Lucas Magalhães Pereira Castello Branco
Mapas Momento em Teoria de Calibre
CAMPINAS 2013
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162
Branco, Lucas Magalhães Pereira Castello,
B732m BraMapas momento em teoria de calibre / Lucas Magalhães Pereira Castello Branco. – Campinas, SP : [s.n.], 2013.
BraOrientador: Marcos Benevenuto Jardim.
BraDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Bra1. Instantons. 2. Geometria simplética. 3. Fibrados vetoriais. 4. Conexões (Matemática). 5. Yang-Mills, Teoria de. I. Jardim, Marcos Benevenuto,1973-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em inglês: Moment maps in gauge theory Palavras-chave em inglês: Instantons Symplectic geometry Vector bundles Connections (Mathematics) Yang-Mills theory
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Marcos Benevenuto Jardim [Orientador] Henrique Bursztyn
Rafael de Freitas Leão
Data de defesa: 27-06-2013
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Agradecimentos
Ao Prof. Dr. Marcos Jardim, pela orientação, apoio e por ter me aberto as portas para a pesquisa em matemática.
Agradeço aos Profs. Drs. Rafael de Freitas Leão e Henrique Sá Earp, pelos seminários, entusiasmo, discussões matemáticas e pela atenção.
Ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí ca como um todo, que foi meu lar durante esses anos. Em especial, não poderia deixar de citar os Profs. Drs. Ary Orozimbo, San Martin, Adriano de Moura e Dessislava Kochloukova, que tiveram in uência direta na minha formação matemática e consequentemente na realização desse trabalho. Aos funcionários do IMECC, agradeço pelo zelo e cuidado. Em particular, à equipe da biblioteca, à Tânia e Lívia da secretaria, ao pessoal da limpeza e à Dona Zefa, pela simpatia e pelo cafezinho. Agradeço de forma muito especial aos amigos Valter Camargo, Matheus Brito, Marcelo de Martino, Deborah Rangel, Jordan Lambert e Rodrigo Barbosa, sempre presentes nos dias bons e nos não tão bons, e à minha namorada e amiga Beatriz Guedes pelo cuidado, companheirismo e incentivo.
Aos meus pais e avós, primeiros e eternos professores, um carinhoso obrigado. A vocês devo tudo que sou.
Resumo
Neste trabalho os aspectos básicos da teoria de calibre são abordados, incluindo as noções de conexão e curvatura em brados principais e vetoriais, considerações sobre o grupo de transformações de calibre e o espaço de moduli de soluções para a equação anti-auto-dual em dimensão quatro (o espaço de moduli de instantons). Posteriormente, mapas momento e redução são introduzidos. Primeiramente, no contexto clássico de geometria simplética e depois no contexto de geometria hyperkähler. Por m, são apresentadas aplicações da teoria de mapas momento e redução em teoria de calibre. As equações ADHM são introduzidas e mostra-se que estas podem mostra-ser dadas como o conjunto de zeros de um mapa momento hyperkähler. Além disso, considerações são feitas acerca da construção ADHM de instantons, que relaciona soluções dessas equações com as soluções da equação de anti-auto-dualidade. O espaço de moduli de conexões planas é também abordado. Neste caso, a curvatura é vista como um mapa momento e os cálculos podem ser generalizados para o espaço de moduli de conexões planas sobre variedades Kähler de dimensões mais altas e para o espaço de moduli de instantons sobre variedades hyperkähler de dimensão quatro.
Palavras-chave: brado principal, brado vetorial, conexão, curvatura, instanton, espaço de moduli, geometria Kähler, geometria hyperkähler, mapa momento, redução simplética, quo-ciente hyperkähler, ADHM.
Abstract
In this work it is developed the basic concepts of gauge theory, including the notions of connections and curvature on principal bundles and vector bundles, considerations on the group of gauge transformations and the moduli space of anti-self-dual connections in dimension four (the instanton moduli space). After, moment maps and reduction are introduced. First in the classical context of symplectic geometry, then in hyperkähler geometry. At last, applications to the theory of moment maps and reduction in gauge theory are given. The ADHM equations are introduced and it is shown that solutions to these equations can be given by the zeros of a hyperkähler moment map. Furthermore, the ADHM construction, that relates the ADHM equations to instanton solutions, is discussed. The moduli space of at connections over a Riemann surface is also treated. In this case, the curvature is seen as a moment map and the calculations can be generalized to at connections over higher-dimensional Kähler manifolds and to the instanton moduli space over four dimensional hyperkähler manifolds.
Keywords: principal bundles, vector bundles, connection, curvature, instanton, moduli space, Kähler geometry, hyperkähler geometry, moment map, symplectic reduction, hyperkähler reduction, ADHM.
Sumário
Resumo ix Resumo ix Abstract xi Introdução xv 1 Teoria de Calibre 1 1.1 Fibrados Principais . . . 1 1.2 Fibrados Vetoriais . . . 8 1.2.1 Considerações Gerais . . . 8 1.2.2 Fibrados Associados . . . 14 1.3 Conexão e Curvatura . . . 161.3.1 Conexão e Curvatura em Fibrados Principais . . . 16
1.3.2 Conexão e Curvatura em Fibrados Vetoriais . . . 26
1.3.3 Derivada Covariante no Fibrado Associado . . . 30
1.4 Grupo de Transformações de Calibre . . . 33
1.4.1 Ação do Grupo de Transformações de Calibre . . . 35
1.5 Instantons . . . 37
1.6 Espaço de Moduli de Instantons . . . 39
2 Mapas Momento e Redução 43 2.1 Geometria Simplética . . . 43
2.1.1 Mapa Momento . . . 48
2.1.2 Redução . . . 54
2.3 Geometria Hyperkähler . . . 71 2.3.1 Mapa Momento e Redução . . . 73
3 Aplicações 79
3.1 Equações ADHM . . . 79 3.1.1 Considerações sobre a construção ADHM de instantons . . . 84 3.2 Espaço de Moduli de Conexões Planas . . . 86
A Formas Diferenciais 93
B Forma volume e Estrela de Hodge 99
C Geometria Riemanniana 103
D Sobre o brado vetorial gE 107
Introdução
A interação entre a física e a matemática ao longo do tempo é evidente. A mecânica newtoniana e o cálculo, a teoria da relatividade geral de Einstein e a geometria riemanniana e, mais recentemente, a teoria das cordas e a geometria algébrica são alguns exemplos onde esta interação se mostrou vital para ambas as áreas. Outro personagem importante dessa estória é a teoria de calibre. Formulada por físicos na década de 50 e 60, a teoria de calibre, cujas raízes remontam ao estudo do electromagnetismo, despertou o interesse da comunidade matemática apenas no nal da década de 70, quando percebeu-se que a teoria física podia ser entendida a partir do conceito de brados e conexões. A teoria de calibre gerou espetaculares avanços em topologia e na geometria, incluindo um melhor entendimento das variedades de dimensão quatro através dos invariantes de nidos no espaço de moduli de instantons, introduzidos pelo medalhista Fields Simon Donaldson.
Outro assunto abordado é o de mapa momento. Historicamente, estes objetos aparecem de maneira natural em mecânica clássica, como o momento linear e angular, antes mesmo de sua formalização como objeto de estudo em geometria simplética. O conceito de mapa momento e redução se mostrou extremamente frutífero em teoria de representações e geometria, sendo generalizado no contexto de geometria Kähler e hyperkähler (por Nigel Hitchin, em [20]) e, mais recentemente, para geometria complexa generalizada, por Marco Gualtieri, Gil Cavalcanti e Henrique Bursztyn. Como observado por Atiyah e Bott em [5], a curvatura de um brado pode ser vista como um mapa momento para a ação do grupo de transformações de calibre no espaço de conexões e, desde então, a teoria ganhou aplicações no estudo de espaços de moduli oriundos da teoria de calibre.
Esta dissertação é uma introdução à teoria de calibre e como mapas momento e redução fornecem uma maneira elegante de entender alguns aspectos da mesma. O texto está organizada da seguinte maneira. No capítulo 1 é dada uma introdução aos conceitos que permeiam a teoria de calibre. Fibrados principais (seção 1.1) e vetoriais (seção 1.2) são abordados, assim como a relação entre eles. As noções de conexão e curvatura são então discutidas (seção 1.3).
De nições equivalentes desses objetos são dadas e mostra-se a relação existente entre elas. Em particular, uma conexão num brado principal induz uma derivada exterior covariante nos brados associados e uma expressão explícita para este mapa é fornecida em 1.3.3. O grupo de transformações de calibre é introduzido, diferentes caracterizações são dadas e de ne-se a ação deste grupo no espaço de conexões. A noção de instantons (i.e., uma conexão cuja curvatura é anti-auto-dual) é abordada na seção 1.5 e comentários são feitos acerca do seu espaço de moduli. No segundo capítulo é feita uma introdução básica à geometria simplética, Kähler e hyperkähler, incluindo caracterizações através da conexão de Levi-Civita para as duas últimas geometrias. Mapas momento e o conceito de redução são introduzidos no contexto de geometria simplética e posteriormente generalizados para geometria hyperkähler. Por m, aplicações da teoria são elaboradas no capítulo 3. Mostra-se que as equações ADHM podem ser entendidas como o conjunto de zeros de um mapa momento hyperkähler e são feitos comentários sobre a relação entre o espaço de soluçoes dessas equações, que possui uma estrutura hyperkahler, e o espaço de moduli de instantons. Por m, o espaço de moduli de conexões planas é abordado no contexto de mapas momento e redução (Kähler) e é discutido como generalizar os resultados (clássicos) obtidos para brados sobre variedades Kähler mais gerais.
Capítulo 1
Teoria de Calibre
1.1 Fibrados Principais
Seja M uma variedade e G um grupo de Lie.
De nição 1.1.1. Um G- brado principal (diferenciável) sobre M é uma tripla (P, π, ψ), onde P é uma variedade diferenciável, π : P −→ M é uma aplicação diferenciável sobrejetora e ψ : P × G −→ P uma ação (à direita) diferenciável, ψ(p, g) = p · g, satisfazendo:
1. ψ é invariante por π, i.e.,
π(p · g) = π(p), para todo p ∈ P e g ∈ G.
