1.6 Espaço de Moduli de Instantons
2.1.1 Mapa Momento
Seja (M, ω) uma variedade simplética. Dado, H ∈ C∞(M ), dH ∈ Ω1(M ), e considere o
campo XH dado pelo isomor smo entre X(M) e Ω1(M ), i.e.
iXHω = dH
tal campo é chamado campo hamiltoniano.
Note que XH deixa a forma simplética invariante (i.e. LXHω = 0, onde L é a derivada de
Lie). De fato, pela fórmula de Cartan temos que:
LXHω = diXHω + iXhdω = 0
pois iXHω = dH (e d
2 = 0) e dω = 0 (forma simplética).
Comecemos agora com um campo de vetores X ∈ X(M) que deixa a forma simplética in- variante. Então, novamente pela fórmula de Cartan:
0 = LXω = diXω + iXdω = diXω
Ou seja, iXω é fechada. Se pedirmos HdR1 (M ) = 0, iXω é também exata e existe H ∈ C∞(M )
satisfazendo iXω = dH (claramente não há unicidade, pois H + constante também satisfaz
a condição). Assim, se H1
dR(M ) = 0 (M simplesmente conexa, por exemplo), todo campo de
vetores que deixa ω invariante é campo hamiltoniano.
Observação 2.1.8. Campos hamiltonianos nos permitem de nir um colchete de Poisson em C∞(M ), a saber
{f, g} = Xf(g) = ω(Xg, Xf)
onde a última igualdade vem de Xf(g) = dg(Xf) = iXgω(Xf) = ω(Xg, Xf) (aqui, como ante-
riormente, df = iXfω e dg = iXgω). Em particular, o colchete de Poisson torna C
∞(M ) uma
álgebra de Lie (de dimensão in nita).
Campos que deixam a forma simplética invariante podem ser obtidos, como veremos a seguir, a partir de uma ação simplética de um grupo de Lie G em (M, ω), onde (M, ω) é variedade simplética. G age simpleticamente em (M, ω) se existe um homomor smo de grupos ψ : G −→ Dif f (M ), tal que ψ∗gω = ω, para todo g ∈ G. Ou seja,
Dado, ξ ∈ g, temos o seguinte campo de vetores associado, Xξ ∈ X(M ), dado por (Xξ)p = d dt t=0 (exp(tξ) · p)
Sobre a notação: Em geral , confundiremos ações (à esquerda) de um grupo de Lie G numa variedade M, G × M −→ M, com homomor smos de grupos ψ : G −→ Diff(M). De fato, as noções são equivalentes e a ação (que denotaremos por ·) está relacionada com o homomor smo ψ por ψg(p) = g · p. Por abuso de notação, xado um p ∈ M, a aplicação G −→ M, g 7−→ g · p,
será denotada por ψp.
Dito isso, podemos escrever (Xξ)p = dtd
t=0(exp(tξ) · p) = d dt
t=0ψp(exp(tξ)) = dψp(e)ξ, onde
fazemos a identi cação usual de g com TeG.
Antes de mostrar que os campos de vetores de nidos acima, Xξ ∈ X(M ), deixam a forma
simplética invariante, vamos relembrar informal e brevemente a noção de uxo de um campo. Dado X ∈ X(M), dizemos que uma curva diferenciável γ : I ⊆ R −→ M é uma curva integral de X, se γ0(t) = X
γ(t), para todo t ∈ I. Tomando coordenadas locais, obtemos um sistema de
equações diferenciais ordinárias e conclui-se, pelos teoremas padrões de existência e unicidade de EDOs, que dado p ∈ M existe uma única curva integral γp : (ap, bp) −→ M, ap, bp ∈ R ∪ {±∞},
com 0 ∈ (ap, bp) (i), γp(0) = p (ii) e tal que, se η : (c, d) −→ M é outra curva integral satisfa-
zendo (i) e (ii), então (c, d) ⊆ (ap, bp) e (γp)|(c,d) = η. Chamamos tal curva de curva integral
maximal de X por p. Dado p ∈ M, mostra-se que existe > 0, e um aberto U contendo p, tal que o mapa (−, )×U −→ M, dado por (t, q) 7−→ φt
X(q)
.
= γq(t), é bem de nido e diferenciável.
Chamamos φt
X de uxo do campo X (ver, por exemplo, [27] para uma discussão mais detalhada).
