A dinamica por tras da sequencia espectral

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

A Dinâmica por trás da Seqüência Espectral

Mariana Rodrigues da Silveira

Orientadora:

Profa. Dra. Ketty Abaroa de Rezende

Bibliotecária: Maria Júlia Milani Rodrigues

Silveira, Mariana Rodrigues da

Si94d A dinâmica por trás da seqüência espectral / Mariana Rodrigues da Silveira -- Campinas, [S.P. :s.n.], 2008.

Orientador : Ketty Abaroa de Rezende

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

1. Seqüências espectrais (Matemática). 2. Topologia algébrica. 3. Sistemas dinâmicos. 4. Morse, Teoria de. I. Rezende, Ketty Abaroa de. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Título em inglês: The dynamic behind the spectral sequence.

Palavras-chave em inglês (Keywords): 1. Spectral sequences (Mathematics). 2. Algebraic topology. 3. Dynamical systems. 4. Morse theory.

Área de concentração: Matemática – Geometria e Topologia – Sistemas Dinâmicos Titulação: Doutora em Matemática

Banca examinadora:

Profa. Dra. Ketty Abaroa de Rezende (IMECC-UNICAMP) Prof. Dr. Marco Antônio Teixeira (IMECC-UNICAMP)

Profa. Dra. Maria Alice Bertolim (Regensburg University – Alemanha) Prof. Dr. Caio José Colleti Negreiros (IMECC-UNICAMP)

Prof. Dr. Ozírides Manzoli Neto (ICMC-São Carlos/USP) Data da defesa: 30/04/2008

Programa de pós-graduação: Doutorado em Matemática

Aos meus pais João

Ba-tista e Maria Hermínia

e à minha tia Lúcia.

Agradecimentos

Agradeço a Deus que me deu a vida e que me amparou em todos os meus passos.

À minha orientadora Profa. Dra. Ketty Abaroa de Rezende pelos ensinamentos, pela conança e amizade.

Aos professores Dr. Marco Antônio Teixeira, Dra. Maria Alice Bertolim e Dr. Pedro J. de Rezende pela grande ajuda e paciência.

Aos meus pais João Batista e Maria Hermínia pelo exemplo de vida, apoio, amor, pela compreensão e por torcerem por mim sempre.

Às minhas queridas irmãs, Marina e Joana que estiveram sempre do meu lado me apoiando e torcendo por mim.

À minha querida tia Lúcia pelo amor, apoio, carinho e pelas orações.

Aos meus tios queridos tia Célia Maria, tio Toni, tia Celinha, tio Reginaldo, tia Tata e meus primos Paulinha, Breno, José Augusto e Bruna por estarem sempre torcendo por mim.

Às pessoas maravilhosas que conheci em Montreal, em especial Graham, Ana e Amanda. Aos meus queridos amigos da UNICAMP, em especial Eduardo Marafon, Fábio, Feodor, Hérica, Igor, Kaline, Luciana Elias, Luci Any, Marcelinho, Olivâine e Ricardo pela atenção, ajuda, amizade e pelo carinho sempre.

A todos os professores e funcionários do Instituto Matemática, Estatística e Computação Cientíca pela gentileza e atenção diariamente prestados.

À Fapesp pela bolsa de estudo concedida e à Unicamp.

Enm, a todos aqueles que colaboraram de alguma forma para a realização deste trabalho.

Resumo

Neste trabalho, apresentamos um algoritmo para um complexo de cadeias C e sua diferencial dada por uma matriz de conexão ∆ que determina uma seqüência espectral associada (Er_{, d}r_).

Mais especicamente, um sistema gerador de Er _{em termos da base original de C é obtido}

bem como a identicação de todas as diferenciais dr

p : Epr → Ep−rr . Explorando a implicação

dinâmica da diferencial não nula, mostramos a existência de um caminho unindo a singularidade que gera E0

p e a singularidade que gera Ep−r0 no caso em que a conexão direta pelo uxo não

existe. Este caminho é composto pela justaposição de órbitas do uxo e do uxo reverso e prova ser importante em algumas aplicações.

Abstract

In this work, we present an algorithm for a chain complex C and its dierential given by a connection matrix ∆ which determines an associated spectral sequence (Er_{, d}r_{). More}

specif-ically, a system spanning Er _{in terms of the original basis of C is obtained as well as the}

identication of all dierentials dr

p : Epr → Ep−rr . In exploring the dynamical implication of a

nonzero dierential, we prove the existence of a path joining the singularities generating E0 p

and E0

p−r in the case that a direct connection by a ow line does not exist. This path is made

up of juxtaposed orbits of the ow and of the reverse ow and which proves to be important in some applications.

Sumário

Introdução xv

1 Preliminares - Teoria de Conley e Seqüências Espectrais 1

1.1 Fluxos . . . 1 1.2 Ordens parciais . . . 3 1.3 Índice de Conley . . . 4 1.4 Decomposição de Morse . . . 6 1.5 Continuação . . . 9 1.6 Matriz de Conexão . . . 10

1.6.1 Matriz de conexão do Par atrator-repulsor . . . 12

1.6.2 Matriz de conexão para decomposições de Morse . . . 15

1.6.3 Matriz de Conexão em uxos de Morse . . . 29

1.7 Seqüências Espectrais . . . 36

1.7.1 Denição e propriedades básicas . . . 36

1.7.2 Seqüência Espectral num complexo de cadeias ltrado . . . 39

2 Método da Varredura 43 2.1 Contextualização . . . 43

2.2 Construção da família ∆r _{. . . . 46}

2.3 Propriedades de ∆r _{. . . . 63}

3 Os Módulos Er

p da Seqüência Espectral 67

3.0.1 Filtrações mais grossas . . . 78

4 As Diferenciais da Seqüência Espectral 83

5 Análise da Seqüência Espectral para a existência de órbitas conectantes 97

6 Conclusão 110

Introdução

O papel de técnicas algébricas e topológicas em sistemas dinâmicos tem sido muito signicativo, como se pode comprovar com a teoria de Lusternik-Schnirelmann, a teoria de Morse, e mais recentemente a teoria de Conley. A teoria de Conley está amplamente difundida em trabalhos como [Co], [F1], [F2], [Sa1] e [Sa2].

Um resultado fundamental da teoria de Conley é que todo uxo em um espaço métrico compacto pode ser decomposto em uma parte recorrente por cadeias e uma parte do tipo gradiente. O conjunto recorrente por cadeias é um conjunto compacto invariante que contém o conjunto não errante e os pontos que se tornam recorrentes quando pequenos erros são introduzidos no uxo. Na parte restante do espaço o uxo é do tipo gradiente, ou seja, existe uma função de Lyapunov contínua que é estritamente decrescente nas órbitas que não estão no conjunto recorrente por cadeias. Se as componentes do conjunto recorrente por cadeias são identicadas a pontos, o espaço quociente é do tipo gradiente. Portanto, o problema de fornecer uma descrição qualitativa do uxo se divide em duas partes, a descrição das componentes do conjunto recorrente por cadeias e a descrição de como tais componentes se conectam umas as outra.

Na teoria de Conley utiliza-se a noção de decomposição de Morse de um conjunto invariante isolado S. Uma decomposição de Morse de S é uma coleção nita de conjuntos invariantes compactos disjuntos, chamados conjuntos de Morse, cuja união contém o conjunto recorrente por cadeias de S. Uma vez que uma decomposição de Morse é xada, os conjuntos de Morse são descritos pelo índice de Conley, que fornece uma descrição topológica da dinâmica local. A conexão entre conjuntos de Morse pode ser encontrada construindo-se ltrações com conjuntos

positivamente invariantes e estudando a topologia destes conjuntos. A teoria de matrizes de conexão é uma ferramenta importante nesse estudo. Esta teoria está desenvolvida em [Fr1], [Fr2] e [Fr3]. As entradas da matriz de conexão registram a existência de órbitas conectantes em ϕ. Dada uma decomposição de Morse com m conjuntos de Morse, a matriz de conexão é uma matriz m × m cujas entradas são homomorsmos entre os índices homológicos de Conley associados aos conjuntos de Morse. Essas aplicações são denidas por seqüências exatas em homologia.

O objetivo deste trabalho é começar a explorar uma ferramenta algébrica chamada seqüência espectral no contexto em que descrevemos acima. Explorar a informação dinâmica dada pela seqüência espectral de Conley é uma abordagem nova, apesar de existirem trabalhos utilizando seqüências espectrais de Morse, veja [C2] e [C1], bem como em teoria de Floer, veja [BaC], onde a utilização é bem diferente da encontrada em nosso trabalho.

Para entender como funciona esta ferramenta em nosso contexto lembremos que, usando pares atrator-repulsor apropriados, decompomos S em conjuntos de Morse cada vez "menores". A idéia por trás desta abordagem é que ao entender a dinâmica em conjuntos menores podemos utilizar esta informação para entender conjuntos mais complicados obtidos conectando conjun-tos de Morse via órbitas cada vez mais longas. Do ponto de vista algébrico-topológico, este processo se parece muito com aquele codicado algebricamente pelas seqüências espectrais.

As seqüências espectrais foram introduzidas por Leray nos anos 50 e são extensivamente usadas em álgebra homológica, topologia e geometria algébrica. Podemos denir uma seqüência espectral para um complexo de cadeia (C, ∂) com uma ltração crescente Fp_{Ctal que ∂(F}p_{C) ⊂}

FpC e F−1C = 0, ver [Sp]. A seqüência espectral associada a C é uma seqüência de módulos bigraduados (Er_{, d}r_{) onde d}r _{tem bi-grau (−r, r − 1) e cada etapa contém informação sobre}

diferenciais cada vez mais longas. Em outras palavras, a queda em ltração vai aumentando a medida que r cresce. A diferencial d0 _{do complexo é a parte de ∂ que não decresce na ltração,}

d1 diz respeito à parte de ∂ que reduz a ltração por não mais do que um e assim por diante. Temos ainda que H(Er_{, d}r_{) = E}r+1_.

uma ltração apropriada. O interessante é que agora as seqüências espectrais não são mais apenas ferramentas para cálculo, mas sim interessantes objetos por si próprios. As suas dife-renciais mais altas codicam algebricamente informações signicantes nas trajetórias "longas" do sistema. Esta forma de ver seqüências espectrais pode também ser encontrada em [C3] e [BaC].