2. (trivialidade local equivariante) Existe uma cobertura aberta {Uα}α∈A de M e uma família
de difeomor smos {ϕα}α∈A, ϕα : π−1(Uα) −→ Uα× G da forma
ϕα(p) = (π(p), gα(p)),
onde gα : π−1(Uα) −→ Gsatisfaz
gα(p · g) = gα(p)g,
para todo p ∈ π−1(U
Denotaremos um G- brado principal sobre M por P(M,G) e chamaremos P de espaço total, M de espaço base, π de projeção, G de grupo estrutural, Pm
.
= π−1(m)de bra de P sobre m, Uα
de aberto trivializante e ϕαde trivialização local (às vezes chamaremos também de trivialização
local o par (Uα, ϕα)).
De nição 1.1.2. Seja P(M,G) um G- brado principal. Uma seção local é um mapa s : U ⊆ M −→ P diferenciável (onde U é um aberto de M), tal que π ◦ s = IdU. Denotaremos o espaço
de tais seções locais por Γ(U, P ) (ou, simplesmente, Γ(U), se o brado estiver subentendido). Caso U = M, dizemos que s é uma seção global do brado.
Seguem das de nições algumas observações imediatas: 1. dimP = dimM + dimG
Basta notar que uma trivialização local (Uα, ϕα) nos dá o isomor smo dϕα(p) : TpP −→
Tπ(p)M × Tgα(p)G(onde identi camos da maneira natural T(π(p),gα(p))(M × G) ∼= Tπ(p)M ×
Tgα(p)G).
2. π é submersão (i.e., dπp é sobrejetora para todo p ∈ P )
Sabe-se que a projeção no primeiro fator p1 : M × G −→ M é uma submersão. Sendo
assim, dado m ∈ Uα ⊆ M (onde (Uα, ϕα) é uma trivialização local), p ∈ Pm e τ ∈ TmM,
existe (ς, ν) ∈ TmM ×Tgα(p) (p1é submersão), tal que dp1(m, gα(p))(ς, ν) = τ. Além disso,
existe único υ ∈ TpP tal que dϕα(p)(υ) = (ς, ν). Segue que τ = dp1(m, gα(p))(ς, ν) =
dp1(m, gα(p))dϕα(p)(υ) = d(p1◦ ϕα)(p)(υ) = dπ(p)(υ).
3. π−1(π(p)) = {p · g | g ∈ G} = p · G, para todo p ∈ P :
De fato, dado q ∈ π−1(π(p)), seja U
α um aberto trivializante contendo π(q) = π(p) = m
e ϕα = (π, gα) a trivialização local associada. Então, colocando h = gα(p)−1gα(q) ∈ G
(produto em G), ϕα(p · h) = (m, gα(p)h) = (m, gα(q)) = ϕα(q) e temos q = p · h ∈ p · G
(ϕα é, em particular, injetora). A outra inclusão segue diretamente do item 1 da de nição
de brado principal.
Segue diretamente que Pm ∼= G. Além disso, como π é submersão, as bras Pm
4. A ação de G em P é livre (i.e., se p · g = p ⇒ g = e, onde e ∈ G é o elemento neutro de G)
Seja p ∈ P , com π(p) = m ∈ Uα, e g ∈ G. Se p · g = p, ϕα(p · g) = (m, gα(p)g).
Mas, ϕα(p) = (m, gα(p)), logo gα(p)g = gα(p) e g = e.
5. Note que, dada uma trivialização local (Uα, ϕα), temos um difeomor smo entre a bra
sobre um ponto do aberto trivializante e G, a saber, gα|Pm : Pm −→ G. A estrutura
natu-ral de grupo em Pm herdada pelo difeomor smo é simplesmente p ∗ q
.
= g−1α (gα(p)gα(q)).
Como q = p · g, para um único g ∈ G, e gα é G-equivariante, chegamos na expressão
p ∗ q = p · gα(q) e gα−1(e) é claramente o elemento neutro. No entanto, como não existe
um elemento neutro preferencial (ele depende da trivialização tomada), as bras não são grupos de Lie.
Observação 1.1.1. Nossa de nição de brados principais está de acordo com [35]. Encontra-se também na literatura uma de nição alternativa de brado principal. Pede-se, além da triviali-dade local equivariante, que a ação de G seja livre e P/G seja uma varietriviali-dade difeomorfa a M, de modo que a projeção seja uma submersão. Se o grupo de Lie G é compacto, por exemplo, as de nições são equivalentes.
Exemplo 1.1.1. ( brado trivial) Um G- brado principal trivial sobre uma variedade M é sim-plesmente P = M × G (G age naturalmente em P por multiplicação à direita, i.e., (m, h) · g = (m, hg), onde m ∈ M e g, h ∈ G), com π = projeção no primeiro fator. Dessa forma, temos uma trivialização global dada pela identidade.
Note que pela proposição 1.1.1, mais adiante, um brado principal é trivial se, e somente se, admite uma seção global.
Exemplo 1.1.2. ( brado de referenciais) Dada uma variedade M (com dim M = n), podemos associar um GL(n, R)- brado principal, chamado brado de referenciais de M. De nimos o espaço total como o conjunto
B(M ) = {(m, v1, . . . , vn) | m ∈ M e (v1, . . . , vn) é uma base de TmM }
Considere a seguinte ação de GL(n, R) em B(M)
onde g = (gi j) ∈ GL(n, R) e v 0 j = n X i=1 gjivi.
A expressão acima é, de fato, uma ação à direita, pois (m, v1, . . . , vn) · 1n = (m, v1, . . . , vn)
(onde 1n = (δji) ∈ GL(n, R) é a matriz identidade) e dado h = (hij) ∈ GL(n, R), temos que
((m, v1, . . . , vn) · g) · h = (m, v100, . . . , vn00), onde vj00 = n X k=1 hkjvk0 = n X k,i=1 hkjgkivi = n X i=1 (gh)ijvi. Essa
é exatamente a expressão do j-ésimo vetor da base de (m, v1, . . . , vn) · (gh).
Além disso, de nindo π : B(M) −→ M como a projeção natural em M, temos que a ação é claramente invariante por π.
Vamos dar agora estrutura de variedade para B(M) e descrever as trivializações equivariantes do brado. Para isso, considere um sistema de coordenadas locais de M, (U, φ = (x1, . . . , xn)).
Assim, dado (m, v1, . . . , vn) ∈ B(M ), m ∈ U, podemos escrever
vj = n X i=1 aij ∂ ∂xi m , onde ai j = dxi(m)(vj) ∈ R
De na então o seguinte mapa
ϕU : π−1(U ) −→ U × GL(n, R)
(m, v1, . . . , vn) 7−→ (m, A),
onde A = (ai
j) ∈ GL(n, R)(pois é uma mudança de base)
Este mapa é uma bijeção, com inversa ϕ−1
U : (m, g) 7−→ (m, ∂ ∂x1 m, . . . , ∂ ∂xn m) · g. De fato, (m, ∂x∂1 m, . . . , ∂ ∂xn m) · g = (m, v1, . . . , vn), onde vj = n X i=1 gji ∂ ∂xi m e como dxi(m)(v j) =
gij, temos que ϕ ◦ ϕ−1U = IdU ×GL(n,R). Temos também ϕ−1U ◦ ϕ = Idπ−1(U ), pois ϕ−1
U ◦ ϕ : (m, v1, . . . , vn) 7−→ (m, A) 7−→ (m, ∂x∂1 m, . . . , ∂ ∂xn m) · A = (m, v1, . . . , vn).
Note ainda que ϕ é equivariante: (m, v1, . . . , vn) · g = (m, v01, . . . , v0n), com vj0 = n X i=1 gjivi (como anteriormente). Seja, A = (ai j), onde aij = dxi(m)(vj), e gA = (cij). Assim, ϕU(m, v10, . . . , v 0 n) = (m, B), B = (bij), onde bij = dxi(m)(v0j) = n X k=1 gjkdxi(m)(vk) = n X k=1 gjkaik= cij.
de M (U, φ)) por (π−1(U ), (φ ◦ Id
GL(n,R)) ◦ ϕU) (onde pensamos em GL(n, R) como um aberto
de Rn2
). Veri cando a compatibilidade de tais sistemas de coordenadas, e assim mostrando que de fato isso fornece uma estrutura diferenciável em B(M), tem-se que π é diferenciável e ϕU é
difeomor smo (trivialização do brado).
Exemplo 1.1.3. ( brado de Hopf quaterniônico) A construção do espaço projetivo quaterni-ônico é análoga à construção de Pn (exemplo 2.2.10), tomando cuidado apenas com o fato
da multiplicação dos quatérnios não ser comutativa. Em particular, podemos identi cá-lo com S4n−1/S3 e considerar a projeção π : S4n−1 −→ HPn−1. Temos que G = Sp(1) (quatérnios de
norma 1) age à direita livremente em S4n−1 ⊆ Hn por multiplicação (à direita) em cada
en-trada. Os detalhes da construção do brado principal S4n−1(HPn−1, Sp(1)) pode ser encontrada
em [35]. Em particular, para n=2, HP1 ' S4 e temos o brado principal S7(S4, Sp(1)), que
desempenha papel importante na teoria de calibre.
Proposição 1.1.1. Existe uma bijeção entre trivializações locais e seções locais do brado principal P(M, G).
Prova. Dada uma trivialização local (Uα, ϕα), temos uma seção local, sα : Uα ⊆ M −→ P,
associada; basta colocar sα(m)
.
= ϕ−1α (m, e). De fato, ∃! p ∈ π−1(Uα) tal que ϕα(p) = (m, e),
mas ϕα(p) = (π(p), gα(p)). Logo, π(p) = m e π ◦ sα(m) = π(p) = m. Além disso, sα é
diferen-ciável, pois é composição de aplicações diferenciáveis m 7→ (m, e) 7→ ϕ−1
α (m, e).
