ACOPLAMENTO MEC-MEF PARA PROBLEMAS ACÚSTICO-ELASTODINÂMICOS AXISSIMÉTRICOS NO DOMÍNIO DO TEMPO
Arnaldo Warszawski
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
Prof. Webe João Mansur, Ph.D.
Prof. Delfim Soares Júnior, D.Sc.
Prof. José Antonio Marques Carrer, D.Sc.
Prof. José Antonio Fontes Santiago, D.Sc.
Prof. Ney Augusto Dumont, Dr.-Ing.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL DEZEMBRO DE 2005
WARSZAWSKI, ARNALDO
Acoplamento MEC-MEF para problemas acústico-elastodinâmicos axissimétricos no domínio do tempo [Rio de Janeiro] 2005
XIII, 145 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Civil, 2005)
Dissertação – Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE
1. Propagação de ondas
2. Método dos Elementos de Contorno 3. Método dos Elementos Finitos 4. Interação fluido-estrutura 5. Axissimetria
Agradecimentos
À minha família pelo apoio e incentivo em todos os momentos.
Ao prof. Webe João Mansur pelos conselhos e sugestões sempre úteis e pelos ensinamentos passados.
Ao prof. Delfim Soares Júnior pela colaboração dada a este trabalho.
Aos colegas de mestrado pelo companheirismo.
Aos funcionários do LAMEC pela prontidão em ajudar.
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M. Sc.)
ACOPLAMENTO MEC-MEF PARA PROBLEMAS ACÚSTICO-ELASTODINÂMICOS AXISSIMÉTRICOS NO DOMÍNIO DO TEMPO
Arnaldo Warszawski
Dezembro/2005
Orientadores: Webe João Mansur Delfim Soares Júnior
Programa: Engenharia Civil
Neste trabalho é desenvolvido um código computacional para análise de propagação de ondas em corpos axissimétricos que envolvem acoplamento acústico-elástico, como é o caso, por exemplo, de problemas de interação fluido-estrutura. Esta análise é feita sempre no domínio do tempo.
O meio acústico é modelado através do Método dos Elementos de Contorno (MEC), cujas integrais no tempo são efetuadas analiticamente, utilizando o conceito de parte finita de integral. Todas as singularidades presentes para a integração no contorno são tratadas adequadamente. O meio elástico é modelado através do Método dos Elementos Finitos (MEF), empregando-se o método de Newmark para avanço no tempo.
O acoplamento entre os dois meios é feito na interface, através de procedimento iterativo, preservando as características de resolução de cada meio.
São apresentadas algumas aplicações a fim de comprovar a validade das expressões analíticas geradas para o MEC, bem como do algoritmo de acoplamento implementado.
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M. Sc.)
BEM-FEM COUPLING FOR ACOUSTIC-ELASTODYNAMIC AXISYMMETRIC PROBLEMS IN THE TIME DOMAIN
Arnaldo Warszawski
December/2005
Advisors: Webe João Mansur Delfim Soares Júnior
Department: Civil Engineering
In this work, a computer code to model wave propagation in axisymmetric bodies with acoustic-elastic coupling, as, for example, is the case of fluid-structure interaction problems, is developed. This analysis is always processed in time domain.
The acoustic medium is modeled by the Boundary Element Method (BEM), whose time integrals are evaluated analytically, using the concept of finite part integrals. All the singularities for space integration are treated adequately. The elastic medium is modeled by the Finite Element Method (FEM), employing the Newmark method for time marching.
The coupling between the two media is carried out on interfaces, through an iterative procedure, preserving the features of the solution of each medium.
Some applications are presented in order to prove the validity of the expressions generated for the BEM, as well as of the implemented coupling algorithm.
Índice
Introdução ...1
I.1. A propagação de ondas na engenharia ...1
I.2. Conceitos básicos e breve revisão bibliográfica...2
I.3. Objetivos e resumo dos capítulos ...6
1. Formulação do MEC para problemas acústicos axissimétricos...8
1.1. Equação integral e solução fundamental 3-D ...9
1.2. Solução fundamental axissimétrica...13
2. Implementação numérica do MEC ...16
2.1. Discretização e aproximações...17
2.1.1. Funções de interpolação...18
2.1.2. Montagem do sistema de equações...20
2.1.3. Propriedade de translação ...22
2.2. Integração analítica no tempo ...24
2.2.1. Ponto fonte fora do eixo de axissimetria...24
2.2.2. Ponto fonte pertencente ao eixo de axissimetria...33
2.3. Integração no espaço e singularidades...35
2.3.1. Singularidades em r = 0 ...36
2.3.2. Singularidades nas frentes de onda da solução fundamental ...42
2.3.3. Singularidades para ponto campo no eixo de axissimetria ...45
2.3.4. Transformada polinomial de 3o grau para a integração ...46
2.4. Termos relativos a fontes pontuais ...48
2.5. Esquema Teta...51
3. Acoplamento MEC-MEF...53
3.1. Expressões obtidas para o MEF...54
3.1.1. Meio acústico...54
3.1.2. Meio elástico...59
3.2. Equações governantes do acoplamento ...64
3.2.1. Acoplamento acústico-acústico MEC-MEF ...64
3.2.2. Acoplamento acústico-elástico MEC-MEF ...65
3.3. Procedimentos numéricos para o acoplamento iterativo ...67
3.3.1. Acoplamento acústico-acústico MEC-MEF ...67
4. Aplicações...72
4.1. Meio discretizado exclusivamente pelo MEC ...72
4.1.1. Barra prismática circular submetida a fluxo não-nulo em uma extremidade...73
4.1.2. Cavidade em meio acústico infinito...87
4.1.3. Membrana submetida a carga impulsiva...91
4.1.4. Barra prismática circular submetida a pressão não-nula em uma extremidade...96
4.2. Acoplamento acústico-acústico ...98
4.3. Acoplamento acústico-elástico ...101
4.3.1. Barra prismática circular vazada...101
4.3.2. Fonte emissora no interior de um duto metálico...107
4.3.3. Parede circundada por fluido submetida a carga impulsiva...112
Conclusões ...116
Bibliografia ...120
A. Expressões analíticas para as integrais no tempo...124
A.1. Expressões para g...124
A.2. Expressões para hI e hF...125
B. Integrais elípticas...130
