Exemplo 1
. Numa receita de pudim eu uso duas latas de leite condensa- do, 6 ovos e duas latas de leite, para uma receita. Para fazer duas receitas do mesmo pudim terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente, ou reduzir à metade a quantidade de ingredientes se quiser apenas meia receita.
Exemplo 2
Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de cader- nos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela:
Exemplo 3
Para percorrer 300 km, um carro gastou 30 litros de com- bustível. Nas mesmas condições, quantos quilômetros o carro percorrerá com 60 litros? E com 120 litros?
Exemplo 4
Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de pães que pretendo comprar:
N° de pães 1 2 5 10 20 50 Preço 0,50 1,00 2,50 5,00 10,00 25,00
Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente pro- porcionais. Portanto se compro mais pães, pago mais, se com- pro menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante.
Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente pro- porcionais. Portanto se compro mais pães, pago mais, se com- pro menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante.
Grandezas Inversamente Proporcionais:
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quan- do uma aumenta e a outra diminui na mesma proporção, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra.
Exemplo:
1. Numa viagem, quanto maior a velocidade média no per- curso, menor será o tempo gasto. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo gasto. Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma distância de 600 km.
Veloc.Média km/h 60 100 120 150 Tempo (h) 10 6 5 4
Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversa- mente proporcionais, assim se viajo mais depressa levo um tem- po menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo
maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante.
Exemplo 1
A tabela relaciona as grandezas ”medidas do lado” e “perí- metro” de um quadrado. Essas duas grandezas são direta ou in- versamente proporcionais?
Como podemos ver, enquanto a grandeza “medida do lado de um quadrado” aumenta ao outra grandeza “perímetro de um quadrado” também aumenta. Logo esta é uma grandeza direta- mente proporcional.
Exemplo 2
A tabela relaciona as grandezas “quantidade de operários” e “tempo” para a construção de duas obras iguais, A e B. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?
Como estamos vendo, enquanto a grandeza “quantidade de operários” aumenta, a grandeza “tempo” diminui. Logo esta é uma grandeza inversamente proporcional.
Exemplo 3
A velocidade constante de um carro e o tempo que esse carro gasta para dar uma volta completa em uma pista estão indicados na tabela a seguir:
De acordo com a tabela, essas duas grandezas, “velocidade” e “tempo”, são direta ou inversamente proporcionais?
Observando a tabela, percebemos que se trata de uma gran- deza inversamente proporcional, pois, a medida que uma gran- deza aumenta a outra diminui.
Exemplo 4
Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 li- tros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias?
Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no intuito de encher o tanque.
Problemas:
1. Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8. 160 33 5280 40 33 132 40 5 8 20132 8 1 5 1 2 1=B=C= + + = = = A 80 2 1 . 160 160 2 1 = ⇒A= = A
Matemática e Raciocínio Lógico-Matemático
32 5 1 . 160 160 5 1 = ⇒B= = B 20 8 1 . 160 160 8 1 = ⇒C= ⇒C= C2. Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a
6 1 4 1 , 3 1 e .
Como a divisão é inversa vamos inverter as frações que fica 3,4 e 6.
Logo a divisão é feita por 3,4 e 6
7 13 91 6 4 3 = = = = z y X 7 3= x ⇒ x = 21 7 4= y
⇒
y = 28 ⇒ =7 6 z z = 42 Resp: 21, 28 e 423. Divida 215 em partes diretamente proporcionais a
3 1 , 2 5 , 4 3 60 43 2580 12 4 30 9 215 3 1 2 5 4 3 =B=C= + + = = A ⇒ =60 3 4A 4A=180
⇒
A = 45 ⇒ =60 5 2B 2B = 300⇒
B = 150 3C = 60⇒
C = 20 Resp : 45, 150 e 20 Questões01(COBRA TECNOLOGIA S/A (BB)- TÉCNICO DE OPERA- ÇÕES - EQUIPAMENTOS-QUADRIX-2015)
Assinale a alternativa que contenha 2 grandezas que são in- versamente proporcionais.
(A)Área de uma parede e a quantidade de tinta necessária para pintar essa parede.
(B)Tempo de uma lâmpada acesa e consumo de energia elé- trica.
(C) Tempo para percorrer um determinado trajeto e veloci- dade utilizada para percorrer esse mesmo trajeto.
(D)Volume de uma caixa d’água e a quantidade de água que cabe nessa caixa.
(E)Tamanho de um saco de feijão e o peso desse saco de fei- jão.
02(SAEG-TÉCNICO DE SANEAMENTO - ESTAÇÃO DE TRA- TAMENTO DE ÁGUA-VUNESP-2015)
Sabendo-se que os termos da sequência (20, x, 50) são in- versamente proporcionais aos termos da sequência (40, 20, y), é correto afirmar que a razão y/x é igual a:
(A)Parte superior do formulário 1/8.
(B)1/5. (C) 1/4. (D)3/8. (E)2/5.
03(CRO-SP- AUXILIAR ADMINISTRATIVO-VUNESP-2015) Uma marcenaria comprou caixas do parafuso A, com 50 uni- dades cada, e caixas do parafuso B, com 80 unidades cada, em um total de 1240 parafusos. Sabendo-se que o número de caixas compradas de A e de B foram diretamente proporcionais a 3 e 2, respectivamente, é correto afirmar que o número de parafusos do tipo A comprados foi igual a
(A)744 (B)640 (C)600 (D)540 (E) 496
04(PREFEITURA DE SUZANO – SP-AUXILIAR DE ATIVI- DADES ESCOLARES-VUNESP-2015)Em um concurso de reda- ção, foram premiados os 2 primeiros colocados. Todo o prêmio era composto de 32 livros, repartidos entre os dois finalistas em partes inversamente proporcionais ao número de erros que ti- veram na redação. Sabendo-se que o primeiro colocado teve 3 erros, e o segundo, 5 erros, o número de livros recebidos pelo primeiro colocado foi
(A)24. (B)21. (C)20. (D)19. (E)18. 05(FCP-OPERACIONAL ADMINISTRATIVO-CETRO-2014) Leia atentamente as relações entre cada par de grandezas abaixo.
I. Velocidade média de um automóvel e tempo gasto para percorrer determinado trajeto.
II. Número de bolos e quantidade de ovos necessária para fazer esses bolos.
III. Velocidade média de um automóvel e distância percorri- da por esse automóvel num determinado tempo.
Analisando esses três pares de grandezas, é correto afirmar que elas são, respectivamente,
(A)Parte superior do formulário
inversamente proporcionais; diretamente proporcionais; inversamente proporcionais.
(B)inversamente proporcionais; inversamente pro- porcionais; diretamente proporcionais.
(C)inversamente proporcionais; diretamente proporcionais; diretamente proporcionais.
(D)diretamente proporcionais; diretamente proporcionais; inversamente proporcionais.
(E)diretamente proporcionais; inversamente proporcionais; inversamente proporcionais.
Respostas 01. Resposta: C.
Por definição, as grandezas são ditas inversamente propor- cionais quando uma aumenta e a outra diminui na mesma pro- porção, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra. No item (Tempo para percorrer um determinado trajeto e velocidade utilizada para percorrer esse mesmo traje- to).” são grandezas inversas ,pois ,quanto maior velocidade me- nor o tempo gasto.
02. Resposta: E
De acordo com o enunciado, as sequencias são inversamente proporcionais.
Portanto: 20 x 40 = 80 X x 20 = 800 50 x Y = 800
Então fica que X = 40 e Y = 16.
Então: Y/X que é 16/40, dividindo os dois termos por 8, fica 2/5.
03. Resposta: C.
Pelo enunciado temos que: