Algoritmos para a informação quântica: discriminação de estados quânticos e modelo híbrido

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ALGORITMOS PARA A INFORMAÇ ÃO QU ÂNTICA:

DISCRIMINAÇ ÃO DE ESTADOS QU ÂNTICOS E MODELO HÍBRIDO

Wilson Ricardo Matos Rabelo

(2)

Wilson Ricardo Matos Rabelo

ALGORITMOS PARA A INFORMAC

¸ ˜

AO QU ˆ

ANTICA:

DISCRIMINAÇ ÃO DE ESTADOS QU ÂNTICOS E MODELO HÍBRIDO

Tese apresentada ao Curso de Pós-Gradua-¸cão em F´ısica do Instituto de Ciências Exa-tas da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Ciências.

´

Area de Concentra¸cão: Mecânica Quântica e Informa¸cão Quântica

Orientador: Prof. Dr. Reinaldo O. Vianna Co-orientador: Prof. Dr. Carlos H. Monken

Belo Horizonte

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(4)

AGRADECIMENTOS

A Deus, pelo Seu dispor.

Ao professor Reinaldo Vianna, pela orienta¸cão, confian¸ca e amizade nesses anos de Pós-Gradua¸cão.

Aos professores da Óptica Quântica, Carlos Monken e Sebastião Pádua, pelas discus-sões frut´ıferas.

Aos professores com os quais cursei disciplinas, pela competˆencia e entusiasmo.

Aos professores Jo˜ao Plascak e Ronald Dickman, pelo incentivo e amizade.

Queria agradecer aos funcionários do Colegiado de Pós-Gradua¸cão, do Departamento de F´ısica e da Biblioteca Setorial pelas muitas vezes em que minhas solicita¸cões foram atendidas com eficiência.

Aos amigos de trabalho, Fernando Brand˜ao, Marcello Talarico, Wallon Nogueira, Stephen Walborn, pelas preciosas discuss˜oes.

Ao amigo, professor da Universidade Federal do Pará, Alexandre G. Rodrigues, pelas discussões sobre a Informa¸cão Quântica.

Ao amigo, professor da Universidade Federal do Pará, José Maria Filardo Bassalo, por ter me mostrado os caminhos da Ciência, tortuosos e belos.

`

A minha fam´ılia, pelo amor e educa¸c˜ao que me deram incondicionalmente.

`

A querida Maria L´ucia, pelas discuss˜oes sobre F´ısica e pelo seu carinho.

Ao meu amigo e irmão, André Luiz Costa, pelas horas de rock, pelas conversas sobre Ciência, pelo incentivo, e pelo livro Writing Up Research.

A todos os amigos. Em especial, McGlennon Regis, Mois´es de Ara´ujo, Marco Sagioro Leal e Alexandre Gutenberg Moura.

Aos amigos da minha nova casa, Universidade Federal do Amap´a, professores Reinaldo Nery e Helyelson Moura, pelo incentivo.

(5)

N´os somos o caminho que escolhemos, O caminho por onde passo,

guarda-me

e eu sou o caminho onde passo e

embora passe

eu ﬁco no caminho onde passo e vai o caminho comigo

caminho que ﬁca por onde passo. E passa.

E passo. Ficamos.

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RESUMO

Nesta tese consideramos um algoritmo para realizar a discrimina¸c˜ao ´otima de N

estados quânticos puros não-ortogonais e linearmente independentes. Este algoritmo implementa o melhor conjunto de Medidas Generalizadas para o problema da discrimina-¸cão sem erro de estados. Através da extensão do espa¸co de Hilbert aplica-se uma operadiscrimina-¸cão unitária, que resulta em uma configura¸cão final de estados, a qual fornece a melhor discrimina¸cão. Apresentamos um procedimento matemático detalhado para realizar esta tarefa, usando os métodos de Programa¸cão Semidefinida e Minimiza¸cão da Norma. A primeira é usada para encontrar o melhor conjunto de amplitudes de probabilidades conclusivas para cada estado quântico do ensemble, e a segunda, determina a matriz que transforma os estados de entrada para uma configura¸cão final. A etapa seguinte é a decomposi¸cão da matriz unitária em uma sequência de matrizes de rota¸cões de 1-qubit. Posteriormente, mostramos aplica¸cões deste algoritmo na Criptografia Quântica e na Filtragem de estados, e apresentamos o código computacional do algoritmo em MATLAB.

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ABSTRACT

In this thesis we consider a protocol to perform the optimal quantum state discrimi-nation of N linearly independent non-orthogonal pure quantum states. This protocol obtains the best set of generalized measurements for the problem of the unambiguous state discrimination. Through the extension of the Hilbert space, it is possible to perform an unitary operation yielding a final configuration, which gives the best discrimination. We introduce a detailed mathematical procedure to realize this task by means of semidefinite programming and norm minimization. The former is used to fix which is the best detection conclusive probability amplitude for each quantum state of the ensemble. The latter determines the matrix which leads the input states to the final configuration. In a final step, we decompose the unitary transformation in a sequence of 1-qubit rotation matrices. Subsequently, we show applications of the protocol in the quantum cryptography and state filtering, and present a computational code in MATLAB.

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LISTA DE FIGURAS

2.1 Os estados_|φ1ie|φ2inão-ortogonais e com pesos estat´ısticos iguais coloca-dos no plano _|1_i−|2_i, visto que suas amplitudes são reais. Para este caso a probabilidade de erro será m´ınima se a medida ótima é dada pelas medidas projetivas nas bases_|r1i e |r2i. . . 8

2.2 Procedimento de uma Medida Generalizada. Um sistema quântico prepa-rado em um estado representado pelo opeprepa-rador densidade ρ, sistema de interesse. Esse sistema quântico é acoplado com o sistema auxiliar. O sistema de interesse e o auxiliar evoluem um certo tempo segundo uma transforma¸cão unitáriaU. Posteriormente, realizamos uma medida proje-tiva sobre o sistema auxiliar. Um resultado poss´ıvel rj pode ocorrer onde o estado final éρ′

j, veja a Equa¸cão (2.24). Se não gravamos o resultado da medida, teremos apenas o estadoρ′_{, Equa¸cão (2.25).} _{. . . 10}

2.3 Ilustra¸cão do Ensemble ternário. Os estados podem ser representados no plano, visto que os mesmos tem uma representa¸cão real na base ortogonal

|1_i,_|2_i. A rota¸cão deπ/3 é feita no sentido anti-horário. . . 14

2.4 Nos gráficos (A), (B) e (C) temos a variável µi (peso do estado |Qii no ensemble) em rela¸cão a variável Pi (probabilidade de deteçcão conclusiva ótima). No gráfico (D) temos a variável P? (probabilidade total de resul-tados inconclusivos) em rela¸cão ao peso do ensembleµ1. . . 27

3.1 Ilustra¸cão dos n´ıveis eletrônicos do ´ıon na cavidade. Somente as transi¸cões do ´ıon são consideradas, tal que nenhum efeito de movimento é considerado. Os estados quânticos não-ortogonais são codificados nos n´ıveis _|1_i e _|2_i. Para realizar o procedimento da Medida Generalizada é necessário um n´ıvel adicional_|3_i. As transi¸cões entre os n´ıveis eletrônicos_|1_{i ↔ |}3_ie_|2_{i ↔ |}3_i é devido ao campo clássico forte com polariza¸cões espec´ıficas. . . 36

(9)

4.1 Diagrama da porta quˆantica CNOT[6, 52]. . . 61

4.2 Esquema para o Computador Quˆantico Tipo-II. . . 64

4.3 Algoritmo de Grover. . . 66

4.4 Representa¸cão de árvore para o algoritmo FFT. Observe que a Transforma-da de Fourier discreta Transforma-da Fun¸cãoN = 8, pode ser divida em sub-problemas idênticos. . . 69

4.5 Circuito quˆantico para determinar as fases de Fourier. Note que a fun¸c˜ao do qubit auxiliar,|0i√+|1i

(10)

LISTA DE TABELAS

3.1 Uma especifica¸cão dos parâmetros α, β, γ, e δ envolvidos na sequência de opera¸cões de dois n´ıveis no exemplo. . . 47

3.2 Especifica¸cão dos parâmetros de cada rota¸cão. Os parâmetros α, β, γ, e δ

são necessários para as opera¸cões de dois n´ıveis, veja a Equa¸cão (3.30). Os ângulosα, β, γ, e δ são dados em graus. . . 54

4.1 Procedimento para medir as fases de Fourier. . . 70

(11)

LISTA DE ABREVIATURAS

AOD - Algoritmo ´Otimo Discriminador

BB84 - Método de Criptografia Quântica

EPM - Equal Probability Mesuarement

FFT - Fast Fourier Transform

POVM - Positive Operator-Valued Measure

QFT - Quantum Fourier Transform

RSA - Método de Criptografia Clássica

SDP - Semideﬁnite Programming

SVD - Singular Value Decomposition

(12)

