De modo geral, temos trˆes procedimentos b´asicos a serem realizados para processar a informa¸c˜ao quˆantica, os quais s˜ao: as portas l´ogicas, mem´oria e medidas. Obviamente todas desempenham um papel importante na Teoria da Informa¸c˜ao Quˆantica. Em particu- lar, as implementa¸c˜oes das medidas quˆanticas n˜ao representam o passo final de um processamento, e sim, a parte fundamental em v´arios algoritmos quˆanticos, entre os quais podemos citar: Teleporte de Estados[6, 7, 8, 9, 10], Algoritmos de Corre¸c˜ao de Erros[6, 7, 8, 9, 11, 12], Criptografia[5, 6, 7, 8, 9].
Em [43], Roa et al. forneceram uma implementa¸c˜ao te´orica para estrat´egia UD. Para realizar a discrimina¸c˜ao dos estados, eles usaram um ´ıon aprisionado em uma cavidade, onde os estados quˆanticos n˜ao-ortogonais s˜ao codificados nos estados eletrˆonicos do ´ıon. Nesta se¸c˜ao, discutiremos o artigo de Roa et al. para a discrimina¸c˜ao sem erro de dois estados e sua conjectura para o caso geral.
A realiza¸c˜ao da estrat´egia UD em [43] consiste de um ´ıon aprisionado em uma cavidade eletromagn´etica1, onde os n´ıveis eletrˆonicos {|1i, |2i, |3i} do ´ıon correspondem aos estados
quˆanticos. Um campo eletromagn´etico forte com polariza¸c˜oes espec´ıficas atuando sobre o ´ıon induz transi¸c˜oes do tipo |1i → |3i e |2i → |3i (veja a Figura 3.1).
Desprezando o grau de liberdade de movimento do ´ıon na cavidade, a Hamiltoniana
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Figura 3.1: Ilustra¸c˜ao dos n´ıveis eletrˆonicos do ´ıon na cavidade. Somente as transi¸c˜oes do ´ıon s˜ao consideradas, tal que nenhum efeito de movimento ´e considerado. Os estados quˆanticos n˜ao-ortogonais s˜ao codificados nos n´ıveis |1i e |2i. Para realizar o procedimento da Medida Generalizada ´e necess´ario um n´ıvel adicional |3i. As transi¸c˜oes entre os n´ıveis eletrˆonicos |1i ↔ |3i e |2i ↔ |3i ´e devido ao campo cl´assico forte com polariza¸c˜oes espec´ıficas.
de intera¸c˜ao [6, 45, 46] entre o campo eletromagn´etico e os n´ıveis eletrˆonicos ´e dada por
Hq = ¯hΩq 2 ³ |qih3|e−iφq + |3ihq|eiφq´ , (3.1)
onde q = 1, 2. Devido ao campo eletromagn´etico com frequˆencia w0 e fator de fase φq,
ocorre transi¸c˜oes entre os n´ıveis eletrˆonicos |1i ↔ |3i e |2i ↔ |3i2. Ω
q ´e a frequˆencia de
Rabi proporcional ao campo cl´assico. O detalhe importante ´e que escolhendo de forma apropriada o tempo de intera¸c˜ao t = θ/Ωq, com θ sendo m´ultiplo de π e o fator de fase
φq, podemos implementar rota¸c˜oes arbitr´arias no plano {|qi, |3i}, onde |qi e |3i s˜ao bases
ortogonais. Para visualizar esta rota¸c˜ao arbitr´aria, obtemos o operador evolu¸c˜ao temporal U (φq, θq) = e− i ¯ hHqt, ou explicitamente, U (φq, θq) = e−i θq 2 |+′ih+′| + ei θq 2 |−′ih−′| , (3.2)
onde |±′i ´e uma base ortonormal dada por
|+′i = (|qi + e−iφq
|3i)/√2 ,
|−′i = (|qi − e−iφq|3i)/√2 . (3.3)
Podemos realizar rota¸c˜oes arbitr´arias, ou falando em termos da computa¸c˜ao, im- plementar qualquer porta l´ogica[6] de um qubit com Rx(θ) = exp(−iθσx) e Ry(θ) =
exp(−iθσy), onde σx e σy s˜ao as matrizes 2 × 2 de Pauli3.
