M´ etodo dos V´ ortices - M´ etodo de S´ıntese

4.2 M´ etodo de S´ıntese

4.2.2 M´ etodo dos V´ ortices

O Método dos Vórtices se baseia em tratamentos lagrangianos bidimensionais de vórtices. Seu funcionamento implica na gera¸cão de vórtices dependentes no tempo através de um campo de vorticidade bidimensional, normal ao escoamento, por onde são inseridos ao dom´ınio.

Inicialmente proposto por Sergent (2002), esse método apresenta uma vantagem quando comparado à Técnica de Fourier, pois necessita de um comprimento menor do dom´ınio a ju- sante do inlet para desenvolver uma turbulência realista (TABOR; BABA-AHMADI, 2010). Matematicamente, o vetor vorticidade, ω, pode ser definido pelo rotacional da velocidade:

ω = ∇ × u (4.11)

Aplicando-se o rotacional às Equa¸cões de Navier-Stokes (2.18a, 2.18b e 2.18c), é poss´ıvel escrever a equa¸cão bidimensional de transporte de vorticidade.

∂ω

∂t + (u.∇)ω = ν∇

2_ω _(4.12)

Na Equa¸c˜ao 4.12, o vetor velocidade, u, pode ser decomposto da seguinte forma:

u = ∇ × ψ + ∇φ (4.13)

no qual ψ = (ψ, 0, 0) é o vetor potencial e φ, o potencial de velocidade (CAVAL- CANTI, 2001). Adotando essa nota¸cão simplificada, podemos representar o componente de vorticidade ω na dire¸cão do escoamento por:

ω = −∇2ψ (4.14)

Utilizando a fun¸cão de Green para dom´ınios bidimensionais, aplicada para solucionar equa¸cões diferenciais por meio da adi¸cão de operadores integrais, é poss´ıvel resolver a Equa¸cão 4.14 em termos de fun¸cão de corrente.

ψ(x) = − 1 2π

Z Z

Cap´ıtulo 4. Métodos de Gera¸cão de Turbulência nas Condi¸cões de Contorno de Entrada 44

Aplicando a solu¸c˜ao obtida em 4.15 na equa¸c˜ao para o vetor velocidade, em 4.13, tem-se a conhecida lei de Biot-Savart (MATHEY et al., 2006):

u(x) = − 1 2π Z Z R2 (x − x0) × ω(x0) · n |x − x0_|2 dx 0 (4.16) onde o vetor n é o vetor unitário na dire¸cão do escoamento.

Para solucionar a Equa¸cão 4.16, é utilizado o método lagrangiano de discretiza¸cão de part´ıculas. Diferentemente da abordagem euleriana, que tem como objeto o escoamento, o método lagrangiano acompanha a part´ıcula em cada instante ao longo de sua trajetória (BRUNETTI, 2008). As part´ıculas, no caso, vórtices pontuais, se movem aleatoriamente, carregando informa¸cões sobre o campo de vorticidade.

Assim, o campo de vorticidade total pode ser considerado como a soma discreta dos campos gerados por cada vórtice (SERGENT, 2002). Para um número de vórtices N , os quais são definidos por suas posi¸cões centrais, xi, o campo de vorticidade total pode ser escrito como: ω(x, t) = N X i=1 Γi(t)η(|x − xi|, t) (4.17)

A circula¸cão referente a uma determinada part´ıcula, representada por Γi, é uma me- dida da rota¸cão em um fluido capaz de controlar a intensidade das flutua¸cões e pode ser dada conforme a equa¸cão a seguir:

Γi(x, y) = 4 s

πSk(x, y)

3N (2ln(3) − 3ln(2)) (4.18)

com N representando o número de vórtices injetados no plano, S a área do plano de inje¸cão dos vórtices, perpendicular à dire¸cão do escoamento, e k a energia cinética turbulenta.

Em adi¸cão, η pode ser interpretada como uma fun¸cão de distribui¸cão espacial.