SUM ´

ARIO

RESUMO vi

ABSTRACT vii

1 INTRODUC¸ ˜AO 1

2 DISCRIMINAÇ ÃO QU ÂNTICA 4

2.1 Discrimina¸c˜ao de estados puros com o m´ınimo de erro . . . 5

2.1.1 Medida Projetiva . . . 5

2.1.2 Teste da hip´otese quˆantica . . . 6

2.1.3 Discrimina¸c˜ao com m´ınimo de erro para dois estados puros . . . 7

2.1.4 Medida Generalizada . . . 8

2.1.5 Implementa¸c˜ao da Medida Generalizada . . . 10

2.1.6 Discrimina¸c˜ao com m´ınimo de erro para N estados puros . . . 12

2.2 Discrimina¸c˜ao de estados puros sem erro: Estrat´egia UD . . . 14

2.2.1 Discrimina¸c˜ao de dois estados puros . . . 14

2.2.2 Estrat´egia UD para m´ultiplos estados puros . . . 17

2.3 Discrimina¸c˜ao de estados mistos sem erro: Filtragem de estados quˆanticos . . . 27

2.3.1 Filtragem quˆantica sem erro . . . 29

3 DISCRIMINAÇ ÃO QU ÂNTICA: ALGORITMO PARA

(13)

3.1 Medida generalizada para ´ıons na estrat´egia UD . . . 35

3.2 Algoritmo ´otimo discriminador para a Estrat´egia UD . . . 38

3.2.1 A Minimiza¸c˜ao da Norma . . . 38

3.2.2 A decomposi¸c˜ao em rota¸c˜oes de 1-qubit . . . 39

3.2.3 Algoritmo ´otimo discriminador - AOD . . . 42

3.2.4 Criptograﬁa Quˆantica . . . 47

3.2.5 AOD como ferramenta de invas˜ao . . . 48

3.2.6 AOD e a Filtragem quˆantica . . . 54

4 ALGORITMO SEMI-QU ˆANTICO 58 4.1 Modelo computacional para sistemas quˆanticos . . . 59

4.1.1 No¸c˜oes b´asicas . . . 59

4.1.2 Portas quˆanticas . . . 59

4.1.3 Lógica revers´ıvel e a Computa¸cão Quântica . . . 61

4.2 Um modelo h´ıbrido para a Computa¸c˜ao Quˆantica . . . 62

4.2.1 O Computador Semi-quˆantico . . . 63

4.2.2 O Problema de Busca e o Semi-quˆantico . . . 64

4.2.3 A Transformada de Fourier Discreta e o Semi-quˆantico . . . 67

5 CONCLUS ˜AO 73

A PROGRAMAC¸ ˜AO SEMIDEFINIDA 75

B DETERMINAC¸ ˜AO DAS AMPLITUDES DE PROBABILIDADES

INCONCLUSIVAS 77

C C ´ODIGO COMPUTACIONAL DO

ALGORITMO ´OTIMO DISCRIMINADOR 81

(14)

Cap´ıtulo 1

INTRODUC

¸ ˜

AO

Nos últimos anos observamos uma revolu¸cão no poder de processamento dos computa-dores. Este alto desempenho possibilitou aos cientistas abordarem problemas que aproxi-madamente há duas décadas atrás eram dif´ıcies do ponto de vista computacional, entre os quais citamos: as previsões climáticas, o seqüenciamento genético de sistemas biológicos e as simula¸cões de sistemas de muitas part´ıculas. Atualmente é comum a prática da doa¸cão do tempo ocioso dos computadores de empresas, funda¸cões, associa¸cões e universidades para resolu¸cão de um problema que necessite de um grande poder computacional. Esta tecnologia é conhecida como Computa¸cão em Grade, e permite utilizar o poder coletivo de milhares ou milhões de computadores individuais espalhados pelo mundo para criar um “sistema virtual” com uma for¸ca computacional expressiva1_.

O poder computacional é cada vez mais necessário em aplica¸cões tecnológicas, cient´ıfi-cas ou comerciais. A área da microeletrônica vem apresentando uma solu¸cão para esta questão, disponibilizando no mercado atualiza¸cões dos circuitos integrados. O poder de processamento desses circuitos é conseqüência do processo de miniaturiza¸cão, isto é, o crescente aumento do número de portas lógicas em um único circuito integrado. Entretanto, seguindo esta tendência de miniaturiza¸cão caminharemos para escala atômica, onde os efeitos quânticos terão de ser levados em conta para os novos circuitos.

Esta redu¸cão no tamanho dos circuitos para uma escala atômica significa que uma nova tecnologia terá que surgir para substituir ou complementar a tecnologia corrente. Esta tecnologia poderá oferecer muito mais que circuitos menores ou processadores mais rápidos? Para responder esta questão, pesquisadores em diversas áreas estão estudando quais seriam os poss´ıveis candidatos para as novas arquiteturas computacionais.

No in´ıcio da década de 80 surgiram as primeiras idéias sobre o uso de sistemas quânticos para o processamento da informa¸cão[1, 2]. Mas foi somente dez anos depois que o interesse

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pela computa¸cão e a informa¸cão quântica aumentou, principalmente pela descoberta de que certos algoritmos quânticos são mais eficientes que seus análogos clássicos, como, por exemplo, o de Fatora¸cão de números grandes de Schor[3] e o Algoritmo de Busca Quântica de Grover[4].

Seguindo este caminho, os algoritmos quânticos deixaram de ser apenas propostas teóricas ou fiçcão cient´ıfica e tornaram-se uma realidade em vários laboratórios. Os protocolos de Criptografia Quântica, por exemplo, já estão dispon´ıveis para a comerciali-za¸cão[5, 6, 7, 8, 9]. O algoritmo de Teleporte de Estados já foi testado em vários laboratórios[6, 7, 10]. Na parte computacional, os algoritmos de Fatora¸cão, Busca Quân-tica e de corre¸cão de erros quânticos estimularam a procura de uma implementa¸cão f´ısica para o computador quântico[6, 7, 11, 12]. Atualmente os f´ısicos estudam formas de implementar o armazenamento, o processamento, a leitura ou a corre¸cão da informa¸cão codificada em sistemas quânticos de d-n´ıveis2 ₍_d _≥_{2)[5, 6, 7, 8, 9].}

O procedimento de leitura é fundamental em qualquer processamento computacional de dados clássicos e quânticos. A primeira parte desta tese (Cap´ıtulos 2 e 3) trata da leitura dos estados quânticos, ou mais especificamente, da discrimina¸cão de estados quânticos[13, 14]. Na Mecânica Quântica, os estados quânticos podem ser não-ortogonais e, portanto, não podemos discriminá-los perfeitamente com uma única medida. Entretan-to podemos procurar estratégias para minimizar os erros quando efetuamos uma medida sobre o sistema f´ısico.

No Cap´ıtulo 2 fornecemos uma revisão da literatura sobre as estratégias da discri-mina¸cão de estados quânticos. Nosso principal objetivo é apresentar a discridiscri-mina¸cão com m´ınimo de erro e a discrimina¸cão sem ambigüidade (sem erro) e, posteriormente, abordar um caso particular da discrimina¸cão de dois estados mistos, conhecido na literatura como Filtragem de estados quânticos sem erro[13, 14]. Na Se¸cão 2.1 tratamos da discrimina¸cão de estados com um m´ınimo de erro. Na Se¸cão 2.2 apresentamos a discrimina¸cão sem ambigüidade. Esta estratégia mostra que, admitindo alguns resultados inconclusivos, podemos discriminar sem ambigüidade dois estados puros não-ortogonais. Na Se¸cão 2.3 apresentamos a Filtragem de estados quânticos.

No Cap´ıtulo 3 demonstramos um novo algoritmo para a discrimina¸cão de N estados quânticos não-ortogonais linearmente independentes. Desenvolvemos um procedimento que chamamos de algoritmo ótimo discriminador (AOD), que fornece explicitamente a transforma¸cão unitária U, a qual implementa as medidas generalizadas para a tarefa de discrimina¸cão sem erros de N estados puros não-ortogonais. Em outras palavras, o AOD consiste em um procedimento matemático, que usa a Programa¸cão Semidefinida e a Minimiza¸cão da Norma para determinar a transforma¸cão unitária U ótima para a discrimina¸cão. Esta opera¸cãoU leva cada estado de entrada para uma configura¸cão final discriminável com componentes conclusivas e inconclusivas. Na Se¸cão 3.1 apresentamos uma implementa¸cão da Medida Generalizada para ´ıons. Nas Se¸cões 3.2.1 e 3.2.2 apresen-tamos as subrotinas necessárias para o AOD e na Se¸cão 3.2.3 apresenapresen-tamos o algoritmo. Nas Se¸cões 3.2.4 e 3.2.5 demonstramos como o nosso algoritmo pode ser empregado na Criptografia Quântica e na Filtragem de estados quânticos.

(16)

No Cap´ıtulo 4 tratamos de uma arquitetura já conhecida na literatura, chamada de Computador Semi-quântico. Esta arquitetura h´ıbrida consiste de uma parte quântica, onde temos uma rede de nós, com cada nó sendo um computador quântico comnq qubits. A parte clássica consiste na comunica¸cão dos nós com um computador clássico, o qual processa algum dado e retorna com novas tarefas para os nós quânticos.

Este tipo de abordagem possui várias vantagens para a computa¸cão. As portas quânticas são mais simples para serem implementadas sobre a rede de nós, onde cada nó possui poucos qubits. Segundo, devido a facilidade e rapidez da atua¸cão das portas quânticas, podemos efetuar o processo de medida de forma mais rápida e reinicializar os estados quânticos dos nós.

Discutimos a aplica¸cão de dois algoritmos quânticos, a saber: o de Transformada de Fourier[3] e o de Busca[4], neste tipo arquitetura e estudamos a eficiência destas implementa¸cões em rela¸cão ao computador puramente clássico. Na Se¸cão 4.1 apresenta-mos o modelo computacional padrão da Computa¸cão Quântica, assim como as defini¸cões de portas quânticas e circuito. Na Se¸cão 4.2 mostramos nossos resultados para a arqui-tetura h´ıbrida. Em particular, se a prepara¸cão dos estados quânticos for otimizada, nossos resultados sugerem que um computador Semi-quântico poderia ser mais útil do que uma arquitetura puramente clássica.