Dois pontos são abordados. O primeiro consiste na detecção de ciclos. Mais precisamente, os geradores do complexo C mencionado acima são especícos, por exemplo, são singularidades no caso Morse. O domínio Er

p,q de drp,q, com p + q = k, é um certo quociente de um sub-módulo

de C. Elementos deste domínio são representados por elementos de C chamados k-ciclos, cujas classes apropriadas estão no núcleo de todas as diferenciais anteriores ds_{, s < r. Encontrar um}

sistema de k-ciclos que gerem Er _{em termos da base original de C é não trivial na prática,}

mas é necessário em aplicações, por exemplo, em topologia simplética, veja [L]. Neste trabalho desenvolvemos um algoritmo de varredura que produz esse sistema de geradores. No Teorema 3.0.6 mostramos que os espaços Er _{são determinados aplicando-se o método da varredura à}

matriz de conexão associada ao uxo.

O segundo ponto é uma outra aplicação do método da varredura. Assumindo que nessa "seqüência espectral dinâmica" possamos identicar uma diferencial não nula longa, quais as conseqüências que isso pode acarretar? É verdade que neste caso existem "órbitas longas" entre um conjunto invariante e um outro distante? Não é difícil ver que isto não é verdade em geral, ou seja, nem sempre existem órbitas conectando conjuntos invariantes. No entanto, mostramos no Teorema 5.0.16 que, associado a uma diferencial não nula da seqüência espectral, existe um caminho unindo dois conjuntos invariantes. Este caminho é constituído de curvas que coincidem com as linhas de uxo, onde alguns de seus arcos correspondem a linhas do uxo reverso. Este resultado é chamado de Teorema do Zig-Zag. Isto é importante porque órbitas longas têm alta energia, ou seja, a variação do funcional ação ao longo de uma órbita é grande. Detectar órbitas com alta energia é signicante geometricamente, veja [BaC].

No Capítulo 1 introduzimos os conceitos necessários para o desenvolvimento do trabalho. Apresentamos conceitos das Teorias de Conley e da seqüência espectral.

No Capítulo 2 apresentamos o método da varredura, bem como alguns resultados que seguem deste método.

Nos Capítulos 3 e 4 demonstramos os Teoremas 3.0.6 e 4.0.14, que conectam a mudança algébrica de geradores de Z-módulos da seqüência espectral a uma família particular de mu-danças de base sobre Q da matriz de conexão ∆. Estes resultados podem ser enunciados de forma resumida como segue.

Teorema As matrizes ∆r _{obtidas do método de varredura aplicado a ∆ determinam geradores}

para os espaços Er

p. Além disso, se Epr e Ep−rr são ambos não nulos, então a aplicação drp :

Er

p → Ep−rr é induzida por ∆r, ou seja, é induzida pela multiplicação pela entrada ∆rp−r+1,p+1

quando a mesma é um pivô primário, um pivô mudança de base ou uma entrada nula com uma coluna de zeros abaixo.

No Capítulo 5 mostramos o Teorema 5.0.16, que prova a existência de um caminho de linhas de uxo ϕ conectando duas singularidades consecutivas. Mais especicamente,

Teorema Seja (Er_{, d}r₎uma seqüência espectral induzida por um complexo de cadeias de Morse

Conley (C, ∆) de um uxo ϕ onde ∆ é uma matriz de conexão sobre Z. Se a diferencial dr

p : Ep,qr → Ep−r,q+r−1r é não nula, então existe um caminho de órbitas conectantes de ϕ unindo

Capítulo 1

Preliminares - Teoria de Conley e

Seqüências Espectrais

1.1 Fluxos

Seja M uma variedade compacta suave n-dimensional e ϕ : M × R → M um uxo contínuo em M. Veja Salamon [Sa1] para mais detalhes e demonstrações.

Denição 1.1.1. Um conjunto S ⊂ M é invariante sob o uxo ϕ se para todo γ ∈ S, ϕ(γ, t) ∈ S para todo t ∈ R.

Se S é invariante sob ϕ, então S (fecho de S) e Sc _{(complementar de S) são invariantes.}

Além disso, a união e a intersecção de conjuntos invariante é também invariante. Um conjunto é invariante se, e somente se, é a união de órbitas.

Seja N um subconjunto de M. Denotamos por Inv(N) o subconjunto invariante maximal de N, ou seja,

Inv(N ) = {γ ∈ N / ϕ(γ, t) ∈ N ∀ t ∈ R}

Denição 1.1.2. Um conjunto invariante S é invariante isolado se existe uma vizinhança compacta N de S tal que S é o invariante maximal em N ou seja, S = Inv(N). Neste caso, N é chamado de vizinhança isolante de S.

Denição 1.1.3. Dado Y ⊂ M, o conjunto ω-limite de Y , denotado por ω(Y ), é o conjunto ω(Y ) = Inv(ϕ(Y, [0, ∞)))

Analogamente, o conjunto ω∗_{-limite de Y é}

ω∗(Y ) = Inv(ϕ(Y, (−∞, 0])) e é também denotado por α(Y ).

O conjunto ω-limite de uma união nita é a união dos conjuntos ω-limite correspondentes. Em particular, se z ∈ Y , ω(z) ⊂ ω(Y ). No entanto, em geral ω(Y ) é maior do que a união dos ω(y) para y ∈ Y .

Se S é um conjunto invariante fechado compacto em M e Y ⊂ S então ω(Y ) e ω∗_{(Y ) são}

por denição conjuntos invariantes não vazios. Além disso, estes conjuntos são compactos em S, já que são fechados em S.

Denição 1.1.4. Um subconjunto A ⊂ S é um atrator com relação a S se existe uma vizi-nhança U de A em S tal que ω(U) = A. Analogamente, A ⊂ S é um repulsor com relação a S se existe uma vizinhança U∗ de A em S tal que ω∗(U∗) = A.

O Lema 1.1.5 é uma caracterização dos atratores.

Lema 1.1.5. Sejam S um conjunto compacto invariante sob o uxo ϕ e A um subconjunto compacto invariante em S. Então A é um atrator em S se e somente se existe uma vizinhança U de A em S tal que γ ∈ U \ A implica ϕ(γ, (−∞, 0]) * U.

Todo atrator é um compacto invariante e todo repulsor é um atrator para o uxo reverso. Seja S um conjunto invariante compacto e seja A um atrator em S. Considere o conjunto A∗ = {γ ∈ S / ω(γ) ∩ A = ∅}. A∗ é um repulsor, que chamamos de repulsor complementar de A em S. A∗ é o maior subconjunto invariante de S disjunto do atrator A.

Proposição 1.1.6. Seja S um conjunto invariante compacto e seja A ⊂ S. Se A0 _{é um atrator}

Demonstração: Seja U tal que ω(U) = A. Como A0 _{é um atrator em A, existe U}0

vizinhança de A0 _{em S, U}0 _{⊂ U, tal que ω(U}0_{∩ A) = A}0_.

Seja γ ∈ U0 _{tal que ϕ(γ, (−∞, 0]) ⊂ U}0_{. Então ϕ(γ, (−∞, 0]) ⊂ U e portanto γ ∈ ω(U) = A.}

Segue que ϕ(γ, (−∞, 0]) ⊂ U0_{∩ A e, portanto, γ ∈ ω(U}0_{∩ A) = A}0_.

Assim, dado γ ∈ U0 _{tal que ϕ(γ, (−∞, 0]) ⊂ U}0 _{então γ ∈ A}0_{. Pelo Lema 1.1.5, A}0 _também

é atrator em S.

Se A e B são conjuntos invariantes compactos em M, então C(A, B) é o conjunto das órbitas conectando B a A em M, ou seja, o conjunto {γ ∈ M | ω(γ) ⊂ A and ω∗_{(γ) ⊂ B}.}

Em particular, se A ⊂ M é um atrator e A∗ _{é seu complementar repulsor, então o par atrator}

repulsor (A, A∗_{) em M decompõe M na união M = A ∪ C(A, A}∗_{) ∪ A}∗_.

1.2 Ordens parciais

Consideremos P um conjunto indexante nito com m elementos. As principais referências para esta seção são [Fr1], [Fr2] e [Fr3].

• Uma ordem parcial em P é uma relação < entre os elementos de P satisfazendo: (a) π < π nunca vale para π ∈ P

(b) π < π0 _{e π}0 _{< π}00 _{implicam π < π}00_.

