O modelo LES e as ferramentas de geração de turbulência nas condições de contorno de entrada

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QU´IMICA E DE PETR ´

OLEO

BRUNA WENDHAUSEM ENNE

GABRIEL GUISCAFR´

E MACHADO

O MODELO LES E AS FERRAMENTAS DE

GERAC

¸ ˜

AO DE TURBULˆ

ENCIA NAS

CONDIC

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OES DE CONTORNO DE ENTRADA

Niter´

oi

1/2020

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BRUNA WENDHAUSEM ENNE

GABRIEL GUISCAFR´

E MACHADO

O MODELO LES E AS FERRAMENTAS DE GERAC

¸ ˜

AO

DE TURBULˆ

ENCIA NAS CONDIC

¸ ˜

OES DE CONTORNO

DE ENTRADA

Projeto Final apresentado ao Curso de Gra-dua¸cão em Engenharia Qu´ımica, oferecido pelo departamento de Engenharia Qu´ımica e de Petróleo da Escola de Engenharia da Universi-dade Federal Fluminense, como requisito par-cial para obten¸cão do Grau de Bacharel em Engenharia Qu´ımica.

Orientador: Prof. Ph.D. Roger Matsumoto Moreira

Coorientador: M.Sc. Thiago Ferreira Bernardes Bento

Niter´

oi

1/2020

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Ficha catalográfica automática - SDC/BEE Gerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Sandra Lopes Coelho - CRB7/3389

M149m Machado, Gabriel Guiscafré

O Modelo LES e as Ferramentas de Geração de Turbulência nas Condições de Contorno de Entrada / Gabriel Guiscafré Machado, Bruna Wendhausem Enne ; Roger Matsumoto Moreira, orientador ; Thiago Ferreira Bernardes Bento, coorientador. Niterói, 2020.

63 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Química)-Universidade Federal Fluminense, Escola de Engenharia, Niterói, 2020.

1. Fluidodinâmica computacional. 2. Escoamento turbulento. 3. Produção intelectual. I. Enne, Bruna Wendhausem. II. Moreira, Roger Matsumoto, orientador. III. Bento, Thiago Ferreira Bernardes, coorientador. IV. Universidade Federal Fluminense. Escola de Engenharia. V. Título.

(4)

(5)

-Agradecimentos

Bruna e Gabriel

Agradecemos ao Prof. Roger Moreira e ao Me. Thiago Bento pela orienta¸cão nesse trabalho e em muitos outros realizados no Laboratório de Fluidodinâmica Computacional da Universidade Federal Fluminense;

aos professores Jo˜ao Felipe Mitre e Gabriel Nascimento, por aceitarem prontamente participar da banca examinadora;

`

a Universidade Federal Fluminense e a todos os professores com os quais tivemos a oportunidade de aprender ao longo dessa jornada;

`

a Petrobras, pelo incentivo financeiro e por colaborar para a escolha do tema;

ao José Mantovani, pelo aux´ılio e pelo esclarecimento de todas as nossas dúvidas sobre a utiliza¸cão do modelo LES;

a todos os amigos que fizemos nos últimos cinco anos, em especial à Gabriela, ao Fernando, ao Luiz Guilherme, à Ana Carolina, à Ângela, à Tainá, à Júlia, à Bruna Pimentel, ao Pedro, à Isabela e ao Matheus.

Bruna

Agrade¸co primeiramente aos meus pais, Ana Beatriz e Luiz Eduardo, aos meus irm˜aos, Daniel e Eduardo, e `a minha cunhada, Kathelen, que foram fundamentais para o desenvol-vimento desse trabalho em tempos de pandemia;

aos meus avós, Terezinha, Maria Lúcia, Lena e Antônio José, cujos exemplos me inspiram diariamente;

ao meu namorado, Daniel Pimentel, obrigada pelo companheirismo e por todas as revis˜oes feitas a esse texto;

`

a minha tia Ana Lúcia, pela paciência ao me explicar normas técnicas pelo telefone; `

a Érica Nogueira, por todos os anos de conv´ıvio engajados na extensão universitária, crucial para a minha forma¸cão;

e a toda a minha fam´ılia e amigos, pelo apoio e pelos momentos compartilhados que me permitiram chegar at´e aqui.

Gabriel

Agrade¸co à minha fam´ılia e aos meus amigos por sempre me apoiarem, em especial à minha mãe, Maria Madalena, ao meu pai, Carlos Leandro e ao meu irmão, Carlos Eduardo.

(6)

Resumo

O alto custo computacional do modelo Large Eddy Simulation (LES) torna, para muitas geometrias, inviável atingir a dimensão ou a dura¸cão necessárias para um regime plenamente turbulento. É, portanto, crucial que a turbulência seja imposta já na entrada do dom´ınio. A condi¸cão de contorno do inlet deve ser fiel à realidade, sem, no entanto, ser complexa demais para ser resolvida. Seus componentes precisam variar estocasticamente, inclusive nas escalas inferiores à filtragem realizada pelo LES, sendo ainda compat´ıveis com as equa¸cões de Navier-Stokes. São diversas as técnicas dispon´ıveis para a gera¸cão de tais condi¸cões de contorno. Nos métodos de simula¸cão precursora, os fenômenos de turbulência são computados anteriormente ou paralelamente à simula¸cão principal e, em seguida, introduzidos ao dom´ınio na região de entrada, podendo ainda serem redimensionados. Os métodos de s´ıntese, no entanto, não necessitam de simula¸cões anexas, pois os fenômenos de turbulência são gerados pelo próprio inlet, como uma espécie de flutua¸cão aleatória combinada ao escoamento médio. O presente trabalho pretende realizar uma revisão teórica acerca dos métodos de gera¸cão de turbulência na entrada do dom´ınio dispon´ıveis no ANSYS Fluent para tubula¸cões. Inicialmente, uma revisão na literatura foi realizada com o objetivo de efetuar uma compila¸cão teórica para as técnicas de turbulência, adicional ao Guia Teórico disponibilizado pela ANSYS. Em seguida, como complementa¸cão, uma geometria simples de uma tubula¸cão foi simulada utilizando o LES com três componentes de entrada distintos: No Perturbations (sem perturba¸cões), Spectral Synthesizer (baseado na Técnica de Fourier) e Vortex Method (baseado no Método dos Vórtices). Por fim, diferentes respostas para os campos de velocidades foram obtidas para se¸cões distintas da tubula¸cão de acordo com as técnicas de gera¸cão de turbulência empregadas nas condi¸cões de contorno de entrada. O Vortex Method apresentou maior mudan¸ca nos perfis de velocidade com rela¸cão a um ponto espec´ıfico ao longo da tubula¸cão, além de uma curva de flutua¸cões mais próxima à esperada para uma simula¸cão com Direct Numerical Simulation (DNS) em compara¸cão às outras duas abordagens. Nessas, houve menor desenvolvimento da turbulência no dom´ınio estudado, evidenciando um perfil de velocidade na região de sa´ıda semelhante ao inserido na entrada.

Palavras-chave: Fluidodinâmica Computacional; Large Eddy Simulation; Turbulência; Condi¸cões de Contorno de Entrada.

(7)

Abstract

Large Eddy Simulation model’s exacerbated computational cost turns it challenging for many geometries to reach the length or the duration needed for a fully turbulent flow. In those cases, turbulence needs to be inserted at the domain inflow. The inlet boundary condition must be as accurate as possible, without being too complex to be solved. Its components must be stochastically varying, including on scales down to the filter scale provided by LES, and also be compatible with the Navier–Stokes equations. There are plenty of available techniques that generate these boundary conditions. In the Precursor Simulation methods, the turbulent phenomena are computed previously or in parallel to the main simulation, scaled, and then introduced at the domain through the inlet. The Synthesised Turbulence methods, however, do not need any attached simulations, because the turbulent phenomena are generated by the inlet, as a kind of random fluctuation combined with the mean flow. This paper intends to analyze the inlet turbulence generation methods available at ANSYS Fluent for pipes. Firstly, by conducting a literature review, a theoretical compilation of the turbulence generation techniques available in Fluent was written. Secondly, to support the review, a simple pipe geometry was simulated using LES with three distinct inlet components: No Perturbations, Spectral Synthesizer (based on the Fourier Technique), and Vortex Method. Finally, different results for the velocity field were obtained for distinct pipe sections, according to the inlet turbulence generation techniques. The Vortex Method showed a greater change in the velocity profiles between points throughout the pipe and also a fluctuation curve more similar to the expected from a DNS simulation compared to the other two approaches. In those, there was a poorer turbulence development in the studied domain, revealing a velocity profile similar in both inlet and outlet planes.

Keywords: Computational Fluid Dynamics; Large Eddy Simulation; Turbulence; Inlet Con-ditions.