No Cap´ıtulo 5 apresentamos as considera¸cões finais. Neste cap´ıtulo apresentamos uma discussão dos resultados originais desta tese e demonstramos alguns questionamentos para pesquisa futura.

(17)

Cap´ıtulo 2

DISCRIMINAC

¸ ˜

AO QU ˆ

ANTICA

Na última década tem crescido o interesse pela discrimina¸cão de estados. Este fato deve-se ao crescimento da própria Teoria da Informa¸cão Quântica e, conseqüentemente, a discrimina¸cão deixou de ser um problema da F´ısica e tornou-se um problema da Teoria da Informa¸cão e Computa¸cão.

Em toda transmissão de dados temos o emissor e o receptor da informa¸cão. O emissor prepara um sistema quântico em um dado ensemble de estados puros não-ortogonais. Ele pode preparar os estados com quaisquer probabilidades a priori (peso estat´ıstico de cada estado quântico no ensemble). Ele envia o ensemble para o receptor. O objetivo do receptor é obter o máximo de informa¸cão do ensemble recebido, isto é, sua tarefa é discriminar cada estado quântico do ensemble. Na literatura, as diferentes estratégias de discrimina¸cão estão relacionadas com algum conhecimento da prepara¸cão do ensemble e com o objetivo do receptor referente a informa¸cão desejada.

(18)

2.1 Discrimina¸

c˜

ao de estados puros com o m´ınimo de

erro

2.1.1 Medida Projetiva

Antes de apresentarmos as estrat´egias de discrimina¸c˜ao de estados, revisamos rapida-mente o formalismo das Medidas Projetivas[15, 16].

Um estado quântico de um sistema é representado por um vetor _|ψ_i normalizado no espa¸co vetorial complexo de Hilbert _H. Para obtermos algum conhecimento do estado precisamos realizar medidas dos observáveis desse sistema. Na Mecânica Quântica, os observáveis são operadores Hermitianos no espa¸co vetorial complexo e têm uma decompo-si¸cão espectral na forma

R=X

i

ri|riihri|= X

i

riPi , (2.1)

onde _Pi = |riihri| são projetores sobre os subespa¸cos de R, com autovalores ri. O valor médio do observável R para um conjunto de sistemas quânticos, preparados no mesmo estado _|ψ_i, é dado como

hR_i=_hψ_|R_|ψ_i . (2.2)

Substituindo a Equa¸c˜ao (2.1) em (2.2), temos que o valor esperado deR ´e reescrito como

hR_i=X i

ri|hψ|rii|2 . (2.3)

Portanto a probabilidade de obter o resultado ri, dado que o sistema esteja no estado quˆantico _|ψ_i, ´e igual a

P(ri|ψ) =|hψ|rii|2, (2.4)

e o estado do sistema logo ap´os a medida, dado que ri ocorreu, ´e

|ψii= Pi|

ψ_i

q

P(ri|ψ)

. (2.5)

O sistema f´ısico pode apresentar-se como uma mistura estat´ıstica de estados puros

ρi =|ψiihψi|. O operador densidade do sistema ´e dado por

ρ=X

i

µi|ψiihψi|= X

i

(19)

onde a variável µi representa a probabilidade do sistema estar no estado |ψii e a soma de todos os valores µi é igual a 1. Para o caso de um ensemble de estados puros dado pela Equa¸cão (2.6), a probabilidade de obter o autovalorri, sendo que o estado inicial do sistema era ρ, é dada pela rela¸cão

P(ri|ρ) = Tr(ρ|riihri|) =hri|ρ|rii , (2.7)

onde Tr significa a opera¸cão de tra¸co, que no formalismo matricial é a soma dos elementos da diagonal. Desta forma, o valor esperado do observável R é

hR_i=X i

riP(ri|ρ) = Tr(ρR) . (2.8)

2.1.2 Teste da hip´

otese quˆ

antica

Do ponto de vista histórico, o primeiro a estudar a discrimina¸cão de estados não-ortogonais foi Helstrom[17]. O método é conhecido como teste da hipótese quântica. O procedimento consiste em realizar medidas para inferir sobre o estado e, posteriormente, a partir de um resultado poss´ıvel se toma a decisão sobre qual estado ocorreu.

Para explicar mais detalhadamente, vamos conjeturar que o sistema quˆantico possa ser preparado em um ensemble de estados ρk, dado por

ρ= N X

k=1

µkρk , (2.9)

onde ρk =|ψkihψk|, com|ψki definido no espa¸co de Hilbert de dimensão N. Os estados são não-ortogonais, isto é, _|hψk|ψji| 6= 0 e as probabilidades µk são conhecidas a priori. Preparando um procedimento de medida, tal que obtendorj como um resultado poss´ıvel de uma medida de um observável do sistema, fazemos a hipótese que o estado recebido foi ρj.

Na literatura já é conhecida a impossibilidade da discrimina¸cão perfeita de esta-dos não-ortogonais[6, 13, 14, 16]. Entretanto, existe uma probabilidade não-nula de detectar os estados corretamente. O procedimento do teste da hipótese, por exemplo, permite discriminar probabilisticamente os estados não-ortogonais, isto é, existe uma probabilidade de erro PE para a deteçcão. O erro se refere à ambigüidade da hipótese, dado que ocorreu o resultado rj, não sabemos com certeza qual estado foi detectado, ρj ouρk.

Denotaremos PD, a probabilidade de detec¸c˜ao correta do estado, ondePD = 1−PE. Para determinar a probabilidade de erro, precisamos conhecer a priori a probabilidade

(20)

P(rk|ρj), para todoj, k. As probabilidades constituem a matriz [P(rk|ρj)]. Os elementos dessa matriz devem satisfazer a rela¸c˜ao de completeza

N X

k=1

P(rk|ρj) = 1 . (2.10)

Esta rela¸cão revela o fato de que não importa qual seja o estado ρj que recebemos, sempre obtemos um dado resultado rk. Então a probabilidade de erro totalPE pode ser escrita na seguinte forma

PE = 1−PD = 1− N X

i=1

µiP(ri|ρi) . (2.11)

O pr´oximo passo ´e simplesmente maximizar P(ri|ρi) e obter valores mais baixos para

PE.

Quando os estados a serem discriminados são todos ortogonais, a probabilidade de erro de uma deteçcão é nula. Na se¸cão anterior, cada resultado de uma medida projetiva corresponde a um autovalor de um operador Hermitiano R. A partir de (2.4) observamos que a matriz [P(rk|ρj)] é dada pela sobreposi¸cão entre os estados |ψji do ensemble e os auto-estados do operador R,

P(rk|ψj) = |hrk|ψji|2 . (2.12)

Examinando com cuidado a rela¸cão (2.12), notamos que os elementos da diagonal da matriz devem ser todos iguais a 1 se a probabilidade de erro for nula, isto é, assumindo que os estados são todos ortogonais entre si,_|ψji=|rji.

2.1.3 Discrimina¸

c˜

ao com m´ınimo de erro para dois estados puros

Para exemplificar a estratégia do teste da hipótese, tratamos da discrimina¸cão de dois estados puros não-ortogonais

|φ1i= cosθ|1i+ sinθ|2i ,

|φ2i= cosθ|1i −sinθ|2i , (2.13)

onde 0< θ < π/4 e _|1_i,_|2_i s˜ao bases ortonormais no espa¸co de Hilbert bidimensional. O valor da probabilidade m´ınima de erro PE para este caso foi derivado por Helstrom em 1976[17], com valor ´otimo

P_Eot= 1 2[1−

q

(21)

θ

|

φ

1

>

|

φ

2

>

|

2 >

|

1 >

|

r

2

>

|

r

1

>

Figura 2.1: Os estados |φ1i e|φ2i n˜ao-ortogonais e com pesos estat´ısticos iguais colocados no plano

|1i−|2i, visto que suas amplitudes são reais. Para este caso a probabilidade de erro será m´ınima se a medida ótima é dada pelas medidas projetivas nas bases|r1ie|r2i.

Para o caso de dois estados puros com probabilidades a priori iguais, as medidas projetivas ´otimas ser˜ao nas bases _|r1i e|r2i, dadas na seguinte forma

|r1i= 1

√

2[|1i+|2i] , (2.15)

|r2i= 1

√

2[|1i − |2i] . (2.16)

A probabilidade m´ınima de erro pode ser reescrita na forma,

Pot E =

1₋q1_{− |h}φ1|φ2i|2

2 =

1₋sin 2θ

2 , (2.17)

onde os quatro estados para o caso acima são mostrados na Figura (2.1). Uma demons-tra¸cão experimental desta curva teórica foi dada por Barnett e Riis em 1997[19]. Para uma discussão mais completa da estratégia de deteçcão ótima com erro, veja as referências [13, 17, 18, 19].

No caso da discrimina¸cão de múltiplos estados puros não-ortogonais, uma solu¸cão anal´ıtica para a probabilidade m´ınima de erro é dif´ıcil. Antes de tratarmos da discrimina-¸cão de vários estados puros com a estratégia do teste da hipótese quântica, apresentamos o formalismo da Medida Generalizada.

