1.1 Fluxos
1.6.3 Matriz de Conexão em uxos de Morse
Seja M uma variedade Riemanniana compacta suave de dimensão n e ϕ o uxo gradiente de uma função de Morse f : M → R. As referências para esta seção são [F2], [M2] e [Sa1]. É claro que f decresce nas órbitas de ϕ e as singularidades de ϕ são os pontos críticos de f. Como f é de Morse, então todas as singularidades de ϕ são hiperbólicas, ou seja, a Hessiana de f é não singular em todos os pontos críticos de f. Dado x uma singularidade hiperbólica em M, sejam Ws(x) = {y ∈ M | lim
s→∞ϕs(y) = x} e Wu(x) = {y ∈ M | lims→−∞ϕs(y) = x} as variedades
estável e instável de x. Como f é de Morse, as variedades estável e instável são transversais e a imagem por f de quaisquer duas singularidades distintas é também distinta.
Se x ∈ M é uma singularidade hiperbólica então sabemos que existem coordenadas locais (a1, a2, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn−k) numa vizinhança de x tais que
f (a1, a2, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn−k) = f (x) − a21− a 2 2− · · · − a 2 k+ b 2 1 + b 2 2· · · + b 2 n−k
O inteiro k é chamado de índice de Morse de x e coincide com a dimensão de Wu(x). Denotemos
por ind(x) o índice de Morse de x.
Seja D(M) = {Mπ}π∈P uma decomposição de Morse <-ordenada de M tal que cada Mπ é
uma singularidade hiperbólica de ϕ.
Então o índice de Conley de cada conjunto é o tipo de homotopia de uma esfera pontuada Σk, onde k é a dimensão da variedade instável de x.
Vamos agora fazer uma construção que foi formalizada por Floer no caso gradiente, mas que já estava implícita em teoria de Morse. Para mais detalhes ver [Sa2] e [M1]. Primeiramente, escolhemos uma orientação para o espaço vetorial Eu(x) = T
de f e denotamos por hxi o par consistindo de um ponto crítico x e sua orientação. Para todo k = 0, 1, . . . , n denotamos Ck = M x Zhxi
onde x varia entre todos os pontos críticos de índice k. Como f é uma função de Morse, então Wu(x) ∩ Ws(y) tem dimensão 1 e consiste de um número nito de órbitas se ind(x)-
ind(y) = 1. Neste caso, podemos de nir um inteiro n(x, y) associando um número +1 ou −1 a todas as órbitas conectantes e considerando a soma. Seja γ(s) uma órbita conectante com lims→−∞γ(s) = x e lims→∞γ(s) = y. Então hxi induz uma orientação no complementar
ortogonal Eu
γ(x)de v = lims→−∞˙γ(s)| ˙γ(s)|−1em Eu(x). No caso em que ind(x) = k e ind(y) =
k − 1, o uxo tangente induz um isomor smo entre Eu
γ(x)e Eu(y) e de nimos nγ como sendo
+1ou −1 de acordo com o fato de o isomor smo preservar a orientação ou reverter a orientação respectivamente. De nimos então
n(x, y) =X
γ
nγ
onde a soma varia entre todas as órbitas de ϕ que conectam x a y. Então o operador bordo ∂kc : Ck → Ck−1 do complexo de cadeias, conhecido como operador bordo de Witten, é de nido
como
∂chxi =X
y
n(x, y)hyi
onde a soma varia sobre todas as singularidades de índice k − 1. Denotemos este complexo de cadeias graduado de Morse por
(Zhcritf i, ∂c)
Teorema 1.6.15 (R.Thom, S. Smale, J. Milnor, C. Conley, E. Witten). ∂c
k◦ ∂k+1c = 0 e o
módulo de homologia H(C) = Ker∂c
k/Im∂k+1c é isomorfo ao módulo de homologia do índice de
Conley H(c(M)).
Mostremos agora que o operador bordo de Witten ∂c representa um caso especial de matriz
de conexão. Uma conseqüência deste fato é que o Teorema 1.6.15 segue dos trabalhos de Franzosa [Fr1], [Fr3] e [Mo].
Se M é uma variedade orientada então o conjunto de nível Mc = {x ∈ M | f (x) = c}
é uma subvariedade de M para todo valor regular c. Mais precisamente, uma base ξ2, . . . , ξn
de TxMc é positivamente orientada se −∇f(x), ξ2, . . . , ξn de ne uma base positiva para TxM.
Além disso, a orientação hxi de Eu(x) = T
xWu(x)induz uma orientação em Es(x) = TxWs(x),
pois TxM = Eu(x) ⊕ Es(x). Segue que a esfera Wcu(x) = Wu(x) ∩ Mc herda uma orientação de
Wu(x) e a esfera Ws
c(y) = Ws(y) ∩ Mc herda uma orientação de Ws(y). O inteiro n(x, y) no
operador bordo de Witten coincide com o número de intersecção de Wu
c(x) e Wcs(y) em Mc.