B.1. Tipos de integrais elípticas...130
B.2. Cálculo das integrais ...131
C. Parte finita de integrais...133
D. Expressões para integrais das singularidades na frente de onda...136
D.1. Singularidade em r ...136
D.2. Singularidade em d...137
E. Expressões analíticas para os termos relativos a fontes ...140
F. Soluções analíticas de interesse ...142
F.1. Barra engastada em uma extremidade e livre na outra, submetida a carregamento axial de impacto ...142
F.2. Cavidade esférica em meio infinito ...143
F.3. Membrana circular submetida a um campo de velocidades iniciais...143
F.4. Barra acústica fechada em uma extremidade e livre na outra, submetida a pressão de impacto...145
Índice de figuras
Figura 1.1 – variáveis necessárias para solução axissimétrica ...13 Figura 2.1 – (a) contorno original; (b) contorno discretizado por elementos lineares.17 Figura 2.2 – funções de interpolação no tempo φm(t) e θm(t) ...19
Figura 2.3 – funções de interpolação no espaço ηj(X) e νj(X) ao longo dos elementos adjacentes ao nó j ...20 Figura 2.4 – exemplificação da propriedade de translação...22 Figura 2.5 – região onde é necessário efetuar as integrais de convolução em cada passo de tempo, com suas respectivas funções de interpolação ...23 Figura 2.6 – representação dos seis casos de limites de integração...27 Figura 2.7 – gráfico da diferença entre as integrais elípticas do primeiro tipo
incompleta e completa, para ui = 0,6; ξ1 = 1,0; elemento a 45o em relação à horizontal
(0 ≤ r ≤ ui – trecho cujos pontos se enquadram no caso 2 – expressão (A.1))...36
Figura 2.8 – produto da função de interpolação r/l pela integral elíptica incompleta de primeiro tipo, com os mesmos dados numéricos da figura 2.7...37 Figura 2.9 – gráfico da diferença entre os dois membros da equação (2.47), para os mesmos dados numéricos do gráfico da figura 2.7...38 Figura 2.10 – integrando da primeira parcela do segundo membro de (2.51) ...39 Figura 2.11 – gráfico da diferença entre integrais elípticas existente em (A.3), (A.9) e (A.17), para os mesmos dados numéricos das figuras 2.7 a 2.9, e uf = 0,2, traçado para 0 ≤ r ≤ uf e d ≥ ui – trecho cujos pontos se enquadram no caso 4...41
Figura 3.1 – extrapolação da pressão obtida pelo MEF...68 Figura 3.2 – interpolação do fluxo obtido pelo MEC ...69 Figura 4.1 – (a) esquema do contorno axissimétrico; (b) seção transversal, para
situações 1, 2 e 3; (c) malha empregada na análise ...74 Figura 4.2 – comparação entre o resultado da situação 1 (em preto) e o analítico (em vermelho) ...77 Figura 4.3 – comparação entre o resultado das situações 2 (em preto, linha cheia) e 3 (em preto, linha pontilhada) e o analítico (em vermelho)...79 Figura 4.4 – pressão no ponto A para análise estendida ...82 Figura 4.5 – pressão no ponto A para análise estendida, situação 2 – comparação entre amortecimentos numéricos ...83
Figura 4.6 – variação da resposta para pressão no ponto A com a mudança de θ...84
Figura 4.7 – resposta para pressão no ponto A para integração no tempo numérica e analítica ...86
Figura 4.8 – (a) esquema da cavidade esférica em meio infinito; (b) malha de oito elementos empregada...87
Figura 4.9 – resultados para 8 elementos e θ = 1,0 – pontos do contorno...88
Figura 4.10 – resultados para o ponto 1, variando-se o valor de θ ...89
Figura 4.11 – comparação entre malhas ...89
Figura 4.12 – pontos internos (em preto), comparação com resultado analítico (em vermelho) ...90
Figura 4.13 – esquema do modelo da membrana: (a) em perfil; (b) em planta...92
Figura 4.14 – gráfico no tempo da carga aplicada ...92
Figura 4.15 – comparação de espessuras: (a) e = 0,1m; 0,2 m e teórico; (b) e = 1,0 m ...93
Figura 4.16 – comparação entre resultado numérico e analítico – situação 1 ...94
Figura 4.17 – derivada normal ao contorno direito – situação 1 ...95
Figura 4.18 – derivada normal ao contorno direito – situação 2 ...95
Figura 4.19 – pressão em um ponto a meia barra ...96
Figura 4.20 – fluxo na extremidade da barra ...97
Figura 4.21 – modelo para acoplamento acústico-acústico ...98
Figura 4.22 – pressão no ponto A – acoplamento x MDF ...99
Figura 4.23 – pressão no ponto B – acoplamento x MDF ...100
Figura 4.24 – esquema da aplicação do item 4.3.1: (a) situação 1; (b) situação 2; (c) malha empregada; cotas em metros. ...102
Figura 4.25 – deslocamentos uz em A (a) e B (b) para tolerâncias de 10-3 e 10-6...103
Figura 4.26 – deslocamentos uz em A (a) e B (b) variando passo de tempo do MEF103 Figura 4.27 – deslocamentos uz nos pontos A (a) e B (b) variando refinamento da malha do MEF...104
Figura 4.28 – comparação entre resultados analíticos e numéricos - situação 1 ...105
Figura 4.29 – comparação entre resultados analíticos e numéricos - situação 2 ...106
Figura 4.30 – modelo de um meio afetado por uma fonte geradora de pressão; cotas em metros...107
Figura 4.32 – pressão no ponto B – comparação entre métodos ...109
Figura 4.33 – deslocamento horizontal no ponto C – comparação entre métodos ....109
Figura 4.34 – pressão em A – comparação com e sem o duto...110
Figura 4.35 – pressão em B – comparação com e sem o duto ...110
Figura 4.36 – esquema do modelo para aplicação do item 4.3.3; cotas em metros...112
Figura 4.37 – deslocamento horizontal em A – comparação entre métodos ...113
Figura 4.38 – deslocamento horizontal em B – comparação entre métodos ...113
Figura 4.39 – deslocamento horizontal em A – comparação com e sem fluido ...114
Figura 4.40 – deslocamento horizontal em B – comparação com e sem fluido ...114
Figura F.1 – barra engastada submetida a carga normal...142
Figura F.2 – cavidade esférica em meio infinito...143
Lista de símbolos
Símbolos romanos
a coeficiente da transformação de coordenadas. A função auxiliar para integração de partes finitas. A matriz de coeficientes do sistema do MEC.