Para a recíproca, considere s ∈ Γ(U) e p ∈ π−1(U ). Como P
π(p) = s(π(p)) · G, existe um
único g(p) ∈ G tal que p = s(π(p)) · g(p) (i.e., temos um mapa g : π−1(U ) −→ G). De na
ϕ : π−1(U ) −→ U × G por ϕ(p) = (m, g(p)). Se ϕ(p) = ϕ(q), π(p) = π(q) e g(p) = g(q). Assim, p = s(π(p)) · g(p) = s(π(q)) · g(q) = q e ϕ é injetiva. Para a sobrejetividade, dado (m, h) ∈ U × G, ϕ(s(m) · h) = (m, h), pois g(s(m) · h) é de nido como o único elemento de G satisfazendo s(m) · h = s(π(s(m) · h)) · g(s(m) · h) = s(m) · g(s(m) · h) e como a ação é livre, obtemos g(s(m) · h) = h. Note também que ϕ é equivariante. De fato, dados p ∈ π−1(U ) e
h ∈ G, p · h = s(π(p · h)) · g(p · h) = (s(π(p)) · g(p)) · g(p)−1g(p · h) = p · g(p)−1g(p · h). Logo, pela ação ser livre, temos g(p · h) = g(p)h. Considere agora duas trivializações locais (Uα, ϕα = (π, gα)) e (Uβ, ϕβ = (π, gβ)), com
Uαβ
.
= Uα ∩ Uβ 6= ∅. Podemos de nir a aplicação diferenciável gαβ : π−1(Uαβ) −→ G, p 7−→
gα(p)gβ(p)−1 (gαβ é diferenciável, pois é uma composição de aplicações diferenciáveis, p 7−→
(gα(p), gβ(p)) 7−→ gα(p)gβ(p)−1). Note que gαβ é constante nas bras
Dessa forma, temos a aplicação gαβ : Uαβ −→ G, de nida por
gαβ(m) = gαβ(p),
onde p ∈ Pm é qualquer elemento da bra de m ∈ Uαβ. A diferenciabilidade de gαβ segue do
seguinte lema (tomando F = gαβ, X = G e notando que gαβ◦ π = gαβ, com gαβ diferenciável).
Lema 1.1.1. Seja P(M, G) um brado principal, Y uma variedade diferenciável e F : M −→ Y uma aplicação. Então, F é diferenciável se, e somente se, F ◦ π é diferenciável.
Prova. Se F é diferenciável, F ◦ π também será por ser composição de aplicações diferen-ciáveis.
Suponha agora F ◦ π diferenciável. Localmente, em um aberto trivializante Uα do brado,
temos
F |Uα = F ◦ IdUα = F ◦ (π ◦ sα) = (F ◦ π) ◦ sα
onde sα é a seção local associada à trivialização com aberto trivializante Uα. Como
diferen-ciabilidade é um conceito local, temos que F é diferenciável por ser composição de aplicações
diferenciáveis.
Note que as função de transição gαβ aparecem naturalmente quando consideramos as
trivi-alizações locais (Uα, ϕα) e (Uβ, ϕβ)(com Uαβ 6= ∅). De fato,
ϕα◦ ϕ−1β : Uαβ × G −→ Uαβ × G
(m, h) 7−→ (m, gαβ(m)h)
Basta observar que se ϕ−1
β (m, h) = p, temos π(p) = m e gβ(p) = h. Assim, ϕα(p) = (m, gα(p)) =
(m, gα(p)gβ(p)−1gβ(p)) = (m, gαβ(m)h).
Além disso, tomando as seções locais, sα e sβ, associadas as trivializações locais (Uα, ϕα) e
(Uβ, ϕβ), respectivamente, vale a seguinte relação:
sβ(m) = sα(m) · gαβ(m), m ∈ Uαβ
De fato, suponha sα(m) = ϕ−1α (m, e) = p. Assim, π(p) = m, gα(p) = e e temos que
ϕβ(p · gαβ)(m) = (m, gβ(p)gα(p)gβ(p)−1) = (m, e). Logo, segue o resultado.
As aplicações gαβ são chamadas funções de transição do brado principal P(M, G)
associa-das às trivializações locais {(Uα, ϕα)}. Elas satisfazem a chamada condição de cociclo:
Se Uαβγ
.
gαβgβγ = gαγ, em Uαβγ (condição de cociclo)
De fato, dado m ∈ Uαβγ e p ∈ Pm,
gαβ(m)gβγ(m) = gαβ(p)gβγ(p) = gα(p)gβ(p)−1gβ(p)gγ(p)−1 = gαγ(p) = gαγ(m)
Em particular, temos que:
gαα(m) = e (fazendo Uβ = Uγ = Uα)
gαβ(m) = (gβα(m))−1 (fazendo Uγ = Uα e usando o item acima)
Vamos introduzir a noção de mor smos entre G- brados principais.
De nição 1.1.3. Sejam P1(M1, G) e P2(M2, G) brados principais. Um mor smo de
G- brados principais é um mapa diferenciável f : P1 −→ P2, satisfazendo
f (p · g) = f (p) · g,
onde p ∈ P1, g ∈ G (e estamos denotando as duas projeções por π).
Observações
1. A aplicação f induz uma aplicação diferenciável f entre os espaços base que faz o diagrama abaixo comutar P1 π f // P2 π M1 f // M2
De fato, dado m ∈ Uα ⊆ M1 (onde Uα é aberto trivializante de M1, com sα ∈ Γ(Uα))
de na
f (m) = π(f (sα(m)))
Note que tal mapa é bem de nido, pois se m ∈ Uαβ (Uα e Uβ abertos trivializantes),
sβ(m) = sα(m) · gαβ(m) e π(f(sα(m) · gαβ(m))) = π(f (sα(m)) · gαβ(m)) = π(f (sα(m))).
Segue imediatamente que f é diferenciável, pois composição de aplicações diferenciáveis, e f faz o diagrama comutar.
2. A restrição de f à (P1)m nos dá um difeomor smo entre esta bra e a bra (P2)f (m).
Dado p ∈ (P1)m, como o diagrama comuta devemos ter π(f(p)) = f(π(p)) = f(m), de
modo que a imagem da bra (P1)m por f está contida na bra (P2)f (m). Além disso, como
(P1)m = p · G, (P2)f (m)= f (p) · G e f(p · g) = f(p) · g, temos uma bijeção entre as bras
pela f.
3. Claramente, a de nição acima pode ser generalizada para brados principais com grupos estruturais diferentes (basta tomarmos, além da aplicação entre os espaços totais, um homomor smo de Lie entre os grupos estruturais, de modo que nossa de nição seria o caso particular de tal homomor smo ser a identidade). A de nição apresentada, no entanto, será su ciente para os propósitos do texto.
Desempenhará no texto um papel de destaque o conceito de mor smos de G- brados prin-cipais com mesma base (ou seja, M1 = M2 = M e f = IdM). Em particular, o conjunto dos
isomor smos do brado P(M,G) será denotado por Aut(P) e este será discutido de forma mais detalhada na seção 1.4.
Dadas funções satisfazendo as condições de cociclo é possível reconstruir o brado. Nos referimos à proposição 5.2 do [26] para a demonstração desse resultado.
Teorema 1.1.1. Seja G um grupo de Lie, M uma variedade diferenciável e {Uα}uma cobertura
aberta de M. Dadas funções gαβ : Uαβ −→ G, satisfazendo as condições de cociclo, existe um
brado principal sobre M, P(M, G), cujas funções de transição são exatamente {gαβ}. Além
disso, esse brado é única (a menos de equivalência).
1.2 Fibrados Vetoriais
1.2.1 Considerações Gerais
Seja F = R ou C.
De nição 1.2.1. Um F- brado vetorial (diferenciável), de posto r, sobre uma variedade M é um par (π, E), onde E é uma variedade e π : E −→ M uma aplicação diferenciável sobrejetora, satisfazendo:
1. Para cada m ∈ M, a bra Em
.
2. (trivialidade local) Existe uma cobertura aberta {Uα}α∈A de M e uma família de
difeo-mor smos {ϕα}α∈A, ϕα : π−1(Uα) −→ Uα× V da forma ϕα(p) = (π(p), φα(p)), de modo
que
φα|Em : Em −→ V é um isomor smo F-linear,
onde V é um F-espaço vetorial de dimensão dimFV = r.
Chamamos E de espaço total (ou, por abuso de notação, de F- brado vetorial, ou simples-mente de brado vetorial, caso F não seja importante ou esteja subentendido), M de espaço base, π de projeção, Em
.
= π−1(m) de bra de E sobre m, Uα de aberto trivializante e ϕα de
trivialização local (às vezes chamaremos também de trivialização local o par (Uα, ϕα)). É
inte-ressante permitir que V seja um F-espaço vetorial qualquer, mas não há perda de generalidade em supor que V = Fr e GL(r, F) é dito o grupo de estrutura do brado. Chamaremos E de
brado vetorial complexo (real) se E é um C- brado vetorial (R-). Além disso, brados de posto r = 1, serão chamados de brados de linha.
Seja m ∈ Uαβ. Então, temos dois isomor smos F-lineares:
φα|Em : Em −→ V φβ|Em : Em −→ V De na então, φαβ : Uαβ −→ GL(V ) m 7−→ φα|Em ◦ φβ| −1 Em
As aplicações diferenciáveis φαβ são chamadas de funções de transição do brado vetorial E e
{φαβ} é chamado de cociclo, com respeito a (Uα, ϕα), e claramente vale a seguinte relação:
Se Uαβγ
.
= Uα∩ Uβ∩ Uγ 6= ∅,
φαβφβγ = φαγ, em Uαβγ (condição de cociclo)
Observação 1.2.1. O termo cociclo é motivado por {φαβ} ser, de fato, um cociclo em uma
De nição 1.2.2. Seja E −→ M um brado vetorial de posto r e U ⊆ M um aberto.
a) Uma aplicação suave s : U −→ E satisfazendo π ◦ s = IdU é chamada seção local de E, e
seu conjunto denotado por Γ(U). Se U = M, dizemos que s é uma seção global.
b) Um referencial local de E é um conjunto de seções locais si ∈ Γ(U ), i = 1, . . . , r, tal que
{(s1)m, . . . , (sr)m}, é uma base de Em, para todo m ∈ U.
Claramente, se E −→ M é um brado vetorial real e U ⊆ M é um aberto, temos que Γ(U) é um módulo sobre o anel de funções em U, C∞(U ). De fato, se f : U C∞
−→ R e s ∈ Γ(U), (f s)(m)= f (m)s(m). é outra seção em Γ(U). No caso em que E é um brado vetorial complexo, Γ(U ) é um módulo também sobre funções suaves com valores em C, C∞(U ; C) (que claramente é o mesmo que C∞
(U ) ⊗ C).
Proposição 1.2.1. A escolha de uma trivialização local sobre um aberto U ⊆ M é equivalente à escolha de um referencial local.