(8)

Lista de ilustra¸c˜

oes

Figura 1 – Decomposi¸c˜ao da velocidade em regime turbulento . . . 16

Figura 2 – Um estiramento na dire¸cão z produz estiramentos menores nas dire¸cões x e y, que produzem estiramentos ainda menores nas dire¸cões vizinhas . . . 18

Figura 3 – Volume de controle para as Leis de Conserva¸c˜ao . . . 19

Figura 4 – Fluxo de massa atrav´es do volume de controle . . . 20

Figura 5 – Representa¸cão das for¸cas aplicadas na dire¸cão x para um volume de controle 22 Figura 6 – Espectro de energia em fun¸cão do número de onda . . . 27

Figura 7 – Esquema espacial da malha de corte, no qual ∆ ´e equivalente ao tamanho da malha computacional . . . 28

Figura 8 – Similaridade de Escala . . . 32

Figura 9 – Tensões turbulentas na região submalha e na região de teste . . . 33

Figura 10 – Após atingir um estado de turbulência, um perfil de velocidade em um plano da simula¸cão auxiliar é copiado e inserido na corrida principal . . . 39

Figura 11 – Modelos espectrais de energia . . . 42

Figura 12 – Esquema do M´etodo dos V´ortices . . . 46

Figura 13 – Velocidade instantânea na dire¸cão do escoamento (a) com Método dos Vórtices no inlet, (b) com Método dos Vórtices no outlet e (c) com uma simula¸cão precursora periódica . . . 49

Figura 14 – Perfil de velocidade m´edia . . . 50

Figura 15 – Perfil de velocidade RMSE . . . 51

Figura 16 – Disposi¸c˜ao da malha na face de entrada o dom´ınio . . . 52

Figura 17 – No Perturbations: perfil de velocidade instantˆanea no inlet (esquerda), na metade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita) . . . 52

Figura 18 – No Perturbations: perfil de velocidade m´edia na dire¸c˜ao do escoamento . 53 Figura 19 – No Perturbations: perfil de velocidade RMSE . . . 54

Figura 20 – Vortex Method : perfil de velocidade instantˆanea no inlet (esquerda), na metade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita) . . . 54

Figura 21 – Vortex Method : perfil de velocidade m´edia na dire¸c˜ao do escoamento . . 55

Figura 22 – Vortex Method : perfil de velocidade RMSE . . . 55

Figura 23 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade instantânea no inlet (esquerda), na metade do comprimento do trecho reto (centro) e no outlet (direita) . 56 Figura 24 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade média na dire¸cão do escoamento 57 Figura 25 – Spectral Synthesizer : perfil de velocidade RMSE . . . 57

(9)

Lista de abreviaturas e siglas

CFD Computational Fluid Dynamics

DNS Direct Numerical Simulation

DSRFG Discretizing and Synthesizing Random Flow Generation EDP Equa¸c˜ao Diferencial Parcial

LES Large Eddy Simulation

RANS Reynolds-averaged Navier-Stokes

RFG Random Flow Generation

RMSE Root-mean-square Error

(10)

Lista de s´ımbolos

Aij Tensor de transforma¸c˜ao ortogonal Cd Constante de Smagorinsky dinˆamica

Cs Constante de Smagorinsky

Cw Constante do Modelo WALE

Cε, Ck Constantes do Modelo Dinâmico de Energia Cinética e Taxa de dissipa¸cão no filtro de teste

E N´umero de elementos na face de entrada

E(k) Espectro de energia

fi Contribui¸c˜oes das for¸cas de campo

k Energia Cin´etica Turbulenta (por unidade de massa) kc N´umero de onda de corte

kSGS Energia cin´etica turbulenta de submalha kteste Energia cin´etica de teste

kn

j Vetores de n´umero de onda

L Comprimento caracter´ıstico do escoamento

Lm Escala de comprimento

Ls Comprimento de mistura para escalas de submalha Lij Tens˜oes turbulentas das escalas resolvidas

N Número de vórtices na face de entrada p Pressão instantânea

P Press˜ao m´edia

(11)

p0 Flutua¸c˜ao de press˜ao

Re N´umero de Reynolds

Recrit Reynolds cr´ıtico

Rij Tensor anisotr´opico de turbulˆencia

sij Componentes da taxa de deforma¸c˜ao linear no volume de controle Sij Taxa de deforma¸c˜ao

Tij Tens˜oes para a ´area de teste

ui Componente da velocidade na dire¸c˜ao i = {x, y, z}

u, v, w Componentes de velocidade instantânea nas dire¸cões x, y e z U, V, W Componentes da velocidade média nas dire¸cões x, y e z

ui Componente da velocidade m´edia ou da velocidade filtrada na dire¸c˜ao i = {x, y, z}

u, v, w Componentes da velocidade m´edia ou da velocidade filtrada nas dire¸c˜oes x, y e z

u0, v0, w0 Componentes da flutua¸cão de velocidade nas dire¸cões x, y e z U + Velocidade média adimensional

u0+ Flutua¸c˜ao de velocidade adimensional y+ Distˆancia adimensional da parede

Γi Circula¸c˜ao (referente a uma part´ıcula)

∆, ∆ Tamanho da submalha

e

∆ Tamanho do filtro de teste

δij Delta de Kronecker

ε Taxa de dissipa¸c˜ao da energia cin´etica turbulenta

(12)

εijm S´ımbolo de Levi-Civita

η Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao espacial

κ Constante de von K´arm´an

λ Fator de deforma¸c˜ao volum´etrica λ(n) Fator de redimensionamento

µ Viscosidade dinˆamica

µSGS Viscosidade turbulenta de submalha

ν Viscosidade cinem´atica

νt Viscosidade cinem´atica turbulenta

ρ Massa espec´ıfica

τii Tens˜oes normais

τij Tens˜oes de cisalhamento τSGS

ij Tens˜oes de Reynolds da submalha

τ Tamanho da escala de tempo

φ Potencial de velocidade

ψ Vetor potencial

ψ Fun¸c˜ao de corrente

Ωij Tensor taxa de rota¸c˜ao

ω Vorticidade

(13)

Sum´

ario

1 INTRODUÇ ÃO . . . 13 1.1 Motiva¸cão . . . 14 1.2 Objetivo . . . 15 2 O REGIME TURBULENTO . . . 16 2.1 Principais Caracter´ısticas . . . 16

2.2 Equa¸c˜oes Governantes . . . 19

2.2.1 Volume de Controle . . . 19

2.2.2 Conserva¸c˜ao de Massa . . . 20

2.2.3 Conserva¸c˜ao de Quantidade de Movimento . . . 21

2.2.4 Equa¸c˜oes de Navier-Stokes . . . 22

2.2.5 O Problema de Fechamento . . . 23

2.2.6 Modelos de Turbulˆencia . . . 24

3 LARGE EDDY SIMULATION . . . 27

3.1 Escalas de Submalha . . . 28

3.2 Modelos de Submalha no Fluent . . . 30

3.2.1 Modelo Smagorinsky-Lilly . . . 30

3.2.2 Modelo Smagorinsky-Lilly Dinˆamico . . . 32

3.2.3 Modelo WALE . . . 34

3.2.4 Modelo Dinˆamico de Energia Cin´etica . . . 35

4 MÉTODOS DE GERAÇ ÃO DE TURBULÊNCIA NAS CONDIÇ ÕES DE CONTORNO DE ENTRADA . . . 37

4.1 M´etodo de Simula¸c˜ao Precursora . . . 37

4.2 M´etodo de S´ıntese . . . 40

4.2.1 T´ecnica de Fourier . . . 40

4.2.2 M´etodo dos V´ortices . . . 43

5 RESULTADOS E DISCUSS ˜OES . . . 48

6 CONCLUS ˜AO . . . 58

(14)

13

1 Introdu¸c˜

ao

A existência do regime de escoamento turbulento foi inicialmente notada no século XIX. Naquela época, mesmo com a predominância existente do escoamento turbulento em rela¸cão ao laminar, os fenômenos produzidos pela turbulência, os eddies1_{, n˜}_{ao eram} detecta-dos, devido à ineficiência dos instrumentos de observa¸cão e medi¸cão.

Apenas em 1930, os instrumentos foram capazes de perceber as flutua¸c˜oes existentes nesse regime (WHITE, 2011).

Devido à complexidade matemática do escoamento turbulento, somente na segunda metade do século XX, com o advento dos computadores, foi poss´ıvel resolver as equa¸cões diferenciais por meio de aproxima¸cões numéricas (CHUNG, 2002), para as quais foram de-senvolvidos diversos métodos.

A abordagem mais precisa, denominada Direct Numerical Simulation (DNS), é capaz de resolver equa¸cões de Navier-Stokes transientes sem aproxima¸cões além de discretiza¸cões numéricas. Logo, os casos resolvidos com DNS possuem erros poss´ıveis de serem estimados e controlados.

Nessas simula¸cões, todo o escoamento turbulento e todas as suas flutua¸cões de velo-cidade são computados. Para tal, é necessário assegurar que a escala do dom´ınio f´ısico seja suficientemente refinada para conter as estruturas de turbulências e a dissipa¸cão de energia cinética turbulenta, além de um intervalo de tempo suficientemente pequeno para abranger as flutua¸cões mais rápidas (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

No entanto, esse m´etodo apresenta um alto custo em termos de recursos computacio-nais, tornando-se inadequado para simula¸c˜oes industriais.

Nesses casos, é frequentemente utilizada a abordagem Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS), na qual as equa¸cões são exclusivamente focadas no escoamento em questão e nos efeitos da turbulência nas propriedades desses escoamentos. Assim, a simula¸cão torna-se menos custosa, devido à modelagem dos fenômenos de turbulência.

Entretanto, as equa¸cões das médias das flutua¸cões de velocidade geram novas variáveis desconhecidas, que precisam ser determinadas por modelos de turbulência para resolver o Problema de Fechamento. Dentre eles, destaca-se o modelo de duas equa¸cões k − ε, que vem sendo usado mais frequentemente para escoamentos incompress´ıveis e isotrópicos, mas apresenta dificuldade em capturar fenômenos de turbulência mais complexos (CHUNG, 2002).

1 _{Adotamos o termo “eddy”, plural “eddies”, para expressar as estruturas t´ıpicas criadas pelo escoamento}

em regime turbulento. Tal recurso foi utilizado pela dificuldade de se encontrar tradu¸c˜oes na literatura que fossem capazes de expressar o significado pertinente para esse trabalho.