η(x) = 1 2πσ2 2e−|x|22σ2 − 1 2e−|x2|2σ2 (4.19)

O parâmetro σ é o responsável pelo controle do tamanho da part´ıcula, podendo variar em um intervalo de 0,005 a 0,1 (SERGENT, 2002). Esse parâmetro é calculado a partir do perfil da energia cinética turbulenta média e da taxa de dissipa¸cão média na região de entrada (ANSYS, 2015).

σ = ck 3/2

2ε (4.20)

Cap´ıtulo 4. Métodos de Gera¸cão de Turbulência nas Condi¸cões de Contorno de Entrada 45

Com o objetivo de garantir que todos os vórtices sejam resolvidos, o menor valor de σ na Equa¸cão 4.20 é limitado pelo tamanho da submalha, ∆, ou seja, σ ≥ ∆.

Por fim, o campo de velocidade ´e dado por:

u(x) = 1 2π N X i=1 Γi(xi− x) × n |x − xi|2 1 − e−|x−xi| 2 2σ2 e−|x−xi| 2 2σ2 (4.21)

Para a aplica¸cão do método de vórtices, é necessário seguir a metodologia descrita por Sergent (2002), utilizada como algoritmo interno no software ANSYS Fluent e exemplificada na Figura 12, conforme segue:

• Inicialmente, é necessário gerar um campo de vórtices, sendo a posi¸cão dos centros, xi, determinada aleatoriamente. Os diâmetros desses vórtices podem ser determinados de acordo com suas posi¸cões ou então fixados.

• A circula¸cão de cada vórtice é determinada em fun¸cão de sua posi¸cão no plano de inje¸cão. A dire¸cão da rota¸cão de cada vórtice é estabelecida aleatoriamente.

• Definido o campo de vorticidade, pode-se calcular o campo de velocidade utilizando a Equa¸cão 4.21. Introduz-se, portanto, o campo de velocidade obtido no plano de inje¸cão na forma de um campo de flutua¸cões, que será sobreposto à velocidade média do escoamento.

• Em seguida, os vórtices serão deslocados no plano em uma dire¸cão aleatória com uma velocidade constante ou em fun¸cão de sua posi¸cão.

• Por fim, após um intervalo de tempo determinado, τ , deve-se alterar a orienta¸cão da circula¸cão, invertendo vórtices escolhidos aleatoriamente. O objetivo dessa etapa ´

e evitar a forma¸c˜ao de estruturas muito grandes, que ocupem extensa propor¸c˜ao do dom´ınio.

A cada passo de tempo τ , conforme o vórtice assume nova posi¸cão, os valores da energia cinética turbulenta ki, taxa de dissipa¸cão εi, circula¸cão Γi e comprimento da part´ıcula σi são atualizados (PENTTINEN; NILSSON, 2015). Quando a orienta¸cão da circula¸cão é alterada, considera-se que o vórtice é exterminado e outro vórtice surge em seu lugar. Por isso, denomina-se o per´ıodo τ como o tempo de vida de um vórtice (XIE, 2016), sendo τ = k/ε.

Sergent (2002) também propõe a ado¸cão de vórtices virtuais, denominados “fantas- mas”, situados no interior da parede. O vórtice real, ao se aproximar da parede, seria influenciado por um vórtice virtual de propor¸cões idênticas, apresentando o mesmo sentido de circula¸cão. Assim, a velocidade induzida pelo vórtice real cairia gradualmente conforme

Cap´ıtulo 4. Métodos de Gera¸cão de Turbulência nas Condi¸cões de Contorno de Entrada 46

Figura 12 – Esquema do M´etodo dos V´ortices

Fonte: Xie (2016, p. 30) e Sergent (2002, p. 76)

se diminui a distância entre a parede e o mesmo, até atingir velocidade zero na parede, obedecendo à condi¸cão de não deslizamento.

O método de vórtices, no entanto, considera apenas as flutua¸cões de velocidade no plano normal à dire¸cão do escoamento. É necessário, portanto, utilizar mais uma equa¸cão para se obter as flutua¸cões de velocidade restantes.