Aˆ matriz efetiva do MEF.
b coeficiente da transformação de coordenadas. B função auxiliar para integração de partes finitas.
B matriz de formação do vetor de condições de contorno do MEC; matriz de derivadas das funções de interpolação do MEF.
Bˆ vetor efetivo do MEF.
c velocidade de propagação da onda primária; coeficiente geométrico do MEC; coeficiente da transformação de coordenadas.
C1, C2 coeficientes auxiliares para integração. C matriz de amortecimento do MEF.
d maior distância entre o ponto campo e o anel de fontes; coeficiente da transformação de coordenadas.
D matriz constitutiva.
E integral elíptica do 2o tipo completa ou incompleta; módulo de elasticidade.
f função descrita pela emissão de uma fonte pontual. F integral elíptica incompleta do 1o tipo.
F vetor de cargas nodais do MEF.
g expressão obtida da integração analítica no tempo para montagem de G.
G jacobiano da transformação de coordenadas. G matriz de convolução.
h expressão obtida da integração analítica no tempo para montagem de H; menor distância entre o ponto fonte e a reta que contém o elemento onde está o ponto campo.
H função Heaviside. H matriz de convolução.
K integral elíptica completa do 1o tipo; módulo de compressibilidade. K matriz de rigidez do MEF.
l comprimento.
L matriz de transformação deslocamento-deformação. M matriz de massa do MEF.
N função de interpolação do MEF. n vetor normal ao contorno.
p pressão; coeficiente da transformação de coordenadas. p* pressão da solução fundamental.
p vetor de pressões em certo instante de tempo. q fluxo; coeficiente da transformação de coordenadas. q* fluxo da solução fundamental.
q vetor de fluxos em certo instante de tempo. Q~ vetor que contém fluxos nodais.
r distância entre o ponto fonte no plano de axissimetria e o ponto campo. R distância entre o ponto fonte e o ponto campo.
S vetor com a contribuição das fontes pontuais. t tempo.
u variável auxiliar para integração; deslocamento. U vetor de deslocamentos.
v derivada da pressão em relação ao tempo.
w expressão obtida da integração analítica no tempo do termo relativo a fontes pontuais; função de ponderação.
X ponto campo.
x vetor de incógnitas do MEC.
y vetor com condições de contorno do MEC.
Símbolos gregos
α parâmetro de relaxação.
β parâmetro de refinamento do MEC; parâmetro de Newmark.
γ densidade de fontes; parâmetro de Newmark; coordenada natural dos pontos de Gauss.
Γ contorno do meio. δ função Delta de Dirac.
ε parâmetro de convergência das iterações. ζ coeficiente de amortecimento viscoso.
η função de interpolação espacial de p; coordenada natural dos pontos de integração transformados.
θ função de interpolação temporal de q; ângulo definidor de direção do elemento de contorno; parâmetro para estabilização do MEC.
ν função de interpolação espacial de q; coeficiente de Poisson. ξ ponto fonte; coordenada natural.
ρ densidade.
τ variável temporal.
Φ função de interpolação temporal de p. Ω domínio do meio.
Abreviaturas
MEC Método dos Elementos de Contorno. MEF Método dos Elementos Finitos.
Notações
Yi termo i do vetor Y (Y = (Y1, Y2, Y3) em 3D e Y = (Y1, Y2) em 2D).
Y& derivada temporal de Y (Y&=∂Y/∂t).
∇Y vetor gradiente de Y (∇Y = (Y,1; Y,2; Y,3) em 3D e ∇Y = (Y,1; Y,2) em
2D).
∇2 operador de Laplace (∇2Y = Y,
ii). Y norma do vetor Y ( Y =Yi.Yi)
Introdução
I.1. A propagação de ondas na engenhariaO estudo do fenômeno da propagação de ondas vem sendo aprimorado há séculos, constituindo-se de inúmeras subdivisões, entre as quais podem-se destacar a ótica (propagação da luz) e a acústica (propagação do som). Estes dois campos são de extrema importância, pela sua participação na comunicação de seres humanos e inúmeros animais. Dois dos cinco sentidos do ser humano devem sua existência às ondas luminosas e sonoras. Além destas, diversos outros tipos de ondas mecânicas e eletromagnéticas (sísmicas, ultrassonoras, microondas) têm um vasto campo de aplicação na ciência.
No contexto da engenharia atual, a análise da propagação de ondas ganha cada vez mais importância, em virtude da diversidade de aplicações dela provenientes. O desenvolvimento de equipamentos capazes de emitir ondas, geradas através de sinais, bem como de receber estas ondas e decodificá-las novamente em sinais, possibilita a ampliação cada vez maior deste campo de aplicações.
Na indústria do petróleo, pode-se destacar primeiramente a aplicação do estudo de propagação de ondas na realização de levantamentos sísmicos, inclusive em regiões com lâmina d’água elevada. Ondas acústicas emitidas na superfície da água (ou do solo), ao encontrarem obstáculos ou mudanças de propriedades entre meios de propagação, refletem-se, fazendo com que parte da energia emitida retorne à superfície. As ondas refletidas são medidas em receptores também localizados na superfície, rebocados por navios e, através do procedimento conhecido como migração em profundidade, é possível, através das respostas medidas, identificar camadas, intrusões salinas e, principalmente, regiões contendo hidrocarbonetos. Esse estudo assume uma grande responsabilidade em vista dos vultosos custos envolvidos na perfuração de poços de petróleo.
