∈ I tais que f (x1) = y1 e f (x2) = y2. Como f (x1) = y1 < y < y2 = f (x2), podemos aplicar o teorema do valor intermedi´ario para encontrar x, entre

x1 e x2 tal que f (x) = y. Isso mostra que y ∈ f(I) e da´i concluimos que

f (I) ´e um intervalo. 2

No documento Francisco Júlio Sobreira de Araújo Corrêa (páginas 119-125)