Portanto, escolhendo de forma apropriada a dura¸c˜ao da intera¸c˜ao campo-´ıon e a fase do campo eletromagn´etico, o operador U (φq, θq) pode realizar as rota¸c˜oes Rx e Ry nos
planos |qi − |3i, tal que,
|qi −→ cos (θq/2)|qi − ie−iφqsin (θq/2)|3i ,
|3i −→ −ieiφqsin (θ
q/2)|qi + cos (θq/2)|3i . (3.4)
2Na literatura ´e comum rotular estes estados como |e
qi e |gi, representando os n´ıveis excitado e
fundamental do ´ıon, respectivamente. Para uma discuss˜ao completa sobre as Armadilhas de ´Ions veja a referˆencia [46].
3Na referˆencia [6], p´agina 175, demonstra-se que qualquer porta l´ogica pode ser implementada na
forma U = eiαR
Como conseq¨uˆencia da escolha das fases do campo cl´assico e do tempo de intera¸c˜ao, podemos preparar um dado par de estados quˆanticos n˜ao-ortogonais |Q1i e |Q2i na forma
|Q1i = |1i ,
|Q2i = cos δ|1i + eiβsin δ|2i , (3.5)
onde δ e β s˜ao parˆametros iniciais arbitr´arios. Em [43], foi demonstrado um algoritmo para discriminar estes dois estados n˜ao-ortogonais. Basicamente consiste de duas rota¸c˜oes U1 = U (φ1, θ1) e U2 = U (φ2, θ2), usando a Equa¸c˜ao (3.4), com a finalidade de obter uma
configura¸c˜ao discrimin´avel. A primeira rota¸c˜ao atua no plano |2i−|3i, tal que o espa¸co de Hilbert seja estendido para uma terceira dimens˜ao para o estado |Q2i. A segunda rota¸c˜ao
atua no plano |1i − |3i tal que a amplitude na dire¸c˜ao |1i do estado |Q2i seja cancelada.
Para cancelar a componente |1i em |Q2i, os parˆametros devem satisfazer a express˜ao,
cos δ cos θ2− (ei(−φ1+φ2+β)sin δ sin θ1sin θ2) = 0 . (3.6)
Os estados resultantes s˜ao
U2U1|Q1i = |Q1fi = eiβcos θ2|1i − ie−iφ2sin θ2|3i , (3.7)
U2U1|Q2i = |Q2fi = cos θ2|2i − ie−iφ2sin θ2|3i , (3.8)
onde θ1 = arccos(
√
1 − cos δ/ sin δ) e θ2 = arcsin(
√
cos δ). Resumindo, depois das rota¸c˜oes U1 e U2 sobre os estados de entrada, obtemos uma configura¸c˜ao discrimin´avel, visto que,
realizando medidas projetivas na base conclusiva |1i e |2i, a discrimina¸c˜ao dos estados de entrada termina com sucesso, caso contr´ario, o processo falha para proje¸c˜oes sobre o estado inconclusivo |3i. Note que com uma ´unica medida projetiva, temos a possibilidade de discriminar os estados sem ambig¨uidade.
Para a discrimina¸c˜ao de N estados puros n˜ao-ortogonais sem ambig¨uidade, no espa¸co de Hilbert de dimens˜ao N , o m´etodo Roa et al. sugere um aumento do espa¸co de Hilbert para 2N − 1 dimens˜oes. Entretanto, os autores tinham d´uvidas sobre a existˆencia de um algoritmo baseado em rota¸c˜oes para o caso geral, como podemos notar nas palavras dos autores, referˆencia [43], p´agina 3,
“The procedure to transform the initial states into recognizable states is not unique, i.e., it is possible to a find a different sequence of rotations to achieve the same goal. An open question remains, related to elucidating whether or not there is an optimal protocol.” Prosseguindo nesta dire¸c˜ao, na pr´oxima se¸c˜ao vamos fornecer um algoritmo geral ´otimo. Esse algoritmo realiza a discrimina¸c˜ao de N estados sem erro e tamb´em fornece explicitamente as rota¸c˜oes ´otimas para alcan¸car a melhor configura¸c˜ao discrimin´avel.