Uma aplicação comum em engenharia civil é a que utiliza GPR (“ground penetrating radar”), a fim de se investigar a composição geológica do subsolo para profundidades pequenas. Procedimentos semelhantes aos expostos no parágrafo anterior permitem obter informações a respeito das camadas presentes no subsolo. O GPR, apesar de ainda não comumente empregado, pode ser uma alternativa aos
métodos tradicionais de investigação do subsolo, quando não for vantajoso, por diversos motivos, que estes sejam utilizados, podendo ser útil também como ferramenta complementar. Para profundidades pequenas (até 100 metros), como é o caso em obras civis, ondas eletromagnéticas são em geral utilizadas. Em profundidades maiores, utilizam-se ondas sísmicas, que viajam distâncias maiores no subsolo, mas não são capazes de identificar obstáculos pequenos.
Uma última aplicação mencionada aqui é na engenharia estrutural, pelo desenvolvimento de equipamentos que possibilitam a identificação de danos (fissuras, alteração de propriedades) em estruturas de concreto, também através da medição da resposta a uma determinada fonte emitindo ondas na superfície da estrutura. Essa identificação é de extrema importância em estruturas como barragens, em que a presença de fissuras pode gerar graves conseqüências, pela possibilidade de propagação das mesmas. Deste modo, pode-se reduzir a necessidade da retirada de testemunhos, que explicitariam a existência da fissura.
Existe uma variedade extensa de problemas cujo entendimento requer a utilização de metodologias baseadas nos fenômenos de propagação de ondas; um deles é o problema de interação acústico-elástica (fluido-estrutura) estudado nesta monografia.
I.2. Conceitos básicos e breve revisão bibliográfica
De acordo com o material de que é composto o meio onde ocorre a propagação de ondas, pode-se fazer a distinção entre meios elásticos e acústicos. A princípio, POISSON [1] foi o primeiro a identificar que a onda que se propaga em um meio elástico é composta de uma onda primária, também chamada de irrotacional e longitudinal, e uma onda secundária, também chamada de transversal, distorcional e de cisalhamento. Um meio acústico, essencialmente constituído por fluidos, não resiste ao cisalhamento, por isso não ocorre nele a propagação de ondas secundárias. Este conceito é de fundamental importância, já que, dependendo do material de que é composto o meio em estudo, a modelagem física é completamente diferente.
Com o aumento da diversidade de aplicações, o estudo da propagação de ondas cresceu bastante nas últimas décadas, impulsionado também pelo aumento da capacidade de processamento e memória dos microcomputadores, o que possibilitou o
desenvolvimento de métodos mais sofisticados e eficientes visando à modelagem numérica do problema.
A modelagem de problemas transientes pode ser realizada no domínio do tempo ou no domínio da freqüência. As análises baseadas no domínio do tempo são mais familiares, visto que a resolução se processa em passos de tempo, correspondentes ao tempo real de análise (BATHE [2], COOK [3]). As análises no domínio da freqüência necessitam de domínios transformados, tendo se desenvolvido bastante ultimamente, já que em alguns casos constituem-se no modo mais adequado para análise (THOMSON [4], CLOUGH e PENZIEN [5]). Neste trabalho, todo o desenvolvimento é feito no domínio do tempo.
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é provavelmente o método numérico mais popular tanto nos meios acadêmicos quanto em empresas produtoras de programas computacionais comerciais. Este método é mais adequado para problemas relativos a meios homogêneos e anisotrópicos, bem como para lidar com as não-linearidades passíveis de existência no problema. Mais detalhes sobre o método podem ser encontrados em ZIENKIEWICZ e TAYLOR [6] e BATHE [2].
O MEF, no entanto, apresenta deficiências quando se lida com domínios infinitos, já que há a necessidade de limitar a malha. Deste modo, são introduzidos contornos artificiais. Tem-se tentado desenvolver contornos chamados de transmissores, ou não-refletores, que numericamente eliminem reflexões, absorvendo a energia, a fim de representar corretamente a continuidade do meio (GIVOLI e NETA [7], SARMA et al. [8]), porém sua eficiência ainda é questionável. Com isso, muitas vezes é necessário que a malha de elementos finitos seja estendida a uma dimensão muito grande, sendo que este procedimento em alguns casos inviabiliza as análises, produzindo malhas de tamanho proibitivo.
O Método dos Elementos de Contorno (MEC) teve seu desenvolvimento iniciado mais recentemente, sendo derivado da discretização numérica de equações integrais obtidas a partir das equações físicas básicas do problema em questão. Através do MEC um corpo de domínio infinito pode ser corretamente representado, já que o método exige apenas a discretização do contorno. Mais detalhes sobre o método podem ser encontrados em DOMINGUEZ [9], BECKER [10] e MANSUR [11]. Uma desvantagem deste método é que, dependendo do vulto do problema, há a necessidade, na análise no domínio do tempo, do armazenamento de grande
quantidade de matrizes de convolução correspondentes aos instantes de tempo de análise decorridos.
Em alguns tipos de problema, o domínio em análise é formado por sistemas de diferentes características interagindo entre si. Neste caso, não é possível a solução de cada sistema isoladamente, já que os resultados de cada um influenciam a resposta do outro. Estes sistemas são ditos acoplados e, dependendo das suas características, o acoplamento pode ser do tipo acústico-acústico, acústico-elástico ou elástico-elástico, por exemplo.
Segundo SOARES JR. [12], os sistemas acoplados podem interagir apenas em suas interfaces ou seus domínios podem se sobrepor. No primeiro caso, chamado de acoplamento de interface, o acoplamento se dá através das condições de contorno na interface, enquanto no segundo, chamado de acoplamento de domínio, o acoplamento se dá através das equações governantes dos fenômenos físicos. No presente trabalho, lida-se apenas com acoplamento de interface. Como exemplo deste tipo de acoplamento, pode-se citar a interação entre fluido e estrutura, como no caso de água interagindo com estruturas de barragens, portos e estruturas off-shore, ou de lubrificantes interagindo com elementos de máquinas; outro caso é o de interação entre sólidos de propriedades diferentes, como entre o solo e as fundações de uma estrutura.