Para gerar as flutua¸cões na dire¸cão do escoamento, Sergent (2002) utiliza-se da Equa¸cão de Langevin (4.22). O desenvolvimento da Equa¸cão 4.22 para a Equa¸cão 4.23 encontra-se detalhado em sua tese.

du0_i = −u 0 i τ dt + (c0ε) 1/2 dWi(t) (4.22) du0_i = −c1 2τu 0 idt + (c2− 1)u 0 j ∂ui ∂j dt + (c0ε) 1/2 dWi(t) (4.23)

onde co, c1 e c2 s˜ao constantes e Wi representa um processo de Wiener.

A Equa¸cão 4.23 satisfaz as flutua¸cões de velocidade na dire¸cão do escoamento (BE- NHAMADOUCHE et al., 2006). Para as outras dire¸cões, efetuou-se o cálculo por meio da aplica¸cão do método dos vórtices (SERGENT, 2002).

Cap´ıtulo 4. Métodos de Gera¸cão de Turbulência nas Condi¸cões de Contorno de Entrada 47

A correla¸cão entre u0_i e u0_j, presente no segundo termo da equa¸cão, faz com que a coerência das flutua¸cões u0_j, existente devido aos vórtices, seja transmitida às flutua¸cões de velocidade na dire¸cão do escoamento, apresentando, com isso, uma coerência espa¸co-temporal (SERGENT, 2002).

Mathey et al. (2006), por outro lado, propõem a utiliza¸cão de um Modelo Cinemático Linear (Linear Kinematic Model - LKM) para obter as flutua¸cões. Esse modelo projeta sobre o campo de velocidade médio a influência dos vórtices bidimensionais gerados no plano da entrada. E essa a abordagem utilizada no ANSYS Fluent (ANSYS, 2015). Quando´ comparado com o método de Sergent (2002), o LKM mostra-se mais vantajoso devido ao fato de que preserva inteiramente o comportamento espacial dos vórtices ao longo do escoamento e os torna independentes de τ , seu tempo de vida.

Conforme observado em ANSYS (2015), se a velocidade média na dire¸cão do escoamento, u, for considerada como um escalar passivo, a flutua¸cão u0, resultante do transporte de u por v0, pode ser obtida por:

u0 = −v0· g (4.24)

no qual g é o vetor unitário, alinhado ao gradiente de velocidade média ∇u, e v0 é o campo de flutua¸cão de velocidade do plano de inje¸cão bidimensional adotado no Método dos Vórtices. Caso esse gradiente seja igual a zero, considera-se uma perturba¸cão aleatória (ANSYS, 2015).

Por fim, as flutua¸cões de velocidade ao longo das três dire¸cões são redimensionadas por meio da diagonaliza¸cão do tensor de Reynolds (VASATURO et al., 2018), conforme segue:

(u0_i)redim.= u0i s

3u0_iu0_i

5 Resultados e Discuss˜oes

Conforme visto anteriormente no Cap´ıtulo 4, no software ANSYS Fluent estão dis- ponibilizados, além de métodos precursores, que devem ser desenvolvidos pelo usuário, dois métodos de s´ıntese, denominados Vortex Method (Método dos Vórtices) e Spectral Synthesi- zer (com base na Técnica de Fourier). Uma outra op¸cão, denominada No Perturbations, ou seja, sem perturba¸cões, implica em uma simula¸cão na qual a turbulência não é imposta na região de entrada, mas sim gerada naturalmente ao longo do dom´ınio.

A fim de comparar o impacto causado pela escolha do método estocástico de entrada para escoamentos em tubula¸cões, Mathey et al. (2006) analisam o comportamento do Método dos Vórtices e de um método precursor em um trecho reto com raio R e comprimento L. A malha utilizada foi uma malha h´ıbrida, com elementos hexaédricos e com prismas no centro da tubula¸cão. Além disso, para a resolu¸cão numérica, foi utilizado o modelo de submalha WALE no escoamento e na região da parede.