(15)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 14

Por último, o Large Eddy Simulation (LES) se mostra como uma abordagem inter-mediária entre as anteriores. Esse método realiza uma filtragem nas equa¸cões transientes de Navier-Stokes, resolvendo os fenômenos de turbulência superiores à dimensão do filtro e rejeitando os inferiores, que serão modelados. Logo, devido às flutua¸cões caracter´ısticas do regime turbulento, espera-se que o LES seja mais adequado do que o RANS para descrever es-coamentos em que as estruturas turbulentas transientes de grande escala sejam significativas (POPE, 2000).

Em casos nos quais deseja-se avaliar a intera¸cão fluido-estrutura, por exemplo, as flutua¸cões de pressão são determinantes, pois se apresentam como uma das principais fontes de excita¸cão da estrutura (BENTO, 2019). Logo, uma simula¸cão numérica com RANS para essas condi¸cões seria deficitária, devido à utiliza¸cão do valor médio das flutua¸cões. Assim, nesses casos, recomenda-se a resolu¸cão via Large Eddy Simulation.

As condi¸cões de contorno, que nas equa¸cões RANS eram em sua maioria constantes, no modelo LES, passam a possuir componentes variáveis no tempo. Esses componentes, denominados estocásticos por possu´ırem um padrão indeterminado, afetam todas escalas de tempo e de comprimento do escoamento. Faz-se necessário recorrer a métodos de gera¸cão de flutua¸cões estocásticas no inlet, ou seja, na região de entrada de fluido, para que a simula¸cão seja próxima da realidade. As flutua¸cões devem se assemelhar às geradas pelo escoamento turbulento, sem, todavia, serem complexas demais para serem resolvidas.

1.1 Motiva¸c˜

ao

Conforme visto anteriormente, uma caracter´ıstica determinante para a qualidade do escoamento com a ferramenta LES é a abordagem utilizada para tratar as condi¸cões de entrada do fluido. Devido ao seu custo computacional elevado, é, muitas vezes, inviável realizar uma simula¸cão com dura¸cão ou dimensões necessárias para que se atinja um perfil plenamente turbulento.

Para alcan¸car a simplifica¸cão necessária, torna-se crucial o uso de métodos de gera¸cão de inlets turbulentos, pois o comportamento turbulento do escoamento é fortemente influ-enciado por tais condi¸cões de contorno (CASTRO; PAZ; SONZOGNI, 2011). Devido à sua importância, estudos mais aprofundados vêm sendo desenvolvidos para aprimoramento dessas ferramentas, que podem ser divididas em duas categorias: métodos de simula¸cão precursora e métodos de s´ıntese (TABOR; BABA-AHMADI, 2010). Ambas as metodologias possuem vantagens e desvantagens e podem ser aplicadas de diferentes formas, em diferentes casos.

O primeiro método propõe que sejam realizadas simula¸cões prévias ou concomitantes. O perfil de entrada do escoamento pode ser obtido através de um processo c´ıclico com um pequeno trecho do dom´ınio, no qual os dados serão obtidos com base em um perfil retirado

(16)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 15

de um ponto mais a jusante do fluxo, ou até de outra simula¸cão s´ıncrona utilizando uma geometria mais simplificada. Pode-se também estimar o inlet por meio de bibliotecas de dados já existentes.

O método de s´ıntese, no entanto, envolve a gera¸cão de um campo de flutua¸cões de velocidade pseudo-aleatório. Tais estruturas podem ser sobrepostas ao escoamento médio entrando no dom´ınio. Dentre os diversos métodos dessa categoria, a Técnica de Fourier e o Método dos Vórtices recebem destaque pela disponibilidade no software ANSYS Fluent, ferramenta em foco no presente trabalho.

O Theory Guide do software ANSYS Fluent, que prevê o embasamento teórico por trás do programa (ANSYS, 2015), fornece apenas um pequeno desenvolvimento matemático para o Vortex Method (baseado no Método dos Vórtices), além de abordar brevemente o Spectral Synthesizer (método proveniente da Técnica de Fourier).2

1.2 Objetivo

O presente trabalho se propõe a compilar as bases teóricas dos métodos de gera¸cão de turbulência nas condi¸cões de contorno de entrada dispon´ıveis no software ANSYS Fluent.

Em seguida, como complementa¸cão, pretende-se analisar e comparar a utiliza¸cão des-ses métodos em uma simula¸cão realizada com um trecho reto de uma tubula¸cão e em dados obtidos na literatura.

2 _{Optamos por manter os termos no idioma original, quando referentes `}_{as op¸}_c˜_{oes de condi¸}_c˜_{ao de contorno}

de entrada encontradas no software ANSYS Fluent. Entre parênteses, estão em Português as técnicas utilizadas como base para o desenvolvimento dessas mesmas op¸cões.

(17)

16

2 O Regime Turbulento

2.1 Principais Caracter´ısticas

A maioria dos escoamentos com significância para a engenharia são turbulentos. Com vasta aplicabilidade, é crescente o interesse dos pesquisadores sobre os fenômenos de tur-bulência, além da busca por ferramentas que tornem viável a representa¸cão desse regime.

Devido à dificuldade de se determinar uma defini¸cão para o escoamento turbulento, existe a possibilidade de se enumerar algumas de suas caracter´ısticas, que, segundo Tennekes e Lumley (1972) e Davidson (2015), são:

• Todos os escoamentos turbulentos são transientes e irregulares. Suas propriedades, quando em fun¸cão do tempo, apresentam flutua¸cões, comportamento aparentemente aleatório. Tal caracter´ıstica torna sua solu¸cão dependente de métodos estat´ısticos.

Figura 1 – Decomposi¸c˜ao da velocidade em regime turbulento

Fonte: Versteeg e Malalasekera (2007, p. 41)

A velocidade exemplificada na Figura 1 é decomposta em uma velocidade média es-tacionária, U ou u, e em um componente de flutua¸cão, u0(t). Esse procedimento ma-temático, denominado Decomposi¸cão de Reynolds, caracteriza as propriedades do es-coamento em fun¸cão de suas variáveis médias (como U , V , W , P etc.) e de fun¸cões estat´ısticas de suas flutua¸cões (como u0, v0, w0, p0 etc.).

(18)

Cap´ıtulo 2. O Regime Turbulento 17

As Decomposi¸cões de Reynolds referentes às propriedades de velocidade e pressão, respectivamente, podem ser escritas da seguinte forma:

u(t) = U + u0(t) (2.1)

p(t) = P + p0(t) (2.2)

• Em escoamentos turbulentos, há um aumento da difusividade, sendo essa a principal causa do aumento da transferência de momentum, calor e massa, através da mistura de fluido. Essa movimenta¸cão é responsável pela gera¸cão de fenômenos turbulentos, denominados eddies. Tais estruturas, influenciadas pela caracter´ıstica aleatória do es-coamento, acabam adotando propriedades distintas entre si, o que dificulta considera-velmente seu estudo.

• O número de Reynolds é um parâmetro adimensional decisivo para a determina¸cão do regime no qual se encontrará o escoamento de um fluido, podendo ser obtido pela razão entre as for¸cas inerciais e as for¸cas viscosas. De uma forma geral, é escrito pela equa¸cão:

Re = ρU L

µ (2.3)

onde ρ é a massa espec´ıfica do fluido, µ é a viscosidade dinâmica, U é a velocidade média do escoamento e L é o comprimento caracter´ıstico do escoamento.

Conforme aumenta-se o número de Reynolds, o regime laminar torna-se mais instável, devido à intera¸cão das for¸cas viscosas e as for¸cas de inércia. Em seguida, tem-se um regime de transi¸cão, que passa a ser mais turbulento na medida em que cresce o número adimensional. Por fim, um escoamento turbulento pode ser caracterizado por altos números de Reynolds.

O valor cr´ıtico, Recrit, é um parâmetro apropriado para determinar o regime do escoa-mento, dependendo diretamente da caracter´ıstica do mesmo no caso em questão. Para tubula¸cões com escoamento interno plenamente desenvolvido, por exemplo, o valor de Recritaproxima-se de 2300, enquanto que, para a camada limite, Recrit ' 5·105. Assim, valores de Reynolds superiores aos valores cr´ıticos atestam o regime turbulento. • O escoamento turbulento é sempre rotacional e tridimensional. Mesmo em casos em

que as velocidades e as pressões variem em uma ou duas dimensões, as flutua¸cões de tur-bulência também têm caracter´ıstica espacial tridimensional. Os eddies são estruturas

(19)

tridimensionais que retiram energia do escoamento principal e a transferem para estru-turas de escalas menores através de um mecanismo denominado estiramento (SOUZA et al., 2011). Devido a um aumento da velocidade de rota¸cão, ocorre um estiramento da estrutura em uma dire¸cão, causando uma redu¸cão da escala de comprimento nas dire¸cões adjacentes, conforme indica a Figura 2. Assim, as dire¸cões secundárias se tornarão nova fonte de propaga¸cão do estiramento e assim por diante.

Figura 2 – Um estiramento na dire¸cão z produz estiramentos menores nas dire¸cões x e y, que produzem estiramentos ainda menores nas dire¸cões vizinhas

Fonte: Souza et al. (2011, p. 24)

• Devido aos efeitos viscosos, a redu¸cão dos gradientes de velocidade acarreta também em uma diminui¸cão da energia cinética turbulenta. Assim, o escoamento turbulento ´

e dissipativo e a energia cinética turbulenta dos menores eddies é transformada em energia térmica.