Os diferentes sistemas que interagem entre si podem ser modelados por métodos numéricos distintos. Neste trabalho trata-se de sistemas acoplados modelados pelo MEF e pelo MEC. O estudo deste tipo de acoplamento leva, entre outros, aos trabalhos de VON ESTORFF e ANTES [13], BELYTSCHKO e LU [14] e YU et al. [15]. Nestes trabalhos, a resolução do sistema ocorre através da formação de um sistema de equações acoplado. Segundo SOARES JR. e VON ESTORFF [16], alguns problemas advêm deste procedimento, sendo importante citar no contexto do presente trabalho os seguintes: o sistema acoplado de equações não apresenta as características de esparsidade e configuração em banda daquele obtido no MEF, inviabilizando o emprego dos programas de solução já desenvolvidos para os sistemas obtidos neste método; e o intervalo de tempo da solução deve ser único para todas as malhas. Esse último é um problema grave, visto que há casos em que a diferença entre as velocidades de propagação de onda dos diversos meios acoplados é considerável, o
que exigiria discretizações espaciais e temporais distintas, adequadas a cada meio e a cada método empregado na modelagem.
Estes problemas são evitados empregando-se o método iterativo para acoplamento apresentado inicialmente por SOARES et al. [17] para análise de sistemas não-lineares bidimensionais com acoplamento do tipo sólido-sólido. Segundo esta abordagem, cada sistema é resolvido separadamente, sendo verificadas as condições de contorno na interface, através de um processo iterativo, até que estas sejam atingidas (tal procedimento é descrito detalhadamente no item 3.3 do presente trabalho, adaptado ao caso axissimétrico). Posteriormente, o conceito de acoplamento iterativo MEC-MEF foi expandido por SOARES et al. [18] para análise de sistemas acoplados do tipo sólido-fluido, tendo mais uma vez como foco problemas bidimensionais.
Este trabalho trata de problemas axissimétricos, ou seja, que possuem simetria em relação a um eixo, que se configura como um eixo de revolução. A consideração desta simetria representa uma economia, já que evita a análise do problema tridimensional. Quando for feita referência a um problema axissimétrico, fica subentendido a partir de agora que está se tratando tanto da geometria quanto do carregamento aplicado.
A análise de meios acústicos axissimétricos modelados pelo MEC, um ponto fundamental neste trabalho, inicialmente concentrou-se em soluções no domínio da freqüência. GRANNELL et al. [19] deduziram um método de alta precisão para solução do problema de Neumann para a equação de Helmholtz. TSINOPOULOS et al. [20] e SOENARKO [21] lidaram com problemas de propagação de ondas acústicas com condições de contorno não-axissimétricas. No domínio do tempo, o usual era a integração numérica da solução fundamental tridimensional em torno do eixo de axissimetria, como em ISRAIL et al. [22] e BESKOS [23]. No entanto, em CZYGAN e VON ESTORFF [24] é apresentado o procedimento de integração analítica da solução fundamental em torno do eixo de axissimetria, chegando-se então à solução fundamental axissimétrica. No presente trabalho, o principal foco consiste na integração analítica ao longo do tempo desta solução.
I.3. Objetivos e resumo dos capítulos
No Capítulo 1, apresenta-se a formulação do MEC para problemas de propagação de ondas acústicas em meios homogêneos. Partindo-se da equação governante do fenômeno, chega-se à equação integral de contorno através da qual se obtém a pressão em qualquer ponto do domínio ou do contorno em estudo. É apresentado resumidamente o processo empregado por MANSUR [11] para se obter esta equação, o qual se utiliza do método dos resíduos ponderados, considerando como função de ponderação a solução fundamental do problema. Este procedimento refere-se ao caso genérico tridimensional. Em seguida, é mostrado brevemente o procedimento utilizado por CZYGAN e VON ESTORFF [24] para obtenção da solução fundamental axissimétrica.
O Capítulo 2 contém todo o procedimento aplicado às integrais de contorno a fim de resolver o problema numericamente. O contorno é discretizado em elementos de contorno de geometria linear e são apresentadas as funções de interpolação empregadas no método. A equação integral de contorno é escrita para todos os pontos do contorno para se chegar ao sistema de equações de interesse. Os coeficientes das matrizes deste sistema são provenientes de integrais no tempo (relativas à convolução) e no espaço. O próximo passo, então, é a integração analítica no tempo, cujo procedimento é detalhado no item 2.2. Os cuidados a serem tomados para a integração espacial são também aprofundados, no item seguinte, no qual se apresenta o processo semi-analítico empregado a fim de se eliminar as singularidades presentes nas expressões. No item 2.4, trata-se da integração analítica no tempo dos termos correspondentes a fontes pontuais presentes no meio. O “Esquema Teta” utilizado para estabilização da resposta é brevemente mostrado no fim do capítulo. As integrações analíticas, que produzem as expressões apresentadas nos Anexos A, D e F, são o cerne do trabalho, sendo o resultado obtido através deste processo comparado com aquele obtido através de integração numérica.
No Capítulo 3, inicialmente se apresenta a formulação do MEF, tanto para problemas acústicos quanto para problemas elásticos, sendo mostrada a adaptação realizada para problemas axissimétricos. Em seguida é abordado o acoplamento de sistemas fisicamente distintos elástico), ou fisicamente similares (acústico-acústico), porém modelados por métodos distintos. São relacionadas as condições a
serem obedecidas na interface para o acoplamento. O método iterativo para implementação numérica do acoplamento é apresentado no item 3.3.
O Capítulo 4 apresenta exemplos de aplicação dos métodos descritos nos capítulos anteriores visando à validação do que foi desenvolvido aqui. Os exemplos, primeiramente, referem-se a problemas de meio exclusivamente acústico, a fim de se testar as expressões analíticas obtidas no Capítulo 2 e mostradas nos Anexos A, D e E. Posteriormente, passa-se para exemplos de domínios em que ocorre interação entre meios acústicos, e entre meios acústicos e elásticos, verificando-se o acoplamento implementado.