Para essa simula¸cão, o perfil de velocidade médio na dire¸cão do escoamento, assim como os perfis de energia cinética turbulenta e da taxa de dissipa¸cão foram obtidos por meio de uma simula¸cão independente utilizando o modelo RANS. Os dados dessa simula¸cão foram, portanto, extra´ıdos e importados na simula¸cão com modelo LES. Esse procedimento garante que os dados inseridos sejam mais fiéis à realidade.

Quanto ao número de vórtices, N , Gerasimov (2016) recomenda que este seja uma fun¸cão do número de elementos no inlet, aqui denominado E, tal que:

N = E

4 (5.1)

Em seu experimento, Mathey et al. (2006) utiliza um valor N = 200, próximo ao valor padrão de N = 190, dispon´ıvel no Fluent. Esse dado não está de acordo com o proposto na Equa¸cão 5.1, tendo em vista que a malha utilizada na região de entrada foi determinada com 46 elementos ao longo do raio e 80 elementos ao longo do ângulo.

A Figura 13 apresenta três cortes transversais da tubula¸cão. As se¸cões (a) e (b) representam, respectivamente, os planos de entrada e sa´ıda da tubula¸cão em uma simula¸cão com o Método dos Vórtices como gerador de estruturas turbulentas na entrada. Por fim, a se¸cão (c) representa um plano retirado por meio do método de simula¸cão precursora, no qual uma se¸cão espec´ıfica da geometria é periodicamente realimentada na entrada do dom´ınio.

E poss´ıvel notar que as linhas de corrente das Figuras 13b e 13c assumem um comportamento distinto na região próxima à parede. Esse resultado é descrito por Kim (1985) sob o termo bursting, que ocasiona aproximadamente 70% de toda a turbulência. O fluido,

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 49

Figura 13 – Velocidade instantânea na dire¸cão do escoamento (a) com Método dos Vórtices no inlet, (b) com Método dos Vórtices no outlet e (c) com uma simula¸cão precursora periódica

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 50

em alta velocidade, se choca contra a parede e cria um gradiente de pressão contrário, pro- movendo uma eje¸cão do fluido na dire¸cão contrária à parede. Por fim, são formados pares de estruturas turbulentas com rota¸cões opostas, que acarretam em uma desacelera¸cão na região interna (BUARQUE, 2007).

Tal movimenta¸cão não ocorre com a mesma intensidade na Figura 13a, devido ao tamanho das estruturas turbulentas que foram sintetizadas no plano de entrada. No inlet, essas flutua¸cões, por serem pequenas, não são suficientes para ocasionar eje¸cão relevante na região da parede.

O LES periódico pode ser tido como o método mais preciso, pois respeita a coerência espacial e temporal, gerando turbulência real, contrário dos métodos de s´ıntese (TABOR; BABA-AHMADI, 2010). Entretanto, pode não ser o mais eficiente quando em aplica¸cões industriais, devido ao custo computacional implicado para se realizar o processo de retroali- menta¸cão no plano de entrada e também para a utiliza¸cão de simula¸cões adicionais.

Tal afirma¸cão pode ser comprovada pelas Figuras 14 e 15. O primeiro gráfico descreve o perfil de velocidade média (U +) e o segundo, o perfil das flutua¸cões de velocidade normais à parede (u0+), ambos adimensionalizados através da divisão pela velocidade de atrito uτ e em fun¸cão da distância à parede adimensional (r+). Uma observa¸cão pode ser feita com rela¸cão `

a utiliza¸cão da escala logar´ıtmica no gráfico de velocidade média para melhor visualiza¸cão. Figura 14 – Perfil de velocidade média

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 51

Figura 15 – Perfil de velocidade RMSE

Fonte: Mathey et al. (2006, p. 64)

Pode-se perceber que a utiliza¸cão de métodos precursores gera resultados bem próximos aos obtidos em simula¸cões utilizando o modelo DNS, principalmente nas regiões mais próximas `

a parede.

