Media
harmônica
Media
geométrica
Este é o análogos ou proporção geométrica tal como se expressa na divisão em termos extremo e médio, mas no interior da mesma unidade inicial.
As três médias foram construídas com a condição de que o 1 é o maior dos três termos. Esta série era considerada como uma configuração das proporções transcedentais (supra-racionais), pois todas elas são conteúdos incomensuráveis na unidade inicial.
(Recordemos que a própria música antiga é construída sobre relações de números inteiros unicamente, mas o princípio da estrutura musical pertence às divisões supra- racionais da unidade.) As três médias compreendem a trindade das trindades, três expressões proporcionais únicas de três termos cada uma. Expressam mediante as raízes sagradas de 2 e de 5 a divisão harmônica essencial tanto do tempo (música), como do espaço (geometria), e foram muitas vezes utilizadas nas culturas tradicionais como base da arquitetura, da arte, da ciência, da mitologia e da filosofia.
Figura 8.4. Apresenta-se aqui uma forma de desenhar um
vaso de belas proporções, ou vasilha em forma de taça. utilizando somente a divisão harmônica para estabelecer suas curvas e medidas. Podemos conjecturar dizendo que esta é a essência geométrica do Santo Graal.
Dado um quadrado ABCD de lado 1, traçar suas diagonais AC e BD. Com o raio BD e do centro B traçar o arco DC para formar BG = 2. Com raio CG e do centro C traçar o arco GF. Com raio AF e do centro A traçar o arco
FB para completar a metade da silhueta do "grial". Repetir
no lado oposto para completar a figura.
Devido talvez ao fato de que o estudo das leis da mediação nos permite vislumbrar a relação fundamental entre a música e a geometria, Platão diz em sua obra Septima carta que é mais venerável do que o estudo de qualquer outro conhecimento. Talvez por esta mesma razão, os egípcios tenham construído as duas grandes pirâmides de Gizé, uma delas baseada em 1, , — o único triângulo cujos lados estão em progressão geométrica — e a outra com seus lados baseados na progressão aritmética 3,4,5. Em nossos dias, Simene Weil fala-nos da importância deste estudo como base filosófica do misticismo cristão.
Na obra de Hans Jenny, é onde podemos começar a ver a relação entre forma e som no mundo físico. As experiências de Jenny demonstraram que as freqüências de som tendem a ordenar as partículas soltas em suspensão, ou a organizar emulsões em dispersão hidrodinâmica segundo esquemas ordenados, formais e periódicos. Por outras palavras, o som é um instrumento mediante o qual os esquemas de freqüência temporal podem se tornar esquemas formais espaciais e geométricos.
Sistema planetário baseado na proporção musical 6,8,9,12 da média aritmética e da média harmônica entre os quocientes geométricos 6 e 12, junto com os demais tons da escala diatônica (maior) Pitagórica.
O cânone da figura humana de Alberto Durero é totalmente composto por proporções derivadas das três únicas divisões da unidade nas proporções aritmética, harmônica e geométrica.
As freqüências sonoras nesta experiência fazem com que as partículas soltas se organizem em esquemas geométricos.
(Direita) Os esquemas de interferência na freqüência dos efeitos eletrônicos geram simetrias geométricas. A figura de sete pontas surge do círculo e a ele retorna. Imagem das vibrações do "som da semente", o Om.
Este desenho combina duas figuras importantes: o triângulo 3, 4, 5 e o médio áureo, produzindo as proporções musicais. Embora indiquemos os diferentes passos para construir o diagrama, não o recomendamos aos geômetras principiantes. Baseia-se num desenho de A Proporção Divina de H.E. Huntley. Construir um círculo de centro L e raio LA e traçar o diâmetro AC. Traçar uma linha perpendicular a AC que passe por A. Desenhar um arco de centro A e de raio AC até
F. Traçar uma linha de F passando pelo centro L que corte o
círculo em H. Traçar uma linha perpendicular a FH de A que corte o círculo em D. Repetir com CB perpendicular a FH. Traçar o retângulo ABCD. (ABCD é um retângulo 1:2, como demonstra que LA = 1/2AF. O triângulo LJC é similar ao triângulo LAF.JL - 1/2 JC. BA = 1/2 BC) Construir o triângulo 3, 4, 5 traçando uma linha de F tangente ao círculo em D e propagando-a até cortar o diâmetro AC em E. A prova do triângulo 3,4,5 faz-se mediante o método egípcio da adição dos ângulos: AFM e DFM são ambos ângulos 1:2.
No Antigo Egito, o sentido do ouvido - isto é, a resposta direta às leis proporcionais do som e da forma - era considerado como a base epistemológica da filosofia e da ciência. Isto evoca o harpista cego, cuja sabedoria proverbial não procede do mundo visual da aparência, mas de uma visão interna da lei metafísica.
Várias ciências estão hoje verificando a antiga visão cosmogônica de uma criação que vibra mediante a palavra criadora ou som cósmico. Alain Daniélou assinala que nesta absorção do misterioso intercâmbio entre vibrações e formas se basearam as grandes culturas espirituais do passado:
Desde os átomos até ao universo, cada um dos movimentos cósmicos possui um tempo, um ritmo, uma periodicidade, e pode se comparar então à vibração, e portanto, a um som que expressa sua natureza. Nem todas as vibrações são perceptíveis aos nossos ouvidos, mas as relações entre as vibrações podem ser comparadas às relações entre freqüências audíveis. Todos os átomos podem considerar-se como formas de uma energia que se expressa a um ritmo, e todas as substâncias são caracterizadas por uma relação particular de ritmos que se pode representar mediante uma relação de sons. E graças a esta similitude entre, por um lado, as relações dos sons, e por outra parte, as formas e as substâncias da natureza, que se tornam possíveis a linguagem e a música.
Os sons puros, os sons imateriais que constituem a natureza profunda das coisas e que Kabir denomina "sua música inaudível", podem ser percebidas mediante instrumentos mais sutis do que os nossos ouvidos. Atingir sua percepção constitui uma das metas da prática destas curiosas disciplinas fisio-mentais, denominadas yoga."
(Traité de musicologie comparée)
E Sir John Woodroffe, baseando-se em suas traduções de textos hindus, diz:
O nome natural de um ser é o som produzido pela ação concordante das forças móveis que o constituem. Por isto costuma se dizer que aquele que pronuncia mental ou fisicamente o nome natural de um ser dá a vida ao ser que leva este nome.
(Garland of Letters)