Fun¸ c˜ oes Cont´ınuas sem Derivadas
Teorema 57. Seja f uma fun¸ c˜ ao real deriv´ avel em um intervalo aberto I.
UFPA An´alise - aula 10 154
(a) Se f′(c) > 0, para todo x ∈ I, ent˜ao f ´e crescente em I.
(b) Se f′(c) < 0, para todo x ∈ I, ent˜ao f ´e decrescente em I.
Demonstra¸c˜ao. (a) Demonstraremos somente a parte (a). A demons-
tra¸c˜ao da parte (b) ´e an´aloga. Suponhamos que f′(c) > 0 para todo x∈ I. Sejam a, b ∈ I com a < b. Aplicando o teorema do valor m´edio para f no intervalo [a, b], encontramos c∈ (a, b) com
f (b)− f(a) = f′(c)(b− a).
Como f′(c) > 0 e b−a > 0, segue que f(b)−f(a) > 0, isto ´e, f(b) > f(a).
Portanto, f ´e crescente. 2
Exemplo 88. A fun¸c˜ao
f (x) = x5+ 20x− 6
´e crescente para todos os valores de x∈ R.
De fato, basta observar que
f′(x) = 5x4 + 20 > 0 para todo x∈ R.
Exemplo 89. A fun¸c˜ao
f (x) = 1− x3− x7
´e uma fun¸c˜ao decrescente para todos os valores de x∈ R. Solu¸c˜ao Observemos que
f′(x) =−3x2− 7x6 < 0
para todo x̸= 0. Assim, f ´e decrescente nos intervalos (−∞, 0) e (0, +∞). Al´em disso, se x < 0, tem-se que f (x) > 1 = f (0) e, se x > 0, tem-se
f (0) = 1 > f (x). Ent˜ao f ´e decrescente em R.
Exemplo 90. A fun¸c˜ao
f (x) = 4x3+ x− 3
Solu¸c˜ao De fato, como f (0) = −3 e f(1) = 2, pelo teorema do valor
intermedi´ario, existe um ponto x ∈ R tal que f(x) = 0. Desde que
f′(x) = 12x2+ 1 > 0,
tem-se que f ´e crescente em todo o R. Ent˜ao f n˜ao pode ter dois valores reais x para os quais f (x) = 0.
O corol´ario a seguir fornece uma maneira de encontrar pontos de m´aximo ou de m´ınimo relativos de fun¸c˜oes deriv´aveis definidas em intervalos.
Corol´ario 15. (Teste da Derivada Primeira) Sejam f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua e deriv´avel no intervalo aberto (a, b) e c∈ (a, b) um ponto cr´ıtico de f .
(i) Se existir um intervalo aberto (c− r, c + r) ⊂ (a, b) tal que f′(x)≥ 0
para x∈ (c − r, c) e f′(x)≤ 0 para x ∈ (c, c + r),ent˜ao f possui um
m´aximo relativo em c.
(ii) Se existir um intervalo aberto (c− r, c + r) ⊂ (a, b) tal que f′(x)≤ 0
para x∈ (c − r, c) e f′(x)≥ 0 para x ∈ (c, c + r),ent˜ao f possui um
m´ınimo relativo em c.
Demonstra¸c˜ao. Demonstremos o item (i). A demonstra¸c˜ao do item (ii) ´e feita de maneira an´aloga e ser´a deixada como exerc´ıcio. Como f′(x)≥ 0, para todo x∈ (c − r, c) segue do teorema anterior que f ´e n˜ao-decrescente em (c−r, c) e, portanto, ser´a tamb´em n˜ao-decrescente no intervalo (c−r, c]. Logo, f (x)≤ f(c) para todo x ∈ (c−r, c). Agora, segue de f′(x)≤ 0, para
x∈ (c, c + r), que f ´e n˜ao-crescente e [ c, c + r). Assim, f(x) ≤ f(c),
para qualquer x∈ (c, c + r). Portanto, c ´e ponto de m´aximo local de f.2
Teorema 58. (Teste da Derivada Segunda) Seja f : (a, b)→ R uma fun¸c˜ao de classe C2, isto ´e, a derivada segunda de f, f′′ : (a, b) → R
existe e ´e cont´ınua. Suponhamos que c ∈ (a, b) seja um ponto cr´ıtico de f .
(i) Se f′′(c) < 0,ent˜ao c ´e ponto de m´aximo local (ii) Se f′′(c) > 0,ent˜ao c ´e ponto de m´ınimo local.
