Membrana submetida a carga impulsiva

Esta aplicação consiste de uma placa circular submetida a um carregamento impulsivo, ou seja, com duração bem pequena, em uma tentativa de se simular condições iniciais de velocidade. O carregamento é aplicado na face superior da placa de duas formas: na situação 1, ele é aplicado em um círculo com centro coincidente com o da placa; na situação 2, ele é aplicado em uma coroa circular também tendo como centro o próprio centro da placa. Neste problema, ao invés de se utilizar a pressão como variável básica, utiliza-se o deslocamento vertical u. Esta consideração é feita desprezando-se o deslocamento horizontal, considerado bem menor em comparação com o vertical. Deste modo, resolvendo-se a equação da acústica, o resultado de pressão é igual ao deslocamento transversal da membrana.

A derivada de u em relação à normal ao contorno, multiplicada pela constante K (módulo de compressibilidade do meio), dada por (4.2), representa carga por unidade de área normal ao contorno. Portanto, quando neste problema prescreve-se a derivada em relação à normal ao contorno, indiretamente se está prescrevendo carga aplicada. Em (4.2), ρ representa a densidade do meio e c, a velocidade de propagação da onda de compressão no mesmo.

2 c

K =ρ (4.2)

Ressalta-se que, para haver correspondência de amplitudes entre carga aplicada e condições iniciais de velocidade, devem-se igualar as quantidades de movimento produzidas em ambos os casos, chegando-se à seguinte relação:

t f c ev = 2 Δ

0 (4.3)

Em (4.3), e é a espessura da placa, c a velocidade de propagação da onda acústica no meio, v0 é a velocidade inicial, suposta constante ao longo da região onde é aplicada, f a derivada em relação à normal prescrita, constante ao longo da região de aplicação e ao longo do tempo, e Δt o intervalo de aplicação de f.

A espessura é sucessivamente reduzida em relação ao raio da placa na tentativa de se chegar, na prática, a uma situação de membrana, para a qual os

resultados analíticos de deslocamento são conhecidos, no caso de velocidade inicial, e apresentados no Anexo F.

É importante ressaltar que quando se refere a membrana, está se tratando de um meio com espessura desprezível em relação às demais dimensões. Daí a opção por se tomar espessuras pequenas para o modelo de placa acústica adotado. A esta altura, poderia se questionar por que então a espessura não é de imediato reduzida a um valor muito pequeno. Isto não é feito porque assim os elementos na face vertical do contorno axissimétrico da figura 4.13 seriam muito pequenos. Como não é recomendável no MEC a presença de elementos de contorno adjacentes de tamanhos muito diferentes (o maior deve sempre ser menor que duas vezes o menor), os elementos na horizontal deveriam ser também bem reduzidos, aumentando excessivamente o número de elementos.

f(t) f(t) a b b a (a) _(b) e r r

Figura 4.13 – esquema do modelo da membrana: (a) em perfil; (b) em planta.

f(t)

t dt

1

Figura 4.14 – gráfico no tempo da carga aplicada

Na situação 1, toma-se a = 0 m; b = 0,5 m; enquanto para a situação 2, a = 1,5 m e b = 2,0 m. O raio da placa é sempre mantido como r = 4,0 m. A carga f(t) é uma

função pulso descrita pela figura 4.14, sendo o tempo de aplicação tomado como igual a 1 intervalo de tempo de análise.

O material da placa possui velocidade de propagação c = 1 m/s. Ela é discretizada por elementos de contorno de comprimento igual a 0,05 m, sendo o número de elementos variável com a espessura. Mantém-se sempre β = 0,6, sendo o intervalo de tempo, conseqüentemente, igual a 0,03 s. Emprega-se θ = 1,0, já que, conforme inferido das figuras que contém gráficos de resposta do problema, para os tempos totais de análise aqui empregados não ocorrem instabilidades.

Inicialmente, são feitos testes com diversas espessuras, a fim de se encontrar uma suficientemente pequena para que o problema possa ser equiparado ao da vibração transversal de uma membrana. Na figura 4.15, faz-se uma comparação entre resultados de deslocamento no centro da placa obtidos para espessuras de 0,1 m, 0,2 m, 1,0 m, e o resultado analítico para membrana, na situação 2, para um tempo total de 20 s, suficiente para que cheguem, no ponto central da membrana, duas reflexões no contorno.

Conforme esperado, à medida que se reduz a espessura, a resposta se aproxima da analítica. Considera-se que os resultados para uma espessura de 0,1 m, que corresponde a uma relação entre espessura e raio de 1/40, são suficientemente próximos da solução analítica.

0 4 8 _{tempo (s)} 12 16 20 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 desl oca m e nt o (mm ) e = 0,20 m e = 0,10 m membrana analítica 0 4 8 _{tempo (s)} 12 16 20 -0.08 -0.04 0 0.04 0.08 0.12 0.16 de sl oc am en to ( m m) e = 1,0 m (a) (b)

Para e = 1,0 m (figura 4.15(b)), o resultado diverge bastante do analítico. Para tal espessura, passam a ser muito significativas, em relação às que ocorrem no contorno externo, as reflexões que ocorrem na face inferior da placa e atingem o ponto em questão, na face superior, invalidando qualquer consideração de comportamento de membrana.

Na figura 4.16, é feita a comparação entre a resposta para deslocamento no centro da placa para a situação 1, com espessura de 0,10 m, e a resposta analítica para a membrana circular na mesma situação.

0 4 8 12 16 20 tempo (s) -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 de sl ocam ento (m m) placa numérica membrana analítica

Figura 4.16 – comparação entre resultado numérico e analítico – situação 1

Pode-se notar que, para a situação 1, apesar de algumas oscilações em tempos menores de análise, o resultado, à medida que o tempo cresce, aproxima-se mais do analítico do que para a situação 2. Uma possível causa para isso é a maior ocorrência de reflexões na segunda situação, visto que a coroa circular onde é aplicado fluxo emite ondas para dentro e para fora de si mesma, provocando ondas "duplas" em relação às observadas para a situação 1. Este número maior de reflexões acaba provocando maiores alterações na resposta à medida que o tempo de análise cresce.

Pode-se considerar, no entanto, em vista da diferença dos problemas aplicados, que os resultados são bastante satisfatórios, já que apresentam sempre variação bem semelhante.

Deve-se ressaltar que, para que houvesse equivalência entre resultados para velocidade inicial e carga impulsiva aplicadas, foi empregada a equação (4.3). Deste modo, os resultados acima apresentados foram obtidos, quando analíticos, para uma velocidade inicial v0 = 1000 m/s e, quando numéricos, para uma derivada em relação ao contorno de 3,3333.10³. Como K = 1,0 kN/m², a carga aplicada foi de 3,3333 kN/m².

Nas figuras 4.17 e 4.18, são apresentados os resultados para as situações 1 e 2 relativos à derivada no contorno direito da figura 4.13(a), que corresponde, multiplicada por K, à reação vertical de apoio na membrana.

0 4 8 _{tempo (s)} 12 16 20 -0.12 -0.08 -0.04 0 0.04 0.08 0.12 ∂u /∂ n

Figura 4.17 – derivada normal ao contorno direito – situação 1

0 4 8 _{tempo (s)} 12 16 20 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 ∂u /∂ n

0 20 40 _{tempo (s)} 60 80 100 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 pr essão (Pa ) menos refinado mais refinado analítico

4.1.4. Barra prismática circular submetida a pressão não-nula em uma