2.1.4 Medida Generalizada

Na literatura é conhecida a opera¸cão de Medida Generalizada ou medida de operador positivo[16] (POVM)1_{, onde os operadores de deteçcão Πj} _{são chamados de elementos}

(22)

do POVM. No formalismo dos operadores de deteçcão, os elementos do POVM devem satisfazer certas condi¸cões:

1. A probabilidade de obter um resultado rj dado que ρ seja o estado inicial ´e

P(rj|ρ) =T r(Πjρ) . (2.18)

2. Como a probabilidade P(rj|ρ) não pode ser negativa, os operadores de deteçcão devem ser Hermitianos e positivos semidefinidos. Logo,

Πj = Π†_j _≥0 . (2.19)

Os operadores positivos semidefinidos _{Πj_} possuem a caracter´ıstica de que seus valores esperados para quaisquer estados são não-negativos.

3. Para admitir todos os resultados poss´ıveis, temos que P

jP(rj|ρ) = 1 para todo ρ. A partir deste v´ınculo, os operadores de deteçcão formam uma decomposi¸cão do operador identidade,

X

j

Πj =I . (2.20)

O principal objetivo é determinar a distribui¸cão de probabilidades dos resultados rj. Entretanto nem sempre estamos interessados unicamente nas probabilidades dos resulta-dos, mas sim nos estados pós-medida transformados pela opera¸cão do POVM. Para isto, vamos definir os operadores de medida _{Mj}, tal que

Mj =Uj q

Πj , (2.21)

onde Uj é qualquer operador unitário. Da Equa¸cão (2.21) e levando em considera¸cão a unitariedade de Uj, Uj†Uj =UjUj†=I, podemos reescrever os operadores de deteçcão Πj como

Πj =Mj†Mj . (2.22)

A probabilidade de obter o resultado rj dado que o estado inicial do sistema sejaρ ´e

P(rj|ρ) =T r(MjρMj†) , (2.23)

onde o operador densidade do estado p´os-medida, dado que o resultadorj ocorreu, ´e

ρ′_j = MjρM

†

j

T r(MjρMj†)

(23)

Sistema auxiliar

Sistema de interesse

U

ρ

r

j ;

ρ

j

ρ

Figura 2.2: Procedimento de uma Medida Generalizada. Um sistema quântico preparado em um estado representado pelo operador densidadeρ, sistema de interesse. Esse sistema quântico é acoplado com o

sistema auxiliar. O sistema de interesse e o auxiliar evoluem um certo tempo segundo uma transforma¸cão unitária U. Posteriormente, realizamos uma medida projetiva sobre o sistema auxiliar. Um resultado poss´ıvelrj pode ocorrer onde o estado final éρ′j, veja a Equa¸cão (2.24). Se não gravamos o resultado da

medida, teremos apenas o estadoρ′_{, Equa¸c˜}_{ao (2.25).}

Note queρ′

j está normalizado, visto que Trρ′j = 1. Se não gravamos por algum motivo o resultado da medida, então o estado do sistema quântico terá o seguinte operador densidade

ρ′ =X j

P(rj|ρ)ρ′j = X

j

MjρMj†. (2.25)

Esta rela¸cão mostra que ρ′ _{será dado por uma distribui¸cão de operadores densidade}

ρ′

j, com os seus respectivos pesosP(rj|ρ).

O resultado númerico de uma medida projetiva de um observávelRé um autovalorrj, com seu auto-estado ortogonal _|rji. Para cada auto-estado podemos associar operadores de proje¸cão _Pk =|rkihrk|. Os operadores de proje¸cão satisfazem as três condi¸cões acima, isto é, são operadores Hermitianos, positivos semidefinidos e formam uma decomposi¸cão do operador identidade, P

jPk = I. Além destas condi¸cões, os operadores de proje¸cão possuem mais uma restri¸cão , _PkPj = δk,jPj. Portanto, o procedimento da Medida Projetiva é um caso particular da Medida Generalizada.

2.1.5 Implementa¸

c˜

ao da Medida Generalizada

Qualquer Medida Generalizada pode ser realizada com um sistema auxiliar, uma ope-ra¸cão unitária e uma medida projetiva2_{. Quem garante esta afirma¸cão é o} _teorema

de Neumark[20]. Para realizar uma opera¸cão de POVM com j resultados, precisamos aumentar o espa¸co de Hilbert utilizando sistemas auxiliares. Após uma transforma¸cão unitária que atua no espa¸co global (sistema de interesse mais o sistema auxiliar), realiza-se em realiza-seguida uma medida projetiva sobre o sistema auxiliar, veja a Figura (2.2). Como conseqüência da opera¸cão unitária e da medida projetiva sobre o sistema auxiliar, o estado inicial é transformado segundo as Equa¸cões (2.24) ou (2.25)3_.

2_{Para uma discuss˜}_{ao sobre o teorema de Neumark, veja A. Peres,} _{Quantum Theory: Concepts and}

Methods[16].

(24)

O mesmo resultado pode ser obtido através da extensão do espa¸co de Hilbert por meio de dimensões extras, onde essas dimensões fazem o papel do sistema auxiliar. Portanto, realiza-se a transforma¸cão unitária e como último passo as medidas projetivas. Nes-te procedimento, Nes-temos que introduzir estados auxiliares até a dimensão do espa¸co de Hilbert alcan¸car o número N de medidas necessárias.

Vamos denotar o espa¸co estendido por _|j_i, onde _{j = 1, . . . , N_}. Associa-se cada resultado de uma Medida Generalizada com um ´unico estado da base ortonormal _|j_i. Por simplicidade, adotamos medidas sobre um sistema quˆantico descrito pelo operador densidade ρ no espa¸co de Hilbert bidimensional.

Em duas dimensões, vamos definir os N elementos da opera¸cão de POVM na forma Πj =_|QjihQj|, com {j = 1, . . . , N}, onde

|Qji=qj1|1i+qj2|2i . (2.26)

|1_i e _|2_i são bases ortonormais do sistema inicial ρ. Em geral os estados _|Qji são não-ortogonais e não-normalizados. Levando em considera¸cão que os elementos do POVM são uma decomposi¸cão do operador identidade,

N X

j=1

|qj1|2 = N X

j=1

|qj2|2 = 1 , (2.27)

N X

j=1

qj1qj2∗ = N X

j=1

q∗_j1qj2 = 0 , (2.28)

o objetivo central é representar os estados _|Qji como proje¸cões dentro do espa¸co gerado por_{|1_i,_|2_i}de um dado conjunto de estados ortonormais_|Qji. Para esse fim, definimos um estado

|Θi_i= N X

j=1

q_ji∗_|j_i , (2.29)

onde_{i= 1, . . . , N_}. Pelas condi¸cões (2.27) e (2.28), temos que_|Θ1_ie_|Θ2_isão ortonorma-is. Para este conjunto é sempre poss´ıvel escolherN₋2 estados ortonormais_|Θ3_i, . . . ,_|ΘN_i, tal que _|Θi_i, para _{i = 1, . . . , N_} formam uma base ortonormal. Observe que devido a ortonormalidade da base _|Θi_i, temos que

N X

i=1

qji∗qik =δjk , (2.30)

portanto, podemos tamb´em mostrar que os estados

|Qji = N X

i=1

(25)

= _|Qji+ N X

i=3

qji|ii , (2.32)

tamb´em formam uma base ortonormal do espa¸co de Hilbert N-dimensional. Podemos associar os N elementos do POVM no subespa¸co bidimensional com medidas projetivas no espa¸co de Hilbert N-dimensional, ou seja, Tr(ρΠj) = Tr(ρΠ′

j), onde Π′j =|QjihQj|. Podemos definir a seguinte opera¸cão unitária dada na forma

U =

N X

j=1

|j_ihQj|= N X

i,j=1

q_ji∗_|j_ihi_| , (2.33)

onde relaciona-se o estado_|Qjie o estado|ji. As rela¸cões de ortonormalidade e completeza garantem que a transforma¸cão U é unitária. Aplicando a transforma¸cão unitária U no estado inicialρ, temos que

ρ′ = N X

i=1

µiU ρiU†= N X

i=1

µiU|φiihφi|U† (2.34)

= N X

i=1

µi N X

j=1

|hQj|φii|2|jihj| (2.35)

= N X

i=1

µi N X

j=1

|hQj|φii|2|jihj| . (2.36)

Como etapa ﬁnal, podemos realizar uma medida projetiva na base_|j_i, dada pelo projetor

Pj =|jihj|,

Tr(_Pjρ′) = Tr(Πjρ) .

Implementamos desta forma um elemento Πj do POVM com resultado j.

Resumindo, podemos sempre adicionar dimensões extras e com uma transforma¸cão unitária e uma medida projetiva, implementar o POVM.

2.1.6 Discrimina¸

c˜

ao com m´ınimo de erro para

_N

estados puros

O problema da discrimina¸cão de vários estados puros consiste de uma decisão. Reali-zamos uma escolha entreN hipóteses poss´ıveis sobre o estado do sistema, isto é, a hipótese

Ij assegura que o sistema est´a no estado associado ao operador densidade ρj, com uma certa probabilidade de erro PE.

(26)

descobriram, independentemente, que os operadores de deteçcão (Medidas Generalizadas) devem satisfazer certas condi¸cões necessárias e suficientes para que a probabilidade de erro total seja m´ınima.