Descrevemos então uma matriz de conexão para o caso de um uxo Morse gradiente. Para cada ponto crítico x de f, seja (Nx, Lx) um par-índice para x. Se ind(x) = k então uma
orientação de Eu(x) = T
xWu(x) determina um gerador de Hk(Nx, Lx; Z) ∼= Z. Então o Z-
módulo Ck pode ser identi cado com
Ck= ⊕xHk(Nx, Lx; Z)
onde a soma varia entre todos os pontos críticos de índice k. Seguindo Floer de nimos
M (x, y) = Wu(y) ∩ Ws(x)
união das órbitas conectando x a y. Esse conjunto é uma subvariedade de M de dimensão ind(x)-ind(y) já que ϕ é Morse. Além disso, se ind(x)-ind(y) = 1
S(x, y) = M (x, y) ∪ {x, y}
é um conjunto invariante isolado. Seja (N2, N0) um par-índice para S(x, y) e de namos N1 =
N0∪ (N2 ∩ Mc), onde f(y) < c < f(x). Então (N2, N1) é um par-índice para x e (N1, N0) é
um par-índice para y. De namos o homomor smo
∆k(x, y) : Hk(Nx, Lx) → Hk−1(Ny, Ly)
Hk(Nx, Lx) //Hk(N2, N1) ∂ //
Hk−1(N1, N0) //Hk−1(Ny, Ly)
onde o primeiro e o terceiro isomor smos são induzidos pela equivalência de homotopia entre dois pares índices de um mesmo conjunto invariante isolado. Isto determina um homomor smo
∆k: Ck→ Ck−1
que é um caso especial de matriz de conexão.
Mostremos que este operador coincide com o operador de Milnor e Witten. Lema 1.6.16. ∂c = ∆.
Demonstração: Alterando a função f fora de uma vizinhança isolante de S(x, y), podemos assumir que x e y são os únicos pontos críticos em f−1(a, b), onde a = f(y) e
b = f (x). Mais precisamente, seja S o conjunto de todos os pontos críticos z 6= x com ind(z) ≥ ind(x) juntamente com suas órbitas conectantes. Então S é um repulsor e, portanto, existe uma função g : M → R tal que N = g−1([0, ∞)) é uma vizinhança isolante para S e
dg(z)∇f (z) > 0 para z ∈ ∂N = g−1(0).
Seja ε su cientemente pequeno e ρ : R → [0, 1] satisfazendo ρ(r) = 0 para r ≤ 0 e ρ(r) = 1 para r ≥ ε. De nimos fC : M → R
fC(z) = f (z) + Cρ(g(z))
Então fC tem os mesmos pontos críticos que f para todo valor positivo C. Tomando ε su ci-
entemente pequeno podemos assumir que g(z) ≥ ε para todo z ∈ S e portanto ρ(g(z)) = 1. Então dado z ∈ S, escolhemos C > b − inf(f) e então temos
fC(z) = f (z) + C > f (z) + b − inf (f ) > b
e, portanto, S ⊂ f−1
C ((b, ∞)). Um argumento análogo pode ser usado para singularidades
z 6= y com ind(z) ≤ ind(y). Tais alterações não afetam os homomor smos ∂c e ∆.
