Materiales y métodos 1. Datos experimentales

Se han realizado una serie de capturas de movimiento en el laboratorio de análisis de marcha. En primer lugar se ha realizado una captura estática, con el sujeto colocado en la posición anatómica, para determinar los parámetros antropométricos y mecánicos del modelo tales como la ubicación de los centros de gravedad o las inercias de cada segmento. A continuación se ha pedido al sujeto que camine a una velocidad libremente escogida donde se ha capturado 1 ciclo de marcha definido a partir del contacto de talón derecho con el suelo. Se ha ubicado sobre el sujeto un conjunto de marcadores de forma que sobre la misma medida se pueda procesar con los distintos modelos estudiados en este trabajo. Las medidas se han obtenido con un sistema VICON®

compuesto por 6 cámaras de infrarrojos. Las sesiones se han llevado a cabo sobre un sujeto varón adulto sin patologías en la marcha. Los resultados obtenidos con el sistema han sido filtrados con un filtro Butterworth de ida y vuelta con una frecuencia de corte de 15 Hz. Para el análisis de los resultados se han procesado los datos utilizando un modelo de tren inferior formado por 7 sólidos en el caso del modelo Plug-in-Gait (pelvis, muslos, piernas y pies) y 11 en el caso del modelo Oxford del pie (pelvis, muslos, piernas, retro-pies, medio-pies y ante-pies). En la sección 3 se comparan los resultados cinemáticos obtenidos con cada uno de los modelos.

2.2. Modelo biomecánico

El modelo Plug-in-Gait [1] (PiG) se basa en la definición de la posición y orientación de un segmento utilizando un número mínimo de marcadores (ver figura 1(a)). Este modelo considera el pie como un modelo monosegmento (ver figura 2(a). En este trabajo se compara este modelo con uno multi-segmento, en concreto con el modelo Oxford del pie [ ](OFM). Este modelo es una extensión del Plug-in-Gait donde se considera el pie como un modelo multisegmento. Este modelo está compuesto por tres cuerpos (ver figura 2(b)). El retropié, que define la parte posterior del pie incluyendo el talón y que está únido a la pierna (tibia y peroné). El antepié, que define la parte anterior del pie (incluyendo los dedos). El mediopié, que define la parte central del pie y está único, por la parte posterior con el retropié y por la parte anterior con el antepié. Al igual que con el Plug-ig-Gait model, los distintos segmentos tienen permitidos los 6 grados de libertad relativos. Adicionalmente a los

Ojeda et al.

marcadores del Plug-in-Gait se añaden una serie de marcadores adicionales (ver figura 1(b). De esta forma, el llamado modelo Oxford del pie no es más que el modelo Plug-in-Gait con marcadores adicionales.

(a) (b) Figura 1: (a) Protocolo PiG. (b) Protocolo OFM.

(a) (b) Figura 2: (a) Modelo PiG. (b) Modelo OFM.

2.3. Problema de contacto

El análisis del problema de contacto entre el pie y el suelo se ha llevado a cabo usando mediante modelos de sistemas multicuerpo y una formulación elástica. Las superficies de contacto se han definido como plano ideal modelando el suelo y un conjunto de esferas simulando la superficie de la planta del pie. El número de esferas así como sus radios y localizaciones pueden ser ajustados para obtener una mejor aproximación de la superficie plantar. La interacción entre el pie y el suelo se ha evaluado analizado en cada paso de tiempo el posible contacto entre las esferas y la superficie plana. Esta interacción depende de las posiciones globales de los elementos durante la simulación y se ha evaluado mediante la penetración δ. Esta penetración se define mediante la ecuación 1.

(1) Donde d_N es el módulo de la componente normal del vector d que define la posición global del centro de una esfera de radio R_i que modele parte de la superficie del pie (ver figura 1). Para evaluar la fuerza de contacto normal también se ha considerado el amortiguamiento. Debido a ello, es necesario calcular la componente normal de la velocidad relativa entre el pie y el suelo (ver ecuación 2). Así, el parámetro ̇ evalua con el signo y el módulo de la velocidad relativa normal v_N (ver ecuación 3).