O objetivo principal do trabalho é a obtenção das expressões analíticas provenientes da integração ao longo do tempo. Com isso, é desenvolvido um código computacional em Fortran para análise de meios acústicos axissimétricos pelo MEC.
Posteriormente, trabalha-se no acoplamento iterativo para meios axissimétricos. Utilizando-se de um programa já desenvolvido para solução de problemas acústicos e elastodinâmicos pelo MEF, promove-se a interação entre os dois programas através de uma sub-rotina de acoplamento de interface e de execução das iterações.
Capítulo 1
Formulação do MEC para problemas acústicos axissimétricos
A equação escalar da onda, explicitada pela expressão (1.1), governa a propagação de ondas através de meios acústicos, de modo geral, podendo ser também empregada na análise de diversos outros problemas, tais como vibração longitudinal de barras, vibração transversal de cordas e de membranas. Em alguns casos, um problema de meio elástico pode ter suas equações governantes simplificadas, de modo a recaírem na equação escalar da onda, ampliando o campo de aplicações dos procedimentos de resolução desta equação.
γ − = ∂ ∂ − ∇2 12 22 t p c p (1.1)
Em (1.1), p é a pressão em qualquer ponto do domínio do problema, c é a velocidade de propagação da onda acústica no meio e γ a função que descreve a distribuição espacial e temporal de fontes no domínio. O operador ∇ representa o 2 Laplaciano de uma função. O domínio do problema é denominado Ω, sendo seu contorno expresso por Γ.
São consideradas as condições iniciais de pressão e de sua derivada em relação ao tempo expressas em (1.2), onde o ponto X representa um ponto qualquer do domínio.
( )
( )
,0 ( ) ) ( 0 , 0 0 X v X t p X p X p = ∂ ∂ = (1.2)As condições de contorno do problema são expressas por (1.3), onde Γ1 é a
parte do contorno em que são prescritas pressões e Γ2 a parte em que são prescritas as
derivadas na direção normal ao contorno, que equivalem ao fluxo q.
( )
( )
2 1 , , , , Γ ∈ = ∂ ∂ Γ ∈ = X q t X n p X p t X p (1.3)Este capítulo tem como objetivo a obtenção, através da manipulação da equação (1.1), da equação integral a ser empregada para a análise pelo Método dos Elementos de Contorno (MEC). Os procedimentos são aqui expostos de forma simplificada, já que não é este o objetivo do trabalho. A dedução mais rigorosa pode ser encontrada em MANSUR [11].
Obtida a equação integral, necessita-se da solução fundamental, que, como será visto, é uma função de Green do problema. Por fim, a solução fundamental geral, obtida para o caso tridimensional, é particularizada para o caso em que se lida com a axissimetria do problema, conforme executado em CZYGAN e VON ESTORFF [24].
Os resultados aqui expostos são a base teórica para os procedimentos implementados no capítulo seguinte.
1.1. Equação integral e solução fundamental 3-D
Através da utilização do método dos resíduos ponderados, a partir da equação de interesse (1.1), é escrita a expressão (1.4), na qual τ é a variável ao longo do tempo.
(
)
∫∫
(
)
∫∫
∫∫
+ + + Γ Γ Ω Γ − − Γ − = Ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − ∇ t t t d d q p p d d p q q d d p p c p 0 * 0 * 0 * 2 2 2 2 1 2 1 γ τ τ τ τ (1.4)A função de ponderação p* é chamada de solução fundamental do problema, apresentada mais adiante. Esta função deve ser solução da equação (1.1), em uma região descrita pelo domínio Ω*, de contorno Γ*, de modo que Ω* contenha o domínio e o contorno originais. A função q* representa a derivada da solução fundamental na direção normal ao contorno, ou seja, o fluxo no contorno relacionado à solução fundamental. A integração é efetuada até um instante de tempo t+, que corresponde ao instante t acrescido de um parâmetro infinitesimal. Este procedimento é necessário para que o limite de integração não coincida com o pico de uma função delta de Dirac.
O próximo passo consiste em aplicar a segunda identidade de Green, apresentada em (1.5), ao termo de (1.4) que contém o Laplaciano. Esta segunda
identidade de Green pode ser obtida através de manipulações do teorema da divergência [11].
(
)
∫
∫
∫
Γ Ω Ω Γ − + Ω ∇ = Ω ∇2pp*d 2p* pd p*q q*p d (1.5)Ao mesmo tempo, realiza-se, duas vezes a integração por partes no termo que contém a derivada segunda da pressão em relação ao tempo, expressa em (1.6).
∫
∫
+ + + ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ t t t d p p p p p p d p p 0 2 * 2 0 * * 0 * 2 2 τ τ τ τ τ τ (1.6)Com isso, chega-se à expressão (1.7), na qual se considera que a pressão e o fluxo são perfeitamente conhecidos, respectivamente, em Γ1 e Γ2.
(
)
0 1 1 0 * * 2 0 * 0 2 * 2 2 * 2 0 * * = Ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ − Γ + + Ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ + Γ −∫
∫∫
∫∫
∫∫
Ω Ω Ω Γ + + + + d p p p p c d d p d d p p c p d d p q q p t t t t τ τ τ γ τ τ τ (1.7)Sabendo-se que, devido à propriedade da causalidade, é válida a expressão (1.8), chega-se a (1.9). 0 * * = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + + = =t t p p p p τ τ τ τ (1.8)
(
)
(
)
0 1 1 * 0 0 0 * 0 2 0 * 0 2 * 2 2 * 2 0 * * = Ω − − Γ + + Ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ + Γ −∫
∫∫
∫∫
∫∫
Ω Ω Ω Γ + + + d p v p v c d d p d d p p c p d d p q q p t t t τ γ τ τ τ (1.9)A solução fundamental p* aqui utilizada é a função de Green para um meio infinito submetido a uma fonte concentrada dada pela expressão (1.10). O ponto ξ é chamado de ponto fonte, no qual está localizada a fonte geradora de pressão da solução fundamental, sendo o ponto X denominado ponto campo, que corresponde a um ponto qualquer no qual se está medindo a resposta devida à excitação provocada pela fonte. A fonte corresponde a uma função Delta de Dirac também no tempo, sendo sua aplicação dada no tempo τ, enquanto a resposta é medida em um tempo qualquer t.