O objetivo central é minimizar a probabilidade total de erro, ou equivalentemente, determinar os operadores de deteçcão. A partir das Equa¸cões (2.11) e (2.18), a probabi-lidade total de erro PE pode ser reescrita na forma

PE = 1− N X

j=1

µjT r(ρjΠj) , (2.37)

onde Πj é o elemento do POVM com resultado j. Em particular, para um ensemble de estados puros simétricos[17], com probabilidade a priori igual a 1/N para cada estado, o operador Πj pode ser determinado analiticamente. Um conjunto de estados puros são simétricos quando as duas condi¸cões abaixo são certificadas:

(i) _|φji=U|φj−1i=Uj−1|φ1i , (2.38)

(ii) U_|φNi=|φ1i , (2.39)

para algum operadorU. A transforma¸c˜ao unit´aria U relaciona cada estado _|φj−1i com o seu sucessor _|φji.

Como exemplo de estados simétricos temos o ensemble ternário[17, 22, 23], que des-perta bastante interesse devido sua facilidade de implementa¸cão com a tecnologia atual4_. Este ensemble é definido pelo operador densidade,

ρ= 1 3

2 X

i=0

|φiihφi| , (2.40)

onde os estados _|φii são linearmente dependentes e estão no espa¸co de Hilbert bidimen-sional. Os estados são

|φ0i = |1i ,

|φ1i = |

1_i+√3_|2_i

2 ,

|φ2i = −|

1_i+√3_|2_i

2 , (2.41)

sendo os estados _|1_i e _|2_i bases ortogonais. Como os estados sim´etricos _|φ0i, |φ1i e |φ2i possuem amplitudes de probabilidades reais, podemos represent´a-los no plano ortogonal

4_{Para mais detalhes sobre a implementa¸c˜}_{ao com ´optica usando estados de polariza¸c˜}_{ao linear de f´otons,}

(27)

|2>

|1>

|φ

>

|φ

>

|φ

>

0 1 2

π/3

Figura 2.3: Ilustra¸cão do Ensemble ternário. Os estados podem ser representados no plano, visto que os mesmos tem uma representa¸cão real na base ortogonal |1i,|2i. A rota¸cão deπ/3 é feita no sentido anti-horário.

|1_i,_|2_i, veja a Figura (2.3). A probabilidade m´ınima de erro (probabilidade ´otima) para este caso ´ePot

E = 1/3, que ´e obtida pelo seguinte POVM[17, 24, 25]5,

Πj = 2

3|φjihφj| , j = 0,1,2. (2.42)

Portanto quando os estados de entrada exibem uma condi¸cão especial, por exemplo, a condi¸cão de simetria, podemos obter uma forma anal´ıtica para a probabilidade ótima de erro para quaisquer N estados simétricos[13, 17]. Em geral, derivar uma expressão anal´ıtica para a probabilidade m´ınima de erro para quaisquer N estados quânticos é um problema ainda aberto.

2.2 Discrimina¸

c˜

ao de estados puros sem erro:

Estrat´

egia UD

2.2.1 Discrimina¸

c˜

ao de dois estados puros

As medidas generalizadas foram usadas na discrimina¸cão de estados do ensemble ternário. Esta espécie de medida é o melhor que podemos fazer para discriminar os estados. A justificativa para este fato está no número N de resultados poss´ıveis de uma medida projetiva, confinada a ser, no máximo, igual a dimensionalidade do espa¸co dos estados do sistema. Os m resultados poss´ıveis de uma Medida Generalizada podem ser

m_≥N.

5_{Utilizando os estados de polariza¸c˜}_{ao de f´otons, Sasaki}_{et al.} _{[24] e Mizuno}_{et al.} _{[25] implementaram}

esta estratégia de discrimina¸cão com m´ınimo de erro para PE utilizando o ensemble ternário simétrico.

(28)

Usando o formalismo de Medida Generalizada, em 1987 Ivanovic[26] introduziu uma nova estratégia no cenário das medidas quânticas. Esta estratégia consiste em discriminar estados quânticos não-ortogonais sem ambiguïdade (UD)6 _{(ausência de erros). Ivanovic} mostrou que, admitindo alguns resultados inconclusivos, pode-se discriminar dois estados puros não-ortogonais igualmente prováveis sem ambigüidade. Neste tipo de estratégia, um dado resultado conclusivo está sempre correto.

Para exemplificar a estratégia UD, vamos considerar os estados_|φ1ie|φ2ida Equa¸cão (2.13),

|φ1i= cosθ|1i+ sinθ|2i ,

|φ2i= cosθ|1i −sinθ|2i . (2.43)

Considere os seguintes estados adicionais deﬁnidos no espa¸co de Hilbert bidimensional,

|Ψ1_i= √1

2(tanθ|1i+|2i) ,

|Ψ2_i= √1

2(tanθ|1i − |2i) ,

|Ψ?_i=₋ q

1₋tan2_θ_|₁_i_. _(2.44)

Note que_|Ψ(1,2)_i´e ortogonal a_|φ(2,1)i. Considere agora a seguinte opera¸c˜ao de POVM,

Π1 =_|Ψ1_ihΨ1_| ,

Π2 =_|Ψ2_ihΨ2_| ,

Π? =_|Ψ?_ihΨ?_| , (2.45)

onde os elementos do POVM estão sujeitos ao v´ınculo Π?+Π1+Π2 =I. As probabilidades de deteçcão para os estados são

P(rj|ρj) =T r(ρjΠj) = hφ(1,2)|Π(1,2)|φ(1,2)i= 2 sin2θ , (2.46)

P(rk|ρj) =T r(ρjΠk) = 0 , (2.47)

onde P(rj|ρj) é a probabilidade de deteçcão correta para cada estado.

Como os estados são não-ortogonais, a distin¸cão perfeita não é poss´ıvel. Entretanto, podemos admitir um resultado inconclusivo rotulado pelo ´ındice “?”7_{, e a probabilidade}

6_{Na literatura inglesa esta estrat´egia ´e chamada de}_{Unambiguous Discrimination}_.

7_{Alguns autores rotulam a probabilidade de um resultado inconclusivo como probabilidade de falha}

(29)

para cada um dos estados será dada pelo valor esperado do operador Π?. Como proce-dimento análogo ao teste da hipótese quântica, o objetivo é minimizar a probabilidade total de um resultado inconclusivo,P? =hφ(1,2)|Π?|φ(1,2)i, onde

P? = 1− X

j=1,2

µjP(rj|ρj) . (2.48)

O problema consiste em determinar o valor ´otimoPot

? ou, equivalentemente, os valores deP(rj|ρj) que minimizam P?, sujeito ao v´ınculo da Equa¸c˜ao (2.48).

O problema da estratégia UD para dois estados puros não-ortogonais com proba-bilidade a priori µ1 = µ2 = 1/2 foi resolvido por Ivanovic[26], Dieks[27] e Peres[28], independentemente. Foi estabelecido um valor m´ınimo para a probabilidade de resultados inconclusivos. Este valor é conhecido na literatura como olimite de Ivanovic-Dieks-Peres

(IDP), dado por

P_?ot=_|hφ2|φ1i|. (2.49)

A probabilidade total de deteçcão conclusiva é obtida pela rela¸cãoP(r1|ρ1)=P(r2|ρ2)= 1_{− |h}φ2|φ1i|. Um limite mais geral foi derivado por Jaeger e Shimony[29] para a UD de dois estados puros com probabilidade µ1 6= µ2. Uma abordagem pedagógica da solu¸cão geral do problema de dois estados arbitrários_|φ1i,|φ2ie quaisquer probabilidades a priori foi dada por Bergou, Herzog e Hillery[14]8_.

Implementa¸c˜ao do POVM e o resultado inconclusivo

A implementa¸cão da Medida Generalizada pode esclarecer certas perguntas na estra-tégia UD. Surge um questionamento sobre os resultados de uma medida inconclusiva. O que significa ter um resultado inconclusivo, e o que acontece com o estado depois de um resultado inconclusivo? Vamos voltar aos estados da Equa¸cão (2.13). Sabemos que os elementos do POVM (Equa¸cão (2.45)) podem ser implementados por três projetores ortogonais no espa¸co de Hilbert estendido:

P1 =|M1ihM1| ; P2 =|M2ihM2| ; P? =|M?ihM?| , (2.50)

onde os estados ortogonais s˜ao deﬁnidos no espa¸co de Hilbert tridimensional,

|M1i= 1

√

2(tanθ|1i+|2i+ q

1₋tan2_θ_|₃_i₎ _, _(2.51)

|M2i= 1

√

2(tanθ|1i − |2i+ q

1₋tan2_θ_|₃_i₎ _, _(2.52)

|M?i=− q

1₋tan2_θ_|₁_i_{+ tan}_θ_|₃_i _. _(2.53)

8_{Neste artigo de revis˜}_{ao os autores fornecem tamb´em os limites onde as medidas generalizadas s˜ao}

(30)

Observe que usando esses projetores, as probabilidades conclusivas permanecem inva-riantes, P(rj|ρj) =T r(ρjΠj) = T r(ρjPj).

O estado do sistema depois de um resultado inconclusivo ser´a

ρf = P

?ρ(1,2)P?

T r(_P?ρ(1,2))

= P?|φ(1,2)ihφ(1,2)|P?

T r(_P?ρ(1,2))

=_|φ′_?_ihφ′_?_| . (2.54)

Em geral, isto acontece quandoP?atinge seu valor ótimoP?ot, Equa¸cão (2.49). Observe que os estados_|φ1i,|φ2isão transformados para o mesmo estado |φ′?i. Portanto qualquer tentativa de discrimina¸cão adicional sobre os mesmos torna-se inútil. Resumindo, quando obtemos um resultado conclusivo sabemos sempre qual é o estado, com probabilidade

1₋P?. Por outro lado, se um resultado inconclusivo for obtido, os estados tornam-se

menos distingu´ınveis9_.