(2) ̇ | | (3)

Influe. mod. multicuerpo del pie en estima. param. mod contacto pie-suelo durante la marcha

Figura 3: Esquema que representa la posición relativa entre el pie y el suelo.

Los valores de la fuerza normal de contacto, FN, se han obtenido implementando el modelo propuesto por Wojtyra [] (ver ecuación 4).

{

̇ } (4) Donde k y c son los parámetros de rigidez y amortiguamiento, respectivamente. Debido a que la fuerza de reacción al inicio del contacto debe ser nula, se ha modelado el coeficiente de amortiguamiento como función de la pseudo-penetración p_z (ver ecuación 5).

{ ( )

(5) Donde p_z se define como p_z = max(0,δN) y h es una constante fijada en este trabajo en 0.01.

Los parámetros del modelo de contacto requeridos para definir la fuerza normal han sido obtenidos mediante un ajuste de los valores de la fuerza de contacto proporcionados por el modelo a los valores de las fuerzas de reacción obtenidos experimentalmente con las plataformas de fuerza. El proceso de ajuste se ha llevado a cabo mediante un algoritmo de optimización evolutiva conocido como estrategia de evolución adaptativa basada en la matriz de covarianza (ref) de una forma similar a la llevada a cabo por Pàmies-Vila y colaboradores[ ].

La función objetivo del algoritmo de optimización minimiza la diferencia entre los datos de la plataforma de fuerza y los valores proporcionados por el modelo de contacto. En el modelo se han considerado 6 esferas. En el caso del modelo multi-segmento, se han asignado dos esferas a cada segmento (ver figura 4). Las variables de diseño del algoritmo son las coordenadas locales de los centros de las esferas, el radio de cada esfera, la rigidez, k, y el coeficiente de amortiguamiento máximo, c_max, de cada esfera. En resumen, un total de 36 variables de diseño. Se considera que la fuerza de contacto es nula cuando no existe contacto con el suelo. Se han usado las plataformas de fuerza para identificar el comienzo y el final de la fase de apoyo del pie. La ecuación 6 muestra la función objetivo definida en el algoritmo de optimización.

( ) (6) Donde GRFs son matrices que contienen los vectores correspondientes a la fuerza normal de contacto y a los dos momentos (ver ecuación 7). Los momentos asociados a la fuerza normal han sido calculados en el centro de la plataforma de fuerza en el plano Z = 0. Los superíndices de cada vector indican si están calculados mediante el modelo de contacto u obtenidos experimentalmente de la plataforma de fuerza.

[ ] (7) NRMSE es un vector que contiene el error cuadrático medio calculad entre los vectores (ver ecuación 8).

√ ∑ (8)

Ojeda et al.

El vector w (ver ecuación 9) permite definir distintos pesos para cada una de las componentes del vector NRMSE.

[ ] (9)

(a) (b)

Figura 4: Número de esferas y distribución según el modelo biomecánico usado. (a) PiG. (b) OFM.

3. Resultados

En esta sección se muestran los resultados obtenidos con ambos modelos, PiG y OFM. En primer lugar, en la figura 5 y en las tablas 1 y 2, se muestran los resultados obtenidos al resolver el problema de optimización con ambos modelos. En el caso del PiG, sólo se han activado 5 de las 6 esferas modeladas.

(a) (b)

Figura 5: Localización y dimensiones de cada una de las esferas obtenidas con (a) el modelo PiG y (b) el modelo OFM.