Demonstra¸c˜ao. Fa¸camos a demonstra¸c˜ao do item (i). Desde que
f′′ : (a, b) → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e f′′(c) < 0, existir´a r > 0 tal que (c− r, c + r) ⊂ (a, b) e f′′(x) < 0, para todo x ∈ (c − r, c + r). Ora,
f′(c) = 0 e f′ ´e decrescente em (c− r, c + r), pois a segunda derivada de
f , que ´e a derivada da derivada primeira, ´e negativa no referido intervalo. Portanto, se x ∈ (c − r, c), tem-sef′(x) > 0 e, se x ∈ (c, c + r), tem-se
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de m´aximo local. A demonstra¸c˜ao do item (ii) ´e feita de maneira an´aloga.
2
H´a casos de fun¸c˜oes que embora tenham segundas derivadas cont´ınuas, o teste da segunda derivada se aplica. Isso acontece quando a fun¸c˜ao f ´e tal que f′(c) = f′′(c) = 0. ´E o que acontece, por exemplo, com a fun¸c˜ao
f (x) = x4, cujo ´unico ponto cr´ıtico ´e x
0 = 0, sendo este um ponto de m´ınimo de f , o que n˜ao se pode concluir apenas usando o teste da segunda derivada, j´a que f′(0) = f′′(0) = 0. Na aula 12, na qual estudaremos a f´ormula de Taylor, apresentaremos, como conseq¨uˆencia dessa f´ormula, um terceiro teste para determina¸c˜ao de pontos de m´aximos e de m´ınimos, que ´e uma generaliza¸c˜ao do teste da segunda derivada e sanar´a essa dificuldade. Existem casos nos quais um dado ponto cr´ıtico de uma fun¸c˜ao n˜ao ´e ponto de m´ınimo ou de m´aximo local. Essa ´e situa¸c˜ao do ponto x0 = 0 para a fun¸c˜ao f (x) = x3. Nesse caso dizemos que x0 = 0 ´e um ponto de inflex˜ao horizontal de f (x) = x3. Tal conceito ser´a definido a seguir.
Defini¸c˜ao 62. Seja f : I → R uma fun¸c˜ao deriv´avel tal que f′(x0) = 0
para algum x0 pertencente ao interior do intervalo I. Diz-se que o ponto
cr´ıtico x0 ´e um ponto de inflex˜ao horizontal de f se existir um n´umero
positivo ε tal que
(a) f (x) < f (x0) se x ∈ (x0 − ε, x0) e f (x) > f (x0) se x ∈ (x0, x0+ ε)
ou
(b) f (x) > f (x0) se x∈ (x0− ε, x0) e f (x) < f (x0) se x∈ (x0, x0+ ε). Veja as figuras abaixo para uma interpreta¸c˜ao geom´etrica dos pontos de inflex˜ao. 0 x y 0 x0 x f( ) y=f x( ) 0 x y 0 x0 x f( ) y=f x( )
Proposi¸c˜ao 17. Sejam f : (a, b)→ R uma fun¸c˜ao com derivada segunda no intervalo (a, b) e c∈ (a, b) um ponto cr´ıtico de f. Se existe r > 0 tal que (c− r, c + r) ⊂ (a, b) e
(a) f′′(x) < 0 para x∈ (c − r, c) e f′′(x) > 0 para x ∈ (c, c + r)
(b) f′′(x) > 0 para x∈ (c − r, c) e f′′(x) < 0 se x∈ (c, c + r)
ent˜ao c ´e um ponto de inflex˜ao horizontal de f .