Esses menores eddies recebem a energia cinética de turbulência dos eddies maiores, que a recebem de outros ainda maiores, e assim por diante, através de mecanismos de transferência de energia como o estiramento, evidenciado no item anterior. A rela¸cão energética entre as escalas maiores e menores, assim como sua transmissão, é denomi-nada Cascata de Energia de Kolmogorov.

Estatisticamente, os eddies mais energéticos são os que mais contribuem para o trans-porte turbulento, sendo, portanto, os mais relevantes para a qualidade das simula¸cões numéricas.

• O escoamento turbulento pode ser considerado um meio cont´ınuo, pois mesmo as me-nores escalas turbulentas s˜ao maiores do que a escala molecular. Logo, as leis que governam a mecˆanica dos fluidos podem ser aplicadas para esse regime.

(20)

2.2 Equa¸c˜

oes Governantes

As equa¸cões governantes do escoamento do fluido são representadas pelas leis de con-serva¸cão da F´ısica. Sendo assim, assume-se que a massa, a energia e o momentum são conservados (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

Tais equa¸cões podem ser classificadas como EDPs (Equa¸cões Diferenciais Parciais) e são, em sua maioria, de segunda ordem.

2.2.1 Volume de Controle

O fluido, conforme visto anteriormente, pode ser considerado um meio cont´ınuo, in-clusive em regime turbulento. Logo, o comportamento das propriedades do escoamento pode ser determinado em termos de propriedades macroscópicas, como velocidade, pressão ou massa espec´ıfica. É poss´ıvel dividir o fluido em elementos, os quais devem possuir a me-nor dimensão suficiente para que tais propriedades macroscópicas sejam independentes das influências exercidas pelas moléculas individuais.

Figura 3 – Volume de controle para as Leis de Conserva¸c˜ao

O menor elemento de fluido considerado, conforme indicado na Figura 3, possui a forma de um cubo infinitesimal de lados δx, δy e δz. No centro do volume de controle, na posi¸cão (x, y, z), a massa espec´ıfica é determinada por ρ e a velocidade, por u = uî+ vˆj + wˆk. Devido ao tamanho do elemento, as propriedades do fluido podem ser expressas com precisão

(21)

Figura 4 – Fluxo de massa atrav´es do volume de controle

por meio dos dois primeiros termos de uma série de Taylor. Assim, sabendo a distância das faces W e E ao centro como 1₂δx, por exemplo, pode-se expressar a pressão nessas faces como

p ± δp δx

1

2δx (2.4)

2.2.2 Conserva¸c˜

ao de Massa

Da mesma forma, a Lei de Conserva¸cão de Massa estabelece que a taxa do fluxo de massa através da superf´ıcie de controle somada à taxa de varia¸cão de massa dentro do volume de controle deve ser nula, conforme observado na Figura 4.

Portanto, conclui-se que ∂ρu ∂x + ∂ρv ∂y + ∂ρw ∂z + ∂ρ ∂t = 0 (2.5) Em nota¸c˜ao vetorial, ∂ρ ∂t + ∇ · (ρu) = 0 (2.6)

(22)

A Equa¸cão 2.6 representa a Equa¸cão de Conserva¸cão de Massa, ou Equa¸cão da Con-tinuidade, para um fluido compress´ıvel, transiente e tridimensional. Para um fluido incom-press´ıvel, ou seja, com massa espec´ıfica constante, assume-se:

∇ · u = 0 (2.7)

Sabe-se que nenhum fluido é verdadeiramente incompress´ıvel. No entanto, supor massa espec´ıfica, ρ, constante, independentemente do tempo ou do espa¸co, é uma simpli-fica¸cão considerável para aplica¸cões em engenharia e resulta em um erro desprez´ıvel para a maioria dos casos (BIRD; STEWART; LIGHTFOOT, 2002).

2.2.3 Conserva¸c˜

ao de Quantidade de Movimento

Aplicando-se a segunda Lei de Newton em um elemento de fluido infinitesimal, obt´ em-se a Equa¸cão da Conserva¸cão da Quantidade de Movimento em sua forma diferencial, que é a igualdade entre a taxa de gera¸cão de momentum e a soma das for¸cas na part´ıcula do fluido. Logo, somando-se as for¸cas de contato normais (de pressão, p) e tangenciais (tensões de cisalhamento, τij) às quais o fluido está sujeito, explicitadas na Figura 5 para a dire¸cão x, tem-se a seguinte Equa¸cão de Conserva¸cão de Quantidade de Movimento:

ρDu Dt = ∂(−p + τxx) ∂x + ∂τyx ∂y + ∂τzx ∂z + fx (2.8)

Tal desenvolvimento pode ser facilmente expandido para as dire¸c˜oes y e z. Nesse caso, seus componentes podem ser escritos da seguinte forma:

ρDv Dt = ∂τxy ∂x + ∂(−p + τyy) ∂y + ∂τzy ∂z + fy (2.9) ρDw Dt = ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂y + ∂(−p + τzz) ∂z + fz (2.10)

onde fx, fy e fz são contribui¸cões das for¸cas de campo.1 Essas for¸cas são geradas por campos externos, como o campo gravitacional ou o campo magnético, e são aplicadas em toda a extensão do elemento, não apenas em suas faces.2

1 _{Do inglˆ}_{es body forces, regularmente traduzido para for¸}_{cas de campo. Ver Bird, Stewart e Lightfoot (2002),}

p. 111.

2 _{Para casos em que o escoamento seja dado como incompress´ıvel, n˜}_{ao h´}_{a dependˆ}_{encia entre as equa¸}_c˜_oes

de conserva¸cão de energia, massa e momentum. Pode-se, portanto, resolver o sistema, utilizando apenas as equa¸cões de conserva¸cão de massa e momentum. Para os fins desse trabalho, optamos por suprimir dedu¸cões relacionadas à Equa¸cão de Conserva¸cão de Energia, devido à escolha de abordar exclusivamente casos incompress´ıveis. Ver Versteeg e Malalasekera (2007), p. 21.

(23)

Figura 5 – Representa¸c˜ao das for¸cas aplicadas na dire¸c˜ao x para um volume de controle

2.2.4 Equa¸c˜

oes de Navier-Stokes

Em escoamentos tridimensionais com fluidos newtonianos, podemos definir a tensão viscosa τij como uma rela¸cão proporcional entre a taxa de deforma¸cão linear e a taxa de deforma¸cão volumétrica.

Assumindo o escoamento isotrópico, têm-se nove componentes de taxa de deforma¸cão linear no volume de controle, três normais e seis cisalhantes, denotados por sij.

sxx = ∂u ∂x syy = ∂v ∂y szz = ∂w ∂z (2.11) sxy = syx = 1 2 ∂u ∂y + ∂v ∂x sxz = szx= 1 2 ∂u ∂z + ∂w ∂x syz = szy = 1 2 ∂v ∂z + ∂w ∂y (2.12) Para a taxa de deforma¸c˜ao volum´etrica, tem-se:

∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = ∇ · u (2.13)

Assim, escrevendo a rela¸cão utilizando as Equa¸cões 2.12 e 2.13, é poss´ıvel determinar os nove componentes da tensão viscosa, descritos nas Equa¸cões 2.14 e 2.15, conforme proposto por Boussinesq. Para tal, duas constantes de proporcionalidade foram utilizadas. A primeira,

(24)

µ, referente à tensão viscosa devido às deforma¸cões lineares e a segunda, λ, à deforma¸cão volumétrica. τxx = 2µ ∂u ∂x + λ∇ · u τyy = 2µ ∂v ∂y + λ∇ · u τzz = 2µ ∂w ∂z + λ∇ · u (2.14) τxy = τyx = µ ∂u ∂y + ∂v ∂x τxz = τzx= µ ∂u ∂z + ∂w ∂x τyz= τzy = µ ∂v ∂z + ∂w ∂y (2.15) A substitui¸cão das tensões (Equa¸cões 2.14 e 2.15) na Equa¸cão de Conserva¸cão do Momentum em seu componente x (Equa¸cão 2.8) resulta em:

ρDu Dt = − ∂p ∂x+ ∂ ∂x 2µ∂u ∂x + λ∇ · u + ∂ ∂y µ ∂u ∂y + ∂v ∂x + ∂ ∂z µ ∂u ∂z + ∂w ∂x +fx (2.16) A hipótese de Stokes discute a influência do fator λ. Segundo Stokes, esse termo pode ser relacionado ao termo viscoso µ pela seguinte equa¸cão:

λ = −2

3µ (2.17)

Assim, o número de propriedades f´ısicas necessárias para se caracterizar as tensões reduz de duas para uma, tanto para fluidos compress´ıveis quanto para incompress´ıveis. Re-arranjando os termos de tensão viscosa e expandindo a equa¸cão para os componentes nas três dire¸cões, têm-se as Equa¸cões de Navier-Stokes.

ρDu Dt = − ∂p ∂x + ∇ · (µ∇u) + fx (2.18a) ρDv Dt = − ∂p ∂y + ∇ · (µ∇v) + fy (2.18b) ρDw Dt = − ∂p ∂z + ∇ · (µ∇w) + fz (2.18c)

2.2.5 O Problema de Fechamento

As Equa¸cões de Navier-Stokes 2.18a, 2.18b e 2.18c, juntamente com a Equa¸cão da Continuidade 2.6, formam um problema fechado de quatro equa¸cões com quatro variáveis (u, v, w e p).