• Uma ordem total em P é uma ordem parcial em P que também satisfaz: (c) Para cada π e π0 _{em P , ou π < π}0 _{ou π}0 _{< π.}

Se π e π0 _{são tais que nem π < π}0 _{e nem π}0 _{< π então π e π}0 _{são não comparáveis.}

Seja < uma ordem parcial em P . Uma extensão de < é uma ordem parcial <0 _{em P tal}

que π < π0 _{implica π <}0 _π0_{. Se <}0 _{é uma ordem total em P então <}0 _{é uma extensão linear de}

Se P ⊂ P , então < induz uma ordem parcial em P chamada de restrição de < a P . Um intervalo em P é um subconjunto I ⊂ P para o qual π, π0 _{∈ I e π < π}00 _{< π}0 _implicam

π00 ∈ I. O conjunto de intervalos em < é denotado por I(<). Um intervalo I em I(<) é um intervalo atrator se π ∈ I e π0 _{< π implicam π}0 _{∈ I. O conjunto dos intervalos atratores de <}

é denotado por A(<). Dois elementos π, π0 _{são adjacentes se {π, π}0_{} ∈ I(<).}

No que segue, < denota a ordem parcial em P e também a ordem usual nos inteiros Z. Uma s-upla adjacente de intervalos em < é uma coleção ordenada (I1, . . . , Is) de intervalos

mutuamente disjuntos em < satisfazendo: • ∪s

i=1Ii ∈ I(<),

• π ∈ Ij, π0 ∈ Ik, j < k implica π0 ≮ π, ou seja, π < π0 ou π e π0 são não comparáveis.

A coleção de s-uplas adjacentes de intervalos em < é denotada por Is(<). Note que I(<

) = I1(<). É fácil ver que se <0 é uma extensão de < ou uma restrição de < a um intervalo

em < então Is(<0) ⊂ Is(<). Se (I, J) é um par adjacente de intervalos então denotamos o

intervalo I ∪ J por IJ. Se (I, J) e (J, I) são ambos pares adjacentes de intervalos, então I e J são não comparáveis. Se (I1, . . . , Is) ∈ Is(<) e ∪i=1s Ii = I, então (I1, . . . , Is)é chamada uma

decomposição de I. É claro que se (I, J, K) é uma tripla adjacente de intervalos, então (I, J), (J, K), (IJ, K), (I, JK) são todos pares adjacentes de intervalos.

1.3 Índice de Conley

Nesta seção denimos o índice de Conley e destacamos suas principais propriedades. As refe-rências para esta seção são [Co] e [Sa1].

Denição 1.3.1. Seja N um subconjunto compacto de M. Um subconjunto K é positivamente invariante em N se

γ ∈ K, t ≥ 0, ϕ(γ, [0, t]) ⊂ N =⇒ ϕ(γ, t) ∈ K Consequentemente ϕ(γ, [0, t]) ⊂ K.

Denição 1.3.2. Seja S ⊂ M um conjunto invariante isolado. Um par (N1, N0) de conjuntos

compactos em M é um par-índice para S em M se N0 ⊂ N1 e

i) N1 \ N0 é uma vizinhança de S em M e S = Inv(N1\ N0),

ii) N0 é positivamente invariante em N1,

iii) Se γ ∈ N1 é tal que ϕ(γ, [0, ∞)) * N1 então existe t ≥ 0 tal que ϕ(γ, [0, t]) ⊂ N1 e

ϕ(γ, t) ∈ N0.

O par-índice existe para vizinhanças isolantes arbitrárias do conjunto invariante isolado S. A propriedade mais importante de par-índice é que o tipo de homotopia do espaço pontuado N1/N0 independe da escolha do par-índice e, portanto, só depende do comportamento do uxo

numa vizinhança do conjunto invariante isolado S. As demonstrações destes fatos podem ser encontradas em [Sa1]. Logo podemos denir o índice de Conley.

Denição 1.3.3. Seja S um conjunto invariante isolado em M. Então o tipo homotópico c(S) = [N1/N0] do espaço pontuado N1/N0, onde (N1, N0) é um par-índice para S em M é

chamado índice homotópico de Conley de S em M.

Exemplo 1.3.4. O índice homotópico de uma singularidade hiperbólica do uxo em uma variedade é o tipo de homotopia da esfera pontuada de dimensão igual a da variedade instável da singularidade.

Como conseqüência da existência e da invariância do par-índice temos o Corolário 1.3.5, que generaliza a idéia de um par-índice de S para um trio-índice (N0, N1, N2) de um par

atrator-repulsor (A, A∗_{)em S.}

Corolario 1.3.5. Sejam S um conjunto invariante isolado em M, (A, A∗_{) um par}

atrator-repulsor em S e (N2, N0) um par-índice para S. Então existe uma ltração N0 ⊂ N1 ⊂ N2 de

conjuntos compactos em M tais que (N1, N0)é um par-índice para A e (N2, N1)é um par-índice

Conley introduz em [Co] a idéia de trios e Kurland provou sua existência em [K].

Proposição 1.3.6. Considere o trio N0 ⊂ N1 ⊂ N2. Se (N1, N0) é par-índice para A e

(N2, N0) é par-índice para S, então (N2, N1) é um par-índice para A∗.

Não faremos uso da estrutura completa do índice de Conley no que segue. Ao invés disso, vamos utilizar algo mais fraco, porém mais algébrico. A maioria dos objetos algébricos associa-dos a espaços em topologia algébrica são invariantes homotópicos. Por exemplo, os Z-módulos de homologia singular de um espaço dependem somente do tipo de homotopia. O índice homo-lógico de S, H(c(S)), é o Z-módulo graduado {Hq(c(S)), q = 1, . . .}, onde Hq(c(S))é o q-ésimo

Z-módulo de homologia singular de qualquer um dos quocientes N1/N0, onde (N1, N0) é um

par-índice para S. O índice homológico de uma singularidade hiperbólica com variedade instá-vel de dimensão d é Hd(c(S)) = Z, Hq(c(S)) = 0 para q 6= d. Geralmente é mais fácil calcular

o índice homológico do que o índice homotópico. No entanto perdemos algumas informações quando consideramos o índice homológico.

1.4 Decomposição de Morse

Sejam A ⊂ M é um atrator e A∗ _{é seu complementar repulsor. Sabemos que o par atrator}

repulsor (A, A∗_{)em M decompõe M na união M = A ∪ C(A, A}∗_{) ∪ A}∗_{. A generalização desta}

idéia é uma decomposição de Morse de M. As referências para esta seção são [Co], [Fr1], [Fr2], [Fr3] e [Sa1].

Denição 1.4.1. Seja < uma ordem parcial num conjunto nito P . Uma decomposição de Morse <-ordenada de M é uma coleção D(M) = {Mπ}π∈P de subconjuntos compactos

invariantes de M mutuamente disjuntos tais que se γ ∈ M \ ∪π∈PMπ, então existe π < π0 com

γ ∈ C(Mπ, Mπ0).

Assim, uma decomposição de Morse de ϕ é uma coleção nita de conjuntos invariantes compactos disjuntos Mπ que juntos contém todo o comportamento recorrente por cadeias

de ϕ, ou seja, o conjunto recorrente por cadeias é precisamente o conjunto dos pontos que pertencem a todas as decomposições de Morse.

Denição 1.4.2. Um subconjunto de M que pertence a alguma decomposição de Morse é chamado conjunto de Morse.

A proposição seguinte é uma conseqüência imediata da denição de decomposição de Morse. Proposição 1.4.3. Se <1 é uma ordem parcial em P , então D(M) = {Mπ}π∈P é uma

decom-posição de Morse <1-ordenada de M se e somente se C(Mπ, Mπ0) 6= ∅ implica π <₁ π0 para

cada π, π0 _{∈ P.}

A ordem parcial < em P induz uma ordem parcial em D(M). Esta ordem parcial, também denotada por <, é chamada uma ordem admissível da decomposição de Morse. O uxo em M dene uma ordem parcial natural em P chamada ordem do uxo de D(M), denotada <ϕ.

A ordem do uxo é denida considerando π <ϕ π0 se e somente se existe uma seqüência

de elementos distintos de P : π = π1, . . . , π` = π0 com C(Mπj, Mπj+1) 6= ∅ para cada j =

1, . . . , ` − 1. Em outras palavras, π <ϕ π0 sempre que C(Mπ, Mπ0) 6= ∅ e estendemos usando a

transitividade. Segue da Proposição 1.4.3 que <ϕ é uma ordem parcial em P e D(M) é uma

decomposição de Morse <ϕ-ordenada de M. A ordem do uxo <ϕ é uma ordem minimal em

D(M ), ou seja, tem o menor número de relações entre todas as outras ordens admissíveis. Proposição 1.4.4. Toda ordem admissível em D(M) é uma extensão da ordem do uxo <ϕ.

Demonstração: Suponha que π <ϕ π0. Então existe uma seqüência π = π1, . . . , π` = π0

tal que C(Mπj, Mπj+1) 6= ∅ para cada j = 1, . . . , ` − 1. Pela Proposição 1.4.3, πj−1 < πj para

j = 1, . . . , ` − 1. Portanto π < π0 e o resultado segue.

Uma outra ordem admissível que merece nossa atenção é a ordem da ltração. Dado um uxo contínuo em M com uma decomposição de Morse nita {Mi}mi=1 e uma função de

Lyapunov tal que f−1_(c

i) = Mi então a ltração

dene uma ordem admissível em M chamada ordem da ltração e denotada por <f. Esta

ordem é uma ordem total em M.

O problema de usarmos a ordem da ltração para denirmos a matriz de conexão é que esta é uma ordem muito forte e, portanto temos bem menos pares adjacentes.

Associada a uma ordem admissível < de D(M) existe uma coleção de conjuntos de Morse de <

MI = (∪π∈IMπ) ∪ (∪π,π0_∈IC(M_π0, M_π))

para cada I ∈ I(<). Como uma ordem admissível < de D(M) é uma extensão da ordem do uxo, então I(<) ⊂ I(<ϕ). Segue que a coleção de conjuntos de Morse da ordem do uxo

contém os conjuntos de Morse de qualquer outra ordem admissível.

Proposição 1.4.5. 1. Se J ∈ I(<) então existem intervalos K ∈ A(<) tais que (K \ J, J) é uma decomposição de K e K \ J ∈ A(<).

2. Se I é um intervalo atrator em <, então MI é um atrator em S com complementar

repulsor MP \I.