Prova. Dada uma trivialização ϕ : π−1(U ) −→ U ×V, tome {v
1, . . . , vr}uma base de V e
de- na, para m ∈ U, si(m) = ϕ−1(m, vi), i = 1, . . . , r. Este é claramente um referencial local, pois
(m, vi) = ϕ(si(m)) = (π(si(m)), φ(si(m))). Logo, π(si(m)) = m e φ(si(m)) = vi. Como, φ|Em
é isomor smo, φ(si(m)) = vi nos diz que {(s1)m, . . . , (sr)m} é base de Em. Se um referencial
{s1, . . . , sr} é dado, a trivialização ϕ correspondente é dada por ϕ−1(m, v) = r
X
i=1
vi(m)si(m),
onde vi(m) são as componentes de v na base {(s
1)m, . . . , (sr)m}.
Observação 1.2.2. Seja {v1, . . . , vr} uma base de V, ϕα e ϕβ trivializações do brado, e
{sα
1, . . . , sαr}e {s β
1, . . . , sβr}seus respectivos referenciais locais. A função de transição φαβ(m) ∈
GL(V ) pode ser vista como a matriz (hi
j(m)), dada por φαβ(m)vi = r
X
j=1
hji(m)vj. No entanto,
sαi(m) = ϕ−1α (m, vi), e assim, φα(sαi(m)) = vi. Aplicando o isomor smo linear φα|−1Em na
expressão que de ne (hi
j(m)), obtemos s β i(m) = r X j=1
hji(m)sαj(m). Ou seja, xada uma base de V, as funções de transição φαβ nos dão as matrizes de mudança de base do referencial β para
o α.
Exemplo 1.2.3. a) M × Fr −→ M é claramente um brado vetorial de posto r,
com π = projeção em M (a trivialização é global e dada pela identidade). Tal brado é chamado trivial. Mais geralmente, dizemos que um brado de posto r é trivial se isomorfo a este. A
de nição de mor smos entre brados será dada a seguir. b) T M = [ m∈M TmM e Λk(T∗M ) = [ m∈M
Λk(TmM )∗, com as projeções naturais em M são
brados vetoriais. Suas seções globais são exatamente Γ(T M) = X(M) (campos de vetores de M) e Γ(Λk(T∗M )) = Ωk(M )(k-formas diferenciais de M). As trivializações do brado tangente,
por exemplo, são dadas a partir de um sistema de coordenadas locais de Mn (U, (x1, . . . , xn)).
Basta projetar um vetor de TmM em m, em U, e nas componentes desse vetor, com respeito
à base { ∂
∂xi
m ; i = 1, . . . , n}, em R
n. No caso em que a variedade M é complexa, os espaços
tangentes são naturalmente espaços vetoriais complexos e o brado tangente será um brado vetorial complexo (teremos mais a dizer sobre variedades complexas e brados complexos ao longo do texto).
De nição 1.2.3. Seja E −→ M um brado vetorial real. Uma métrica em E consiste numa escolha de produto interno hm : Em × Em −→ R em cada bra para cada m ∈ M. Essa
escolha deve ser suave no sentido de que dadas seções locais s e t, contendo m ∈ M em seus domínios, a função m 7−→ hm(s(m), t(m)) é suave. Se o brado é complexo, pedimos que o
produto interno seja hermitiano (com a mesma condição de suavidade) e chamamos tal brado de brado vetorial hermitiano.
Observação 1.2.4. a) A métrica riemanniana é um exemplo de métrica no brado tangente. b) A presença de uma métrica num brado vetorial real de posto r nos permite ortonormalizar referenciais locais, de modo que as funções de transição associadas tomam valores em O(r) ⊆ GL(r, R), dizemos nesse caso que o grupo de estrutura de E foi reduzido a O(r) (no caso de brados hermitianos, o grupo de estrutura do brado pode ser reduzido a U(r)). Além disso, dizemos que um brado vetorial real de posto r é orientável se seu grupo de estrutura pode ser reduzido a GL+
(r, R). Essa noção generaliza a orientabilidade de uma variedade, que, nesse caso, corresponde à orientabilidade de seu brado tangente. Assim, por exemplo, o grupo de estrutura de uma variedade riemanniana orientável de dimensão n pode ser reduzido a SO(n). De nição 1.2.4. Dados dois brados vetoriais sobre M, πE : E −→ M e πF : F −→ M. Um
mapa diferenciável ψ : E −→ F é dito um mor smo entre os brados E e F, se 1. πE = πF ◦ ψ
2. Para todo m ∈ M, ψm = ψ|. Em : Em −→ Fm é uma aplicação F-linear
Além disso, se ψ é um mor smo bijetor, dizemos que E e F são brados vetoriais isomorfos, e ψ é um isomor smo de brados. Denotaremos por Hom(E, F) o conjunto de mor smos entre E e F e, em particular, denotaremos por End(E) = Hom(E, E).
Note que a condição 1 garante ψm(Em) ⊆ Fm. De fato, se p ∈ Em, πF ◦ ψ(p) = πE(p) = m.
Isomor smos entre brados podem ser caracterizados a partir das funções de transição. Proposição 1.2.2. Dois brados vetoriais, de posto r, E −→ M e F −→ M são isomorfos se, e somente se, existe uma cobertura de M {Uα}por abertos trivializantes e funções diferenciáveis
λα: Uα −→ GL(r, F), satisfazendo:
φαβ = λαταβλ−1β , em Uαβ,
onde {φαβ} e {ταβ} são os cociclos dos brados E e F, respectivamente (com respeito a {Uα}).
Prova. Primeiramente, note que não há perda de generalidade em supor que o espaço vetorial V da de nição de brado vetorial de posto r é Fr para ambos os brados E e F. Além
disso, dados dois cociclos podemos supor sem perda de generalidade que estes são subordinados à mesma cobertura por abertos trivializantes (basta tomar interseções entre os abertos). (⇒) Seja ψ : E −→ F um isomor smo entre os brados, então ψm : Em −→ Fm é um
isomor smo linear. De na para m ∈ Uα:
λα(m) = φα|Em◦ ψ
−1
m ◦ (τα|Fm)
−1
∈ GL(r, F) De na λβ da mesma forma, trocando α por β. Então, se m ∈ Uαβ:
λα(m)ταβ(m)(λβ(m))−1 = φα|Em◦ ψ −1 m ◦ (τα|Fm) −1◦ τ α|Fm◦ τβ| −1 Fm◦ τβ|Fm◦ ψm◦ φα| −1 Em = φαβ(m) (⇐) Se m ∈ Uα, de na ψm = (τα|Fm) −1◦ (λ
α(m))−1◦ φα|Em : Em −→ Fm que é, por de nição,
linear. A relação entre as funções de transição nos dá que (τα|Fm)
−1◦ (λ
α(m))−1◦ φα|Em = (τβ|Fm)
−1◦ (λ
β(m))−1◦ φβ|Em
e assim ψm está bem de nida e de nimos ψ por ψ|Em = ψm. Basta veri car a
diferenci-abilidade de ψ. Dado p ∈ P , m = π(p) ∈ U. α, para algum α. Tome a vizinhança P |Uα
de p, onde Uα é também um aberto de um sistema de coordenadas locais da variedade M
(basta restringir, se necessário, o aberto trivializante Uα). Podemos pensar, por abuso de
notação, que o difeomor smo (πE, φα) : E|Uα −→ Uα × F
r é um sistema de coordenadas
locais para p ∈ E. Pelo mesmo raciocínio, (πF, τα) : F |Uα −→ Uα × F
r é um sistema
aplicação ˜ψ = (π. F, τα) ◦ ψ ◦ (πE, φα)−1. Seja (m0, v) ∈ Uα × Fr e (πE, φα)(q) = (m0, v)
(i.e., πE(q) = m0 e φα(q) = v). Agora, q0
.
= ψ(q) = ψm0(q) = τα−1(λα(m0))−1φα(q)). Daí,
˜
ψ(m0, v) = (πF, τα)(q0) = (m0, λα(m0)−1v) e a aplicação ˜ψ é um difeomor smo (e assim, ψ é
difeomor smo).
Assim como no caso de brados principais, as funções de transição determinam o brado vetorial.
Proposição 1.2.3. Seja M uma variedade, {Uα} uma cobertura aberta de M e {gαβ : Uαβ −→
GL(r, F)} aplicações suaves satisfazendo as condições de cociclo. Então, existe um brado vetorial que admite trivializações para as quais as funções de transição são {gαβ}. Além disso,
se {gαβ} e {g0αβ} satisfazem as condições de cociclo e estão relacionadas por aplicações
λα : Uα −→ GL(r, F), como na Prop. 1.2.1, então os brados vetoriais determinados pelas
duas famílias são isomorfos.
Prova. Vamos dar um esboço da prova sem se importar com os detalhes mais técnicos. Seja {gαβ} satisfazendo a condição de cociclo. De na o seguinte quociente:
E =[ α (Uα× Fr) , ∼ onde, (m, v, α) ∼ (m0, v0, β) ⇔ m = m0 e g
βα(m)v = v0 (aqui, (m, v, α) é apenas uma notação
para dizer que m ∈ Uα).
Note que [m, v, α] = [m, gβα(m)v, β] e π([m, v, α])
.
= m claramente está bem de nida e é sobrejetora. Fixado α ca claro que a aplicação:
ϕα : π−1(Uα) −→ Uα× Fr
[m, v, α] 7−→ (m, v)
será uma trivialização para o brado E (onde a estrutura diferenciável de E é dada para que isso seja um difeomor smo).
Dessa forma, seguindo a notação do início da seção, ϕα = (π, φα), onde φα([m, v, α]) = v.
Vamos calcular as funções de transição para essas trivializações: φαβ(m)v = φα|Em◦ φβ|
−1
Emv
Seja q = φβ|−1Emv ∈ Em (i.e. q = [m, v, β]). Daí, φα(q) = φα([m, gαβ(m)v, α]) = gαβ(m)v.