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que f seja uma fun¸c˜ao satisfazendo a condi¸c˜ao (a) da proposi¸c˜ao. Como f′′(x) < 0 se x∈ (c − r, c), temos que
f′ ´e decrescente em (c− r, c). Al´em disso, f′(c) = 0, logo, f′(x) > 0, para
x∈ (c−r, c). Do mesmo modo, segue de f′′(x) > 0 para x∈ (c, c+r) que
f′ ´e crescente no intervalo (c, c + r) e, como f′(c) = 0, temos que f′(x) > 0 para todo x∈ (c, c+r). Conclu´ımos ent˜ao que f ´e crescente em (c−r, c) e (c, c + r). Mas, sendo f cont´ınua em (c− r, c + r), temos que f ´e crescente em tal intervalo. Logo, f (x) < f (c), para x∈ (c−r, c) e f(x) > f(c), para
x ∈ (c, c + r), isto ´e, c ´e ponto de inflex˜ao horizontal de f. De maneira
an´aloga chegamos a essa conclus˜ao, supondo que f satisfaz a condi¸c˜ao
(b). 2
Proposi¸c˜ao 18. Seja f : I → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Se f possui um ´
unico extremo local, ent˜ao tal ponto ´e tamb´em um ponto de extremo global. Demonstra¸c˜ao. Seja f : I → R uma fun¸c˜ao cont´inua . Suponhamos
que x0 ∈ I seja o ´unico ponto de m´aximo local de f em I. Suponhamos que
x0 n˜ao seja ponto de m´aximo global em I. Ent˜ao existe x1 ∈ I, digamos maior do que x0, tal que f (x1) > f (x0). Considerando a fun¸c˜ao f restrita ao intervalo [x0, x1], ela ter´a um ponto de m´ınimo, digamos x3 ∈ (x0, x1), e da´ı x3 seria um outro extremo local, o que contraria a hip´otese. Portanto,
x0´e tamb´em m´aximo global. Os outros casos podem ser demonstrados de
maneira an´aloga. 2
Suponhamos que f : [a, b] → R seja uma fun¸c˜ao cont´ınua e deriv´avel em (a, b). Sendo f cont´ınua em um intervalo fechado e limitado, segue-se que ela atinge m´aximo e m´ınimo em [a, b]. Se tais extremos ocorrerem em pontos c no intervalo aberto (a, b), ent˜ao f′(c) = 0. Caso eles n˜ao ocorram no interior de [a, b], eles ocorrer˜ao em uma (ou ambas) das extremidades a ou b. Assim, os candidatos a extremos de uma fun¸c˜ao como acima s˜ao os pontos cr´ıticos pertencentes ao intervalo aberto (a, b) e suas extremidades
a e b.
Exemplo 91. Consideremos a fun¸c˜ao
f (x) = x3− x2− x + 2
cont´ınua e deriv´avel. Pela continuidade de f ela atinge m´aximo e m´ınimo em [0, 2]. Os candidatos a extremos s˜ao os pontos 0, 2 e os pontos cr´ıticos de f situados no intervalo aberto (0, 2). Determinemos tais pontos cr´ıticos. A derivada de f ´e
UFPA An´alise - aula 10 158
de modo que seus pontos cr´ıticos ser˜ao obtidos resolvendo-se a equa¸c˜ao f′(x) = (3x + 1)(x− 1) = 0
cujas ra´ızes s˜ao −13 e 1. Como −13 n˜ao pertence ao intervalo considerado, s´o nos interessa o ponto cr´ıtico 1. Assim, devemos testar o conjunto de n´umeros {0, 1, 2} para decidir qual ´e o m´aximo e qual ´e o m´ınimo.
f (0) = 2, f (1) = 1, f (2) = 4.
Da´ı, segue-se que 1 ´e ponto de m´ınimo global (f (1) = 1 ´e o valor m´ınimo de f em [0, 2]) e 2 ´e ponto de m´aximo global(f (2) = 4 ´e o valor m´aximo de f em [0, 2]).
Exemplo 92. Encontre dois n´umeros positivos x e y tais que sua soma seja igual a 2 e seu produto xy seja o m´aximo poss´ıvel.
Solu¸c˜ao Sejam x e y n´umeros positivos tais que x + y = 2. Desejamos maximizar o produto xy. Como y = 2−x, o problema reduz-se a encontrar o m´aximo da fun¸c˜ao f (x) = x(2− x) = 2x − x2, para 0 < x < 2. O ´unico ponto cr´ıtico de tal fun¸c˜ao ´e obtido fazendo-se f′(x) = 2 − 2x = 0 e obtendo-se x = 1. Al´em disso, podemos usar o teste da derivada segunda e obter f′′(x) =−2 < 0, donde se conclui que 1 ´e ponto de m´aximo local e, em virtude da proposi¸c˜ao 18, ele ´e ponto de m´aximo global. Portanto,
y = 1 e os n´umeros procurados s˜ao x = y = 1.