Voltando ao nosso caso, dado ξ ∈ g, considere a curva γ(t) = exp(tξ) · p, que está de nida num aberto contendo 0, γ(0) = p e segue diretamente da de nição que γ0(0) = (X
ξ)p. Mais
ainda, γ é curva integral de Xξ por p. De fato, (Xξ)γ(s) = dtd
t=0exp(tξ) · (exp(sξ) · p) = d dt t=0(exp(tξ)exp(sξ)) · p = d dt t=0exp(t + s)ξ · p = γ 0(s). Dado um campo X ∈ X(M), (LXω)p = dtd t=0((φ t
X)∗ω)p, onde φtX denota o uxo do campo
X. Portanto, como para o campo X = Xξ, φtX = ψexp(tξ) e a ação é simplética (ψ∗gω = ω, para
todo g ∈ G), temos que LXξω = 0.
Assim, se H1
ξ ∈ g, com dHξ = iXξω, temos o seguinte mapa
g−→ C∞(M )
ξ 7−→ Hξ
Esse mapa pode ser tomado linear. Para isso, xe uma base {ξ1, . . . , ξk} de g, escolha Hξj ∈
C∞(M ) satisfazendo dHξj = iXξjω, j = 1, . . . , k, e estenda por linearidade. Dado ξ ∈ g,
ξ = k X j=1 ajξj e (Xξ)p = dψp(e)ξ = k X j=1 ajdψp(e)ξj = k X j=1 aj(Xξj)p, logo Xξ = k X j=1 ajXξj.
Agora, como estendemos o mapa g −→ C∞
(M ) por linearidade, Hξ = k X j=1 ajHξj ⇒ dHξ = k X j=1 ajdHξj = k X j=1 ajiXξjω = ω( k X j=1 ajXξj, ·) = iXξω, como gostaríamos.
Note que, mesmo pedindo que o mapa g −→ C∞(M ) seja linear, ainda há uma escolha de
constantes. Para tentar remediar essa situação vamos pensar nesse mapa como: µ : M −→ g∗
µ(p)(ξ) = Hξ(p)
onde p ∈ M e ξ ∈ g. Observe que, ao pedirmos linearidade de g −→ C∞(M ), garantimos que
o mapa está bem de nido (i.e. µ(p) ∈ g∗).
Agora, G age no domínio e no contra-domínio do mapa µ. A ação em g∗ é dada pela re-
presentação coadjunta, que relembraremos abaixo. Primeiramente, associado ao grupo de Lie G, temos, para cada g ∈ G, os difeomor smos Lg, Rg : G −→ G(multiplicação por g à esquerda
e à direita, respectivamente). Denotamos por Cg = Lg ◦ Rg−1 (conjugação). De nimos então a
representação adjunta por
Ad : G −→ Aut(g) Ad(g) = dCg(e)
A ação coadjunta de ne-se como
Ad∗ : G −→ Aut(g∗) Ad∗g(δ)(ξ) = δ(Adg−1ξ)
Observação 2.1.9. A presença de g−1 na de nição da representação coadjunta é necessária
para termos de fato uma representação. Primeiramente, Cgh(x) = ghxh−1g−1 = Cg ◦ Ch(x),
logo, tomando a derivada no elemento neutro e ∈ G, obtemos Adgh = AdgAdh. Agora,
Ad∗gh(δ)(ξ) = δ(Adh−1g−1(ξ)) = δ(Adh−1(Adg−1) = Ad∗
h(δ)(Adg−1ξ) = Ad∗g(Ad∗ h(δ))(ξ) = Ad ∗ gAd∗h(δ)(ξ). Logo, vale Ad∗ gh = Ad ∗ gAd∗h.
Podemos pedir, então, que o mapa µ seja compatível com as ações de G em M e em g∗. Ou
seja,
Ad∗g◦ µ = µ ◦ ψg
para todo g ∈ G.
Vamos resumir essa discussão na seguinte de nição.
De nição 2.1.3. Seja (M, ω) uma variedade simplética, G um grupo de Lie e ψ : G −→ Sympl(M, ω) uma ação simplética. Dizemos que ψ é uma ação hamiltoniana se existe um mapa
µ : M −→ g∗ satisfazendo,
1. dµξ = i
Xξω, para todo ξ ∈ g (onde µ
ξ ∈ C∞(M ), µξ(p)= µ(p)(ξ). )
2. Ad∗
g ◦ µ = µ ◦ ψg, para todo g ∈ G
O mapa µ é chamado mapa momento.