2.2.2 Estrat´

egia UD para m´

ultiplos estados puros

Uma questão interessante é sobre a generaliza¸cão da estratégia UD para mais de dois estados puros. Já sabemos da se¸cão anterior que a Medida Generalizada desenvolve um papel importante nessa estrátegia. Em 1998, Chefles[30] demonstrou que a estratégia UD existe somente para estados linearmente independentes. Em particular, Chefles derivou explicitamente uma rela¸cão para a probabilidade ótima de resultados inconclusivos, Pot

? , quando os estados são simétricos e igualmente prováveis.

Como mencionamos anteriormente, encontrar uma forma anal´ıtica fechada para o problema da discrimina¸cão ótima com ou sem erro é d´ıficil para o caso geral. Entretanto, Eldar[31] mostrou que a estratégia UD pode ser formulada como um problema de Progra-ma¸cão Semidefinida10 _{(SDP)[32, 33], veja o Apêndice A. A vantagem deste método n´} u-merico para a UD é quanto a sua aplica¸cão para quaisquer N estados quânticos não-ortogonais linearmente independentes.

Solu¸c˜ao geral via SDP e o POVM ´otimo

Para um ensemble de estados puros não-ortogonais, a estratégia UD via SDP pode ser colocada na seguinte forma. Um sistema foi preparado em um estado quântico_|Qii, com

{i= 1, ..., N_}. Os estados_|Qii são não-ortogonais, linearmente independentes e estão no espa¸co de HilbertN-dimensional. Cada estado é preparado com uma probabilidade µi.

9_{Na discrimina¸c˜}_{ao de m´}_{ultiplos estados puros (}_{N >}_{2) ´e poss´ıvel obter alguma informa¸c˜}_{ao dos estados}

quando o procedimento de medida falhar. Podemos aplicar a estratégia da minimiza¸cão do erro sobre os estados resultantes, visto que os mesmos são transformados em um conjunto de estados linearmente dependentes[14, 30].

(31)

O objetivo é identificar cada estado corretamente ou obter um resultado de falha do processo. Para uma discrimina¸cão correta dos estados, os operadores de deteçcão Πj devem satisfazer a condi¸cão

hQi|Πj|Qii=piδij , (2.55)

onde o resultado inconclusivo ´e dado pelo operador

Π? =I ₋

N X

i=1

Πi . (2.56)

A probabilidade total de uma deteçcão correta é

PD = N X

i=1

µipi . (2.57)

Os operadores de detec¸c˜ao podem ser expressos na forma

Πi =pi|Q˜iihQ˜i|, (2.58)

onde cada estado _|Q˜ii est´a no espa¸co de Hilbert N-dimensional. Os vetores |Q˜ii s˜ao os

estados rec´ıprocos associados com_|Qii, tal que

hQ˜i|Qki=ζikδik , 1≤i, k ≤N , (2.59)

onde o fator ζik indica que o produto escalar não é normalizado. A rela¸cão entre |Qii e

|Q˜ii´e dada pelas matrizes Ψ, ˜Ψ, onde as colunas destas matrizes s˜ao os vetores|Qii,|Q˜ii, respectivamente, sendo

˜

Ψ = Ψ(Ψ†Ψ)−1. (2.60)

O problema da estrat´egia UD ´e encontrar os operadores de medida Πi que maximizam

PD, com o v´ınculo da Equa¸c˜ao (2.56),

I₋

N X

i=1

pi|Q˜iihQ˜i| ≥0. (2.61)

As Equa¸cões (2.56) e (2.57) são, respectivamente, o v´ınculo e o objetivo da estratégia UD, isto é,

(32)

com N + 1 v´ınculos,

I₋

N X

i=1

piQi ≥ 0,

pi ≥ 0, 1≤i≤N , (2.63)

onde _|µ_i é um vetor com componentes ₋µi, sendo µi a probabilidade a priori de cada estado_|QiieQi =|Q˜iihQ˜i| ∈MN, sendo MN o espa¸co das matrizes HermitianasN×N. Para formular a estratégia UD como um problema de SDP, simplesmente definimos as matrizes Fi como matrizes de diagonais em blocos, isto é,

F0=       I 0 . .. 0      

;F1=       −Q1 1 . .. 0      

;. . .;FN=       −QN 0 . .. 1       .(2.64)

Então o v´ınculo positivo semidefinido F(p) fica na forma

F(p) =F0+ N X

i=1

piFi=      

I₋PN i=1piQi

p1 . .. pN      

≥0 , (2.65)

onde os v´ınculos da rela¸c˜ao (2.63) s˜ao equivalentes aF(p).

Para confirmar que_|p_ié a solu¸cão ótima de (2.62), usamos aformula¸cão dual da SDP. O problema dual associado com as rela¸cões (2.62) e (2.65) é

maxZ∈MN{−Tr(F0Z)}, (2.66)

sujeito aos v´ınculos

T r(FiZ) = −µi, 1≤i≤N ,

Z _≥ 0. (2.67)

O problema dual pode ser simplificado quando a matrizFi é estruturada. Como Fi é diagonal em bloco, definimos a variável dualZ na mesma estrutura,

(33)

onde X _∈MN _e_z

i ≥0. Note que

T r(F1Z) = T r             −Q1 1 . .. 0             X z1 . .. zN            

=₋µ1,

= T r

           

−Q1X 0 . .. 0       +       0 z1 . .. 0            

=₋µ1,

= ₋T r(_Q1X) +z1 =−µ1

= T r(_Q1X)−z1 =µ1 . (2.69)

Podemos reescrever as equa¸c˜oes (2.66) e (2.67) e o problema dual ﬁca na forma

maxX∈MN{D(X) =−Tr(X)}, (2.70)

onde agora os v´ınculos s˜ao

T r(_QiX)−zi = µi , 1≤i≤N , (2.71)

X _≥ 0, (2.72)

zi ≥ 0, 1≤i≤N . (2.73)

Se_|p_ié uma solu¸cão ótima, a condi¸cão (2.63) é satisfeita. Existe também uma matriz

X e escalares zi, 1≤i≤N, tal que as rela¸cões (2.71)−(2.73) são satisfeitas. Note que a partir da Equa¸cão (A.7) (Apêndice A),

ZF(p) = 0 =_⇒ (

X(I₋PN_i=1piQi) = 0,

zipi = 0, 1≤i≤N . (2.74)

Resumindo, para a discrimina¸cão de N estados puros não-ortogonais linearmente independentes, Eldar[31] mostrou que utilizando o método da SDP, podemos determinar os operadores de deteçcão Πj e o valor máximo de PD, minp∈RN{PD(p) = hµ|pi}. Para

a confirma¸cão do valor da probabilidade de deteçcão ótima, usamos o problema dual maxX∈MN{D(X) =−Tr(X)}.

Vamos exemplificar o uso da formula¸cão SDP para a estratégia UD. Seja o ensemble definido na seguinte forma

ρ= 1 3

3 X

i=1

(34)

com

|Q1i=    1 0 0  

; |Q2i= 1 √ 3    1 1 1  

; |Q3i= 1 √ 3    1 1 −1  

 , (2.76)

onde os estados são não-ortogonais e linearmente independentes. Os estados são prepa-rados com probabilidades iguais a 1/3 e estão no espa¸co de Hilbert tridimensional. Nosso objetivo é discriminar estes estados sem ambigüidade.

Para determinar os operadores ótimos de deteçcão Πi, primeiramente precisamos encontrar os estados rec´ıprocos _|Q˜ii. Podemos calcular a partir da Equa¸cão (2.60) a matriz ˜Ψ,

˜

Ψ = Ψ(Ψ†_Ψ)−1 _,

˜ Ψ =



 

1,0000 0 0

−1,0000 0,8660 0,8660 0 0,8660 ₋0,8660





 , (2.77)

onde as colunas de Ψ s˜ao dadas pelos estados_|Qii, e os estados|Q˜iis˜ao as colunas de ˜Ψ. Podemos agora construir as matrizes_Qi =|Q˜iihQ˜i|,

Q1= 

 

1 ₋1 0

−1 1 0

0 0 0



 ,Q2=



 

0 0 0

0 0,75 0,75 0 0,75 0,75



 ,Q3=



 

0 0 0

0 0,75 ₋0,75 0 ₋0,75 0,75





. (2.78)

Para finalizar constru´ımos as matrizesFi segundo as rela¸cões (2.64) e definimos o vetor

|µ_i na forma

|µ_i=₋1 3    1 1 1  

, (2.79)

onde o vetor representa as probabilidades a priori de cada estado_|Qii. Usando um código fonte escrito em MATLAB (Apêndice C)11_{, minimizamos} _h_µ_|_p_i _{utilizando o método da} SDP. Para este caso, o vetor de probabilidade ótimo_|p_ié

|p_i= 

 

0,0000 0,6667 0,6667





, (2.80)

(35)

e o operador ´otimo de medida Πi =piQi ´e

Π1= 

 

0 0 0 0 0 0 0 0 0



 ,Π2=



 

0 0 0

0 0,5 0,5 0 0,5 0,5



 ,Π3=



 

0 0 0

0 0,5 ₋0,5 0 ₋0,5 0,5





. (2.81)

Para o exemplo acima, as probabilidades conclusivas de deteçcão são p1 = 0, p2 =

p3 = 0,66. Para a medida inconclusiva,

hQ2|Π0|Q2i=hQ3|Π0|Q3i= 0,33.