Exemplo 93. Determinemos os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao f (x) = x(x− 1)3
e os classifiquemos como m´aximo local, m´ınimo local ou ponto de inflex˜ao. Solu¸c˜ao. Determinemos inicialmente os pontos cr´ıticos de f .
f′(x) = x· 3(x − 1)2+ (x− 1)3 = (x− 1)2(3x + x− 1) = (x − 1)2(4x− 1). Assim, os pontos cr´ıticos de f s˜ao obtidos resolvendo-se a equa¸c˜ao (x− 1)2(4x− 1) = 0 cujas solu¸c˜oes s˜ao x = 1 e x = 1
4. Analisemos o ponto cr´ıtico x = 14. Observemos que 4x− 1 < 0 se, e somente se, x < 14, de modo que para tais valores de x a derivada ser´a negativa. De maneira an´aloga, 4x− 1 > 0 se, e somente se, x > 14. Assim, para tais valores de x, a derivada ser´a positiva. Consequentemente, em x = 14 a derivada passa de negativa para positiva de modo que x = 1
4 ´e ponto de m´ınimo.
Estudemos o ponto cr´ıtico x = 1. Neste caso, considerando o intervalo (12,32) a derivada ´e sempre positiva, excetuando-se no ponto cr´ıtico x = 1, de modo que tal ponto ´e de inflex˜ao horizontal. Veja o gr´afico da fun¸c˜ao esbo¸cado a seguir.
0 y x 1 1 4
Exemplo 94. Analisemos a fun¸c˜ao f (x) = 1
x− 2
com rela¸c˜ao a extremos e determinemos os intervalos nos quais ela ´e crescente ou decrescente.
Solu¸c˜ao. Desde que
f′(x) = − 1
(x− 2)2 < 0
f n˜ao possui ponto cr´ıtico. Ora, como (x− 2)2 > 0 para todo x̸= 2, ent˜ao
f′(x) < 0 para x < 2 e para x > 2, ou seja, f ´e decrescente nos intervalos (−∞, 2) e (2, +∞). A figura a seguir ´e um esbo¸co do gr´afico de f.
0
y
x
2
Encerraremos esta aula discutindo uma generaliza¸c˜ao do teorema do valor m´edio, que ser´a utilizada na aula 11, na qual estudaremos as regras de L’Hospital.
Teorema 59. (Teorema do Valor M´edio Generalizado) Sejam f e g fun¸c˜oes cont´ınuas no intervalo fechado [a, b] e deriv´avel em (a, b). Su- ponhamos que g′(x) ̸= 0, para todo x em (a, b). Ent˜ao existe um ponto
x0 ∈ (a, b) tal que
f (b)− f(a) g(b)− g(a) = f′(x0) g′(x0) . ,
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Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que g(b) = g(a). Ent˜ao, pelo teorema de Rolle, g′(x) = 0 para algum x ∈ (a, b), o que contraria a nossa hip´otese. Portanto, g(b)̸= g(a). Seja F : [a, b] → R definida por
F (x) = f (x)− f(b) − f (b)− f(a) g(b)− g(a)(g(x)− g(b)). Ent˜ao F (a) = F (b) = 0 e F′(x) = f′(x)− f (b)− f(a) g(b)− g(a)g ′(x).
Novamente, pelo teorema de Rolle, existe x0 ∈ (a, b) para o qual
f′(x0)− f (b)− f(a) g(b)− g(a)g ′(x 0) = 0, ou seja, f (b)− f(a) g(b)− g(a) = f′(x0) g′(x0) . 2 Exemplo 95. Dadas as fun¸c˜oes f (x) = 3x + 2 e g(x) = x2 + 1,
encontremos, no intervalo [1, 4], o ponto x0 prescrito no teorema do valor
m´edio generalizado.
Solu¸c˜ao. Devemos encontrar x0 no intervalo [1, 4] de modo que
f (4)− f(1) g(4)− g(1) = 14− 5 17− 2 = 3 5 = f′(x0) g′(x0) = 3 2x0 . Ent˜ao x0 = 52.
3
Exerc´ıcios Resolvidos
1. Mostre que a fun¸c˜ao
f (x) = 7x5+ 8x3+ 13x− 9 possui um ´unico zero real.
Solu¸c˜ao. Inicialmente observemos que
lim x→+∞(7x 5 + 8x3+ 13x− 9) = +∞ e lim x→−∞(7x 5 + 8x3+ 13x− 9) = −∞.
Portanto, existem pontos em que a fun¸c˜ao f atinge valores positivos e pontos onde a fun¸c˜ao atinge valores negativos. Usando o teorema do valor intermedi´ario, podemos garantir que a fun¸c˜ao f se anula em algum ponto. Al´em disso,
f′(x) = 35x4+ 24x2+ 13 > 0
para todo x ∈ R, o que implica que f ´e estritamente crescente, de onde se conclui que f possui apenas um zero.