Lema 2.1.1. Seja (M, ω) uma variedade simplética e G um grupo de Lie agindo de forma simplética em (M, ω). Se a 2-forma é exata, ω = dθ, e a ação preserva também a 1-forma θ (i.e. ψ∗
gθ = θ, para todo g ∈ G), então a aplicação µ : M −→ g
∗, de nida por µ(m)(ξ) =
−θ(m)(Xξ)m é um mapa momento para a ação de G em M.
Prova. Como a ação preserva θ, LXξθ = 0 e pela fórmula de Cartan, obtemos iXξdθ =
−diXξθ. Equivalentemente, iXξω = −dµ
ξ. Além disso, para mostrar a G-equivariância, precisa-
mos mostrar que θp(XAdg−1ξ)p = θg·p(Xξ)g·p. Mas, dψg(p)(XAdg−1ξ)p = dψg(p)dψp(e)dCg−1(e)ξ =
d(ψg◦ ψp ◦ Cg−1)(e)ξ e como ψg ◦ ψp◦ Cg−1 = ψg·p, temos dψg(p)(XAd
g−1ξ)p = (Xξ)g·p. Sendo
Nem todo ação simplética é hamiltoniana (ou seja, mapas momento não necessariamente existem). Além disso, caso a ação seja hamiltoniana, podem existir mais de um mapa mo- mento. Mais à frente teremos mais a dizer sobre a existência e unicidade desses mapas. No momento, nos contentaremos com a seguinte observação. Sejam µ1 e µ2 mapas momento
para a ação simplética ψ : G −→ Sympl(M, ω), onde M é conexa. Então, dado ξ ∈ g, d(µξ1− µξ2) = iXξω − iXξω = 0, logo, como M é conexa, µ
ξ
1− µ
ξ
2 = c(ξ) ∈ R. Como a aplicação
ξ ∈ g 7−→ µξ ∈ C∞(M ) é linear, obtemos (µ
1 − µ2)(p) = c ∈ g∗, para todo p ∈ M. Tam-
bém temos que (µ1− µ2) ◦ ψg = Ad∗g(µ1 − µ2), logo Ad∗g(c) = c, para todo g ∈ G. Concluímos
que dados dois mapas momento, eles diferem por um elemento de g∗ xado pela ação coadjunta.
Reciprocamente, dado um mapa momento µ para a ação ψ, considere δ ∈ g∗ xado pela ação
coadjunta. Assim, ˜µ : M −→ g∗, dado por p 7−→ µ(p) + δ é claramente mapa momento para
ψ e podemos concluir que o conjunto dos mapas momento para a ação dada é parametrizado pelos elementos de g∗ xados pela ação coadjunta.
Exemplo 2.1.10. Seja M = R6 com coordenadas x
1, x2, x3, y1, y2, y3 e forma simplética canô-
nica ω = dx1∧ dy1+ dx2∧ dy2+ dx3∧ dy3. Considere a seguinte ação de G = R3
ψ : g × M −→ M g · (a1, a2) = (g + a1, a2)
onde a1, a2, g ∈ R3.
A ação é claramente simplética, uma vez que dψg(p) = Id. Além disso, dado ξ ∈ g = R3 e
a = (a1, a2) ∈ M
(Xξ)a= dψa(0)ξ = (ξ, 0)
De na então a função µξ : (a
1, a2) ∈ M 7→ ξ · a2 (onde · é o produto escalar de R3). Como µξ
é linear, dado v = (v1, v2) ∈ TaM = R6,
dµξ(a)v = µξ· v2
Como (Xξ)a = (ξ, 0), ω((ξ, 0), (v1, v2) = µξ· v2 = dµξ(a)v
Como Ad∗
g = Idg∗, temos que µ : R6 −→ (R3)∗, dado por (µ(a))ξ = µξ(a), é um mapa
momento para a ação descrita (µ(g + a1, a2) = µ(a1, a2)).