Nx = {z ∈ M | f (ϕ−T(z)) ≤ b + ε, f (z) ≥ c}
Ny = {z ∈ M | f (ϕT(z)) ≥ a − ε, f (z) ≤ c}
Lx = {z ∈ Nx| f (z) = c}
Ly = {z ∈ Ny| f (ϕT(z)) = a − ε}
Então um trio-índice para o par atrator-repulsor y, x no conjunto invariante isolado S(x, y) é dado por
N2 = Ny∪ Nx, N1 = Ny ∪ Lx, N0 = Ly∪ Lx\ Ny
Note que Nx pode ser contraído para Wu(x) ∩ {f ≥ c} tomando T → ∞. Da mesma
forma Ny é uma vizinhança tubular de Ws(y) ∩ {f ≤ c} cuja largura converge a zero quando
T → ∞. Como Wu(x) e Ws(y) se intersectam transversalmente, então N
y ∩ Wu(x) ∩ {f = c}
é constituído por nitas componentes V1, . . . , Vm, cada uma contendo um único ponto zj ∈
M (x, y) ∩ Vj. Mais precisamente, seja Dk−1 a bola fechada em Rk−1. Existe um difeomor smo
ψy : Ny → Dk−1× Dn−k+1
tal que
ψy(Ly) = ∂Dk−1× Dn−k+1
ψy(Ws(y) ∩ Ny) = {0} × Dn−k+1
ψy(Vj) = Dk−1× {θj}
onde θj ∈ ∂Dn−k+1. Em particular, Vj é uma k − 1 variedade com bordo Wj = Vj ∩ Ly,
difeomorfa a Dk−1 via ψ j = π1◦ ψy Vj : Vj → D k−1. A aplicação π 1 ◦ ψy : Ny → Dk−1 induz um isomor smo em homologia Hk−1(Ny, Ly) ∼= Hk−1(Dk−1, ∂Dk−1) ∼= Hk−1(Vj, Wj)
A orientação dada em Eu(y) determina um gerador da homologia α ∈ H
k−1(Ny, Ly) ∼= Z
é determinada pela orientação de TzjVj herdada pela orientação de E
u(y) via o isomor smo
de nido pelo uxo TzjVj → E
u(y) que pode ou não coincidir com aquela herdada de Wu(x)
via a injeção
TzjVj = TzjW
u(x) ∩ ∇f (z
j)⊥ ⊂ TzjW
u(x)
(tomando −5f(zj)como primeiro vetor da base). Assim, ambas as orientações coincidem se e
somente se nj = 1, onde nj ∈ {−1, +1}é o sinal associado à órbita conectante γj(s) = ϕs(zj).
Escolhemos uma triangulação para as k − 1-variedades Vj e estendemos a uma triangulação
para a k variedade Wu(x)∩{f ≥ c}com bordo Wu(x)∩{f = c}. Juntamente com a orientação
de Wu(x), isto determina um gerador
βj ∈ Hk(Wu(x) ∩ Nx, Wu(x) ∩ Lx) ∼= Hk(Nx, Lx)
A classe de homologia de ∂βj ∈ Hk−1(Wu(x) ∩ Lx, Wu(x) ∩ Lx\ Vj) ∼= Hk−1(Vj, Wj) é
representada pela triangulação original de Vj junto com a orientação herdada de Wu(x) e,
portanto, coincide com njαj. Pelo isomor smo Hk−1(Ny, Ly) ∼= Hk−1(Vj, Wj)obtemos
∆β =
m
X
j=1
njα = n(x, y)α ∈ Hk−1(Ny, Ly).
Detalhes da demonstração do Teorema 1.6.15 bem como uma discussão sobre sua história se encontram em [Sa2].
Demonstração: [do Teorema 1.6.15] Para j ≤ k, seja Skj a união dos conjuntos M(x, y)
de todos os pares de pontos críticos de f com j ≤ ind(y) ≤ ind(x) ≤ k. Estes conjuntos são compactos, já que o uxo gradiente é do tipo Morse-Smale.
Temos que o conjunto Skj é um invariante isolado para j ≤ k. Em particular, Sn0 = M e Skk
são todos os pontos críticos de índice k. Então existe uma ltração-índice N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nn
Segue do Lema 1.6.16 temos que existe um diagrama comutativo Ck+1 ∂c k+1 // Ck ∂kc // Ck−1 Hk+1(Nk+1, Nk) ∂k+1 // Hk(Nk, Nk−1) ∂k// Hk−1(Nk−1, Nk−2)
onde os isomor smos verticais são dados pela invariância do par-índice. Segue que ∂kc ◦ ∂c
k+1 = 0.
Como Hj(Nk, Nk−1) = 0para j 6= k, segue da seqüência exata em homologia que a aplicação
induzida pela inclusão Hj(Nk) → Hj(Nk+1) é um isomor smo para j 6= k, k + 1. Isso mostra
Hj(Nk) → Hj(M )é um isomor smo para j < k e Hj(Nk) = 0 para j > k. A última igualdade
mostra que no diagrama comutativo
0 0 //Hk(Nk) //Hk(Nk, Nk−1) ∂ // ∂ ))S S S S S S S S S S S S S S Hk−1(Nk−1) Hk−1(Nk−1, Nk−2)
a seqüências horizontais e verticais são exatas. Em particular o homomor smo Hk−1(Nk−1) →
Hk−1(Nk−1, Nk−2)é injetivo e, portanto, o núcleo dos homomor smos bordo coincidam. Estes
são isomorfos a ambos Hk(Nk)e Ker ∂kc ⊂ Ck. Concluímos que a seqüência exata em homologia
0 //Hk+1(Nk+1, Nk) ∂k+1 //
Hk(Nk) ////Hk(Nk+1) //0
é isomorfa à seqüência exata
0 //Ck+1 ∂c k//Ker∂c k+1 //Hk(M ) //0 e portanto Hk(M ) ≈ Ker ∂c k Im ∂c k+1 .