2. Use o teorema do valor m´edio para encontrar x0 ∈ (0, 6) tal que
f′(x0) =
f (6)− f(0)
6− 0 ,
em que f (x) = x3.
Solu¸c˜ao. Inicialmente observemos que f′(x) = 3x2 e da´ı 3x20 = 6
3− 03 6− 0 . Portanto, 3x2
0 = 62. logo, 3x20 = 36. De onde conclu´imos que,
x0 = 2
√
3.
4
Exerc´ıcios Propostos
1. Seja f :R → R uma fun¸c˜ao deriv´avel tal que lim x→+∞f ′(x) = 0. Ent˜ao lim x→+∞(f (x + 1)− f(x)) = 0.
2. Seja f :R → R uma fun¸c˜ao tal que
|f(x) − f(y)| ≤ |x − y|1+ε,
para todos x, y ∈ R e para algum ε > 0. Mostre que f ´e constante. 3. (a) Mostre que se f for deriv´avel em I e se a fun¸c˜ao derivada
f′ : I → R for limitada ent˜ao f ´e lipschitziana.
(b) Mostre que se a fun¸c˜ao derivada f′ : I → R for cont´inua, ent˜ao
f ´e lipschitziana em todo intervalo fechado e limitado [a, b]⊂ I. 4. Para cada uma das fun¸c˜oes abaixo, definidas em R, encontre os seus extremos relativos e globais (quando existirem), os intervalos nos quais elas crescem e os intervalos nos quais elas decrescem.
UFPA An´alise - aula 10 162
(a) f (x) = x2− 5x + 6, (b) f (x) = x3− 4x2+ 4x,
(c) f (x) = x4+ 2x2− 4, (d) f (x) = x2x+1.
5. Para cada uma das fun¸c˜oes dadas a seguir, determine os seus dom´ınios, seus pontos cr´ıticos, caso existam, e encontre pontos de m´ınimo local e de m´aximo local, caso existam.
(a) f (x) = x,3 (b) f (x) = 1x, (c) f (x) = x + 1 x, (d) f (x) = 2x + x12, (e) f (x) =√x.
6. Considere a fun¸c˜ao f , definida em todo oR, dada por
f (x) =
n
∑
i=1
(x− xi)2,
onde xi ∈ R s˜ao n´umeros reais fixados e n ´e um n´umero natural
fixo. Verifique se f ´e limitada inferiormente. Em caso afirmativo, verifique se ela atinge m´ınimo.
7. Sejam f e g fun¸c˜oes dadas por
f (x) = x3, x∈ R e g(x) = { x2sen (1 x) se x̸= 0, 0 se x = 0.
Mostre que f e g tˆem 0 como ponto cr´ıtico que n˜ao ´e nem de m´aximo nem de m´ınimo local.
8. Determine os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao f (x) = x3− 3x + 1.
9. Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que a fun¸c˜ao f (x) = 3x2− 6x + 1 possui um m´ınimo local em x = 1.
10. Mostre que x = 0 ´e ponto cr´ıtico da fun¸c˜ao f (x) = 1− x5. Qual a natureza desse ponto cr´itico?
11. Mostre que x = 0 ´e ponto cr´ıtico da fun¸c˜ao f (x) = 3x4− 8x3. Qual a natureza desse ponto cr´itico?
12. Suponha que as fun¸c˜oes f, g : I → R possuem m´aximo local em um certo ponto c ∈ I. Verifique se c ´e ponto de m´aximo local para a fun¸c˜ao f + g. E de f − g? E de f · g?
13. Mostre que a fun¸c˜ao polinomial f (x) = x3 − 3x + a nunca possui duas ra´ızes em [0, 1], qualquer que seja o valor de a.
14. Use o Teorema de Rolle para explicar o motivo pelo qual a equa¸c˜ao c´ubica
x3+ ax2+ b = 0 n˜ao pode ter mais do que uma solu¸c˜ao se a > 0. 15. Suponhamos que f′(x) > C,∀x [0, +∞). Mostre que
lim
x→+∞f (x) = +∞.
16. Seja f :R → R uma fun¸c˜ao tal que f′(x) e f′′(x) existam para todo
x∈ R. Mostre que se f possui trˆes zeros, ent˜ao f′′ possui um zero. 17. Seja f : [0, +∞) → R uma fun¸c˜ao deriv´avel tal que lim
x→+∞f
′(x) = K.
Determine
lim