Para este conjunto de estados, discriminamos _|Q2i e |Q3i com probabilidades iguais, e com uma probabilidade nula de detectar o estado_|Q1i.

Para verificar que o vetor _|p_i dado pela Equa¸cão (2.80) é a solu¸cão ótima, usamos a rela¸cão (2.74). Para satisfazer (2.72) e (2.74), podemos construirX na formaX =t_|τ_ihτ_|

para um t_≥0, onde _|τ_i ´e um vetor que gera o espa¸co nulo deI₋P3_i=1Πi,

|τ_i= 

 

0 1 0





. (2.82)

Para o caso acima p1 = 0, p2 ≥0 e, p3 ≥0, e a partir da rela¸c˜ao (2.74), z2 =z3 = 0 e

z1 ≥0. A partir de (2.71) obtemos as seguintes rela¸c˜oes

Tr(X_Q3) = Tr(XQ2) = 1

3 , (2.83)

Tr(X_Q1) ≥ 1

3 . (2.84)

Para satisfazer as rela¸c˜oes acima, escolhemos

t= 1

3_hτ_|Q2|τi

= 0,444 . (2.85)

(36)

Detec¸c˜ao com probabilidades iguais

Para completar a discussão sobre a estratégia UD paraN estados puros, demonstramos como detectar N estados com probabilidades iguais. O procedimento de deteçcão com probabilidades iguais, com a sigla EPM12_{, foi desenvolvido por Eldar[31].}

O EPM consiste em detectar cada estado com a mesma probabilidade pi = p(EP M), para qualquer estado _|Qii, com {i = 1. . . N}. Para determinar p(EP M), realizamos a Decomposi¸c˜ao de Valor Singular[34] de Ψ (lembrando que as colunas de Ψ s˜ao os N

estados de entrada) na forma

Ψ =VΣW† , (2.86)

sendo V uma matriz unitária r_×r, Σ é uma matriz diagonal r_×n com os elementos da diagonal σi colocados em ordem decrescente, σ1 ≥ σ2 ≥ . . .≥ σn, e W é uma matriz unitárian_×n. A partir da Equa¸cão (2.60),

˜

Ψ = Ψ(Ψ†Ψ)−1 = VΣW†h(VΣW†)†VΣW†i−1

= VΣW†hWΣ†V†VΣW†i−1

= VΣW†hWΣ2W†i−1

= VΣW†hW(Σ†)2W†i

= V(Σ∗₎_W† _, _(2.87)

onde Σ∗ _{´e uma matriz diagonal} _r_×_n _{com os elementos da diagonal 1}_/σ_{i. Observe que}

N X

i=1

Qi = N X

i=1

|Q˜iihQ˜i|= ˜Ψ ˜Ψ† =V(Σ∗)†(Σ∗)V† , (2.88)

e o maior autovalor dePN

i=1Qi ´e igual a 1/σ2n.

Para satisfazer as condi¸cões da Equa¸cão (2.74), a probabilidade de deteçcão para cada estado é igual a

p(EP M) =σ2n,

tal que o maior autovalor de (pPN

i=1Qi) seja igual 1. Portanto temos que encontrar certas condi¸c˜oes para os estados_|Qii, tal que

Πi =p(EP M)|Q˜iihQ˜i|=σn2|Q˜iihQ˜i| , (2.89)

maximize a probabilidade de um resultado conclusivo.

(37)

Para obter uma medida ótima de EPM, temos que satisfazer as Equa¸cões (2.72) e (2.74). Para isto, definimos

X =ǫ_|vnihvn| , (2.90)

onde_|vkisão as colunas deV eǫ≥0. Desde quepi ≥0, então a partir das rela¸cões (2.71) e (2.74) temos que zi = 0, e

Tr(_QiX) = ǫ|hQ˜i|vni|2 =µi , (2.91)

onde 0_≤i_≤n. Observe que a partir da rela¸c˜ao (2.87),

|Q˜ii=V(Σ∗)|wii, (2.92)

onde _|wii denota a i´esima coluna de W†. Substituindo a Equa¸c˜ao (2.92) em (2.91),

ǫ_|hwi|(Σ∗)V†|vni|2 =

ǫ σ2

n

|hwi|V†|vni|2 =

ǫ σ2

n

|wi(n)_|2 =µi , (2.93)

onde wi(k) denota a k´esima componente de _|wii. Sendo

n X

i=1

µi = n X

i=1

|vi(n)_|2,

ent˜aoǫ deve ser igual a σ2

n. Então o EPM é ótimo se

|wi(n)|2 =µi . (2.94)

Portanto, para se obter o EPM ótimo, o primeiro passo é fazer a Decomposi¸cão de Valor Singular dos estados de entrada. Posteriormente, tomamos o módulo quadrado de cada elemento da última linha da matriz W†_, _|_w_i(_n₎_|2_{, e o igualamos, respectivamente,} ao peso estat´ıstico µi do estado |Qii do ensemble. Com este procedimento cada estado é detectado com a mesma probabilidade ótima conclusiva p(EP M).

Exemplo - EPM

Para explorar o formalismo do EPM usamos o exemplo da se¸cão anterior. Queremos determinar a probabilidade ótimap(EP M) que discrimina os três estados do ensemble,

ρ= 3 X

i=1

(38)

com

|Q1i=    1 0 0  

; |Q2i= 1 √ 3    1 1 1  

; |Q3i= 1 √ 3    1 1 −1  

 . (2.96)

Primeiramente, constru´ımos a matriz Ψ, onde as colunas s˜ao os estados de entrada

|Qii. Para este caso,

Ψ = 

 

1,0000 0,5774 0,5774 0 0,5774 0,5774 0 0,5774 ₋0,5774





 . (2.97)

Fazemos a Decomposi¸c˜ao de Valor Singular, Ψ =VΣW†_{, onde}

V =



 

0,8944 0 ₋0,4472 0,4472 0 0,8944

0 1 0



 ,Σ =



 

1,4142 0 0

0 0,8165 0

0 0 0,5774





,(2.98)

W† =



 

0,6325 0,5477 0,5477 0 0,7071 ₋0,7071

−0,7746 0,4472 0,4472 



 . (2.99)

A partir da Equa¸c˜ao (2.89), o EPM ´e

p(EP M)=σ32 = (0,5774)2 = 0,33,

isto é, a probabilidade conclusiva ótima para detectar cada estado é igual a 0,33. A partir da Equa¸cão (2.94), obtemos a deteçcão EPM com as seguintes probabilidades a priori µi para o estado_|Qii,

|w1(3)|2 =µ1 = | −0,7746|2 = 0,6 ,

|w2(3)|2 =µ2 = |0,4472|2 = 0,2 ,

|w3(3)|2 =µ3 = |0,4472|2 = 0,2 . (2.100)

Para certiﬁcar que usando estes valores podemos obter p(EP M) = 0,33, redeﬁnimos o vetor _|µ_i na forma

|µ_i=₋ 

 

0,6 0,2 0,2





(39)

Utilizando o algorimo do Apêndice C, o vetor _|p_i ótimo é

|pepmi= 

 

0,3333 0,3333 0,3333





 . (2.102)

Para completar a discrimina¸c˜ao precisamos dos elementos do POVM. Em vista disto, a partir da Equa¸c˜ao (2.58),

Πi =p(EP M)|Q˜iihQ˜i|=p(EP M)Qi (2.103)

onde

Q1= 

 

1 ₋1 0

−1 1 0

0 0 0



 ,Q2=



 

0 0 0

0 0,75 0,75 0 0,75 0,75



 ,Q3=



 

0 0 0

0 0,75 ₋0,75 0 ₋0,75 0,75





. (2.104)

Para concluir, precisamos do operador inconclusivo Π0. Logo,

Π0 =I− 3 X

i=1 Πi =



 

0,6667 0,3333 0 0,3333 0,1668 0

0 0 0,5





. (2.105)

Para mostrar que este p(EP M) =σ23 = 0,333 é o ótimo global, podemos usar a fomula¸cão dual SDP. Se adotarmos X como a Equa¸cão (2.90), isto é, X = σ2

3|v3ihv3|, as rela¸c˜oes (2.71)₋(2.73) e (2.74) s˜ao satisfeitas.

Utilizando novamente o algoritmo do Apêndice C, podemos completar a nossa análise sintetizando a discrimina¸cão desses três estados não-ortogonais em quatro gráficos (veja a Figura (2.4)), onde variamos as probabilidades a priori dos estados (peso estat´ıstico) no ensemble e observamos o comportamento da probabilidade de deteçcão ótima. Nos gráficos (A), (B) e (C) temos a variávelµi (peso do estado|Qiino ensemble) em rela¸cão a variávelPi (probabilidade de deteçcão conclusiva ótima). O gráfico (A) mostra o peso µ1 variando de 0 a 1. Observe que aproximadamente até a probabilidade a priori µ1 = 0,4, a probabilidade P1 de deteçcão do estado |Q1i é nula (conforme verificado no in´ıcio do exemplo da se¸cão anterior, ondeµi = 1/3, i= 1,2,3). Acima de 0,4,P1 varia linearmente

com µ1, saturando para P1 = 0,5. Observe tamb´em que a partir deµ1 ∼= 0,7,

consequen-temente µ2 = µ3 ∼= 0,15, as probabilidades de deteçcão P2 e P3 dos estados |Q2i, |Q3i são iguais a zero, veja os gráficos (B) e (C).