Em geral, identi ca-se (R3)∗
' R3 através do produto escalar de R3 e assim o mapa momento
é a projeção (a1, a2) 7→ a2. Se pensarmos em R6 como o brado cotangente de R3, temos que o
Exemplo 2.1.11. Seja M = Cn e G = U(n) agindo por multiplicação de matriz em M (logo,
a ação é simplética, pois linear). Denotemos por (·, ·) o produto interno hermitiano usual de Cn. Dados z ∈ Cn (visto como vetor coluna) e ξ ∈ u(n) (i.e., ξ + ξ†= 0), de na
µξ(z) = −i
2(ξz, z)
Note que, (ξz1, z2) = (ξz1)tz2 = z1tξtz2 = −z1tξz2 = −(z1, ξz2) = −(ξz2, z1). Em particular,
−i 2(ξz, z) ∈ R. Agora, para ζ ∈ TzC n = Cn dµξ(z)ζ = −i 2((ξζ, z) + (ξz, ζ)) = − i 2(2iIm(ξz, ζ)) = Im(ξz, ζ) onde Im denota a parte imaginária.
Temos que (Xξ)z = dtd
t=0e
tξz = ξz. Note ainda que a parte imaginária do produto interno
hermitiano nos dá uma forma bilinear alternada (real) e esta pode ser estendida a uma forma simplética em Cn (se zα= xα+ iyα são as coordenadas de Cn, pensando as coordenadas de R2n
como x1, . . . , xn, y1, . . . , yn, a forma achada Im(·, ·) equivale a dy1∧ dx1+ . . . + dyn∧ dxn).
Portanto, vale que dµξ(z)ζ = ω((X
ξ)z, ζ). Dado g ∈ U(n), a equivariância equivale a
mostrar que µg−1ξg(z) = µξ(gz), mas isso é imediato pois (g−1ξgz, z) = (ξgz, gz).
Observação. (ξz, z) = tr(zz†ξ). De fato, se ξ = (ξ
ij) e z = (z1, . . . , zn), temos que a entrada
(i,j) de zz† é z izj. Portanto, tr(zz†ξ) = X i,j zizjξji = X j (X i ξjizi)zj = (ξz, z). Daí, usa-se o
produto interno invariante de u(n), (ξ1, ξ2) = −tr(ξ1ξ2) e podemos pensar no mapa momento
como
µ : Cn −→ u(n)
z 7→ i 2zz
†
Note que a forma simplética tomada é menos a forma simplética canônica de Cn. Se quisermos
trabalhar com ω = x1∧ y1+ . . . + xn∧ yn, devemos tomar o mapa momento com sinal trocado,
i.e., µ(z) = 1 2izz
†.
Lema 2.1.2. Suponha que um grupo de Lie G age hamiltoniamente nas variedades simpléticas (M1, ω1)e (M2, ω2)(com mapas momento µ1 e µ2). Tome a forma simplética em M1×M2 dada
por ω = π∗
1ω1+π∗2ω2 (ver exemplo 2.1.5) e considere a ação natural de G em M1×M2. Para esta
ação, temos um mapa momento µ : M1×M2 −→ g∗, de nido por µ(m1, m2) = µ1(m1)+µ2(m2).
Prova. A demonstração é óbvia uma vez que, dado ξ ∈ g, (Xξ)(m1,m2) = ((Xξ)m1, (Xξ)m2)e
dµξ(m1, m2)(a1, a2) = dµ ξ
1(m1)(a1) + dµ ξ
Exemplo 2.1.12. Temos que U(1) = S1 age por multiplicação de um número complexo em
cada entrada de (Ck, ω
0). Esta, nada mais é que a ação diagonal, como no lema acima, do
exemplo anterior, no caso em que n = 1. Pelo lema, o mapa momento correspondendo a esta ação é dado por µ : Ck −→ iR, µ(z) = 1
2i(z1z1+ . . . zkzk) = 1 2i|z|
2, onde z = (z
1, . . . , zk).
Como foi comentado, nem toda ação simplética é hamiltoniana e dada uma ação hamilto- niana, o mapa momento não é necessariamente único. Questões de existência e unicidade do mapa momento podem ser respondida através da introdução de uma teoria de cohomologia de álgebras de Lie. Para maiores informações, consulte [9] (capítulo X, seção 26). Em particular, temos que, se G é um grupo de Lie compacto, conexo e semi-simples, toda ação simplética é hamiltoniana e admite único mapa momento.