(
ξ) (
δ τ)
δ
γ* = X − t− (1.10)
Substituindo-se a expressão para a fonte em (1.1), pode-se chegar à solução fundamental dada por (1.11), segundo MORSE e FESHBACH [25].
(
)
[
ct R]
R c p = δ −τ − π 4 * (1.11)(
)
[
]
[
(
)
]
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − − + − − ∂ ∂ = ∂ ∂ = c t R c t R R c R n r n p q δ τ δ τ π & 4 1 * * (1.12)Em (1.11), R é a distância entre o ponto fonte ξ e o ponto campo X. Substituindo-se o termo entre parênteses da segunda parcela de (1.9) pela expressão (1.10) e se utilizando das propriedades da integração de uma função Delta de Dirac, chega-se finalmente à expressão (1.13).
( )
(
) (
)
(
) (
)
(
) ( )
(
) ( )
(
) (
)
∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫
+ + + Ω Ω Ω Γ Γ Γ + + Ω + Ω − − Γ − Γ = t t t d d X t X p d X v t X p c d X p t X v c d d X p t X q d d X q t X p t p 0 * 0 * 0 2 0 * 0 2 0 * 0 * , , , , , , 1 , , 1 , , , , , , , , , τ τ γ τ ξ ξ ξ τ τ τ ξ τ τ τ ξ ξ (1.13)A expressão (1.13) é válida para um ponto ξ não pertencente ao contorno. No caso de este ponto pertencer ao contorno, o primeiro termo do lado esquerdo de (1.13) é multiplicado pelo coeficiente c(ξ), dado por (1.14).
( )
(
)
(
)
∫
∫
Γ Γ → Γ Γ = ε ε ε ε ε ξ ξ ξ d X q d X q im l c , , * * 0 (1.14)Em (1.14), Γ é o contorno de um domínio ε Ω , que corresponde a uma esfera ε de raio infinitesimal ε em torno do ponto ξ, sendo Γ a parcela do contorno de ε Ω ε localizada no interior do domínio original do problema Ω.
Para contornos tridimensionais, quando o contorno não é suave em ξ, o cálculo pode se tornar bastante trabalhoso, portanto, evita-se colocar pontos fontes em pontos angulosos de contornos tridimensionais. Sendo o contorno suave em ξ, não apresentando “bico”, c(ξ) = 0,5.
Se o domínio modelado é caracterizado por duas dimensões (problemas bidimensionais ou axissimétricos), Ω não mais é uma esfera (torna-se um círculo, ε representando um cilindro infinito, no problema bidimensional, e um toróide, no problema axissimétrico), e a expressão (1.14) se simplifica em (1.15), sendo α o ângulo interno formado pelas tangentes ao contorno do modelo no ponto ξ.
( )
π α ξ 2 = c (1.15)1.2. Solução fundamental axissimétrica
Neste item é sucintamente exposto o procedimento apresentado por CZYGAN e VON ESTORFF [24] para se chegar à solução fundamental para problemas acústicos axissimétricos resolvidos pelo MEC.
Este procedimento consiste basicamente de uma integração em torno do eixo de axissimetria para θ variando de 0 a 2π, de acordo com a figura 1.1. Em (1.16), a divisão por 2π é meramente um artifício que terá sua utilidade mostrada ao final do capítulo.
∫
= π θ π 2 0 * 3 * 2 1 d p paxi d (1.16)Para substituir a solução fundamental tridimensional, dada por (1.11), em (1.16), é necessário expressar a distância entre um ponto qualquer do anel de fontes descrito por ξ (figura 1.1) e o ponto campo X em função apenas de variáveis presentes no plano 1-2, que contém o contorno do modelo, e do ângulo θ, que será integrado, desaparecendo da expressão. Deste modo, chega-se por simples geometria a (1.17).
(
)
2 2 2 2 1 1 1 2 1 −2 ξ cosθ +ξ + −ξ = x x x R (1.17)Escrevendo-se r conforme (1.18), R passa a ser dado pela expressão (1.19).
(
)
2 2 2 2 1 1 1 2 1 −2 ξ +ξ + −ξ = x x x r (1.18)( )
r,θ = r2 +2x1ξ1(
1−cosθ)
R (1.19)A distância máxima d entre um ponto do anel de fontes e o ponto campo em questão, dada por (1.20) é obtida para cos θ = – 1.
1 1 2 4xξ r
d = + (1.20)
Substituindo-se a expressão (1.19) na solução fundamental dada por (1.11) e esta em (1.16), pode-se proceder à integração indicada. A matemática desta integração é um tanto árdua, não sendo aqui apresentada. Ela pode ser encontrada na referência [24].
A expressão final a que se chega é apresentada em (1.21).
(
)
[
]
(
(
)
)
[
(
)
]
(
)
[
ξ τ]
τ τ ξ τ π − − + − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − − = t c r x H r t c H r t c x r t c c paxi 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 * 4 4 1 4 x x (1.21)A expressão (1.21) é não-nula somente para r < c(t – τ) < 2 1 1
4xξ +r = d, ou seja, apenas para pontos já atingidos pela onda emitida pelo ponto do anel de fontes mais próximo a eles e ainda não atingidos pelo ponto do anel de fontes mais distante deles. A interpretação deste fato conduz ao raciocínio de que o caso axissimétrico é um caso intermediário entre o caso bidimensional e o tridimensional. No primeiro, o ponto campo é afetado pelo ponto fonte desde a chegada da primeira onda até o infinito, já que este ponto fonte na realidade representa uma linha infinita de fontes. No caso tridimensional, o ponto campo é afetado apenas em um instante de tempo determinado, já o ponto fonte representa apenas ele mesmo, e a solução fundamental é um Delta de Dirac. Já para o caso axissimétrico, a solução fundamental é não-nula, ou
seja, o ponto campo é afetado, durante um intervalo de tempo definido, compatível com o fato de o ponto fonte na realidade representar uma circunferência formada por fontes pontuais infinitesimais.