Demonstração:

1. K = {π ∈ P | existe π0 _{∈ J com π < π}0 _{ou π = π}0_{} é um exemplo.}

2. Demonstramos (2) por indução sobre a ordem da decomposição de Morse D(M). Se D(M ) é uma decomposição de Morse com apenas um conjunto então o resultado vale. Suponhamos que o resultado vale para toda decomposição de Morse de ordem m − 1 e seja D(M) uma decomposição de Morse de ordem m.

Consideremos I um intervalo em A(<). Seja θ um elemento minimal de I, ou seja, não existe π ∈ I com π < θ. Mostremos que Mθ é um atrator em S. Seja U uma vizinhança

compacta de Mθ em S disjunta de ∪π∈P \θMπ.

Seja γ ∈ U \ Mθ. Então ω∗(γ) ⊂ ∪π∈P \θMπ. De fato, se ω∗(γ) * ∪π∈P \θMπ então

I \ θ e como I é um intervalo atrator então π não pode estar em P \ I. Logo π = θ, ou seja ω(γ) ⊂ Mθ. Mas isso contradiz o fato de γ ∈ U \ Mθ. Logo ω∗(γ) ⊂ ∪π∈P \θMπ.

Segue que ω∗

(γ) * U e, pelo Lema 1.1.5, Mθ é um atrator em S. MP \θ é o repulsor

complementar de Mθ em S.

Seja <∗ a restrição de < a P \ θ. Então {Mπ | π ∈ P \ θ} é uma decomposição de Morse

<∗ ordenada. Por hipótese de indução MI\θ é uma atrator em MP \θ. MP \I é o repulsor

complementar de MI\θ em MP \θ. Como MP \θ é repulsor em S e MP \I é repulsor em

MP \θ então pela Proposição 1.1.6 MP \I é repulsor em S. Logo MI é atrator em S.

Franzosa mostra em [Fr1] que todo conjunto de Morse é um invariante compacto. Como conseqüência disso podemos restringir decomposições de Morse a conjuntos de Morse e podemos engrossar decomposições de Morse usando conjuntos de Morse. Logo temos a proposição seguinte.

Proposição 1.4.6. Seja D(M) = {Mπ}π∈P uma decomposição de Morse em S e I ∈ I(<).

Então

1. {Mπ}π∈I é uma decomposição de Morse <I-ordenada de MI, onde <I é a restrição de <

a I.

2. {Mπ}π∈P \I∪ MI é uma decomposição se Morse de S.

Como conseqüência da Proposição 1.4.6 temos o corolário seguinte.

Corolario 1.4.7. Se (I, J) ∈ I2(<), então (MI, MJ) é um par atrator-repulsor em MIJ.

1.5 Continuação

A principal propriedade do índice de Conley é a sua invariância por continuação. Ver [Sa1]. Denição 1.5.1. Uma família parametrizada de uxos sobre uma variedade M é uma coleção de de uxos {ϕλ

sobre M × I. Dizemos que S0_{, um conjunto invariante para ϕ}0

t, e S1, um conjunto invariante

para ϕ1

t, estão relacionados por continuação se existe um conjunto invariante isolado S ⊂ M ×I

para Φt tal que S0 = S ∩ {(x, 0)}e S1 = S ∩ {(x, 1)}.

Se N é uma vizinhança isolante para ϕλ

t para todo λ ∈ I, seja S = Inv(N × I) em Φt.

Então S dene uma continuação de S0 para S1.

Como já foi dito, conjuntos relacionados por continuação têm o mesmo índice de Conley. Exemplo 1.5.2. Consideremos a seguinte família de equações diferenciais ordinárias parame-trizadas pela variável λ > 0.

˙x = +y y = +λy − x(x − 1/3)(1 − x)˙

Exibimos o conjunto completo das soluções limitadas Sλ _{destas equações para valores de λ}

próximo de 0 e para valores de λ grandes na Figura 1.1. Para λ > 0 o conjunto das soluções limitadas é um conjunto invariante isolado e a coleção Mλ = {Mλi} é uma decomposição de

Morse de Sλ. Os conjuntos M1

λ, Mλ2 e Mλ3 são os pontos no plano xy (1/3, 0), (0, 0) e (1, 0)

respectivamente.

Franzosa mostra em [Fr3] que existe um parâmetro λ∗ _{para o qual existe uma órbita}

co-nectante de M3

λ∗ para M_λ2∗. Comentaremos sobre este caso mais adiante. Veja 1.2.

O uxo nas Figuras 1.1 e 1.2 pode ser esquematizado como na Figura 1.3. Assim, Sλ_{, λ < λ}∗ _{e S}λ_{, λ > λ}∗ _{são continuações de S}λ∗

.

1.6 Matriz de Conexão

Nesta seção denimos uma matriz de conexão para uma decomposição de Morse. A teoria desenvolvida aqui pode ser encontrada em [Fr1], [Fr2], [Fr3], [MC], [MCR], [Mo], [R1], [R2]. As entradas na matriz de conexão registram a existência de órbitas conectantes em ϕ. Dada uma decomposição D(M) = {Mπ}com m conjuntos de Morse Mπ, a matriz de conexão é uma matriz

M2 λ M 1 λ Mλ3 λ λ grande perto de zero

Figura 1.1: Conjunto das soluções limitadas Sλ.

M2

λ M

1

λ Mλ3

λ = λ∗

Figura 1.2: Conjunto das soluções limitadas Sλ∗.

M2 M1 M3 M2 M1 M3 0 < λ < λ∗ _{λ > λ}∗ M1 M2 M3 λ = λ∗

conjuntos Mπ. Essas aplicações são denidas por seqüências exatas em homologia. Nesta seção,

os índices homológicos são computados com coecientes em um módulo sobre um domínio de ideais principais. Em nossas aplicações, usaremos coecientes em Z. Se não existem órbitas conectantes entre dois dados conjuntos de Morse, então a entrada correspondente da matriz será a aplicação trivial.

Antes de considerarmos uma decomposição de Morse, consideremos o caso de um atrator-repulsor.

1.6.1 Matriz de conexão do Par atrator-repulsor

Nesta seção vamos introduzir a aplicação bordo denida pelo uxo para um par atrator-repulsor. Este conceito é fundamental para a denição de matriz de conexão. Além disso, vamos denir a matriz de conexão para o caso mais simples de decomposição de Morse que é o par atrator-repulsor.

Sejam (A, A∗_{)um par atrator-repulsor em M e N}

0 ⊂ N1 ⊂ N2conjuntos compactos tais que

(N1, N0)é um par-índice para A, (N2, N0) é um par-índice para M, (N2, N1) é um par-índice

para A∗_{. Temos então as aplicações induzidas}

0 //N1/N0 i _//

N2/N0 p _//

N2/N1 //0

e, portanto, temos a seguinte seqüência de complexos de cadeias associada 0 //C∗(N1/N0) i //C∗(N2/N0)

p _//

C∗(N2/N1) //0 (1.1)

A proposição seguinte e sua demonstração podem ser encontradas em [Fr2]. Proposição 1.6.1. Consideremos uma seqüência de complexos de cadeias

0 //C1 i _// C2 p _// C3 //0 tal que • i é injetiva e p ◦ i = 0

• ρ : C2/Im i → C3 é uma aplicação de cadeias denida por p que induz um isomorsmo

em homologia.

Então existe um homomorsmo ∂ : H∗(C3) → H∗(C1) de grau −1 tal que

. . . //_H∗(C1) i _// H(C2) p _// H∗(C3) ∂ _// H(C1) //. . . é exata.

Notemos que a aplicação quociente p : N2/N0 →

N2/N0

N1/N0

≈ N2/N1 dene a aplicação de

ca-deias ρ : C∗(N2/N0, N1/N0) → C∗(N2/N1)que induz um isomorsmo ρ∗ : H∗(N2/N0, N1/N0) →

H∗(N2/N1). Como i é injetiva e p ◦ i = 0 a seqüência de complexos de cadeias (1.1) satisfaz a

Proposição 1.6.1 e, portanto, temos a seqüência exata longa em homologia associada . . . //_H∗(N1/N0) //_H∗(N2/N0) //_H∗(N2/N1) ∂ _//

H∗(N1/N0) //. . .

Segue da invariância do par-índice que . . . //_H(c(A)) i _//

H(c(M )) p //H(c(A∗))∂(A

∗_,A)

//_H(c(A)) //. . . _(1.2) A seqüência exata (1.2) é chamada de seqüência do índice homológico do par atrator-repulsor (A, A∗). Para mais detalhes veja [K] e [Fr1].

Denição 1.6.2. A aplicação ∂(A∗_{, A) : H(c(A}∗_{)) → H(c(A))de grau −1 é chamada aplicação}

bordo denida pelo uxo e a seqüência 1.2 é chamada de seqüência exata do índice homológico do par atrator-repulsor.

A importância da aplicação bordo denida pelo uxo é dada pela seguinte proposição. Proposição 1.6.3. Se ∂(A∗_{, A) 6= 0 então C(A, A}∗_{) 6= 0.}

A idéia da prova é que se C(A, A∗_{) = ∅, então M = A ∪ A}∗ _{e, portanto, H(c(M)) =}

H(c(A)) ⊕ H(c(A∗)). Pela seqüência (1.2) ∂(A∗, A)é a aplicação nula. Assim, se ∂(A∗, A) 6= 0, então C(A, A∗_{) 6= ∅.}

Segue diretamente da Proposição 1.6.3 que C(A, A∗_{) = ∅ implica ∂(A}∗_{, A) = 0. Além disso,}

como (1.2) é exata então H(c(M)) = 0 implica que ∂(A∗_{, A) é um isomorsmo. Note que a}

aplicação ∂(A∗_{, A)contém informação sobre a estrutura do par atrator-repulsor (A}∗_{, A)em M.}

No caso de singularidades hiperbólicas transversais, ∂ conta o número de órbitas conectantes "com orientação".