Para a segunda parte, sejam E e E' os brados vetoriais determinados por {gαβ} e {g0αβ},
respectivamente. De na, para cada α, ψα em E|Uα por [m, v, α] 7−→ [m, λα(m)v, α]. Primeiro,
ψα[m, v, α] = [m, λα(m)v, α] = [m, g0βα(m)λα(m)v, β]
Por outro lado,
ψβ[m, v, α] = ψβ[m, gβα(m)v, β] = [m, λβ(m)gβα(m)v, β]
Mas, a relação entre os cociclos dá que gβα(m) = gβα0 (m)λα(m)e assim temos um difeomor smo
ψ : E −→ E0 que é um isomor smo entre brados. Observação 1.2.5. Dados os brados vetoriais E −→ M, com cociclo {φαβ}, e F −→ M, com
cociclo {ταβ}, podemos construir novos brados vetoriais, baseados nas construções da álgebra
linear, a partir das funções de transição. Ao considerarmos as funções (φt
αβ)
−1, que certamente
satisfazem a condição de cociclo, obtemos o chamado brado dual a E (denotado por E∗), cujas
bras são identi cadas com E∗
m. Isso está de acordo com a intuição, pois trivializações do
brado correspondem a referenciais locais e uma função de transição φαβ, visto como matriz,
nada mais é que a mudança entre referenciais distintos (correspondentes a ϕα e ϕβ). Agora,
ao tomarmos os espaços vetoriais duais E∗
m, e considerarmos as bases duais, por álgebra linear,
a matriz correspondente será a matriz inversa transposta da original. Outros exemplos são o brado produto tensorial (E ⊗ F ), cujas funções de transição são φαβ ⊗ ταβ e o brado soma
direta (E ⊕ F ), cujas funções de transição são φαβ⊕ ταβ =
φαβ 0
0 ταβ
! .
Vimos no exemplo 1.1.2 que dada uma variedade M de dimensão n, podemos associar um GL(n, R)- brado principal a partir do brado tangente T(M), que é um brado vetorial. Mais geralmente, essa construção pode ser feita para brados vetoriais quaisquer E −→ M, onde de nimos B(E) como o conjunto de (m, s1(m), . . . , sn(m)), onde {s1, . . . , sn} é um referencial
local que contém m em seu domínio. Se o posto de E é r, B(E) é um GL(r, R)- brado principal. A seguir, veremos como, a partir de um brado principal, podemos associar um brado vetorial.
1.2.2 Fibrados Associados
Seja π : P −→ M um G- brado principal, V um espaço vetorial e ρ : G −→ GL(V ) uma representação (ou, equivalentemente uma ação à esquerda de G em V, g · v = ρ(g)v). Dessa forma, existe uma ação à direita natural de G em P × V dada por:
(p, v) · g = (p · g, ρ(g−1)v)
De fato, (p, v) · e = (p, v) e (p, v) · gh = (p · gh, ρ(h−1g−1)v) = ((p · g) · h, ρ(h−1)ρ(g−1)v) =
((p, v)·g)·h. Como a ação de G em P é livre, G age livremente em P ×V . Seja E = (P ×V )
(também denotado P ×ρV) e de na πE : E −→ M, por πE([p, v]) = π(p). Essa aplicação está
bem de nida, pois π(p · g) = π(p).
Se ϕα= (π, gα) : π−1(Uα) −→ Uα× Gé uma trivialização de P, vale que p = sα(π(p)) · gα(p),
para todo p ∈ π−1(U
α). De fato, p e sα(π(p))estão na mesma bra, então existe uma aplicação
h : π−1(Uα) −→ G tal que p · h(p) = sα(π(p)). Aplicando ϕα, obtemos (π(p), gα(p)h(p)) =
(π(p), e), logo segue o resultado. Assim, [p, v] = [sα(π(p)) · gα(p), v] = [sα(π(p)), ρ(gα(p))v].
Então, de na:
˜
ϕα : πE−1(Uα) −→ Uα× V
[p, v] 7−→ (π(p), ρ(gα(p))v)
Como p = sα(π(p)) · gα(p) e gα(sα(m)) = e, a aplicação ˜ϕα−1 : (m, v) 7−→ [sα(m), v] é inversa
de ˜ϕα, e assim ˜ϕα é uma bijeção.
Dado [p, v] ∈ π−1
E (Uα) é sempre possível encontrar Uα0 ⊆ Uα ⊆ M que é um aberto de um
sistema de coordenadas locais centrados em π(p) ∈ M. Assim, pedindo que π−1
E (U
0
α) seja um
aberto de E, podemos pensar na restrição de ˜ϕα a πE−1(U 0
α) como um sistema de coordenadas
para E. Dessa forma, ˜ϕαé difeomor smo, sua restrição à uma bra induz um isomor smo linear
entre esta e V e πE é suave, de modo que E = P ×ρV −→ M é um brado vetorial com bra
V; o chamado brado vetorial associado a P(M,G) e ρ.
Vamos agora entender as funções de transição do brado associado a partir das funções de transição gαβ : Uαβ −→ G do brado principal. Lembre que gαβ(m) = gα(p)gβ(p)−1 para
qualquer p ∈ Pm. Em particular, podemos colocar p = sβ(m) (onde, sβ(m) era a seção
associada à trivialização ϕβ = (π, gβ)) e obtemos gαβ(m) = gα(sβ(m)). Tome m ∈ Uαβ e
v ∈ V. Queremos calcular φαβ(m)v = φα|Em ◦ φβ|
−1
Emv, onde ˜ϕα = (π, φα) e ˜ϕβ = (π, φβ)
são as trivializações de E correspondentes às trivializações do brado principal ϕα = (π, gα)
e ϕβ = (π, gβ), respectivamente. Como, φβ([p, v]) = ρ(gβ(p))v, φβ|−1Emv = [p, ρ(gβ(p)
−1)v].
Colocando p = sβ(m), φβ|−1Emv = [sβ(m), v] e assim, φαβ(m)v = ρ(gα(sβ(m))v) = ρ(gαβ(m))v.
Resumindo:
Proposição 1.2.4. Seja P(M,G) um brado principal com funções de transição gαβ : Uαβ −→
Ge ρ : G −→ GL(V ) uma representação, onde V é um espaço vetorial. Então o brado vetorial associado E = P ×ρV −→ M é o brado dado pelas funções de transição ρ(gαβ) : Uαβ −→
GL(V ).
Observação 1.2.6. Seja {v1, . . . , vm} uma base de V. Dada a trivialização ˜ϕα, obtemos o
re-ferencial local {sα
Exemplo 1.2.7. Seja P(M,G) um brado principal.
a)Se G ⊆ GL(V ), temos a representação canônica G ,→ GL(V ) e assim o brado vetorial associado tem as mesmas funções de transição do brado principal original. Em particular, o grupo de estrutura do brado associado foi reduzido ao grupo estrutural do brado principal. b) Tomando V = g, o grupo age na álgebra de Lie através da representação adjunta Ad : G −→ GL(g). Chamamos o brado vetorial P ×Adg de brado de álgebras de Lie, e denotamos esse
brado por gP.
Observação 1.2.8. Seja E −→ M um brado vetorial real de posto r, com funções de transição φαβ : Uαβ −→ GL(r, R). Vimos que era possível associar um GL(r, R)- brado principal, o
brado de referenciais B(E). Cada referencial S em m ∈ M pode ser visto como um isomor smo linear S : Rr −→ E
m (que leva a base canônica de Rr no referencial em m). Daí, se (π, φα) é
uma trivialização de E, de nimos uma trivialização de B(E), ϕα = (πB(E), gα) : B(E)|Uα −→
GL(r, R), por ϕα(m, p) 7→ (m, φα|Em ◦ p). Portanto, as funções de transição de B(E) são
gαβ(m) = gα(m, p)gβ(m, p)−1 = φα|Em◦ p ◦ p
−1◦ φ
β|−1Em = φαβ(m). Logo, as funções de transição
de E e B(E) são as mesmas. Agora, GL(r, R) age em Rr por multiplicação de matrizes (i.e.
a representação é a identidade). Daí o brado associado a B(E) por essa ação canônica tem funções de transição iguais ao do brado E e, portanto, tal brado associado deve ser isomorfo ao brado vetorial original.
1.3 Conexão e Curvatura
1.3.1 Conexão e Curvatura em Fibrados Principais
Conexão
Seja π : P −→ M um G- brado principal e ψ(p, g) = p · g a ação à direita de G em P. Dados p ∈ P e g ∈ G, denotaremos por ψg : P −→ P (ψp : G −→ P) a aplicação diferenciável
p 7−→ p · g (g 7−→ p · g).
De nição 1.3.1. Dado p ∈ P , dπp : TpP −→ Tπ(p)M é uma aplicação linear e podemos de nir
o subespaço vetorial Vp = kerdπp ⊆ TpP, chamado subespaço vertical de TpP. Se um campo
de vetores X ∈ X(P ) satisfaz Xp ∈ Vp, para todo p ∈ P , este será chamado de vertical, e o
Seja g a álgebra de Lie do grupo G. Dado ξ ∈ g, a partir da ação de G em P, é possível associar um campo de vetores Xξ ∈ X(P ), chamado campo de vetores fundamental associado
a ξ, dado por (Xξ)p = dtd t=0(p · exp(tξ)) = d dt t=0ψp◦ exp(tξ) = dψp(e)ξ
Denotemos por σ : g −→ X(P ) a aplicação ξ 7−→ Xξ.
Proposição 1.3.1. A aplicação σ : g −→ X(P ) é um homomor smo de álgebras de Lie. Além disso, se σ(ξ) = Xξ se anula em algum ponto de P, então ξ = 0.
Prova. Veja página 310, capítulo 8, de [41] Campos fundamentais são verticais, pois dado ξ ∈ g, temos que dπpdψp(e)ξ = d(π ◦ ψp)(e)ξ,
mas π ◦ ψp : g ∈ G 7−→ π(p · g) = π(p) ∈ M, ou seja, é uma aplicação constante e assim,
dπpdψp(e)ξ = 0. Portanto, dψp(e) : g −→ Vp e Xξ ∈ XV(P ). Mas, como π é uma submersão,
pelo teorema do núcleo e imagem, devemos ter que dimVp = dimM − dimP = dimG = dimge
pela proposição acima, dψp(e) é injetiva (pois, se dψp(e)ξ = σ(ξ)p = 0 ⇒ ξ = 0). Concluímos
assim que dψp(e) : g −→ Vp é um isomor smo linear.
