Matriz Curvatura e as Espinodais

A natureza da intera¸c˜ao nucleon–nucleon resulta em uma equa- ¸

c˜ao de estado do tipo Van der Waals, isto ´e, a for¸ca nuclear numa descri¸c˜ao de campo m´edio possui uma parte que ´e t´ıpica de atra¸c˜ao de longo alcance e uma outra repulsiva de curto alcance [66]. Assim, como acontece com o g´as fenomenol´ogico de Van der Waals, tamb´em ´e esperado uma transi¸c˜ao de fases l´ıquido-g´as na mat´eria nuclear [66]. Esta transi¸c˜ao de fases est´a relacionada com a concavidade anˆomala da densidade de energia (em T = 0), isto ´e, a configura¸c˜ao de uma fase para o sistema n˜ao ´e energicamente favorecida e, desta forma, a mais favor´avel ser´a a que separa o sistema em duas fases com densidades diferentes. Este mecanismo de separa¸c˜ao de fases tem sido estudado em detalhes em diferentes trabalhos [61–73], inclusive em uma an´alise

comparativa entre duas diferentes abordagens te´oricas [63]: a sepa- ra¸c˜ao de fases no equil´ıbrio e a decomposi¸c˜ao espinodal [63, 66, 67]. A primeira descri¸c˜ao corresponde `a constru¸c˜ao de Gibbs no equil´ıbrio [63–65]. A segunda, por sua vez, considera que, se o sistema for trans- portado para o interior da regi˜ao espinodal numa rea¸c˜ao muito r´apida para que o equil´ıbrio global seja atingido, a sua evolu¸c˜ao ser´a condu- zida por instabilidades locais em vez da constru¸c˜ao Gibbs, que se d´a no equil´ıbrio [63, 67]. Neste trabalho, trataremos apenas da decom- posi¸c˜ao espinodal. No que se refere ao fenˆomeno fora do equil´ıbrio, a decomposi¸c˜ao espinodal n˜ao fornece uma medida quantitativa direta do fracionamento de isospin final depois da separa¸c˜ao de fases. C´alculos de transporte devem ser considerados para uma descri¸c˜ao da dinˆamica do sistema, portanto, a decomposi¸c˜ao espinodal que ser´a apresentada aqui ´e apenas uma aproxima¸c˜ao. Foi, no entanto, mostrado em c´alculos expl´ıcitos de transporte que a instabilidade inicial domina amplamente a dinˆamica subsequente [66]. Este resultado d´a credibilidade `a descri- ¸

c˜ao do mecanismo de separa¸c˜ao atrav´es da decomposi¸c˜ao espinodal. A formula¸c˜ao matem´atica que apresentaremos nesta se¸c˜ao pode ser es- tendida para o mecanismo de separa¸c˜ao de fases atrav´es da constru¸c˜ao de Gibs. Embora isto n˜ao seja feito no presente trabalho, ´e interes- sante destacar que a compara¸c˜ao da constru¸c˜ao de Gibs (no equil´ıbrio) com a decomposi¸c˜ao espinodal (fora do equil´ıbrio) pode ser feita no diagrama de fases. A referˆencia [63] mostra que, para a mat´eria nu- clear assim´etrica, as dire¸c˜oes de instabilidade nas duas descri¸c˜oes s˜ao muito pr´oximas e predominantemente isoescalares, isto ´e, as flutua¸c˜oes na densidade bariˆonica s˜ao dominantes.

O diagrama de fases para mat´eria sim´etrica foi estudado deta- lhadamente na referˆencia [61]. Para o caso da mat´eria assim´etrica, o problema ´e mais complexo e envolve um grau de liberdade adicional,

o isospin. Neste sistema, ´e esperado tamb´em observar efeitos espec´ıfi- cos, como o j´a citado fracionamento de isospin, que tem importantes implica¸c˜oes na f´ısica nuclear [66]. Nesta se¸c˜ao, trataremos do m´etodo de investiga¸c˜ao das instabilidades apenas para mat´eria infinita, isto ´e, o tamanho do sistema ´e ignorado e, portanto, os efeitos de borda n˜ao est˜ao presentes. Para tais sistemas, as grandezas termodinˆamicas s˜ao bem definidas, como, por exemplo, a densidade de energia, a pres- s˜ao, a densidade de part´ıculas e a densidade de isospin. A transi¸c˜ao de fases l´ıquido-g´as n˜ao ´e exclusiva de modelos fenomenol´ogicos relativ´ısti- cos, mas est´a presente nos resultados de c´alculos ab initio relativ´ısticos ou n˜ao-relativ´ısticos [75] . Esta transi¸c˜ao de fases pode ser analisada experimentalmente atrav´es de colis˜oes de ´ıons pesados [66]. Veremos adiante que um resultado particular dessas colis˜oes est´a relacionado ao fenˆomeno de multifragmenta¸c˜ao, onde n´ucleos altamente excitados e compostos s˜ao formados em um g´as de vapor de part´ıculas. Este fenˆo- meno pode ser interpretado como a separa¸c˜ao de fases l´ıquido-g´as, isto ´e, no espa¸co de fases nas regi˜oes de instabilidades a mat´eria se apresenta em uma fase de baixas densidades (g´as) e uma fase de altas densidades (l´ıquido) [75].

A seguir, veremos como calcular as regi˜oes de instabilidades me- diante a an´alise da concavidade da fun¸c˜ao densidade de energia para um sistema com mais de uma esp´ecie de part´ıculas, ou melhor, um sistema multi-componente. Trataremos dos c´alculos de instabilidade para mat´eria de nˆeutrons, pr´otons e lambdas em temperatura zero. Desta forma, a energia livre de Helmholtz ´e simplesmente a densidade de energia. A densidade de energia total ε(nn, np, nΛ) de um sistema de trˆes componentes ´e uma fun¸c˜ao de trˆes vari´aveis nas densidades das part´ıculas. Essa fun¸c˜ao tem um papel central no estudo da transi¸c˜ao de fases, pois ´e atrav´es da an´alise da concavidade que descobrimos se o sis-

tema possui instabilidades termodinˆamicas. No apˆendice B, mostramos em detalhes como obter os autovalores e seus respectivos autovetores associados `as eventuais anomalias na concavidade do potencial termodi- nˆamico. A decomposi¸c˜ao espinodal consiste em estudar a concavidade de uma fun¸c˜ao escalar para um sistema multicomponente e a comple- xidade aumenta `a medida que o n´umero de componentes aumenta no sistema. Quanto ao espa¸co de fases em temperatura zero, as coordena- das s˜ao as densidades de part´ıculas do sistema. Se houver anomalia na concavidade da fun¸c˜ao densidade de energia, podemos identificar, no espa¸co de fases, qual a regi˜ao que leva a tal comportamento da fun¸c˜ao. No apˆendice B, mostramos que h´a uma forma quadr´atica associada `a fun¸c˜ao escalar e tamb´em uma matriz de coeficientes. A diagonaliza¸c˜ao da matriz, que envolve as derivadas parciais segundas da fun¸c˜ao densi- dade de energia, permite estudar a concavidade da fun¸c˜ao atrav´es dos sinais dos autovalores da matriz curvatura. Quando h´a concavidade anˆomala, pelo menos um autovalor ´e negativo e o correspondente au- tovetor indica a dire¸c˜ao de instabilidade no espa¸co de fases e este ´e um parˆametro de ordem da transi¸c˜ao de fases. A seguir, mostraremos os resultados para baixos valores da densidade bariˆonica para o sistema Λn nos modelos AFDMC e RMF e, em seguida, para o sistema npΛ nos modelos RMF.