No caso de usarmos homologia com coecientes Z2, McCord mostra em [MC] que dadas

duas singularidades hiperbólicas A e A∗ _{tais que a variedade instável de A}∗ _{e a variedade}

estável de A são transversais, então a aplicação denida pelo uxo ∂(A∗_{, A) conta o número}

de órbitas conectantes de A∗ _{para A (mod 2).}

Consideremos agora o complexo de cadeias

C∆(M ) = H(c(A)) ⊕ H(c(A∗)) e a aplicação bordo denida pela matriz

∆ =   0 ∂ 0 0  :   H(c(A)) H(c(A∗))  →   H(c(A)) H(c(A∗))  

É fácil ver que ∆ é um aplicação bordo. Fazendo a restrição apropriada em C∆(M) e ∆ denimos complexos de cadeia C∆(A) = H(c(A)) e C∆(A∗) = H(c(A∗)) com aplicações bordo ∆(A) e ∆(A∗_{) respectivamente que, por sua vez, são triviais. Assim, (C∆(A), ∆(A)) =}

(H(c(A)), 0) e (C∆(A), ∆(A)) = (H(c(A∗)), 0) são subcomplexos de C∆(M). Então temos uma seqüência exata curta denida

0 //C∆(A) i //C∆(M ) p //C∆(A∗) //0 (1.3)

onde i é a inclusão e p é a projeção. Esta seqüência é a mesma que

0 //H(c(A)) //iH(c(A)) ⊕ H(c(A∗))p //H(c(A∗)) //0

Sejam H∆(M), H∆(A) e H∆(A∗_{) as homologias dos complexos C∆(M), C∆(A) e C∆(A}∗₎

Passando (1.3) para a homologia obtemos a seguinte seqüência exata em homologia . . . //_H∆(A) i _//

H∆(M ) p //H∆(A∗) ∂ //H∆(A) //. . .

Como ∆(A) = ∆(A∗_{) = 0então H∆(A) = H(c(A)), H∆(A}∗_{) = H(c(A}∗_{)) e ∂ = ∂. Portanto}

temos o seguinte diagrama comutativo de módulos de homologia e aplicações: . . . //_H∆(A) i _// id  H∆(M ) p // Φ  H∆(A∗) ∂ // id  H∆(A) id  //. . . . . . //_H(c(A)) i _// H(c(M )) p //H(c(A∗)) ∂ //H(c(A)) //. . .

Segue do Five Lemma que as aplicações Φ : H∆(M) → H(c(M)) que fazem o diagrama comutar são isomorsmos.

Assim, o complexo (H(c(A)) ⊕ H(c(A∗_{)), ∆) induz uma seqüência exata em homologia}

que é isomorfa a seqüência do índice homológico. Além disso, ∆ contém informações sobre o conjunto de órbitas conectantes C(A∗_{, A), já que ∂(A, A}∗_{) 6= 0implica C(A}∗_{, A) 6= 0. A matriz}

∆é chamada de matriz de conexão do par atrator-repulsor (A, A∗).

1.6.2 Matriz de conexão para decomposições de Morse

O par-índice para um conjunto invariante isolado é generalizado pela ltração-índice para uma ordem admissível em uma decomposição de Morse. Franzosa mostra em [Fr1] que a ltração-índice sempre existe.

Denição 1.6.4. Uma ltração-índice para uma ordem admissível < de D(M) é uma coleção de conjuntos compactos N = {NI}I∈A(<) satisfazendo:

i) Para cada I ∈ A(<), (NI, N∅) é um par-índice para o atrator MI.

ii) Para I1, I2 ∈ A(<), NI1∩I2 = NI1 ∩ NI2 e NI1∪I2 = NI1 ∪ NI2.

A Proposição 1.6.5 mostra que uma ltração-índice determina pelo menos um par-índice para cada conjunto de Morse da decomposição D(M).

Proposição 1.6.5. Seja N uma ltração-índice para a ordem admissível < de D(M). Se J ∈ I(<) e (I, J) é uma decomposição de um intervalo atrator K ∈ A(<), então segue que I ∈ A(<) e (NK, NI) é um par-índice para o conjunto de Morse MJ de D(M).

Demonstração: A propriedade (ii) da Denição 1.6.4 implica que N∅ ⊂ NI ⊂ NK e a

propriedade (i) da Denição 1.6.4 implica que (NI, N∅)e (NK, N∅)são pares índices para MI e

MK respectivamente. Pelo Corolário 1.4.7 (MI, MJ) é um par atrator repulsor em MK. Segue

da Proposição 1.3.6 que (NK, NI) é um par-índice para MJ.

Pelas Proposições 1.4.5 (1) e 1.6.5 a ltração-índice dene um par-índice para cada conjunto de Morse da ordem admissível. Além disso, dados dois pares (NK, NI) e (NK, NI) para MJ,

existe uma equivalência de homotopia entre os espaços NK/NI e NK/NI.

Sejam I, J ∈ I(<) e C(NK/NI, Z) as cadeias singulares do espaço índice NK/NI com

coecientes em Z. Note que poderíamos escolher coecientes em qualquer módulo G. Denimos então o complexo de cadeias CN(c(MJ); Z) também denotado por C(c(MJ))que é naturalmente

isomorfo a C(NK/NI, Z). Passando para a homologia em C(c(MJ)) obtemos H∗(c(MJ); Z), a

homologia singular com coecientes em Z do índice de Conley c(MJ) de MJ.

Fransoza mostra em [Fr1] que, dada uma ltração-índice N para uma ordem admissível <, existe uma coleção de complexos de cadeias, que denotamos por CN(<), e aplicações

satisfa-zendo:

1. Para cada I ∈ I(<) existe um complexo de cadeias C(I); 2. Dados (I, J) ∈ I2(<) existem aplicações cadeia

0 //C(c(MI)) i(I,IJ )_//

C(c(MIJ)) p(IJ,J )_//

C(c(MJ)) //0 (1.4)

com a propriedade que

(i) i(I, IJ) é injetiva e p(IJ, J)i(I, IJ) = 0.

(ii) A aplicação cadeia p(IJ, J) dene ρ : C(c(MIJ))

Im i(I, IJ) → C(c(MJ)) que induz um

(iii) Se I e J são não comparáveis, então p(JI, I)i(I, IJ) = id|C(c(MI))

(iv) Se (I, J, K) ∈ I3(<) então o diagrama abaixo comuta

C(c(MI)) C(c(MIJ)) C(c(MJ)) C(c(MIJ K)) C(c(MJ K)) C(c(MK)) i p i i i p p p

Uma coleção de complexos com as propriedades de CN(<)é chamada de trança de complexos

de cadeias.

Pela Proposição 1.6.1 temos a seqüência exata longa de índices homológicos do par atrator-repulsor (MI, MJ): . . . //_H(c(MI))i(I,IJ )_// H(c(MIJ)) p(IJ,J )_// H(c(MJ)) ∂(J,I)_// H(c(MI)) //. . . (1.5)

com as seguintes propriedades:

(i) (1.5) independe da ltração-índice N

(ii) Se I e J são não comparáveis então p(JI, I)i(I, IJ) = id|H(c(MI))

(iv) Se (I, J, K) ∈ I3(<) então o diagrama abaixo comuta

Assim, passando para a homologia, uma trança de complexos de cadeias dene o que chamamos de trança de módulos graduados.

O homomorsmo ∂(J, I) : H(c(MJ)) → H(c(MI)) é a aplicação bordo ou aplicação de

conexão do par adjacente (MI, MJ). ∂(J, I) é trivial quando não existem órbitas conectantes

de MJ para MI. De fato, se não existem órbitas conectando MI a MJ então o conjunto

H(c(MI)) H(c(MIJ)) H(c(MJ)) H(c(M_{IJ K})) H(c(MJ K)) H(c(M_K)) i p i i p p H(c(MK)) H(c(MI)) H(c(MIJ)) H(c(MJ)) H(c(MIJ K)) ∂ ∂ ∂ i i p ∂ ∂ i i p ∂

H(c(MIJ)) como soma direta de H(c(MI)) e H(c(MJ)). Segue que a aplicação bordo ∂(J, I)

é o homomorsmo trivial. Portanto, uma aplicação bordo não trivial implica na existência de uma órbita conectante.

Dado um intervalo I ⊂ P , denimos

C∆(I) = ⊕π∈IH(c(Mπ))

Para I, J ∈ I(<) seja ∆(J, I) : C∆(J) → C∆(I) a aplicação dada pela matriz      ... · · · ∆(π0, π) · · · ...      π∈I,π0_∈J

Então ∆(I) : C∆(I) → C∆(I) é da forma:      ... · · · ∆(π0, π) · · · ...      π,π0_∈I :      ... H(c(Mπ)) ...      π∈I →      ... H(c(M π)) ...      π∈I

tal que cada ∆(π0_{, π) é uma aplicação de H(c(M}

π0))em H(c(M_π))localizada na π-ésima linha

e na π0_{-ésima coluna da matriz.}

Denição 1.6.6. • Dizemos que ∆(I) é triangular superior se ∆(π0_{, π) = 0 quando π ≮}

π0.