Todavia, para casos em que o regime é turbulento, devido à Decomposi¸cão de Reynolds e à adi¸cão de novos termos ao sistema, tem-se o Problema de Fechamento. Isso é, o problema assume mais variáveis do que equa¸cões, tornando necessária uma abordagem numérica através do desenvolvimento de modelos de turbulência.

(25)

2.2.6 Modelos de Turbulˆ

encia

As solu¸cões numéricas dos problemas turbulentos podem ser obtidas através de diver-sas aproxima¸cões de acordo com o modelo escolhido.

Para casos em que não são necessários os detalhes das flutua¸cões turbulentas, utiliza-se o modelo Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS), que utiliza-se bautiliza-seia em informa¸cões médias no tempo para as propriedades do escoamento. Conforme visto anteriormente nas Equa¸cões 2.1 e 2.2, os parâmetros do escoamento turbulento são tidos como uma sobreposi¸cão de seu valor médio e do componente de flutua¸cão.

Assim, pode-se definir matematicamente o valor m´edio de uma propriedade no tempo, f , como: f = 1 T Z T +to to f dt (2.19)

onde T é um per´ıodo médio suficientemente mais longo do que os per´ıodos das flu-tua¸cões.

Retomando a Equa¸cão 2.1 da Decomposi¸cão de Reynolds e substituindo-a na Equa¸cão 2.19, tem-se o valor médio das flutua¸cões e seu quadrado como:

f0 ₌ 1 T Z T +to to (f − f ) dt = f − f = 0 (2.20) (f0₎2 ₌ 1 T Z T +to to (f0)2dt > 0 (2.21)

Substituindo os resultados obtidos nas Equa¸cões 2.19, 2.20 e 2.21, introduz-se novos termos médios à Equa¸cão de Navier-Stokes (2.18a, 2.18b e 2.18c) e à Equa¸cão da Continuidade (2.6) para fluidos incompress´ıveis.

ρ ∂u ∂t + ∇ · u u = −∂p ∂x + ∇ · (µ∇u − ρu 0_u0_{) + f} x (2.22a) ρ ∂v ∂t + ∇ · v u = −∂p ∂y + ∇ · (µ∇v − ρv 0_u0_{) + f} y (2.22b) ρ ∂w ∂t + ∇ · w u = −∂p ∂z + ∇ · (µ∇w − ρw 0_u0_{) + f} z (2.22c) ∇ · u = 0 (2.23)

Os termos −ρu0_u0_{, −ρv}0_u0 _{e −ρw}0_u0 _comp˜_{oem o tensor de Reynolds e abrigam as} flutua¸c˜oes turbulentas do escoamento. Esses termos precisam ser modelados para a resolu¸c˜ao do Problema de Fechamento.

(26)

Da mesma forma, a energia cin´etica turbulenta por unidade de massa pode ser dada por:

k = 1 2

u0 2_{+ v}0 2_{+ w}0 2 _(2.24)

Os principais modelos de turbulência RANS são classificados de acordo com a quan-tidade de equa¸cões de transporte adicionadas para prever os termos restantes para o fecha-mento.

Os modelos de comprimento de mistura tentam descrever as tensões com fórmulas algébricas simples para a viscosidade turbulenta como fun¸cão do espa¸co. O modelo de Prandtl relaciona o tensor de Reynolds com uma escala de velocidade e uma de comprimento, Lm, tal que: τxy = τyx = ρL2m ∂u ∂y 2 (2.25) Por outro lado, o modelo k−ε é uma escolha adequada para simula¸cões incompress´ıveis e isotrópicas. Esse modelo adiciona duas novas equa¸cões governantes: a equa¸cão de transporte de energia cinética turbulenta (k) e de dissipa¸cão de energia cinética turbulenta (ε).

O RANS, no entanto, não consegue abranger toda a gama de escalas de turbulência presentes no escoamento, devido à sua abordagem média, adotando um único modelo de turbulência para todas as escalas.

Enquanto os menores eddies são mais isotrópicos e menos dependentes de interferências do escoamento, os grandes eddies, responsáveis pelo transporte de momentum, massa e ener-gia, são mais anisotrópicos e fortemente afetados pelas condi¸cões de contorno, pela geometria e pelas for¸cas de campo atuantes no escoamento (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007). Assim, torna-se imposs´ıvel modelar com assertividade o efeito de todos os fenômenos em escoamentos em que seus comprimentos sejam muito distintos entre si .

Para tal, o modelo denominado Direct Numerical Simulation (DNS), extremamente mais preciso que o RANS para solu¸c˜ao de escoamentos turbulentos, prop˜oe-se a resolver todas as estruturas turbulentas, sejam elas grandes ou pequenas.

O DNS é uma ferramenta de solu¸cão numérica direta, no qual nenhuma modelagem é realizada. Para tal, é necessário que sua malha seja extremamente refinada, com o objetivo de que sejam resolvidas todas as escalas de fenômenos de turbulência e capturada toda a dissipa¸cão de energia cinética turbulenta. Estima-se que o número de elementos necessários seja proporcional a Re9/4, assim como o custo computacional seja proporcional a Re3 (PIO-MELLI, 2001). Outra limita¸cão é a utiliza¸cão dos esquemas de alta ordem, demasiadamente precisos para mitiga¸cão dos erros, mas pouco práticos para geometrias complexas e condi¸cões de contorno.

(27)

Por fim, o modelo Large Eddy Simulation (LES), intermediário aos dois anteriores, apresenta-se como ferramenta promissora para o futuro de simula¸cões que têm como obje-tivo capturar mais detalhadamente os fenômenos de turbulência e será mais detalhadamente discutido no cap´ıtulo a seguir.

(28)

27

3 Large Eddy Simulation

O Large Eddy Simulation (LES) ´e uma ferramenta para solu¸c˜ao de escoamentos com geometrias ou problemas f´ısicos complexos de maneira mais eficiente.

Conforme visto no cap´ıtulo anterior, o escoamento turbulento é caracterizado pela pre-sen¸ca de eddies de tamanhos diversos e caracter´ısticas também diversas, que não conseguem ser abrangidas em sua totalidade por um único modelo de turbulência, conforme proposto pelo RANS.

O modelo LES tem como objetivo resolver equa¸cões instantâneas de Navier-Stokes para as escalas mais energéticas do escoamento, os grandes eddies, enquanto que os pequenos, com comportamento universal, continuam a ser modelados, conforme exibido na Figura 6. Nela, estão relacionados o logaritmo do espectro de energia, E(k), e o logaritmo do número de onda, k. Assim como na técnica DNS, o LES trabalha com discretiza¸cões espaciais e temporais bastante refinadas.

Figura 6 – Espectro de energia em fun¸c˜ao do n´umero de onda

(29)

Cap´ıtulo 3. Large Eddy Simulation 28

3.1 Escalas de Submalha

Deve-se, portanto, escolher uma fun¸cão que realize uma filtragem para separar as maiores escalas das chamadas escalas de submalha,1 o que ocorrerá na subfaixa inercial. Figura 7 – Esquema espacial da malha de corte, no qual ∆ é equivalente ao tamanho da

malha computacional

Fonte: Sagaut (2006, p. 11)

Conforme ilustrado na Figura 7, o tamanho da submalha, ∆, pode ser definido pela raiz c´ubica do volume da c´elula da malha, dado pelo produto entre o comprimento ∆x, a altura ∆y e a profundidade ∆z.

∆ = (∆x∆y∆z)1/3 (3.1)

O n´umero de onda de corte, de acordo com o espectro de energia visto no cap´ıtulo anterior (Figura 6), pode ser dado como:

kc= π

∆ (3.2)

Logo, para número de onda abaixo de kc todos os fenômenos de turbulência serão modelados por um modelo algébrico, denominado modelo de submalha.

(30)

A filtragem espacial pode ser definida por meio de uma rela¸c˜ao com uma matriz de convolu¸c˜ao, G∆, associada ao tamanho da submalha, ∆. Para a velocidade, por exemplo, tem-se:

u(x, t) = Z

u(x0, t)G∆(x − x0)dx0 (3.3)

Para qualquer propriedade f , escalar ou vetorial, pode-se escrever:

f (x, t) = Z

f (x0, t)G∆(x − x0)dx0 = Z

f (x − x0, t)G∆(x0)dx0 (3.4) onde f (x, t) é a fun¸cão filtrada e f (x0, t) é a fun¸cão original.

O termo u não deve ser confundido com a média temporal de Reynolds, descrita anteriormente. Nesse caso, a nota¸cão da barra representa qualquer propriedade filtrada.

As matrizes de convolu¸cão mais comuns para simula¸cões tridimensionais no modelo LES, segundo Versteeg e Malalasekera (2007), são:

• Filtro de Caixa: G∆=    1/∆3 _{|x − x}0_{| ≤ ∆/2} 0 |x − x0_{| > ∆/2} (3.5) • Filtro Gaussiano: G∆= γ π∆2 3/2 exp −γ|x − x 0_|2 ∆2 (3.6) sendo comumente γ = 6

• Filtro de Corte Espectral:

G∆= 3 Y i=1 sin[(xi − x0i)/∆] (xi− x0i) (3.7)

No software ANSYS Fluent, programa em foco no presente trabalho, utiliza-se exclu-sivamente o Filtro de Caixa (ANSYS, 2015).

