2.3
M´etodos
de
Filtro
Bidimensional
e
Multidimensional
Nesta se¸c˜ao apresentamos uma revis˜ao de alguns trabalhos que utilizam o m´etodo de filtros, principalmente no contexto de m´etodos de regi˜oes de confian¸ca. O m´etodo de filtros bidimensional foi introduzido por Fletcher e Leyffer (2002) para a globaliza¸c˜ao de um algoritmo de programa¸c˜ao quadr´atica sequencial com a t´ecnica de regi˜oes de confian¸ca e, devido `a sua robustez e eficiˆencia, tem se tornado uma metodologia aplic´avel em diversas ´areas. Uma revis˜ao mais completa pode ser encontrada em Fletcher, Leyffer e Toint (2007), onde os autores apresentam um hist´orico do m´etodo de filtros, descrevendo as principais ideias e resultados de convergˆencia e indicando muitos contextos onde os filtros tˆem obtido bom desempenho.
O m´etodo de filtros foi apresentado em Fletcher e Leyffer (2002) com o objetivo de interferir o m´ınimo poss´ıvel nas itera¸c˜oes do m´etodo SQP (do inglˆes, Sequential Quadratic Programming), mas de modo a induzir a convergˆencia e evitar o uso do parˆametro de penalidade, sendo assim menos restritivo que os m´etodos que utilizam fun¸c˜oes de m´erito. O procedimento consiste da resolu¸c˜ao de uma sequˆencia de subproblemas de programa¸c˜ao quadr´atica com regi˜oes de confian¸ca, o qual gera uma sequˆencia de novas aproxima¸c˜oes `a solu¸c˜ao do problema de programa¸c˜ao n˜ao linear, sendo que esses novos pontos s˜ao aceitos pelo algoritmo se eles produzem um decr´escimo suficiente na fun¸c˜ao objetivo ou na fun¸c˜ao da viola¸c˜ao das restri¸c˜oes. Os resultados computacionais foram bastante promissores, resultando em outros trabalhos dos autores.
Em Gonzaga, Karas e Vanti (2003) foi apresentado um algoritmo de filtros para programa¸c˜ao n˜ao linear bem como a teoria de convergˆencia global para pontos estacion´arios. Cada itera¸c˜ao ´e composta de uma fase de factibilidade, que reduz uma medida de infactibilidade associada com as restri¸c˜oes do problema, e de uma fase de otimalidade que reduz o valor da fun¸c˜ao objetivo do problema usando o m´etodo de regi˜ao de confian¸ca. Essas fases s˜ao totalmente independentes, somente conectadas pelo filtro, e podem ser resolvidas por qualquer algoritmo que satisfa¸ca certas hip´oteses.
O trabalho desenvolvido em Gould, Leyffer e Toint (2004) apresenta um algoritmo de filtro multidimensional para a resolu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes n˜ao lineares e problemas de m´ınimos quadrados n˜ao lineares, em que a dimens˜ao do filtro est´a relacionada com o n´umero de equa¸c˜oes do sistema. O algoritmo permite qualquer rela¸c˜ao entre m e n (n´umero de equa¸c˜oes e vari´aveis, respectivamente) e combina o m´etodo de filtros com a robustez dos m´etodos de regi˜oes de confian¸ca, convergindo globalmente para zeros do sistema sob certas suposi¸c˜oes. As experiˆencias num´ericas preliminares indicaram consider´avel eficiˆencia do m´etodo, por´em os autores afirmaram que esta an´alise representa
ainda apenas os primeiros passos nessa linha de pesquisa, sendo poss´ıvel extens˜oes num´ericas e crescimento em ambas teoria e pr´atica.
Gould, Sainvitu e Toint (2006) estenderam as ideias de filtro multidimensional para problemas de otimiza¸c˜ao irrestrita e mostraram sob certas hip´oteses, que o algoritmo converge globalmente para, no m´ınimo, um ponto cr´ıtico de primeira-ordem, independentemente da estimativa inicial. O m´etodo combina o mecanismo cl´assico do m´etodo de regi˜ao de confian¸ca com o m´etodo de filtro multidimensional para determinar se um passo gerado ´e aceito ou n˜ao, e assim promover convergˆencia global ao algoritmo. Os resultados preliminares indicaram ganhos significativos em tempo de processamento, n´umero de itera¸c˜oes e avalia¸c˜ao de fun¸c˜oes com rela¸c˜ao aos m´etodos de regi˜ao de confian¸ca cl´assicos.
Em Sainvitu e Toint (2007) foi apresentada uma extens˜ao do m´etodo apresentado em Gould, Sainvitu e Toint (2006) para minimiza¸c˜ao irrestrita, objetivando a resolu¸c˜ao de problemas de otimiza¸c˜ao n˜ao linear com restri¸c˜oes de caixa. Para trabalhar com tais restri¸c˜oes foi adaptado um m´etodo de proje¸c˜ao do gradiente com a t´ecnica de filtro multidimensional, a fim de caracterizar os pontos cr´ıticos de primeira-ordem levando cada componente do gradiente projetado para zero. A resolu¸c˜ao do subproblema quadr´atico ´e feita em 2 est´agios: no primeiro, ´e usado o m´etodo do gradiente projetado para identificar as vari´aveis que ser˜ao fixadas em seus limites e, ent˜ao, no segundo est´agio, o modelo quadr´atico ´e reduzido e o m´etodo do gradiente conjugado ´e usado para obter uma solu¸c˜ao aproximada.