• ∆(I) é uma aplicação bordo se cada ∆(π0_{, π) tem grau -1 e ∆(I)}2 _{= 0.}

Se ∆(P ) é uma aplicação bordo triangular superior, então sua restrição ∆(I) também é, para qualquer intervalo I. De fato, é claro que ∆(I) é triangular superior e de grau -1. Além disso, dado I ⊂ P , considere os intervalos J e K tais que J ∪ I ∪ K = P e (I, J, K) é uma tripla de intervalos. Logo, podemos decompor ∆ como

∆(P ) =      ∆(J ) ∆(I, J ) ∆(K, J ) 0 ∆(I) ∆(K, I) 0 0 ∆(K)     

Na equação ∆(P )2 _{= 0a composição da linha do meio com a coluna do meio nos dá ∆(I)}2 _{= 0.}

Logo, dado I ∈ I(<), (C∆(I), ∆(I)) é um complexo de cadeias. Denotamos por H∆(I) a homologia desse complexo.

Assim, dados I, J ∈ I2(<) com a inclusão e a projeção óbvias temos uma seqüência exata

curta de complexos de cadeia

0 //C∆(I) i(I,IJ )//C∆(IJ )p(IJ,J )//C∆(J ) //0 onde i é a inclusão e p é a projeção.

Proposição 1.6.7. As aplicações i(I, IJ) e p(IJ, J) são aplicações de cadeias. Demonstração: Podemos considerar i e p como sendo da forma

i =   id 0  : C∆(I) →   C∆(I) C∆(J )  

  ∆(I) ∆(J, I) 0 ∆(J )  :   C∆(I) C∆(J )  →   C∆(I) C∆(J )  

Fazendo tais identicações temos i∆(I) = ∆(IJ)i e portanto i é um aplicação de cadeias. A demonstração para p é análoga.

Proposição 1.6.8. Dada uma aplicação bordo triangular superior ∆(P ) : ⊕π∈PH(c(Mπ)) → ⊕π∈PH(c(Mπ))

a coleção de complexos (C∆(I), ∆(I)), I ∈ I(<) e as aplicações de cadeias i(I, IJ) e p(IJ, J) para (I, J) ∈ I2(<) é um uma trança de complexos de cadeias.

Passando para a homologia obtemos então uma trança de módulos graduados . . . //_H∆(I) i _//

H∆(IJ ) p //H∆(J )∆(J,I)//H∆(I) //. . .

Uma pergunta natural é se existe uma aplicação bordo triangular superior ∆(P ) tal que H∆(P ) seja isomorfo a H(c(M)).

Denição 1.6.9. Seja D(M) = {Mπ}π∈P uma decomposição de Morse de M com ordem

admissível < e seja ∆ = ∆(P ) : ⊕π∈PH(c(Mπ)) → ⊕π∈PH(c(Mπ))tal que

(1) ∆ é uma aplicação bordo triangular superior.

(2) Para cada intervalo I ⊂ P existe um homomorsmo Φ(I) : H∆(I) → H(c(MI))

satisfa-zendo as seguintes condições:

 Dado π ∈ P , Φ(π) : H∆(π) = H(c(Mπ)) → H(c(Mπ))é a identidade;

 para cada (I, J) ∈ I2(<) o diagrama seguinte comuta:

. . . //_H∆(I) i _// Φ(I)  H∆(IJ ) p // Φ(IJ )  H∆(J ) ∆(J,I) // Φ(J )  H∆(I) Φ(I)  //. . . . . . //_H(c(MI)) i _// H(c(MIJ)) p _// H(c(MJ)) ∂(J,I)_// H(c(MI)) //. . .

Então ∆ é chamada matriz de conexão de D(M). Denotamos as matrizes de conexão por (CM(D(M), <).

Por indução e pelo Five Lemma segue que para todo intervalo I as aplicações Φ(I) : H∆(I) → H(c(MI))que fazem o diagrama comutar, são isomorsmos. A condição (2) diz que

se J = π0 _{e I = π então ∆(π}0_{, π) = ∂(π}0_{, π), isto é, as entradas da matriz de conexão cujas}

colunas e linhas correspondem a conjuntos de Morse adjacentes são aplicações bordo denidas pelo uxo.

Note que a diagonal da matriz de conexão é zero. Além disso, a matriz de conexão é triangular superior, já que não há órbitas conectantes de um conjunto de Morse para um outro que esteja mais alto na ordem do uxo.

As entradas correspondentes a conjuntos adjacentes são calculadas pela seqüência exata em homologia. As outras entradas podem ser calculadas construindo seqüências exatas de triplas escolhidas apropriadamente. Mais especicamente, a informação usada para denir ∆(π0

, π) é a informação produzida pelas aplicações bordo ∂(J, I) denidas pelo uxo satisfazendo π0 _{∈ J}

e π ∈ I. Não trataremos deste problema em detalhes neste trabalho.

O Exemplo clássico 1.6.10 está em [Fr1] é uma ilustração simples da construção destas matrizes de conexão.

Exemplo 1.6.10. Voltemos ao Exemplo 1.5.2. Consideremos o caso λ = λ∗_{. Lembremos que,}

qualitativamente, o uxo pode ser representado como na Figura 1.4. O conjunto Sλ∗ consiste

de 3 singularidades juntamente com as órbitas que conectam as mesmas. A Figura 1.5 ilustra uma ltração-índice para essa ordem admissível.

O índice de Conley de cada um dos conjuntos de Morse é calculado escolhendo-se um par-índice apropriado da ltração-índice. Temos que

• H0(c(M1)) = Z , H1(c(M1)) = 0,

• H0(c(M2)) = 0, H1(c(M2)) = Z,

M1

M2

M3

Figura 1.4: Representação qualitativa de Sλ∗.

• H0(c(M12)) = H1(c(M12)) = 0,

• H0(c(M23)) = 0, H1(c(M23)) = Z ⊕ Z,

• H0(c(M123)) = 0, H1(c(M123)) = Z,

A ordem do uxo é 1 <ϕ 2, 1 <ϕ 3 e 2 <ϕ 3.

Denamos a matriz de conexão. Como ∆ é triangular superior, então ∆(j, i) = 0 se j < i ou j = i. Note que os pares de intervalos (1, 2) e (2, 3) são adjacentes. Logo, as aplicações ∆(2, 1) e ∆(3, 2) são denidas pelo uxo, ou seja ∆(2, 1) = ∂(2, 1) e ∆(3, 2) = ∂(3, 2). Temos

0 //H1(c(M12)) p _// H1(c(M2)) ∂(2,1)_// H0(c(M1)) i _// H0(c(M12)) p _// 0 que é equivalente a 0 //_Z ∂(2,1)//_Z //0 Logo ∆(2, 1) é um isomorsmo. Ainda,

0 //H1(c(M3)) //H1(c(M23)) //H1(c(M3)) ∂(3,2)_//

H0(c(M2)) //0

que é equivalente a

0 //_Z //_{Z ⊕ Z} //_Z∂(3,2)//0

M1 M2

M3

N (∅) N (1) N (12) N (123)

Figura 1.5: Filtração-índice.

tem dimensão 1 então o posto de ∆ é 1. Neste exemplo, ∆2 _{= 0 e posto de ∆ = 1 não ajudam}

a determinar a. Veja 1.6. Vamos então considerar as seqüências de triplas de intervalos. Primeiramente, consideremos o complexo (C∆(23), ∆(23))=(H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)), ∆(23))

onde ∆(23) =   0 ∆(3, 2) 0 0  

é a aplicação trivial. Então H∆(23) = H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)). Se ∆ é uma matriz de

cone-∆ =





















F

M

0

≈

a

F

M

0

0

0

F

M

0

0

0





















xão então devemos ter o isomorsmo φ(23) : H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)) → H(c(M23)) tal que o diagrama (1.6) comuta H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)) H(c(M3)) k k H∆(23) −→ H∆(3)p ↓_φ(23) ↓_id H(c(M23)) p −→ H(c(M3)) (1.6)

Consideremos agora o complexo C∆(123) = H(c(M1)) ⊕ H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)) com

apli-cação bordo ∆. Como ∆ é matriz de conexão então a seqüência exata curta de complexo de cadeias

0 //C∆(1) i //C∆(123) p //C∆(23) //0 que é equivalente a

0 //H(c(M1)) //H(c(M1))⊕H(c(M2))⊕H(c(M3)) //H(c(M3)) ⊕ H(c(M2)) //0

induz uma seqüência exata em homologia

0 //H∆(1) i //H∆(123) p //H∆(23) ∆ //H∆(1) //0 onde H∆(1) = H(c(M1)), H∆(23) = H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)). Logo,

∆ = ∆(2, 1) + ∆(3, 1) : H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)) → H(c(M1))

e como ∆ é matriz de conexão o diagrama seguinte comuta H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)) ∆(2,1)+∆(3,1) −→ H(c(M1)) k k H∆(23) −→∆ H∆(1) ↓_φ(23) ↓_id H(c(M23)) ∂(23,1) −→ H(c(M1)) (1.7)

α

Figura 1.7: Gerador de H(c(M3)).

u1

u2

Figura 1.8: Imagem do gerador de H(c(M3)) por φ(23).

Vamos agora denir ∆(3, 1). Um par-índice para M3 é (N(123), N(12)). Tomemos α um

gerador de H(c(M3)). Veja Figura 1.7. Para fazer o diagrama 1.6 comutar é necessário que

p ◦ φ(23)(α) = id ◦ p(α), ou seja, p ◦ φ(23)(α) = α. A Figura 1.9 facilita a visualização do diagrama 1.6. Observando 1.9 vemos que existem duas escolhas possíveis para φ(23)(α) em H(c(M23)) que são u1 e u2. Agora veja Figura 1.8. Como o diagrama 1.7 é comutativo,

então ∆(3, 1)(α) = ∆ ◦ φ(23)(α). A Figura 1.10 facilita a visualização do diagrama 1.7. Se φ(23)(α) = u1então ∆(3, 1) = 0. Se φ(23)(α) = u2então ∆(3, 1)(α) é um gerador de H(c(M1))

e, portanto ∆(3, 1) é um isomorsmo. Portanto existem duas matrizes de conexão para esta decomposição de Morse.