Assim, a Equa¸c˜ao da Continuidade para escoamentos incompress´ıveis (2.6), em sua forma filtrada, pode ser expressa como:

(31)

Aplicando-se, em seguida, um filtro para as Equa¸cões de Navier-Stokes (2.18a, 2.18b e 2.18c), tem-se: ρ∂ui ∂t + ∂ ∂xj (ρuiuj) = − ∂p ∂xi + ∂ ∂xj µ∂ui ∂xj (3.9) Para o segundo termo do lado esquerdo da Equa¸cão 3.9, é verdadeira a seguinte rela¸cão: ∂ ∂xj (ρuiuj) = ∂τij ∂xj + ∂ ∂xj (ρuiuj) (3.10)

Substituindo a Equa¸c˜ao 3.10 em 3.9, pode-se reescrever a Equa¸c˜ao de Navier-Stokes como: ρ∂ui ∂t + ∂ ∂xj (ρuiuj) = − ∂p ∂xi − ∂τ SGS ij ∂xj + ∂ ∂xj µ∂ui ∂xj (3.11) em que τSGS

ij é o tensor de Reynolds da submalha. O ´ındice SGS é referente ao termo em inglês sub-grid scale, ou escala de submalha. O tensor pode ser definido da seguinte forma:

τ_ijSGS = ρ(uiuj − uiuj) (3.12)

Os tensores de submalha resultantes da equa¸cão de filtragem são desconhecidos e, portanto, demandam modelagem. Há, novamente, um problema de fechamento, com mais incógnitas do que equa¸cões. Para tal, diversos modelos vêm sendo desenvolvidos e alguns deles serão descritos a seguir.

3.2 Modelos de Submalha no Fluent

3.2.1 Modelo Smagorinsky-Lilly

O primeiro modelo de submalha desenvolvido, e tamb´em o mais comumente utilizado, foi o proposto por Smagorinsky (1963), unicamente dissipativo.

Assim como no modelo RANS, as escalas de submalha podem ser consideradas isotrópicas, permitindo também a utiliza¸cão da Hipótese de Boussinesq (ANSYS, 2015). Logo, as tensões de submalha locais são tidas como proporcionais à taxa local de deforma¸cão.

τ_ijSGS− 1 3τ

SGS

(32)

sendo τSGS

ij o tensor de Reynolds de submalha, µSGS a viscosidade turbulenta de submalha e Sij definido como:

Sij = 1 2 ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi (3.14) O termo τSGS

kk pode ser facilmente desprezado para escoamentos incompress´ıveis, con-forme segue:

τ_ijSGS ≈ −2µSGSSij (3.15)

Assim, Smagorinsky (1963) propôs que a viscosidade dinâmica turbulenta do modelo de submalha fosse baseada no modelo de comprimento de mistura de Prandtl (Equa¸cão 2.25), já visto no cap´ıtulo anterior. Tal rela¸cão foi desenvolvida para modelar turbulência tridimen-sionalmente e consegue assumir um comportamento bem próximo à Cascata de Energia de Kolmogorov (LESIEUR, 2008).

µSGS = ρL2_s|S| (3.16)

onde Ls ´e o comprimento de mistura para escalas de submalha e |S| = q

2SijSij.

Ls= min(κd, Cs∆) (3.17)

onde κ é a constante de von Kármán, d é a distância da parede mais próxima e Cs é a constante de Smagorinsky. O operador min() apresenta-se útil especialmente próximo às paredes, onde o comprimento de mistura, κd, pode tornar-se menor do que o tamanho da submalha, ∆.

Quando em altos números de Reynolds, é poss´ıvel assumir que escalas na subfaixa inercial aderem às leis dessa região e, portanto, tem-se um valor único para o coeficiente Cs, independente do tamanho do filtro (LILLY, 1966).

Essa constante, no entanto, não é universal e apresenta varia¸cões de acordo com as diversas propriedades do escoamento, os filtros utilizados, as discretiza¸cões espaciais e tem-porais realizadas, entre outros. Um valor aceitável para uma grande parte dos escoamentos, Cs = 0.1, foi apropriado como padrão no ANSYS Fluent.

O modelo tamb´em se mostra adequado para estruturas em malhas muito refinadas (dentro da subfaixa inercial), pois, independentemente do valor da constante, Lsse mostrar´a insignificante para valores baixos de ∆.

Por outro lado, o tensor de submalha não é preciso, devido à hipótese de que existem apenas fenômenos dissipativos. Não é poss´ıvel, por exemplo, prever a ocorrência de uma

(33)

escala reversa de energia, na qual eddies menores transferem energia para os maiores, deno-minada backscatter (GERMANO et al., 1991). Além disso, o modelo Smagorinsky também não possui previsão assertiva na região da parede, visto que a contribui¸cão da viscosidade turbulenta nessa região deve ser nula, sendo necessária, em muitos casos, a adi¸cão de leis de parede (PITTARD, 2003).

3.2.2 Modelo Smagorinsky-Lilly Dinˆ

amico

O modelo dinâmico, proposto por Germano et al. (1991) e aprimorado por Lilly (1992), prevê, antecipadamente, o valor mais adequado para o Cs. Essa modifica¸cão pode ser utili-zada para resolver diversas deficiências do modelo regular ao calcular localmente a viscosidade turbulenta em escoamentos laminares, de transi¸cão e na região viscosa próxima à parede, por exemplo (POPE, 2000). Também é poss´ıvel, por meio do modelo dinâmico, considerar o backscatter.

Essa técnica se baseia no princ´ıpio da similaridade de escalas. Conforme ilustrado na Figura 8, pode-se assumir que, para a subfaixa inercial, a menor escala resolvida numerica-mente é compat´ıvel à maior escala a ser modelada.

Figura 8 – Similaridade de Escala

Fonte: Poinsot e Veynante (2005, p. 167)

Para capturar escalas maiores, ´e necess´ario utilizar um segundo filtro, mais extenso, denominado “filtro de teste”, com tamanho usual de e∆ ≈ 2∆ (NETZER, 2019).

´

E então assumida uma identidade algébrica que relaciona as tensões turbulentas em n´ıveis de filtro submalha distintos com as tensões turbulentas resolvidas, conforme evidenci-ado na Figura 9. Isso é realizado por meio da apropria¸cão de informa¸cões retiradas da menor escala resolvida, seguida da utiliza¸cão desses dados para modelar as escalas de submalha.

(34)

Figura 9 – Tensões turbulentas na região submalha e na região de teste

Fonte: Poinsot e Veynante (2005, p. 168)

Quando aplicado o filtro G, tem-se o termo de tensão de submalha, τij. Entretanto, se empregado o filtro composto, eG, obtém-se, através da Equa¸cão de Navier-Stokes, o tensor Tij para a área de teste. Além disso, Lij pode ser dado como a tensão turbulenta das escalas resolvidas.

τij = ρ(uiuj− uiuj) (3.18a)

Tij = ρ(ugiuj−ueiuej) (3.18b)

Lij = Tij −_eτij (3.18c)

Por fim, de acordo com Germano, a constante de Smagorinsky dinˆamica, Cd, pode ser definida por: Cd= − 1 2 hLijSiji e ∆ 2 h|eS|eSijSiji − ∆ 2 h|eS|eSijSiji (3.19) sendo: e Sij = 1 2 ∂uei ∂xj + ∂uej ∂xi ! e |eS| = q 2eSijSeij (3.20)

(35)

3.2.3 Modelo WALE

Esse modelo é representado por um acrônimo para o termo em inglês Wall Adaptative Large Eddy. Foi inicialmente proposto por Nicoud e Ducros (1999) para abordar simula¸cões Large Eddy Simulation para geometrias complexas, nas quais não é simples determinar a distância à parede.

Diferentemente do modelo Smagorinsky, no qual apenas a influência da taxa de de-forma¸cão é contabilizada, para o modelo WALE, tanto a taxa de deforma¸cão quanto a rota¸cão são capazes de produzir a turbulência. Isso implica que, além do termo Sij, evidenciado na Equa¸cão 3.14, também haverá o componente rotacional Ωij.

Ωij = 1 2 ∂ui ∂xj − ∂uj ∂xi (3.21) Assim, com base na Equa¸cão 3.16 do modelo Smagorinsky, pode-se assumir a vis-cosidade de submalha para o modelo WALE com a modifica¸cão do operador para que este capture corretamente o comportamento na parede. São criados então dois novos operadores, conforme segue:

µSGS = ρL2_sOP1 OP2

(3.22)

Ls = min(κd, Cw∆) (3.23)

onde Cw é a constante do modelo WALE, OP1 é um operador espacial que retorna um comportamento assintótico (y3) próximo à parede e OP2 é o operador utilizado para redimensionar as unidades de OP1. OP1 = SijdS d ij 3/2 (3.24) OP2 = SijSij 5/2 + S_ijdS_ijd5/4 (3.25)

Logo, substituindo as Equa¸c˜oes 3.24 e 3.25 em 3.22, tem-se:

µSGS = ρ(Cw∆)2 Sd ijSijd 3/2 SijSij 5/2 + Sd ijSijd 5/4 (3.26)

Por fim, o termo Sd

ij pode ser definido em fun¸cões da taxa de deforma¸cão e de rota¸cão. S_ijd = SikSkj + ΩikΩkj−

1

(36)

Para o modelo WALE, o tensor turbulento τij é exprimido como já evidenciado para utiliza¸cão no modelo Smagorinsky e pode ser encontrado na equa¸cão 3.13.

No ANSYS Fluent, o valor padrão da constante é Cw = 0.325, que resulta em da-dos satisfatórios para diversos escoamentos (ANSYS, 2015). Todos os outros valores são os mesmos usados no modelo Smagorinsky.