Observação 1.3.1. Como π é uma submersão, as bras são subvariedades (difeomorfas a G), e o espaço vertical Vp nada mais é que Tpπ−1(π(p)). De fato, dado v ∈ Tpπ−1(π(p)), existe uma
curva diferenciável c : (−, ) −→ π−1(π(p)), com c(0) = p e c0(0) = v. Logo, π ◦ c(t) = π(p)
e derivando em t = 0 obtemos dπ(p)v = 0 (i.e., v ∈ Vp). Por outro lado, se v ∈ Vp, ∃! ξ ∈ g,
tal que v = dψp(e)ξ = dtd
t=0(p · exp(tξ)). Como a curva γ(t) = p · exp(tξ) é tal que γ(0) = p,
γ0(0) = v e π ◦ γ(t) é constante igual a π(p), segue que v ∈ Tpπ−1(π(p)).
O subespaço vertical associado a um ponto p ∈ P determina todos os outros espaços verticais associados a pontos da mesma bra de p, através da ação à direita de G em P.
Lema 1.3.1. dψg(p)Vp = Vp·g
Prova. Seja v ∈ Vp (i.e., dπpv = 0). Então, dπ(p · g)dψg(p)v = d(π ◦ ψg)(p)v = dπ(p)v = 0,
onde usamos que π◦ψg(p) = π(p · g) = π(p), e assim obtemos que dψg(p)Vp ⊆ Vp·g. Para a outra
inclusão, tome v ∈ Vp·g. Como dψp·g(e) : g −→ Vp·g é um isomor smo linear, ∃!ξ ∈ g, tal que
v = dψp·g(e)ξ = d(ψg◦ψg−1◦ψp·g)(e)ξ = dψg(p)d(ψg−1◦ψp·g)(e)ξ. Mas, dπ(p)d(ψg−1◦ψp·g)(e)ξ =
d(π ◦ ψg−1 ◦ ψp·g)(e)ξ. Como π ◦ ψg−1 ◦ ψp·g : h ∈ G 7−→ π(p · ghg−1) = π(p), ou seja, é uma
aplicação constante, devemos ter d(ψg−1 ◦ ψp·g)(e)ξ ∈ Vp.
Lema 1.3.2. dψgXξ = XAd(g−1)ξ
Prova. Isso segue do seguinte cálculo
(XAd(g−1)ξ)p·g = dψp·g(e)Ad(g−1)ξ = dψp·g(e)dCg−1(e)ξ = d(ψg ◦ ψg−1 ◦ ψp·g◦ Cg−1)(e)ξ
= dψg(p)d(ψg−1 ◦ ψp·g◦ Cg−1)(e)ξ
Como ψg−1◦ψp·g◦Cg−1 : h ∈ G 7−→ ((p·g)·(g−1hg))·g−1 = p·h, temos que ψg−1◦ψp·g◦Cg−1 = ψp.
Logo, (XAd(g−1ξ))p·g = dψg(p)(Xξ)p.
De nição 1.3.2. Seja P uma variedade de dimensão d e k um inteiro, com 1 ≤ k ≤ d. Uma distribuição D, k-dimensional, é uma aplicação que associa a cada p ∈ P um subespaço Dp ⊆ TpP de dimensão k. Dizemos que a distribuição D é suave se, para cada p ∈ P , existir
uma vizinhança U de p e campos de vetores X1, . . . , Xk ∈ X(U ), tais que {(X1)q, . . . , (Xk)q} é
uma base de Dq, para todo q ∈ U.
Até aqui associamos a cada ponto p ∈ P um subespaço de TpP isomorfo à álgebra de Lie g
de maneira G-invariante. Esta é uma distribuição suave, visto que uma base de g fornece (via σ) a condição de suavidade. Não existe, no entanto, um complemento natural para Vp em TpP.
Esse problema será sanado a partir da introdução do conceito de conexão no brado principal P(M,G).
De nição 1.3.3. Uma conexão (de Ehresmann) no brado principal P(M,G) é uma distribui-ção suave H (chamada de horizontal), satisfazendo:
1. TpP = Vp⊕ Hp, para todo p ∈ P
2. dψg(p)Hp = Hp·g, para todo p ∈ P e g ∈ G (i.e. H é G-invariante).
Observação 1.3.2. Segue do primeiro item da de nição que a distribuição horizontal deve ter dimensão igual a dimP − dimG = dimM. Além disso, como Vp = kerdπp, obtemos que
dπp : Hp−→T˜ π(p)M é um isomor smo linear.
Exemplo 1.3.3. Seja g uma métrica Riemanniana G-invariante de P. Então, Hp
.
= Vp⊥ = {v ∈ TpP | gp(v, u) = 0 para todo u ∈ Vp} nos fornece uma conexão em P(M,G).
O primeiro item da de nição é claramente satisfeito. Vamos mostrar a G-invariância, ou seja, dψg(p)Vp⊥ = Vp·g⊥.
i) Dado v ∈ V⊥
dψg(p)Vp = Vp·g, seja v1 ∈ Vp tal que dψg(p)v1 = v. Pela G-invariância da métrica,
gp·g(dψg(p)v, dψg(p)v1) = gp(v, v1) = 0. A última igualdade vem do fato de v ∈ Vp⊥ e v1 ∈ Vp.
ii) Dado v ∈ V⊥
p·g. Então, podemos escrever v = dψg(p)dψg−1(p · g)v. Vamos mostrar que
dψg−1(p · g)v ∈ Vp⊥. Seja u ∈ Vp, então gp(dψg−1(p · g)v, u) = gp·g(v, dψg(p)u) = 0, pois
u ∈ Vp ⇒ dψg(p)u ∈ Vp·g.
Conexões aparecem de maneira intuitiva, quando de nidas a partir de distribuições suaves. No entanto, distribuições não necessariamente fornecem a maneira mais fácil de lidar com tais objetos. Alternativamente, podemos tentar caracterizar as conexões como projeções em subespaços verticais (que, como vimos, podem ser pensados como a álgebra de Lie de G), satisfazendo algum tipo de invariância pela ação de G em P. Isso será obtido através do conceito de uma 1-forma de conexão.
De nição 1.3.4. Uma 1-forma de conexão é uma 1-forma diferencial de P com valores na álgebra de Lie g, ω ∈ Ω1(P ; g), satisfazendo:
1. ω(σ(ξ)) = ξ, para todo ξ ∈ g 2. ψ∗
gω = Adg−1ω, para todo g ∈ G
Observação 1.3.4. Abrindo os itens da de nição, temos que: 1. ω(p)(dψp(e)ξ) = ξ, onde p ∈ P , ξ ∈ g
2. ω(p · g)(dψg(p)v) = Adg−1(ω(p)v), onde g ∈ G, v ∈ TpP.
Denotaremos o espaço das 1-formas de conexão por A. Proposição 1.3.2. A 6= ∅
Prova. Seja θ a forma de Maurer-Cartan (ver apêndice A). Então, ωα
.
= gα∗θ é uma 1-forma de conexão para o brado trivial P |Uα (onde (Uα, ϕα = (π, gα))é uma trivialização do brado
P(M,G)). De fato,
i) Dado p ∈ P |α e ξ ∈ g, ωα(p)(dψp(e)ξ) = θ(gα(p))(dgα(p)dψp(e)ξ) = d(Lgα(p)−1◦ gα◦ ψp)(e)ξ.
Como, Lgα(p)−1◦ gα◦ ψp : h ∈ G 7→ gα(p)
−1g
α(p · h) = h, temos ωα(p)(dψp(e)ξ) = dIdG(e)ξ = ξ.
ii) ψ∗
gg
∗
αθ = (gα ◦ ψg)∗θ, Mas, pela equivariância de gα, gα ◦ ψg = Rg ◦ gα e assim, ψg∗g ∗
αθ =
g∗αR∗gθ = gα∗(Ad−1g θ) = Ad−1g g∗αθ
Agora, basta tomar uma partição da unidade {λα} subordinada à cobertura aberta de M,
{Uα}, por abertos trivializantes do brado. Assim, de nimos ω =
X
α
λαωα. Sendo esta uma
combinação a m de 1-formas, temos uma 1-forma de conexão em todo P (a combinação deve ser a m para que a primeira condição da de nição de 1-forma de conexão seja satisfeita).
Lema 1.3.3. O espaço das 1-formas de conexão A é um espaço a m modelado no espaço vetorial Ω1(M ; g
P).
Prova. Isso segue diretamente da Prop. A.0.3 do apêndice. Dadas duas conexões ω1, ω2 ∈
Ω1(P, g), temos que ω
1 − ω2 é uma forma básica e assim corresponde a um elemento de
Ω1(M ; g
P). Além disso, xado ω ∈ A, dado ζ ∈ Ω1(M ; gP), ω + ζ ∈ A (onde usamos
no-vamente a bijeção entre Ω1(M ; g
P) e Ω1G(P ; g)).
Proposição 1.3.3. Existe uma bijeção entre conexões (de Ehresmann) e 1-formas de conexão. Prova. i) Seja H uma conexão. Dado v ∈ TpP, sejam vH ∈ Hp e vV ∈ Vp, tais que
v = vH + vV. Em particular, ∃! ξ ∈ g com vV = dψ
p(e)ξ. De na então, ω(p)v = ξ e note
que ωp : TpP −→ g é linear, pois dψp(e) é linear. Se ζ ∈ g, σ(ζ) ∈ XV(P ) e a primeira
con-dição para ω ser uma 1-forma de conexão é automaticamente satisfeita. A segunda concon-dição é consequência do lema 1.3.2. De fato, tomando v = vV + vH como anteriormente, pela
G-invariância das distribuições (vertical e horizontal) ω(p·g)(dψg(p)v) = ω(p·g)(dψg(p)dψp(e)ξ) =
ω(p · g)(d(ψg◦ ψp)(e)ξ). Mas, ψg ◦ ψp : h ∈ G 7−→ (p · h) · g = (p · g) · g−1hg = ψp·g ◦ Cg−1(h).
Agora, d(ψp·g◦ Cg−1)(e)ξ = dψp·g(e)(Adg−1ξ), logo ω(p · g)(dψg(p)v) = Adg−1ξ = Adg−1(ω(p)v).