Os gráficos das Figuras 14 e 15 também evidenciam a curva para os perfis obtidos em duas posi¸cões ao longo do escoamento utilizando o método de s´ıntese dos vórtices. As posi¸cões escolhidas foram x = L/2, representando a metade do dom´ınio, e x = L representando sua sa´ıda. Fica claro que o Método dos Vórtices não é tão preciso quanto o método precursor utilizado, superestimando mais ainda da curva do modelo DNS. Entretanto, percebe-se que os 4 casos apresentam tendência similar e, no caso da velocidade RMSE, com pico na mesma região.

Com o objetivo de comparar os métodos sintéticos, foram realizadas três simula¸cões idênticas, com varia¸cão apenas no método de gera¸cão de turbulência na entrada da tubula¸cão. O modelo Smagorinsky-Lilly Dinâmico, já descrito na Se¸cão 3.2.2, foi escolhido para modela- gem das escalas de submalha. A geometria possu´ıa um diâmetro de 19 mm e um comprimento de 500 mm.

Os computadores utilizados possu´ıam processador i9-9900K, memória RAM de 16 GB e sistema operacional Windows 10. Além disso, o ANSYS Fluent adotado para esse trabalho se encontrava na versão 2019 R3, no qual foi escolhida a op¸cão de processamento serial.

A malha foi definida de forma análoga, conforme se evidencia na Figura 16, com elementos hexaédricos e prismas no centro da tubula¸cão e aproximadamente 3×103_elementos

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 52

na face de entrada.

Figura 16 – Disposi¸c˜ao da malha na face de entrada o dom´ınio

Fonte: Elaborado pelos autores

Para realizar o acoplamento pressão-velocidade, foi utilizado o esquema SIMPLEC. Em rela¸cão à discretiza¸cão espacial, utilizou-se o método Least Squares Cell Based para o gradiente, para a pressão, optou-se pelo esquema de segunda ordem e, para o momentum, foi escolhido o esquema Bounded Central Differencing. A discretiza¸cão temporal foi feita utilizando a formula¸cão Bounded Second Order Implicit.

Inicialmente, realizou-se a simula¸cão com aux´ılio da op¸cão No Perturbations, a qual ignora a necessidade das perturba¸cões na entrada do dom´ınio. A Imagem 17 representa um corte transversal realizado em três pontos do escoamento: o plano de entrada (inlet ), um plano situado na metade do comprimento da tubula¸cão (0,25 m) e o plano de sa´ıda (outlet ). Figura 17 – No Perturbations: perfil de velocidade instantânea no inlet (esquerda), na me-

tade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita)

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 53

Os valores m´aximos e m´ınimos foram definidos em cada imagem para que as trˆes possu´ıssem a mesma escala.

No entanto, percebe-se que a turbulência se desenvolve gradualmente ao longo do dom´ınio, o que era esperado, devido à não imposi¸cão das flutua¸cões na região de entrada. Logo, o perfil apresentado se deve ao desenvolvimento do escoamento realizado previamente com aux´ılio do modelo RANS.

Figura 18 – No Perturbations: perfil de velocidade m´edia na dire¸c˜ao do escoamento

Fonte: Elaborado pelos autores

A Figura 18 evidencia a rapidez com a qual o escoamento se desenvolve, a partir do perfil de velocidade exportado da simula¸cão RANS. Nesse gráfico, são comparados os três perfis de velocidade média, extra´ıdos dos pontos de entrada, médio e de sa´ıda. Em adi¸cão, na Figura 19, pode-se perceber a ausência das flutua¸cões de velocidade na região de entrada conforme se distancia da parede, o que é destacado pela linha azul do gráfico sobrepondo o eixo das abscissas.