3.2.4 Modelo Dinˆ

amico de Energia Cin´

etica

Este é um modelo também dinâmico, alternativo ao modelo dinâmico Smagorinsky-Lilly. Nesse caso, a turbulência da submalha tende a ser melhor modelada, devido à in-corpora¸cão do transporte da energia cinética turbulenta de submalha (ANSYS, 2015). No ANSYS Fluent, esse modelo é disposto de acordo com o proposto por Kim e Menon (1997). Através de uma contra¸cão do tensor de submalha (Equa¸cão 3.12), é poss´ıvel encontrar a energia cinética turbulenta de submalha, conforme segue:

kSGS = 1

2(ukuk− ukuk) (3.28)

A energia cinética turbulenta, kSGS, é obtida através da solu¸cão de sua equa¸cão de transporte, na qual estão contidas a produ¸cão, difusão e dissipa¸cão de kSGS.

∂ρkSGS ∂t + ui ∂ρkSGS ∂xi = −τij ∂ui ∂xi − ρεSGS + ∂ ∂xi µSGS ∂kSGS ∂xi (3.29) A partir da energia cin´etica turbulenta, consegue-se obter o termo de dissipa¸c˜ao, εSGS, a viscosidade turbulenta de submalha, µSGS, e o tensor de submalha, τij.

εSGS = Cε k_SGS3/2 ∆ (3.30) µSGS = ρCk∆ p kSGS (3.31) τij = 2 3ρkSGSδij − 2ρCk∆ p kSGSSij (3.32)

sendo Ck e Cε dois coeficientes que devem ser especificados dinamicamente (KIM; MENON, 1997).

Para tal, utilizou-se também um filtro de teste, com princ´ıpio idêntico ao já eviden-ciado no item 3.2.2. Assim, a energia cinética de teste, kteste, associada às escalas presentes entre o filtro de teste e o filtro de submalha, pode ser definida como:

kteste = 1 2 ] ukuk−eukeuk (3.33)

(37)

Da mesma forma, a tens˜ao turbulenta das escalas resolvidas, Lij, ´e dada por:

Lij = ρ(ugiuj−euieuj) (3.34) Assim, conforme descrito por Kim e Menon (1997), a energia cin´etica turbulenta na malha de teste, kteste, ´e produzida nas maiores escalas por −Lij(∂uei/∂xj) e, nas menores escalas, dissipada por:

e = (ν + νt) ^ ∂ui ∂xj ∂ui ∂xj − ∂eui ∂xj e ui ∂xj ! (3.35) sendo (ν + νt) a representa¸c˜ao da dissipa¸c˜ao por ambas as viscosidades molecular e turbulenta.

Liu, Meneveau e Katz (1994) sugerem a existência de uma correla¸cão significativa entre o tensor de submalha, τij, e a tensão turbulenta das escalas resolvidas, Lij, resultando na seguinte rela¸cão no n´ıvel de teste:

Lij = 1

3δijLkk− 2ρCk∆e p

ktesteSeij (3.36)

Para determinar a constante Ck, resta utilizar o seguinte m´etodo:

Ck= 1 2 Lijσij σijσij (3.37) onde

σij = − e∆pktesteSije (3.38)

Para a taxa de dissipa¸cão, εSGS, determinada na Equa¸cão 3.29 para a submalha, tem-se uma similaridade para a região de teste, representada por e, que possui rela¸cão direta com a constante de dissipa¸cão.

e = Cεk 3/2 teste

e

∆ (3.39)

Por fim, evidenciando a constante Cεe substituindo a Equa¸c˜ao 3.35 em 3.39, obt´em-se:

Cε = ∆(ν + νe t) k3/2_teste ^ ∂ui ∂xj ∂ui ∂xj − ∂eui ∂xj e ui ∂xj ! (3.40)

(38)

37

4 M´etodos de Gera¸c˜

ao de Turbulˆencia nas

Condi¸c˜

oes de Contorno de Entrada

Devido ao elevado custo computacional do modelo LES, na tentativa de se reduzir a dura¸cão ou as dimensões necessárias para que se atinja um perfil plenamente turbulento, torna-se crucial a utiliza¸cão de métodos de gera¸cão de inlets estocásticos. Especifica¸cões pre-cisas das condi¸cões de entrada são determinantes quando se trata da qualidade da simula¸cão, pois o comportamento turbulento do escoamento é fortemente influenciado por tais condi¸cões de contorno (CASTRO; PAZ; SONZOGNI, 2011).

As caracter´ısticas necess´arias para se obter uma entrada adequada, segundo Tabor e Baba-Ahmadi (2010), de acordo com a ordem de importˆancia e complexidade, devem ser:

• Variar estocasticamente, inclusive em escalas inferiores `a filtragem (temporal e espaci-almente);

• Ser compat´ıvel com as Equa¸c˜oes de Navier-Stokes; • Possuir aspecto de turbulˆencia;

• Fornecer informa¸c˜oes precisas acerca das caracter´ısticas do escoamento e de suas pro-priedades de turbulˆencia;

• Ser de f´acil implementa¸c˜ao e adaptabilidade para casos distintos.

Essas ferramentas de gera¸cão de turbulência se encaixam em duas categorias, também definidas por Tabor e Baba-Ahmadi (2010): métodos de s´ıntese e métodos de simula¸cão precursora. Ambos apresentam vantagens e desvantagens, a serem apresentadas a seguir.

4.1 M´etodo de Simula¸c˜

ao Precursora

Nos métodos de simula¸cão precursora uma forma de turbulência é computada antes do cálculo principal e é introduzida ao dom´ınio no inlet. Uma grande vantagem dessa ferramenta ´

e que os dados utilizados são obtidos de simula¸cões reais de turbulência e, portanto, estão de acordo com certos requisitos fundamentais, como as flutua¸cões temporais e espaciais ou o espectro de energia (TABOR; BABA-AHMADI, 2010).

No método do Dom´ınio C´ıclico, o escoamento recircula através do mesmo dom´ınio, ou seja, um perfil retirado a jusante é reinserido na entrada inúmeras vezes até que se alcance um

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Cap´ıtulo 4. Métodos de Gera¸cão de Turbulência nas Condi¸cões de Contorno de Entrada 38

estado plenamente desenvolvido. Esse método é comumente utilizado para realizar estudos em pequenas se¸cões, conforme exemplificado por Kim, Moin e Moser (1987) em um canal utilizando DNS. É importante notar que a distância entre a entrada e o plano deve ser sufici-entemente grande, permitindo que a turbulência se desenvolva nas condi¸cões de escoamento estipuladas. A velocidade média torna-se constante em uma distância de aproximadamente 40D do inlet, sendo D o diâmetro de uma tubula¸cão, enquanto que os componentes da tensão de Reynolds tendem a adquirir comportamento invariante mais a jusante no escoamento (TA-BOR; BABA-AHMADI, 2010).

Além do perfil de velocidade, outras propriedades variantes também podem ser atribu´ıdas ao inlet, conforme indicado por Baba-Ahmadi e Tabor (2008), como for¸cas de corpo axiais e tangenciais e termos de corre¸cão de velocidade. Tais termos aprimoram a turbulência, pois permitem um controle preciso para que sejam obtidas as condi¸cões desejadas na simula¸cão.

´

E importante notar que outra varia¸c˜ao existente nos estudos de Baba-Ahmadi e Tabor (2008) ´

e a não utiliza¸cão de um plano de entrada para reinserir seus dados, mas sim uma região de entrada para atingir os perfis de turbulência e velocidade adequados.

A turbulência gerada por esse método não pode ser considerada perfeita, devido ao comportamento c´ıclico dos dados. Os erros gerados serão perpetuados ao se reinserir o perfil na entrada e possuem a ordem de L/u, sendo L o comprimento do dom´ınio c´ıclico e u a velocidade média do escoamento (TABOR; VILLIERS, 2004).

Outra modifica¸cão poss´ıvel é a gera¸cão de uma biblioteca de dados turbulentos em uma geometria auxiliar, mais simples, conforme realizado por Spalart (1988). Como ilustrado pela Figura 10, após a utiliza¸cão do método do Dom´ınio C´ıclico no dom´ınio auxiliar, as propriedades de um plano a jusante são extra´ıdas e, em seguida, reinseridas como condi¸cão de contorno no inlet principal. Tal prática pode ser realizada previamente à simula¸cão principal ou concomitantemente, em paralelo.

Não é necessário, por exemplo, que propriedades caracter´ısticas do escoamento, como o número de Reynolds e a configura¸cão da malha, sejam idênticas em ambos os dom´ınios, pois os dados podem ser redimensionados para se adequarem à geometria principal (LUND; WU; SQUIRES, 1998; FERRANTE; ELGHOBASHI, 2004). Tal modifica¸cão pode ser realizada para a velocidade em uma tubula¸cão de acordo com a seguinte equa¸cão (WANG; BAI, 2004):

uin = uin+ (ure− ure) u0_in u0

re

(4.1) sendo ()in referente às propriedades a serem inseridas no inlet e ()re, às propriedades que serão recicladas.

Com rela¸cão ao número de time steps, no entanto, há um impasse referente ao custo computacional. Simular e salvar no modelo precursor uma quantidade de steps equivalente

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Figura 10 – Após atingir um estado de turbulência, um perfil de velocidade em um plano da simula¸cão auxiliar é copiado e inserido na corrida principal

Fonte: Ferrante e Elghobashi (2004, p. 373)

`

a utilizada na simula¸cão principal pode levar a uma grande demanda pela capacidade de armazenamento, dependendo da dimensão dos dados que compõem a biblioteca.