Como todos os Z-módulos são graduados, então podemos pensar numa seqüência de ma-trizes ∆k que levam a homologia de grau k na homologia de grau k − 1. Frequentemente os

H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)) −→ H(c(M3)) ↓φ(23) ↓id H(c(M23)) p −→ H(c(M3)) ⊕

Figura 1.9: Esquema para visualização de (1.6).

H(c(M2)) ⊕ H(c(M3)) −→ H(c(M1)) ↓φ(23) ↓id H(c(M23)) p −→ H(c(M1)) ⊕

∆(π0, π)podem ser vistas como números inteiros e ∆ é apenas uma matriz numérica no sentido usual.

Seja CM(D(M), <) o conjunto das matrizes de conexão com a ordem parcial <. A ordem que estamos interessados é a ordem denida pelo uxo <ϕ. As outras ordens são importante

na teoria de continuação para matrizes de conexão. Ver [Fr2], [Fr4], [R1]. Franzosa mostra em [Fr3] a existência das matrizes de conexão.

Teorema 1.6.11. Seja (D(M), <) uma decomposição de Morse em M. Então CM(D(M ), <) 6= ∅.

A matriz produz informações sobre a estrutura de M (ver [Fr3]).

Proposição 1.6.12. Se ∆ ∈ CM(D(M), <ϕ), π e π0 são adjacentes na ordem do uxo, e

∆(π0, π) 6= 0, então C(Mπ0, M_π) 6= ∅.

Demonstração: ∆(π0, π) 6= 0 implica π <ϕ π0. Segue da denição de ordem do uxo

que existe uma seqüência de elementos distintos P : π = π0, . . . , πn = π0 com C(Mπj, Mπj−1) 6=

∅para cada j = 1, . . . , n. Como π e π0 _{são adjacentes na ordem do uxo então n = 1, ou seja,}

C(Mπ, Mπ0) 6= ∅.

Observação 1.6.13. Suponha que para alguma matriz de conexão em CM(D(M), <ϕ) a

composição ∆(π0_{, π)∆(π}00_{, π}0_{) é não trivial e que π e π}0 _{bem como π}0 _{e π}00 _{são adjacentes na}

ordem do uxo. Pela Proposição 1.6.12 ambos C(Mπ00, M_π0)e C(M_π0, M_π)são não vazios. Além

disso, se Π := {π, π0_{, π}00_{}, então ∆(Π)}2 _{6= 0. Segue que Π não é um intervalo na ordem do}

uxo. Portanto mais estrutura está presente. Isto implica que C(Mπ00, M_π) 6= ∅ e, além disso

que existe um intervalo I na ordem do uxo tal que π /∈ I e ambos C(Mπ00, M_I)e C(M_I, M_π)

são não vazios.

Algumas decomposições de Morse têm várias matrizes de conexão. Se a ordem parcial de uma decomposição é fraca, então existe um grande número de pares adjacentes e de intervalos. Por outro lado, se a ordem parcial é muito forte, existirão mais matrizes de conexão devido a

Mπ00

Mπ

Mπ0 MI

Figura 1.11: ∆(Π)2 _{6= 0 implica que Π não é um intervalo.}

falta de conhecimento da ordem do uxo. Portanto, a não unicidade da matriz de conexão está algumas vezes ligada ao uso de uma ordem parcial muito forte. No entanto, mesmo usando a ordem do uxo, podem existir várias matrizes de conexão. Isto pode ser uma conseqüência da ocorrência de conexões instáveis entre os conjuntos de Morse, veja Exemplo 1.5.2.

No caso de uma decomposição de Morse com a ordem do uxo tal que os conjuntos de Morse são singularidades hiperbólicas com variedades estáveis e instáveis transversais, Reineck mostrou em [R1] que a matriz de conexão é única.

Teorema 1.6.14 (Reineck). Suponha que Ws_(M

π)e Wu(Mπ0)se interceptam transversalmente

para π, π0 _{∈ P. Então a matriz de conexão ∆ considerando-se a ordem parcial determinada}

pelo uxo é única.

Demonstração: Sejam π e π0 _{∈ P tais que π <} ϕ π0.

Suponhamos primeiramente que π e π0 _{são adjacentes em P . Então a aplicação ∆(M}

π, Mπ0)

é denida pela seqüência

. . . //_{Hq(c(Mπ∪ C(Mπ, Mπ}0) ∪ M_π0)) //H_q(c(M_π0)) //H_q−1(c(M_π)) //. . .

e, portanto, é única.

Suponhamos agora que π e π0_{não são adjacentes e mostremos que ∆(M}

π, Mπ0) = 0. Como π

e π0_{não são adjacentes então existe π}00_{, com π}0 _<

c(Mπ00) = Σj e c(M_π0) = Σk. Como π0 <_ϕ π00 e Ws(M_π0)intercepta Wu(M_π00)transversalmente

temos que i < j, ou seja, i ≤ j − 1. Analogamente, j ≤ k − 1, então i ≤ k − 2. A aplicação ∆(Mπ, Mπ0)é uma aplicação de grau −1 de H_∗(Σk, pt) em H_∗(Σi, pt) onde i ≤ k − 2. A única

aplicação possível é ∆(Mπ, Mπ0) = 0.

Assim, cada aplicação ∆ é ou zero ou denida unicamente pelo uxo.

1.6.3 Matriz de Conexão em uxos de Morse

Seja M uma variedade Riemanniana compacta suave de dimensão n e ϕ o uxo gradiente de uma função de Morse f : M → R. As referências para esta seção são [F2], [M2] e [Sa1]. É claro que f decresce nas órbitas de ϕ e as singularidades de ϕ são os pontos críticos de f. Como f é de Morse, então todas as singularidades de ϕ são hiperbólicas, ou seja, a Hessiana de f é não singular em todos os pontos críticos de f. Dado x uma singularidade hiperbólica em M, sejam Ws_{(x) = {y ∈ M | lim}

s→∞ϕs(y) = x} e Wu(x) = {y ∈ M | lims→−∞ϕs(y) = x} as variedades

estável e instável de x. Como f é de Morse, as variedades estável e instável são transversais e a imagem por f de quaisquer duas singularidades distintas é também distinta.

Se x ∈ M é uma singularidade hiperbólica então sabemos que existem coordenadas locais (a1, a2, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn−k) numa vizinhança de x tais que

f (a1, a2, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn−k) = f (x) − a21− a 2 2− · · · − a 2 k+ b 2 1 + b 2 2· · · + b 2 n−k

O inteiro k é chamado de índice de Morse de x e coincide com a dimensão de Wu_{(x). Denotemos}

por ind(x) o índice de Morse de x.

Seja D(M) = {Mπ}π∈P uma decomposição de Morse <-ordenada de M tal que cada Mπ é

uma singularidade hiperbólica de ϕ.

Então o índice de Conley de cada conjunto é o tipo de homotopia de uma esfera pontuada Σk, onde k é a dimensão da variedade instável de x.

Vamos agora fazer uma construção que foi formalizada por Floer no caso gradiente, mas que já estava implícita em teoria de Morse. Para mais detalhes ver [Sa2] e [M1]. Primeiramente, escolhemos uma orientação para o espaço vetorial Eu_{(x) = T}

de f e denotamos por hxi o par consistindo de um ponto crítico x e sua orientação. Para todo k = 0, 1, . . . , n denotamos Ck = M x Zhxi

onde x varia entre todos os pontos críticos de índice k. Como f é uma função de Morse, então Wu_{(x) ∩ W}s_{(y) tem dimensão 1 e consiste de um número nito de órbitas se}

ind(x)-ind(y) = 1. Neste caso, podemos denir um inteiro n(x, y) associando um número +1 ou −1 a todas as órbitas conectantes e considerando a soma. Seja γ(s) uma órbita conectante com lims→−∞γ(s) = x e lims→∞γ(s) = y. Então hxi induz uma orientação no complementar

ortogonal Eu

γ(x)de v = lims→−∞˙γ(s)| ˙γ(s)|−1em Eu(x). No caso em que ind(x) = k e ind(y) =

k − 1, o uxo tangente induz um isomorsmo entre Eu

γ(x)e Eu(y) e denimos nγ como sendo

+1ou −1 de acordo com o fato de o isomorsmo preservar a orientação ou reverter a orientação respectivamente. Denimos então

n(x, y) =X

γ

nγ

onde a soma varia entre todas as órbitas de ϕ que conectam x a y. Então o operador bordo ∂_kc : Ck → Ck−1 do complexo de cadeias, conhecido como operador bordo de Witten, é denido

como

∂chxi =X

y

n(x, y)hyi

onde a soma varia sobre todas as singularidades de índice k − 1. Denotemos este complexo de cadeias graduado de Morse por

(Zhcritf i, ∂c)

Teorema 1.6.15 (R.Thom, S. Smale, J. Milnor, C. Conley, E. Witten). ∂c

k◦ ∂k+1c = 0 e o

módulo de homologia H(C) = Ker∂c

k/Im∂k+1c é isomorfo ao módulo de homologia do índice de

Conley H(c(M)).

Mostremos agora que o operador bordo de Witten ∂c _{representa um caso especial de matriz}

de conexão. Uma conseqüência deste fato é que o Teorema 1.6.15 segue dos trabalhos de Franzosa [Fr1], [Fr3] e [Mo].

Se M é uma variedade orientada então o conjunto de nível Mc = {x ∈ M | f (x) = c}

é uma subvariedade de M para todo valor regular c. Mais precisamente, uma base ξ2, . . . , ξn

de TxMc é positivamente orientada se −∇f(x), ξ2, . . . , ξn dene uma base positiva para TxM.