Tabla 1: Rigidez y coeficiente de amortiguamiento máximo para cada una de las esferas obtenidos con el modelo PiG

PiG

k(10⁴N/m) 0.51 20 0.20 10 15.42 cmax(10³Ns/m) 0.002 6.24 0.002 4.52 11.29

Influe. mod. multicuerpo del pie en estima. param. mod contacto pie-suelo durante la marcha

Tabla 2: Rigidez y coeficiente de amortiguamiento máximo para cada una de las esferas obtenidos con el modelo OFM

OFM

k(10⁴N/m) 8.06 20 6.94 6.59 0.20 0.20 c_max(10³Ns/m) 12.33 0.002 0.002 0.97 2.46 10.15

En la figura 6 se muestran las evoluciones temporales de la fuerza normal de contacto y los dos momentos asociados obtenidos con ambos modelos y comparadas con los resultados experimentales.

Figura 6: Evolución temporal de la fuerza normal de contacto F_N y los dos momentos asociados M_Xy M_Y obtenidas con ambos modelos y comparadas con los resultados experimentales.

En la tabla 3 se muestran los errores cometidos en la estimación cada componente con cada uno de los modelos.

Evaluando la gráfica y la tabla se observa que se obtiene una mejor aproximación de la fuerza normal de contacto con el modelo multisegmento. Nótese que con el modelo PiG tanto F_N como M_Y comienzan con valores distintos de cero. Esto indica que con este modelo el contacto comienza antes del que se observa experimentalmente. En ambos modelo existe una zona donde los resultados numéricos se alejan más de los experimentales. En concreto, entre el 70 y el 80% de la fase de apoyo existe una diferencia importante en ambos casos. No obstante, se aprecie un mejor ajuste del modelo OFM en la fase final del apoyo.

Tabla 3: Errores de la fuerza de reacción con el suelo (FRS) obtenidos con los modelos PiG y OFM.

FRS Error PiG Error OFM

(%) (%)

FN 11.63 7.73

M_X 13.07 17.46

MY 9.22 10.05

En la figura 7 se analiza la contribución de cada una de las esferas a la resultante de la fuerza normal de contacto.

El análisis de la figura 7(a) pone de manifiesto las limitaciones del modelo monosegmento. Se puede observar como la esfera 3 se activa antes de que se inicie la fase de apoyo, lo cual no tiene sentido físico. Además, la esfera 6 no se activa. En el OFM, sin embargo, todas las esferas se activan en mayor o menor medida. No obstante, ambos modelos presentan un mayor error en torno al 70-80% de la fase de apoyo si bien con el OFM parece ajustarse un poco mejor.

La figura 8 muestra la indentación que se produce con cada una de las esferas durante la fase de apoyo del pie en ambos modelos.

Ojeda et al.

(a) (b)

Figura 7: Contribución de cada una de las esferas a la resultante de la fuerza normal de contacto. (a) PiG. (b) OFM.

(a) (b)

Figura 8: Indentación de cada una de las esferas durante la fase de apoyo del pie. (a) PiG. (b) OFM.

Se puede observar en la figura 8 que las indentaciones obtenidas con el modelo OFM son más realistas que las proporcionadas por el PiG. En el OFM se obtiene una indentación máxima del orden de 1 cm, lo cual está de acuerdo con los valores encontrados en la literatura relativos a la deformación del tejido blando de la planta del pie [ ]. No obstante, en el PiG, se llega a obtener una identación superior a los 5 cm.

La principal razón que justifica las diferencias entre ambos modelos se puede encontrar en las cinemáticas del pie obtenidas con un modelo monosegmento y multisegmento. En la figura 9 se observa un detalle de la cinemática del pie en uno de los instantes finales de la fase de apoyo. Con el modelo multisegmento se puede reproducir el movimiento relativo existente entre el mediopie y el antepie, tal y como se observa en la figura. Sin embargo, en el modelo monosegmento este movimiento no está permitido, lo cual produce una mayor indentación del antepie en el suelo (ver figura 9(a)). Esta indentación no es realista y provoca un mayor error en la estimación de la fuerza de contacto en la segunda mitad de la fase de apoyo del pie.