Ainda precisamos veri car a diferenciabilidade de ω. Suponha dimG = k e dimM = n (e assim, dimP = n + k). Numa vizinhança de P é possível, pela suavidade da distribuição hori-zontal, achar campos de vetores {Y1, . . . , Yn}que formam uma base para os espaços horizontais
nessa vizinhança. Se {ξ1, . . . , ξk} é uma base de g, temos uma base para os espaços
tangen-tes nessa vizinhança dada pelos campos {Y1, . . . , Yn, . . . , σ(ξ1), . . . , σ(ξk)}. Podemos escrever,
ω =
k
X
j=1
ωjξj, onde ωj são 1-formas de P. A 1-forma ω é diferenciável se cada ωj o for. Uma
1-forma em P pode ser vista como uma aplicação C∞(P )-linear de X(P ) a C∞(P ). Como
ωj(σ(ξi)) = δji ∈ C∞(P ) e ωj(Yi) = 0 ∈ C∞(P ), ω é diferenciável.
ii) Seja agora ω ∈ Ω1(P ; g) uma 1-forma de conexão. Como, dado ξ ∈ g, ω(p)(dψ
p(e)ξ) = ξ,
i.e., ωp é sobrejetiva para todo p ∈ P , o subespaço Hp
.
= ker(ωp) ⊆ TpP tem dimensão
cons-tante para todo p ∈ P (igual a dimM). Primeiramente, Vp ∩ Hp = {0}, pois se v ∈ Vp ∩ Hp,
v = dψp(e)ξ, para algum ξ ∈ g, com ω(p)v = 0, mas ω(p)v = ξ. Além disso, dado v ∈ TpP,
v = (v − dψp(e)(ω(p)v)) + dψp(e)(ω(p)v), claramente v − dψp(e)(ω(p)v) ∈ Hp e dψp(e)(ω(p)v) ∈
Vp, de modo que, TpP = Vp ⊕ Hp. Vamos mostrar que essa distribuição, de nida pelo núcleo
da 1-forma de conexão, é G-invariante. Se v ∈ Hp, ω(p · g)(dψg(p)v) = Adg−1(ω(p)v) = 0, logo
ω(p)((dψg−1)(p · g)u) = ω((p · g) · g−1)((dψg−1)(p · g)u) = Adg(ω(p · g)u) = 0, logo temos também
Hp·g ⊆ dψg(p)Hp (mais diretamente, poderíamos notar que dψg é injetivo, pois ψg é
difeomor- smo, e se dψg(p)Hp ⊆ Hp·g, como dimHp = dimHp·g, vale dψg(p)Hp = Hp·g ). Falta mostrar
que a distribuição assim de nida é suave. Para cada ponto, considere um aberto de um sistema de coordenadas locais de P e campos de vetores nessa vizinhança {Y1, . . . , Yn+k} que fornecem
uma base para o espaço tangente em cada ponto da vizinhança. Seja também {ξ1, . . . , ξk}uma
uma base de g e ω =
k
X
j=1
ωjξj, onde ωj são 1-formas de P. Para i = 1, . . . , n + k, de na
Yi = Yi − k
X
j=1
ωj(Yi)σ(ξj)
Claramente, tais campos são horizontais. Além disso, dado um vetor horizontal, ele pode ser escrito como uma combinação linear
n+k X r=1 brYr = n+k X r=1
brYr, pois todos outros termos são verticais.
Sendo assim, os Yi 0
s geram os espaços horizontais nessa vizinhança e é possível escolher n deles linearmente independentes (numa vizinhança possivelmente menor). É possível dar uma terceira caracterização para conexões num brado principal P(M,G), em termos de objetos da base M. Sejam {(Uα, ϕα = (π, gα))}as trivializações do brado, {sα}
as seções corespondentes e {gαβ : Uαβ −→ G} as funções de transição do brado (lembre que
sβ = sα· gαβ). Considere também a forma de Maurer-Cartan θ ∈ Ω1(G, g), de nida por θg =
dLg−1. Dada uma 1-forma de conexão ω ∈ Ω1(P ; g), denotemos por Aα = s∗
α(ω) ∈ Ω1(Uα; g)
(chamados potenciais de calibre) e θαβ = gαβ∗ ω ∈ Ω1(Uαβ; g). Apesar de {Aα} não formar uma
1-forma global em M (i.e. os pull-backs não coincidem), vale o seguinte Proposição 1.3.4. Dada uma 1-forma de conexão ω ∈ Ω1(P ; g), temos que
Aβ = Ad(gαβ−1)Aα+ θαβ, em Uαβ
Antes de demonstrar a proposição precisamos do seguinte lema:
Lema 1.3.4. Seja ψ : P × G −→ P , uma aplicação diferenciável. Então, podemos identi car naturalmente T(p,g)(P × G) ' TpP × TgG e vale
dψ(p,g)(u, v) = dψg(p)u + dψp(g)v
Prova. (Prop 1.3.3) Seja m ∈ Uαβ e v ∈ TmM. Temos que sβ = ψ ◦ (sα, gαβ) e pela regra
da cadeia, aplicando o lema anterior para a ação ψ, obtemos
dsβ(m)v = dψ(sα(m), gαβ(m))(dsα(m)v, dgαβ(m)v) =
dψsα(m)(gαβ(m))(dgαβ(m)v) + dψgαβ(m)(sα(m))(dsα(m)v)
Vamos chamar o primeiro termo dessa soma de x e o segundo de y. Pelo segundo item da de nição da 1-forma de conexão ω,
ωsα(m)·gαβ(m)(y) = Adgαβ(m)−1(ωsα(m)(dsα(m)v)) =
Adgαβ(m)−1((s∗αω)mv) = Adg
αβ(m)−1(Aα(m)v)
Agora, x = d(ψsα(m) ◦ gαβ)(m)v. Mas, ψsα(m) ◦ gαβ = ψsα(m)·gαβ(m)◦ Lg−1 ◦ gαβ. Logo, x =
dψsα(m)·gαβ(m)(e)ξ, onde ξ = dLgαβ(m)−1(gαβ(m))dgαβ(m)v ∈ g. Temos então que ωsα(m)·gαβ(m)(x) =
ξ. Por outro lado, θαβ(m)v = (gαβ∗ ω)mv = θgαβ(m)(dgαβ(m)v) = dLgαβ(m)−1(gαβ(m))dgαβ(m)v =
ξ.
Dada uma 1-forma de conexão ω, denote por ωα sua restrição a π−1(Uα). Essas ωα ∈
Ω1(P |Uα; g)}podem ser descritas a partir das Aα. Antes de explicitar a relação, precisamos da
seguinte observação. Seja m ∈ Uα e denote por p = sα(m).
P |Uα
π
−→ Uα
sα
−→ P |Uα
Chamemos, provisoriamente, de T a aplicação linear d(sα◦ π)p : TpP −→ TpP. Como π ◦ sα=
IdUα, vale dπ(p)dsα(m) = IdTpP e T
2 = T ◦ T = ds
α(m)(dπ(p)dsα(m))dπ(p) = T (i.e., T é um
operador de projeção). Sendo assim, por álgebra linear, TpP = kerT ⊕ imT (cada elemento
v ∈ TpP é da forma T v + (v − T v)). No entanto, de dπ(p)dsα(m) = IdTpP, concluímos que
dsα(m) é injetivo e assim, kerT = ker(dsα(m)dπ(p)) = kerd(πp) = Vp. Portanto, provamos o
seguinte lema:
Lema 1.3.5. Seja s : U −→ P |U um seção do brado P(M, ão, se p = s(m), onde m ∈ U,
então TpP = im(d(sα◦ π)p) ⊕ Vp
Proposição 1.3.5. Seja ω ∈ Ω1(P ; g) uma 1-forma de conexão do brado P(M,G). Então,
ωα = Adg−1 α ◦ π
∗A
Prova. i) Vamos mostrar que a proposição é válida para p = sα(m), onde m ∈ Uα e v ∈ TpP.
Pelo lema anterior, v = dsα(m)dπ(p)v + dψp(e)ξ, para um único ξ ∈ g. Como gα(p) = e (pois,
sα(m) = ϕ−1α (m, e)e ϕα= (π, gα)):
Adgα(p)−1(π
∗A
α)pv + (gα∗θ)pv =
Aα(m)(dπ(p)v) + θ(e)(dgα(p)v) = ωp(dsα(m)dπ(p)v) + dgα(p)v
Vamos usar a decomposição de v = dsα(m)dπ(p)v + dψp(e)ξ para calcular dgα(p)v. Como
gα ◦ sα ◦ π é a aplicação constante igual ao elemento neutro de G e gα ◦ ψp : h ∈ G 7−→
gα(p · h) = gα(p)h = h, i.e., é a aplicação identidade de G, obtemos, pela regra da cadeia, que
dgα(p)v = ξ = ωp(dψp(e)ξ). Portanto, obtemos ωp(dsα(m)dπ(p)v + dψp(e)ξ) = ωpv.
ii) Agora, como P |Uα =
[
m∈Uα
(sα(m) · G), basta veri car a relação nos pontos p · g, onde
p = sα(m). Note ainda que qualquer vetor de T(p·g)P pode ser escrito como dψg(p)v, onde
v ∈ TpP (pois, dψg(p) é isomor smo linear) e gα(p · g) = gα(p)g = g. Assim, devemos mostrar
que
ω(p · g)(dψg(p)v) = Adgα(p·g)−1((π
∗A
α)(p · g)dψg(p)v) + (gα∗θ)p·gdψg(p)v
O lado direito da equação a ser mostrada pode ser escrito como:
Adg−1(Aα(m)dπ(p · g)dψg(p)v) + θg(dgα(p · g)dψg(p)v) =
Ag−1Aα(m)dπ(p)v + d(Lg−1◦ gα◦ ψg)(p)v = (pois, π ◦ ψg = π)
Adg−1(π∗Aα)pv + Adg−1dgα(p)v = (pois, Lg−1◦ gα◦ ψg = Cg−1◦ gα )
Adg−1(ωpv)
Mas, pela de nição de uma 1-forma, Adg−1(ωpv) = ω(p · g)(dψg(p)v) como queríamos.