Além disso, a orientação hxi de Eu_{(x) = T}

xWu(x)induz uma orientação em Es(x) = TxWs(x),

pois TxM = Eu(x) ⊕ Es(x). Segue que a esfera Wcu(x) = Wu(x) ∩ Mc herda uma orientação de

Wu_{(x) e a esfera W}s

c(y) = Ws(y) ∩ Mc herda uma orientação de Ws(y). O inteiro n(x, y) no

operador bordo de Witten coincide com o número de intersecção de Wu

c(x) e Wcs(y) em Mc.

Descrevemos então uma matriz de conexão para o caso de um uxo Morse gradiente. Para cada ponto crítico x de f, seja (Nx, Lx) um par-índice para x. Se ind(x) = k então uma

orientação de Eu_{(x) = T}

xWu(x) determina um gerador de Hk(Nx, Lx; Z) ∼= Z. Então o

Z-módulo Ck pode ser identicado com

Ck= ⊕xHk(Nx, Lx; Z)

onde a soma varia entre todos os pontos críticos de índice k. Seguindo Floer denimos

M (x, y) = Wu(y) ∩ Ws(x)

união das órbitas conectando x a y. Esse conjunto é uma subvariedade de M de dimensão ind(x)-ind(y) já que ϕ é Morse. Além disso, se ind(x)-ind(y) = 1

S(x, y) = M (x, y) ∪ {x, y}

é um conjunto invariante isolado. Seja (N2, N0) um par-índice para S(x, y) e denamos N1 =

N0∪ (N2 ∩ Mc), onde f(y) < c < f(x). Então (N2, N1) é um par-índice para x e (N1, N0) é

um par-índice para y. Denamos o homomorsmo

∆k(x, y) : Hk(Nx, Lx) → Hk−1(Ny, Ly)

Hk(Nx, Lx) //Hk(N2, N1) ∂ _//

Hk−1(N1, N0) //Hk−1(Ny, Ly)

onde o primeiro e o terceiro isomorsmos são induzidos pela equivalência de homotopia entre dois pares índices de um mesmo conjunto invariante isolado. Isto determina um homomorsmo

∆k: Ck→ Ck−1

que é um caso especial de matriz de conexão.

Mostremos que este operador coincide com o operador de Milnor e Witten. Lema 1.6.16. ∂c _{= ∆.}

Demonstração: Alterando a função f fora de uma vizinhança isolante de S(x, y), podemos assumir que x e y são os únicos pontos críticos em f−1_{(a, b), onde a = f(y) e}

b = f (x). Mais precisamente, seja S o conjunto de todos os pontos críticos z 6= x com ind(z) ≥ ind(x) juntamente com suas órbitas conectantes. Então S é um repulsor e, portanto, existe uma função g : M → R tal que N = g−1_{([0, ∞)) é uma vizinhança isolante para S e}

dg(z)∇f (z) > 0 para z ∈ ∂N = g−1(0).

Seja ε sucientemente pequeno e ρ : R → [0, 1] satisfazendo ρ(r) = 0 para r ≤ 0 e ρ(r) = 1 para r ≥ ε. Denimos fC : M → R

fC(z) = f (z) + Cρ(g(z))

Então fC tem os mesmos pontos críticos que f para todo valor positivo C. Tomando ε

suci-entemente pequeno podemos assumir que g(z) ≥ ε para todo z ∈ S e portanto ρ(g(z)) = 1. Então dado z ∈ S, escolhemos C > b − inf(f) e então temos

fC(z) = f (z) + C > f (z) + b − inf (f ) > b

e, portanto, S ⊂ f−1

C ((b, ∞)). Um argumento análogo pode ser usado para singularidades

z 6= y com ind(z) ≤ ind(y). Tais alterações não afetam os homomorsmos ∂c e ∆.

Nx = {z ∈ M | f (ϕ−T(z)) ≤ b + ε, f (z) ≥ c}

Ny = {z ∈ M | f (ϕT(z)) ≥ a − ε, f (z) ≤ c}

Lx = {z ∈ Nx| f (z) = c}

Ly = {z ∈ Ny| f (ϕT(z)) = a − ε}

Então um trio-índice para o par atrator-repulsor y, x no conjunto invariante isolado S(x, y) é dado por

N2 = Ny∪ Nx, N1 = Ny ∪ Lx, N0 = Ly∪ Lx\ Ny

Note que Nx pode ser contraído para Wu(x) ∩ {f ≥ c} tomando T → ∞. Da mesma

forma Ny é uma vizinhança tubular de Ws(y) ∩ {f ≤ c} cuja largura converge a zero quando

T → ∞. Como Wu_(x) e Ws_(y) se intersectam transversalmente, então N

y ∩ Wu(x) ∩ {f = c}

é constituído por nitas componentes V1, . . . , Vm, cada uma contendo um único ponto zj ∈

M (x, y) ∩ Vj. Mais precisamente, seja Dk−1 a bola fechada em Rk−1. Existe um difeomorsmo

ψy : Ny → Dk−1× Dn−k+1

tal que

ψy(Ly) = ∂Dk−1× Dn−k+1

ψy(Ws(y) ∩ Ny) = {0} × Dn−k+1

ψy(Vj) = Dk−1× {θj}

onde θj ∈ ∂Dn−k+1. Em particular, Vj é uma k − 1 variedade com bordo Wj = Vj ∩ Ly,

difeomorfa a Dk−1 _{via ψ} j = π1◦ ψy   Vj : Vj → D k−1_{. A aplicação π} 1 ◦ ψy : Ny → Dk−1 induz um isomorsmo em homologia Hk−1(Ny, Ly) ∼= Hk−1(Dk−1, ∂Dk−1) ∼= Hk−1(Vj, Wj)

A orientação dada em Eu_{(y) determina um gerador da homologia α ∈ H}

k−1(Ny, Ly) ∼= Z

é determinada pela orientação de TzjVj herdada pela orientação de E

u_{(y) via o isomorsmo}

denido pelo uxo TzjVj → E

u_(y) que pode ou não coincidir com aquela herdada de Wu_(x)

via a injeção

TzjVj = TzjW

u_{(x) ∩ ∇f (z}

j)⊥ ⊂ TzjW

u_(x)

(tomando −5f(zj)como primeiro vetor da base). Assim, ambas as orientações coincidem se e

somente se nj = 1, onde nj ∈ {−1, +1}é o sinal associado à órbita conectante γj(s) = ϕs(zj).

Escolhemos uma triangulação para as k − 1-variedades Vj e estendemos a uma triangulação

para a k variedade Wu_{(x)∩{f ≥ c}com bordo W}u_{(x)∩{f = c}. Juntamente com a orientação}

de Wu_{(x), isto determina um gerador}

βj ∈ Hk(Wu(x) ∩ Nx, Wu(x) ∩ Lx) ∼= Hk(Nx, Lx)

A classe de homologia de ∂βj ∈ Hk−1(Wu(x) ∩ Lx, Wu(x) ∩ Lx\ Vj) ∼= Hk−1(Vj, Wj) é

representada pela triangulação original de Vj junto com a orientação herdada de Wu(x) e,

portanto, coincide com njαj. Pelo isomorsmo Hk−1(Ny, Ly) ∼= Hk−1(Vj, Wj)obtemos

∆β =

m

X

j=1

njα = n(x, y)α ∈ Hk−1(Ny, Ly).

Detalhes da demonstração do Teorema 1.6.15 bem como uma discussão sobre sua história se encontram em [Sa2].

Demonstração: [do Teorema 1.6.15] Para j ≤ k, seja Skj a união dos conjuntos M(x, y)

de todos os pares de pontos críticos de f com j ≤ ind(y) ≤ ind(x) ≤ k. Estes conjuntos são compactos, já que o uxo gradiente é do tipo Morse-Smale.

Temos que o conjunto Skj é um invariante isolado para j ≤ k. Em particular, Sn0 = M e Skk

são todos os pontos críticos de índice k. Então existe uma ltração-índice N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nn

Segue do Lema 1.6.16 temos que existe um diagrama comutativo Ck+1  ∂c k+1 // Ck  ∂_kc _// Ck−1  Hk+1(Nk+1, Nk) ∂k+1 _// Hk(Nk, Nk−1) ∂k// Hk−1(Nk−1, Nk−2)

onde os isomorsmos verticais são dados pela invariância do par-índice. Segue que ∂_kc ◦ ∂c

k+1 = 0.

Como Hj(Nk, Nk−1) = 0para j 6= k, segue da seqüência exata em homologia que a aplicação

induzida pela inclusão Hj(Nk) → Hj(Nk+1) é um isomorsmo para j 6= k, k + 1. Isso mostra

Hj(Nk) → Hj(M )é um isomorsmo para j < k e Hj(Nk) = 0 para j > k. A última igualdade

mostra que no diagrama comutativo

0  0 //Hk(Nk) //Hk(Nk, Nk−1) ∂ // ∂ ))S S S S S S S S S S S S S S Hk−1(Nk−1)  Hk−1(Nk−1, Nk−2)

a seqüências horizontais e verticais são exatas. Em particular o homomorsmo Hk−1(Nk−1) →

Hk−1(Nk−1, Nk−2)é injetivo e, portanto, o núcleo dos homomorsmos bordo coincidam. Estes

são isomorfos a ambos Hk(Nk)e Ker ∂kc ⊂ Ck. Concluímos que a seqüência exata em homologia

0 //Hk+1(Nk+1, Nk) ∂k+1 _//

Hk(Nk) ////Hk(Nk+1) //0

é isomorfa à seqüência exata

0 //Ck+1 ∂c k//Ker∂c k+1 //Hk(M ) //0 e portanto Hk(M ) ≈ Ker ∂c k Im ∂c k+1 .