Entretanto, uma simula¸cão mais extensa do que a biblioteca pré-computada implica na introdu¸cão de um comportamento periódico na mesma, o que pode afetar significantemente os resultados. Para um caso em que o número de time steps da simula¸cão exceda o dispon´ıvel na biblioteca, tem-se que serão inseridos novamente os dados atribu´ıdos aos steps iniciais (WANG; BAI, 2004).

´

E poss´ıvel eliminar a periodicidade com a introdu¸cão de transforma¸cões aleatórias, o que traz uma maior dificuldade ao processo. Conforme estudado por Chung e Sung (1997), pode-se manipular e destruir essa tendência, inserindo ru´ıdos nas fun¸cões, alterando os dados temporais.

Por fim, Li et al. (2018) propõem outro método de gera¸cão de uma biblioteca de dados a partir de um experimento real. Por meio da velocimetria por imagem de part´ıculas (PIV), uma técnica óptica não invasiva, é poss´ıvel detectar as estruturas de turbulência no escoamento para, em seguida, incorporá-las na condi¸cão de contorno. Os dados são diretamente inseridos no dom´ınio com UDF (User Defined Functions) para cada time step.

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mostram-Cap´ıtulo 4. Métodos de Gera¸cão de Turbulência nas Condi¸cões de Contorno de Entrada 40

se mais precisos quando comparados aos métodos de s´ıntese. No entanto, desenvolver um escoamento com turbulência desejada (plenamente desenvolvida ou não) pode ser uma tarefa dif´ıcil quando utilizados métodos precursores, em razão de sua caracter´ıstica c´ıclica, com resistência à adapta¸cão por mudan¸cas repetidas nas condi¸cões de entrada.

4.2 M´etodo de S´ıntese

Os Métodos de S´ıntese geram espécies de flutua¸cões aleatórias na entrada do dom´ınio, que são combinadas com o escoamento médio na região de entrada.

O m´etodo mais simples de gera¸c˜ao de estruturas turbulentas na entrada de um dom´ınio ´

e a sobreposi¸cão de perturba¸cões gaussianas randômicas na velocidade média do escoamento. Entretanto, esses ru´ıdos ignoram que há rela¸cão entre componentes de velocidade, como no tensor de Reynolds, e não possuem coerência no espa¸co (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007). Assim, acabam sendo destru´ıdos quando aplicada a Equa¸cão de Navier-Stokes.

Outras técnicas mais avan¸cadas de gera¸cão de eddies têm como foco o desenvolvimento de condi¸cões de contorno mais realistas e que possam ser parametrizadas e ajustadas de acordo com o desejado (TABOR; BABA-AHMADI, 2010). Logo, deve ser introduzida uma correla¸cão espacial e/ou temporal. Tais formas facilitam a especifica¸cão dos parâmetros de turbulência pretendidos, além de serem rápidos e de fácil modifica¸cão. Por outro lado, podem ser bastante imprecisos e podem necessitar de uma se¸cão de desenvolvimento das flutua¸cões aleatórias em real turbulência.

De acordo com ANSYS (2015), estão dispon´ıveis três alternativas na interface gráfica do software ANSYS Fluent. A primeira, identificada como “No Perturbations”, ignora a presen¸ca de componentes estocásticos na velocidade da condi¸cão de contorno de entrada, sendo utilizada para geometrias em que a turbulência não tenha contribui¸cão considerável. Pode ser determinado, nesse caso, o perfil de velocidade no plano de entrada com base no perfil de velocidade obtido em uma simula¸cão RANS previamente realizada.

Os dois outros m´etodos, denominados Spectral Synthesizer e Vortex Method, ser˜ao discutidos a seguir.

4.2.1 T´

ecnica de Fourier

Inicialmente proposta por Kraichnan (1970) e modificada por Smirnov, Shi e Celik (2001), a Random Flow Generation Technique (RFG), ou Spectral Synthesizer no ANSYS (2015), utiliza a Técnica de Fourier para criar um campo de flutua¸cões de velocidade aleatório e relativamente simples. Esse campo pode ser utilizado para gera¸cão de estruturas

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turbulen-Cap´ıtulo 4. Métodos de Gera¸cão de Turbulência nas Condi¸cões de Contorno de Entrada 41

tas com coerência espacial em escoamentos não-homogêneos, com divergência quase nula e anisotrópicos (SMIRNOV; SHI; CELIK, 2001).

Smirnov, Shi e Celik (2001) propõem um algoritmo de três etapas para obten¸cão do campo de flutua¸cões de velocidade. Para tal, basta que sejam fornecidos o tensor de Reynolds e as escalas de tempo e de comprimento (VASATURO et al., 2018).

O primeiro passo do método implica na diagonaliza¸cão do tensor anisotrópico de turbulência, Rij, por meio de um tensor de transforma¸cão ortogonal, Aij.

Rij = u0iu 0

j (4.2)

AmiAnjRij = δmnλ2(n) (4.3)

AikAkj = δij (4.4)

onde λ(n)atua como uma representa¸c˜ao das flutua¸c˜oes de velocidade u0ino novo sistema de coordenadas produzido por Aij (SMIRNOV; SHI; CELIK, 2001).

O passo seguinte implica na gera¸cão de um campo transiente tridimensional inter-mediário por meio do método apresentado por Kraichnan (1970), que representa as flutua¸cões turbulentas por uma série de Fourier em sua forma harmônica, como uma soma de senos e cossenos com fases e amplitudes randômicas (TABOR; VILLIERS, 2004). A utiliza¸cão dessas fun¸cões periódicas fornece coerência espacial e temporal na região de entrada.

v_i0(x, t) = r 2 N N X n=1 [p_incos(ek_jnx_ej + ωnet) + q_insin(ek_jnx_ej + ωnet)] (4.5) onde e xj = xj ∆, et = t τ, c = ∆ τ , ek n j = k n j c λ(j) (4.6) pn_i = εijmζjnk n m, q n i = εijmξjnk n m (4.7)

sendo pn_i e q_in a amplitude das fun¸cões harmônicas, εijm o sinal Levi-Civita para permuta¸cões e: ζ_in, ξ_in, ωn ∈ N (0, 1), k_in∈ N 0,1 2 (4.8) em que um caso genérico N(M, σ) denota uma variável aleatória sob uma distribui¸cão normal com média M e desvio padrão σ (WANG et al., 2015).

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Figura 11 – Modelos espectrais de energia

Fonte: Huang, Li e Wu (2010, p. 601)

Al´em disso, kn

j e ωn representam, respectivamente, um conjunto de n vetores de n´umero de onda e de n frequˆencias temporais do espectro de energia, expressado por:

E(k) = 16 r

2 πk

4_{exp(−2 k}2₎ _(4.9)

Por fim, a última etapa é composta pelo redimensionamento e pela transforma¸cão ortogonal do campo v0_i (Equa¸cão 4.5), resultando em um campo de flutua¸cões de velocidade sintético, aqui denotado por u_e0_i.

e

u0_i = Aikλ(k)v(k)0 (4.10)

no qual λ(k) é um fator para redimensionamento, enquanto que v(k)0 é o vetor que representa as flutua¸cões de velocidade dependentes no tempo a serem transformadas pelo tensor Aij.

Uma desvantagem dessa abordagem é que as varia¸cões temporais e espaciais das flu-tua¸cões de velocidade concordam apenas com uma distribui¸cão gaussiana, conforme repre-sentado na Figura 11.

Desse modo, outros m´etodos foram desenvolvidos com o objetivo de aprimorar a T´ecnica de Fourier. Huang, Li e Wu (2010), com base nos estudos que o precederam, de-senvolveram a DSRFG (Discretizing and Synthesizing Random Flow Generation Technique).

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Nesse método, o campo de flutua¸cões pode satisfazer uma ampla gama de modelos, o que é particularmente útil em escoamentos nos quais a energia da subfaixa inercial não pode ser desprezada (CASTRO; PAZ; SONZOGNI, 2011).

4.2.2 M´

etodo dos V´

ortices

O Método dos Vórtices se baseia em tratamentos lagrangianos bidimensionais de vórtices. Seu funcionamento implica na gera¸cão de vórtices dependentes no tempo através de um campo de vorticidade bidimensional, normal ao escoamento, por onde são inseridos ao dom´ınio.

Inicialmente proposto por Sergent (2002), esse método apresenta uma vantagem quando comparado à Técnica de Fourier, pois necessita de um comprimento menor do dom´ınio a ju-sante do inlet para desenvolver uma turbulência realista (TABOR; BABA-AHMADI, 2010). Matematicamente, o vetor vorticidade, ω, pode ser definido pelo rotacional da velo-cidade:

ω = ∇ × u (4.11)

Aplicando-se o rotacional às Equa¸cões de Navier-Stokes (2.18a, 2.18b e 2.18c), é poss´ıvel escrever a equa¸cão bidimensional de transporte de vorticidade.

∂ω

∂t + (u.∇)ω = ν∇

2_ω _(4.12)

Na Equa¸c˜ao 4.12, o vetor velocidade, u, pode ser decomposto da seguinte forma:

u = ∇ × ψ + ∇φ (4.13)

no qual ψ = (ψ, 0, 0) é o vetor potencial e φ, o potencial de velocidade (CAVAL-CANTI, 2001). Adotando essa nota¸cão simplificada, podemos representar o componente de vorticidade ω na dire¸cão do escoamento por:

ω = −∇2ψ (4.14)

Utilizando a fun¸cão de Green para dom´ınios bidimensionais, aplicada para solucionar equa¸cões diferenciais por meio da adi¸cão de operadores integrais, é poss´ıvel resolver a Equa¸cão 4.14 em termos de fun¸cão de corrente.

ψ(x) = − 1 2π

Z Z

R2