Recentemente, a t´ecnica dos filtros tem sido adaptada em v´arios contextos, em ambas estruturas de busca linear e regi˜oes de confian¸ca. De modo geral, o bom desempenho desta nova estrat´egia de globaliza¸c˜ao de algoritmos motivou in´umeros trabalhos nas mais diversas ´areas de aplica¸c˜ao, tais como otimiza¸c˜ao sem derivadas (AUDET; DENNIS,
2004), m´etodos de pontos interiores (W¨ACHTER; BIEGLER, 2006), m´etodos de Lagrangiano
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Cap´ıtulo 3
Problema de Fluxo de Carga
3.1
Introdu¸c˜ao
O desenvolvimento de metodologias para o c´alculo do fluxo de carga (FC) ´e fundamental na an´alise de sistemas el´etricos de potˆencia, desde o n´ıvel de opera¸c˜ao at´e o n´ıvel de planejamento de expans˜ao das redes el´etricas. As informa¸c˜oes obtidas pelo estudo do fluxo de carga em redes de transmiss˜ao s˜ao necess´arias, por exemplo, para o operador analisar e viabilizar solicita¸c˜oes de manuten¸c˜oes, reparos e substitui¸c˜oes de linhas de transmiss˜ao e de equipamentos que fazem parte do sistema el´etrico.
Um sistema de energia el´etrica, operando em regime estacion´ario, deve obedecer a dois tipos de restri¸c˜oes:
restri¸c˜oes de carga: cE(x) = 0,
restri¸c˜oes de opera¸c˜ao: cI(x) ≤ 0.
(3.1) As restri¸c˜oes de carga respresentam o balan¸co do fluxo de potˆencia em cada barra e as restri¸c˜oes de opera¸c˜ao representam os limites de opera¸c˜ao e de capacidade dos equipamentos do sistema el´etrico. Tem-se ainda as restri¸c˜oes de seguran¸ca do tipo s(x) ≤ 0, associadas a um conjunto predeterminado de contingˆencias poss´ıveis no sistema. Baseados nessas defini¸c˜oes de restri¸c˜oes de carga, opera¸c˜ao e seguran¸ca s˜ao definidos quatro estados de opera¸c˜ao do sistema: seguro, alerta (normal-alerta), emergˆencia e restaurativo (MONTICELLI, 1983).
As transi¸c˜oes entre estes estados podem ocorrer devido a altera¸c˜oes no sistema, como, por exemplo, perturba¸c˜oes e a¸c˜oes de controle no modo preventivo, corretivo ou restaurativo. Em espec´ıfico, a formula¸c˜ao desenvolvida neste trabalho para o problema de fluxo de carga com controles, se enquadra na transi¸c˜ao emergˆencia → normal-alerta j´a que, matematicamente, tal transi¸c˜ao corresponde `a obten¸c˜ao de uma solu¸c˜ao fact´ıvel para
o conjunto das restri¸c˜oes de carga e de opera¸c˜ao do sistema. Nesta transi¸c˜ao, podem ser realizadas a¸c˜oes de controle de emergˆencia no modo corretivo, para eliminar a viola¸c˜ao nos limites de opera¸c˜ao e manter a integridade do sistema.
O objetivo deste cap´ıtulo ´e explorar o problema de fluxo de carga como um problema de factibilidade n˜ao linear, o qual procura obter um ponto de opera¸c˜ao fact´ıvel para o conjunto de restri¸c˜oes do problema, resultando em um estado de opera¸c˜ao normal-alerta para o sistema, onde as restri¸c˜oes de carga e de opera¸c˜ao s˜ao obedecidas, ou seja, toda a demanda ´e suprida sem haver viola¸c˜oes nos limites operativos.
Nas pr´oximas se¸c˜oes, primeiramente ´e apresentada a formula¸c˜ao convencional do problema de fluxo de carga, onde o n´umero de equa¸c˜oes do modelo ´e igual ao n´umero de vari´aveis de estado do sistema, bem como uma breve abordagem dos m´etodos mais usuais para sua resolu¸c˜ao. Em seguida, ´e apresentada uma nova abordagem para a formula¸c˜ao e resolu¸c˜ao do fluxo de carga em que o n´umero de vari´aveis de estado ´e maior que o n´umero de equa¸c˜oes do modelo, devido a uma diferente associa¸c˜ao com os tipos de barras do sistema. Essa associa¸c˜ao est´a relacionada com a inclus˜ao de condi¸c˜oes de complementaridade `a formula¸c˜ao do problema, designadas para representar o controle da magnitude de tens˜ao das barras com controle de gera¸c˜ao de potˆencia reativa. E, finalizando a se¸c˜ao, ´e proposta uma metodologia que possibilita a obten¸c˜ao dos valores discretos para os taps de tranformadores na solu¸c˜ao final do problema.