(40)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

µ₁

P1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

µ₂

P2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

µ₃

P3

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5

0.55 0.6 0.65 0.7

µ₁

〈

P?

〉

(A) _(B)

(C) (D)

Figura 2.4: Nos gráficos (A), (B) e (C) temos a variável µi (peso do estado |Qii no ensemble) em

rela¸cão a variávelPi (probabilidade de deteçcão conclusiva ótima). No gráfico (D) temos a variávelP?

(probabilidade total de resultados inconclusivos) em rela¸c˜ao ao peso do ensembleµ1.

e _hQ2|Q3i = 1₃, logo o estado |Q1i possui uma sobreposi¸cão maior com os outros dois estados e, assim, gera esta dificuldade na discrimina¸cão.

Outro ponto importante é que podemos usar o algoritmo do Apêndice C para fazer uma estimativa preliminar sobre qual o valor do EPM. Isto é, sem realizar o procedimento descrito anteriormente por Eldar. Observando os gráficos (A), (B) e (C), as probabilidades ótimas convergem para P1 = P2 = P3 = PEP M = 0,33 em µ1 = 0,6, µ2 = µ3 = 0,2 respectivamente.

No gráfico (D) temos a variável P? (probabilidade total de resultados inconclusivos) em rela¸cão ao peso do ensemble µ1. O gráfico (D) mostra o custo do EPM, isto é, para

µ1 = 0,6 (µ2 = µ3 = 0,2), a probabilidade total de resultados inconclusivos atinge seu valor m´aximo de aproximadamente 66,6%. Isto signiﬁca que para detectar o estado _|Q1i com a mesma probabilidade dos demais, aumentamos a chance de obter um resultado inconclusivo.

2.3 Discrimina¸

c˜

ao de estados mistos sem erro:

Filtragem de estados quˆ

anticos

(41)

densidade é dado pela dimensão do suporte e o núcleo de um estado misto é o espa¸co ortogonal ao suporte[14, 35].

Agora que dispomos destas defini¸cões, podemos proferir sobre o requisito necessário para discriminar estados mistos, mais precisamente para a discrimina¸cão sem erro. A estratégia UD13_{para os estados mistos é poss´ıvel se os suportes dos operadores densidades} são diferentes, isto é, as matrizes densidades devem ter conjuntos de autovetores e autova-lores diferentes[14, 35]. Por exemplo, admitindo dois estados mistos _{pi,|ψii},{qj,|φji} gerando a mesma decomposi¸cão espectral[34],

ρ=X

i

pi|ψiihψi|= X

j

qj|φjihφj|= X

k

λk|λkihλk| , (2.106)

onde_|λkisão ortonormais e os autovaloresλk são positivos. Para os estados mistos[6] que possuem suportes idênticos, existe uma matriz unitária14 _u

ij, tal que

√_p

i|ψii= X

j

uij√qj|φji . (2.107)

Uma vez que existe a dependência linear entre os estados dos ensembles (rela¸cão (2.107)), torna-se imposs´ıvel o procedimento da discrimina¸cão sem erro para estes dois ensembles, haja visto que em [30] foi mostrado que a discrimina¸cão sem erro existe somente para estados puros linearmente independentes. Portanto de todos os ensembles poss´ıveis de um sistema quântico, vamos nos restringir à classe dos ensembles que possuemsuporte diferente.

Outro ponto importante é quanto aos vetores que geram o espa¸co nulo dos estados mistos, isto é, os núcleos dos estados. Estes núcleos podem ter ou não uma interse¸cão não-nula entre si. Rudolphet al. [35] estudaram a estratégia UD para dois estados mistos com núcleos ortogonais e núcleos unidimensionais e forneceram para a discrimina¸cão de dois estados mistos um limite inferior para a probabilidade total de resultados inconclusivos. Em [36], Herzog e Bergou mostraram as condi¸cões necessárias para alcan¸car este limite inferior fornecido por Ruldoph et al.

Eldar em [37] mostrou que a estratégia UD para estados puros ou mistos são exemplos de problemas de otimiza¸cão e, portanto, podemos usar o método numérico da Programa-¸cão Semidefinada. Em particular, Eldar demonstra como usar a SDP para a discriminaPrograma-¸cão deN estados mistos com uma taxa fixa de erros. Eldaret al. [38] mostraram que usando a SDP, podemos derivar condi¸cões necessárias para que os operadores de deteçcão sejam ótimos para a discrimina¸cão dos estados mistos.

Na próxima se¸cão revisamos um procedimento bastante conhecido na literatura da discrimina¸cão de estados, a Filtragem de estados quânticos. Este procedimento é um exemplo particular da discrimina¸cão de dois estados mistos.

13_{Nesta tese vamos tratar somente da discrimina¸c˜}_{ao de estados mistos sem erro ou estrat´egia UD. Existe}

também a estratégia da minimiza¸cão dos erros, isto é, minimizar a probabilidade de erro ao detectar os estados mistos. Para mais detalhes sobre esta estratégia, veja a referência [14].

(42)

2.3.1 Filtragem quˆ

antica sem erro

Em [39], Sunet al. introduziram a estratégia da discrimina¸cão sem erro para conjuntos de estados, conhecida na literatura como Filtragem de estados quânticos. Vamos supor um conjunto deN estados,_{|ψ1i, . . . ,|ψNi}. Em seguida dividimos em sub-conjuntos. A finalidade é determinar em qual sub-conjunto, um dado estado _|ψii pode estar. A versão mais simples deste problema é quando tratamos de apenas dois conjuntos de estados, onde o primeiro conjunto possui M estados e o segundo conjunto possui o restante, isto é, os N ₋M estados. Nosso objetivo é determinar com certeza em quais destes dois sub-conjuntos um dado estado se encontra.

O caso mais simples é quando N = 2 e M = 1. Trata-se da discrimina¸cão de dois estados puros, com um estado em cada conjunto. O próximo caso éN = 3 e M = 1. Isto é, temos três estados não-ortogonais,_{|ψ1i,|ψ2i,|ψ3i}, com probabilidades a priori µ1, µ2

e µ3. No formalismo de operador densidade este problema ﬁca na forma,

ρα = |ψ1ihψ1| ,

ρβ =

µ2

µ2+µ3|

ψ2ihψ2|+

µ3

µ2+µ3|

ψ3ihψ3| , (2.108)

com probabilidades a priori µα = µ1 e µβ = µ2 +µ3. Portanto a ﬁltragem de estados para este caso pode ser vista como um problema de discrimina¸c˜ao de dois estados mistos, sendo um estado de posto um (estado puro) e outro estado misto de posto dois.

Vamos supor que o objetivo seja ﬁltrar sem erro o estado_|ψ1i, a partir do sub-conjunto

{|ψ2i,|ψ3i}.

Para solucionar este problema utilizamos a implementa¸cão da Medida Generalizada. Sabendo-se que µi é a probabilidade a priori que o sistema esteja no estado |ψii, as probabilidades totais de obter um resultado conclusivo e inconclusivo na distin¸cão de_|ψii são dadas respectivamente por

PD =

X

i

µipi ,

P? = X

i

µiqi . (2.109)

Na rela¸cão acima,qi = 1−pi é a probabilidade de um resultado inconclusivo. O problema é minimizar a probabilidade de resultados inconclusivos P? e para esta tarefa usamos a Medida Generalizada.

(43)

Para um dado estado _|ψii, temos que

|ψK

i iin =|ψiHi , (2.110)

onde _|ψiHi est´a no sub-espa¸coH, que ´e parte do espa¸co total K.

Aplicamos uma transforma¸cão unitária U que atua no espa¸co globalK sobre o estado de entrada. O estado resultante da transforma¸cão unitária é_|ψK

i iout, que ´e dado por,

U_|ψ_iK_iin =|ψKi iout =|ψ

′_H

i i+|φAi i . (2.111)

Para finalizar o procedimento, realizamos uma medida projetiva sobre o estado resul-tante _|ψiKiout, que projeta o estado em |ψi′i ou |φAi i. Por constru¸cão os sub-espa¸cos são ortogonais e depois da atua¸cão da transforma¸cão unitária, discriminamos sem ambig¨ uida-de_|ψ′

1i do sub-conjunto{|ψ2′i,|ψ3′i}.

Resumindo, podemos obter um resultado conclusivo com probabilidade pi para o estado _|ψii com

hψ_i′_|ψ′_j_i=piδij , (2.112)

ou um resultado inconclusivo,

qi = 1−pi =hφi|φii , (2.113)

se a medida colapsa para o estado _|φii (estado de falha ou inconclusivo). Para resolver este problema, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas,

hψ1′|ψ′2i = hψ′1|ψ3′i= 0 , (2.114)

hφ1|φ2i = hψ1|ψ2i , (2.115)

hφ1|φ3i = hψ1|ψ3i . (2.116)

A condi¸cão (2.114) é devido a discrimina¸cão sem erro de_|ψ1i. Tomando o produto escalar de _|ψK

1 iout com os outros estados de sa´ıda, {|ψ2Kiout,|ψ3Kiout}, e em seguida, usando a condi¸cão (2.114) e a transforma¸cão unitária U, obtemos as condi¸cões (2.115) e (2.116).

Agora o objetivo do problema se reduz a encontrar os estados ´otimos _|ψ′

ii e |φii, tal que as condi¸c˜oes (2.112)₋(2.116) sejam satisfeitas.

Cheﬂes[30] demonstrou que os estados de falha _{|φii} devem ser linearmente