Dada uma coleção de 1-formas {Aα ∈ Ω1(Uα; g)}, onde {(Uα, ϕα)} são as trivializações do
brado P(M,G), satisfazendo, nas interseções, a relação descrita na Prop. 1.3.3, existe uma única 1-forma de conexão ω, tal que Aα = s∗α(ω) ∈ Ω1(Uα; g). Esta 1-forma de conexão é
de nida localmente (em P |Uα) pelo lado direito da equação da Prop. 1.3.4. Fazendo cálculos
muito similares aos realizados até aqui, veri ca-se que, de fato, essas 1-formas locais de P coincidem nas interseções Uαβ (ou seja, representam uma 1-forma global ω ∈ Ω1(P ; g)) e ω
Curvatura
Seja ω ∈ Ω1(P, g) uma 1-forma de conexão no brado principal P(M,G), e H ⊆ T P a
distribuição horizontal associada (como vimos, Hp = ker(ωp)). De nimos, através da aplicação
Dω : Ω1(P, g) −→ Ω2(P, g), a 2-forma de curvatura Ω ∈ Ω2(P, g) por:
Ωp(u, v) = (Dωω)p(u, v) = dωp(uH, vH)
onde p ∈ P , u, v ∈ TpP e uH (vH) é a projeção de u (v) em Hp.
Ao contrário da distribuição vertical, a distribuição horizontal H nem sempre é integrável. A 2-forma de curvatura mede o quanto H deixa de ser integrável. De fato, dados X, Y ∈ X(P ):
Ω(X, Y ) = dω(XH, YH) = XH(ω(YH)) − YH(ω(XH)) − ω([XH, YH]) = −ω([XH, YH]) pois vetores horizontais se anulam, por de nição, na 1-forma de conexão. Portanto, H é inte-grável se, e somente se, Ω = 0. Chamamos ω de conexão plana se sua 2-forma de curvatura é nula.
Se η1, η2 ∈ Ω1(P, g), podemos generalizar o produto exterior para formas com valores em g
por meio do colchete de Lie. Assim, de nimos [η1, η2] ∈ Ω2(P, g) por:
[η1, η2](X, Y ) = [η1(X), η2(Y )] − [η1(Y ), η2(X)]
No caso η1 = η2 = η, temos [η, η](X, Y ) = 2[η(X), η(Y )].
Com essa notação mostraremos a equação estrutural de Cartan: Proposição 1.3.6. A 2-forma de curvatura satisfaz:
Ω = dω +1 2[ω, ω]
Prova. Dados X, Y ∈ X(P ), devemos mostrar que dω(XH, YH) = dω(X, Y ) + [ω(X), ω(Y )].
Vamos dividir em casos:
i) X, Y ∈ XH(P ): como a projeção horizontal de um vetor horizontal é ele mesmo e estes se
anulam em ω segue o resultado. ii) X, Y ∈ XV(P ): X = σ(ξ
1), Y = σ(ξ2), ξ1, ξ2 ∈ g. O lado esquerdo da equação se anula, pois
XH = YH = 0. Agora,
Mas, X(ω(Y )) = X(ω(σ(ξ2)) = X(ξ2), onde ξ2 é visto como a aplicação constante igual a ξ2,
de P em g. Logo, X(ω(Y )) = 0 (o mesmo para Y (ω(X))). Como [σ(ξ1), σ(ξ2)] = σ([ξ1, ξ2]),
ω([X, Y ]) = ω(σ([ξ1, ξ2]) = [ξ1, ξ2] = [ω(X], ω(Y )]e a equação vale nesse caso.
iii) X = σ(ξ) ∈ XV(P )e Y ∈ XH(P ): o lado esquerdo da equação e novamente zero, assim como
o termo [ω(X), ω(Y )]. Mas, dω(X, Y ) = X(ω(Y ))−Y (ω(X)−ω([X, Y ]) = −ω([X, Y ]). Mas, o comutador de dois vetores é a derivada de Lie de um com respeito ao outro, [X, Y ]p = (LXY )p =
lim t→0 1 t(dφ −t X (φ t X(p))Yφt X(p)−Yp), onde φ t
X é o uxo de X. Como X = σ(ξ), temos que φtX = ψexp(tξ)
e ωp([X, Y ]p) = lim t→0
1
t(ωp(dψexp(−tξ)(ψexp(tξ)(p))Yψexp(tξ)(p)) − ωp(Yp)). Pela de nição, ωp(Yp) = 0
e temos que ωp(dψexp(−tξ)(ψexp(tξ)(p))Yψexp(tξ)(p)) = Adexp(−tξ)−1(ωp·exp(tξ)Yp·exp(tξ)) = 0 .
Lema 1.3.6. A 2-forma de curvatura é básica, i.e., Ω ∈ Ω2
G(P ; g).
Prova. Pela de nição, Ω se anula em vetores verticais. Agora, dado g ∈ G, utilizando a Prop. 1.3.5, ψg∗Ω = ψg∗dω + 1 2ψ ∗ g[ω, ω] = dψ ∗ gω + 1 2[ψ ∗ gω, ψ ∗ gω] = dAdg−1ω + 1 2[Adg−1ω, Adg−1ω] = Adg−1(dω + 1 2[ω, ω]) = Adg−1Ω onde foi usado que ψ∗
g[ω, ω] = [ψg∗ω, ψ∗gω] (de fato, avaliando num ponto p ∈ P e em vetores
u, v ∈ TpP, obtemos 2[ωψg(p)(dψg(p)u), ωψg(p)(dψg(p)v)]) e que Adg−1 é um automor smo de
álgebras de Lie.
Como no caso da 1-forma de conexão, de nimos os campos de calibre por Fα = s. ∗αΩ ∈
Ω2(Uα; g). Como consequência da Prop. 1.3.5, podemos expressar os campos de calibre a partir
dos potenciais de calibre:
Fα = dAα+ 1 2[Aα, Aα] De fato, Fα = s∗αΩ = s∗α(dω + 1 2[ω, ω]) = ds ∗ αω + 1 2[s ∗ αω, s∗αω]. Além disso:
Proposição 1.3.7. Os campos de calibre satisfazem a seguinte relação Fα = AdgαβFβ
Prova.
Fα = dAα+
1
2[Aα, Aα] pela Prop. 1.3.4, Aα = Adg−1βαAβ + g∗βαθ. Portanto,
Fα= d(Adg−1 βαAβ+ g ∗ βαθ) + 1 2[Adg−1βαAβ+ g ∗ βαθ, Adg−1βαAβ + g ∗ βαθ] = d(Adg−1 βαAβ) + g ∗ βαdθ + Adg−1βα 1 2[Aβ, Aβ] + g ∗ βα 1 2[θ, θ] + [g ∗ βαθ, Adg−1βαAβ]
Pelo Lema A.0.7 e a fórmula estrutural da forma de Maurer-Cartan obtemos o resultado. Portanto, segue que o campos de calibre de nem uma 2-forma global de M com valores no brado de álgebras de Lie (ver apêndice), a qual denotaremos Fω ∈ Ω2(M ; gP).
Note ainda que Fω é exatamente a 2-forma dada pela correspondência entre Ω2G(P ; g) e
Ω2(M ; gP). De fato, suponha que Ω 7→ ˜Ω ∈ Ω2(M ; gP), então no aberto trivializante Uα, temos
˜
Ω(m)(u, v) = [sα(m), Ω(sα(m))(dsα(m)u, dsα(m)v] = [sα(m), (s∗αΩ)(m)(u, v)]
pois dπ(sα(m)dsα(m) = d(π ◦ sα)(m) = Id.
1.3.2 Conexão e Curvatura em Fibrados Vetoriais
Conexão
Uma conexão no brado principal induz uma conexão nos brados associados. Antes de mostrar como se dá essa relação, vamos introduzir o conceito de conexão num brado vetorial. De nição 1.3.5. Seja E −→ M um brado vetorial real. Uma conexão em E é uma mapa ∇ : Γ(E) −→ Ω1(M ; E) R-linear, satisfazendo a regra de Leibniz
∇(f s) = df ⊗ s + f ∇s para todo f ∈ C∞(M ) e s ∈ Γ(E).
Observação 1.3.5. a) Uma conexão em um brado vetorial complexo se dá de forma análoga, pedindo que ∇ seja um mapa C-linear e a regra de Leibniz valha para f ∈ C∞
(M ; C).
b) Como descrito no apêndice A, Ω1(M ; E)= Γ(T. ∗M ⊗ E) ' Ω1(M ) ⊗ Γ(E), onde o segundo
produto tensorial é tomado sobre o anel de funções suaves de M (produto tensorial de módulos) ([43], pg 68).
Considere o brado vetorial E, de posto r, dotado de uma conexão ∇. Tal brado é lo-calmente descrito pelas trivializações ϕα (ou equivalentemente, pelos referenciais locais
corres-pondentes {sα
1, . . . , sαr}). Vamos entender o comportamento local de ∇ em um referencial local
∇si = r
X
j=1
Aji ⊗ sj, onde Aji ∈ Ω1(U )
então, dado σ ∈ Γ(U), σ =
r X j=1 σisi, onde σi ∈ C∞(U ), temos ∇σ = ∇( r X i=1 σisi) = r X i=1 ∇(σis i) = r X i=1 dσi ⊗ si+ σi∇si = r X i=1 (dσi⊗ si+ σi( r X j=1 Aji ⊗ sj)) = r X k=1 (dσk+ r X i=1 Akiσi) ⊗ sk
Podemos representar formas com valores no brado E (localmente) por vetores coluna, com respeito ao referencial {s1, . . . , sr}. Por exemplo, representamos σ ∈ Γ(E) = Ω0(M, E), dado
por σ = r X j=1 σisi, por (σ) = σ1 ... σr
. Assim, o cálculo anterior pode ser escrito como: ∇σ = (d + A) σ onde A = (Ai
j)é uma matriz com entradas em Ω1(U ), chamada matriz de conexão em U.
As matrizes de conexão Aα e Aβ de nem a conexão para seções em Γ(E|
Uα) e Γ(E|Uβ),
respectivamente. Pela observação 1.2.2, xada uma base de V, a função de transição φαβ era
representada por uma matriz, a qual, por abuso de notação, nos referiremos também por φαβ,
que era a matriz de mudança de base do referencial de β para o referencial de α. Assim, se σ ∈ Γ(E|Uαβ), em notação matricial, (σ)α= φαβ(σ)β. A proposição a seguir nos diz como essas
matrizes se relacionam em Uαβ.
Proposição 1.3.8. Seja E um brado vetorial munido de uma conexão ∇. As matrizes de conexão associadas aos abertos trivializantes Uα, Aα, e Uβ, Aβ, se relacionam em Uαβ por:
Aβ = φ−1αβdφαβ + φ−1αβA
αφ
αβ
Prova. Temos que
(∇σ)β = φ−1αβ(∇σ)α= φ−1αβ(d + A α