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 54

Figura 19 – No Perturbations: perfil de velocidade RMSE

Fonte: Elaborado pelos autores

Em seguida, realizando a simula¸cão com o Vortex Method, o Método dos Vórtices descrito na Se¸cão 4.2.2, como op¸cão de gera¸cão de turbulência no plano de entrada, foi obtido o perfil ilustrado na Figura 20. Para tal, foi utilizada a Equa¸cão 5.1, resultando em N = 866 vórtices na região de entrada. Além disso, também foi selecionada a op¸cão “Satisfy Mass Conservation” no ANSYS Fluent, o que garante maior estabilidade e também a gera¸cão de flutua¸cões mais próximas da realidade por obedecer a conserva¸cão de massa para as flutua¸cões a serem geradas no Método dos Vórtices (ANSYS, 2015).

Figura 20 – Vortex Method : perfil de velocidade instantˆanea no inlet (esquerda), na metade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita)

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 55

Após análise à Figura 20, é poss´ıvel notar que o comportamento evidenciado por Mathey et al. (2006) se repete.

Figura 21 – Vortex Method : perfil de velocidade m´edia na dire¸c˜ao do escoamento

Fonte: Elaborado pelos autores

Figura 22 – Vortex Method : perfil de velocidade RMSE

Fonte: Elaborado pelos autores

Com rela¸cão ao perfil de velocidade média, também é percebida extraordinária seme- lhan¸ca com os resultados obtidos anteriormente, conforme indica o gráfico na Figura 21. Para o plano de sa´ıda e para um plano situado na metade do comprimento da tubula¸cão, os perfis

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 56

são bem próximos, revelando certa qualidade na gera¸cão proposta pelo Método dos Vórtices. Em compara¸cão com o gráfico da Figura 18, referente à op¸cão No Perturbations, nota-se que o método dos Vórtices é capaz de atingir um estado de turbulência de forma mais rápida.

Na Figura 22, os perfis de velocidade RMSE também estão de acordo com o esperado, inclusive para a região de pico. O inlet, entretanto, devido à sua caracter´ıstica aleatória, não não pode ser utilizado como parâmetro, tendo sido ilustrado apenas para exemplifica¸cão.

Em seguida, foi realizada a simula¸cão com aux´ılio do método estocástico Spectral Synthesizer, baseado na Técnica de Fourier, comentada na Se¸cão 4.2.1.

Figura 23 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade instantˆanea no inlet (esquerda), na metade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita)

Fonte: Elaborado pelos autores

E percept´ıvel, após uma análise inicial na Figura 23, que esse método apresenta uma distribui¸cão radial que se propaga de forma branda e bem distribu´ıda. Tais resultados assemelham-se ligeiramente aos obtidos para o caso sem perturba¸cões.

Como consequência, o perfil de velocidade média, evidenciado na Figura 24, é também semelhante ao da Figura 18, com diferen¸cas quase impercept´ıveis. Tal comportamento evidencia a influência ainda exercida pelos dados importados da simula¸cão RANS nesse modelo de turbulência. O perfil de velocidade RMSE, no entanto, apresenta flutua¸cões no plano de entrada ligeiramente distintas e crescentes para regiões mais afastadas da parede.

Conforme afirmado por Mathey et al. (2006), o pico de flutua¸cão é superestimado, ou seja, os valores apresentados são maiores do que os valores das flutua¸cões percebidos na realidade. Logo, quanto mais próximo da curva no modelo DNS, mais preciso é o modelo de turbulência. Deste modo, percebe-se que os valores de pico apresentados no gráfico da Figura 22 (Vortex Method) são inferiores aos das Figuras 19 (No Perturbations) e 25 (Spectral Synthesizer), o que evidencia a necessidade de métodos eficientes de gera¸cão de componentes estocásticos para a qualidade dos resultados encontrados no problema em estudo.

Cap´ıtulo 5. Resultados e Discuss˜oes 57

Figura 24 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade m´edia na dire¸c˜ao do escoamento

Fonte: Elaborado pelos autores

Figura 25 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade RMSE

No documento O modelo LES e as ferramentas de geração de turbulência nas condições de contorno de entrada (páginas 44-64)