A derivada da solução fundamental axissimétrica na direção normal ao contorno é dada por (1.22), onde o vetor n representa a normal ao contorno, de componentes n1 e n2, sendo x1 e x2 as coordenadas do ponto campo, sempre em
relação aos eixos 1 e 2 da figura 1.1.
(
)
[
]
(
(
)
)
(
)
[
]
(
(
)
)
(
)
[
τ]
[
ξ(
τ)
]
τ ξ τ ξ τ ξ ξ π − − + − − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − + = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = t c r x H r t c H r t c x r t c x n r t c x x n x n c n x p n x p n pq axi axi axi
axi 2 1 1 2 / 3 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 * 1 1 * * * 4 2 1 . 2 1 . 4 x x (1.22)
Nota-se que as funções Heaviside originárias de (1.21) não foram derivadas. Fazendo-se analogia com o caso bidimensional, a derivação da função Heaviside em relação ao tempo acaba produzindo um termo que inclui as condições iniciais e outro que se soma à expressão (1.22) na integral ao longo do tempo, regularizando o integrando. Deste modo, os problemas analisados utilizando-se o fluxo da solução fundamental dado por (1.22) apresentam erro quando da consideração de condições iniciais no problema em seu contorno.
O resultado da integral, com o integrando regularizado, equivale ao obtido integrando-se diretamente a expressão (1.22), utilizando o conceito de partes finitas quando há singularidades não-integráveis. No entanto, na formulação por partes finitas, falta o termo que inclui as condições iniciais. No Capítulo 2, o procedimento de integração utilizado neste trabalho é apresentado, e este aspecto volta a ser discutido.
No caso em que o ponto fonte ξ ou o ponto campo X se localiza sobre o eixo de axissimetria do modelo, a solução fundamental axissimétrica confunde-se com a solução fundamental tridimensional. Esse aspecto só é possível se houver a divisão por 2π presente em (1.16).
Capítulo 2
Implementação numérica do MEC
Neste capítulo, são abordados todos os aspectos relativos ao desenvolvimento do esquema elaborado neste trabalho com o objetivo de se resolver problemas acústicos axissimétricos, representados pela equação (1.1), através da implementação numérica pelo Método dos Elementos de Contorno (MEC).
Primeiramente, mostra-se de que forma, partindo da equação integral (1.13), pode-se resolver o problema numericamente. Este processo envolve a discretização do contorno em elementos, bem como a discretização do tempo total de análise em instantes de tempo definidos a partir de um intervalo de tempo de análise, procedimento padrão para qualquer problema a ser resolvido no domínio do tempo pelo MEC.
Em seguida, são apresentadas as aproximações utilizadas a fim de se representar o comportamento da variável básica do problema e de sua derivada na direção normal ao contorno (no caso da acústica, a pressão e o fluxo) ao longo do espaço e do tempo em função de valores discretos nos nós do contorno (nós estes que são determinados pela discretização espacial adotada) em certos instantes de tempo (determinados em função da discretização temporal adotada), valores estes que acabam se constituindo nas incógnitas do problema.
Tendo sido definidas as aproximações, fica definido o integrando das integrais de convolução presentes na expressão (1.13). Parte-se então para a manipulação deste integrando, a fim de se desenvolver a expressão analítica do resultado desta integral, que posteriormente é integrado ao longo dos elementos, conforme será visto.
Estas expressões analíticas apresentam singularidades para alguns pontos do contorno, sobre as quais é comentado na seqüência, apresentando-se o procedimento de integração semi-analítica utilizado, e mostrando como é realizada a integração numérica ao longo dos elementos do contorno, o que envolve uma transformação de coordenadas a fim de se aumentar a precisão do método de integração. Desta forma, são montadas as matrizes de convolução, bem como as matrizes correspondentes ao tempo para o qual as incógnitas estão sendo calculadas.
Posteriormente são apresentadas as expressões analíticas integradas ao longo do tempo relativas aos termos da equação integral que aparecem devido a fontes pontuais geradoras de pressão presentes no meio acústico.
Neste trabalho, a integração analítica ao longo do tempo apresenta-se como estratégia alternativa e mais precisa à integração numérica, através dos métodos de Kutt [27] e Chebyshev [28], de acordo com o tipo de integral a ser calculada.
Por fim, aborda-se a implementação do “Esquema Teta”, que foi empregado neste trabalho tendo como objetivo a estabilização da resposta ao longo do avanço no tempo para alguns problemas com os quais se deparou.
2.1. Discretização e aproximações
No Capítulo 1, obteve-se a equação (1.13), que serve de base para a resolução do problema acústico a partir apenas de incógnitas presentes no contorno do meio em estudo. Por aquela equação, pode-se obter a solução em qualquer ponto, em qualquer instante de tempo, se for conhecida a solução ao longo de todo o contorno do meio em questão, em todo instante de tempo anterior a este.
O MEC tem como princípio a obtenção da solução em pontos definidos, no contorno. Para isso, a equação (1.13) deve ser aplicada a estes pontos, de modo que eles funcionem como pontos fontes. Estes pontos, chamados de nós funcionais, são neste trabalho sempre posicionados nas extremidades dos elementos através dos quais a geometria do contorno é discretizada. Os elementos com os quais se trabalha aqui têm geometria sempre reta. Uma discretização espacial típica através de elementos lineares é apresentada na figura 2.1.
(a) (b)
De modo análogo, pode-se proceder com relação à discretização temporal. Neste trabalho, adota-se sempre o valor do intervalo de tempo constante, ou seja, define-se um intervalo de tempo, sendo o problema então resolvido para instantes de tempo múltiplos do valor deste intervalo.
A equação integral (1.13) é aplicada considerando-se, de cada vez, um nó funcional diferente do contorno como ponto fonte. Introduzindo-se as discretizações empregadas, chega-se a um sistema de equações algébricas lineares, já que a cada aplicação de (1.13) obtém-se uma equação que contém os valores da variável básica e de sua derivada em todos os nós do contorno. A resolução do problema passa então pela montagem e solução deste sistema de equações.
2.1.1. Funções de interpolação
Para as integrais presentes em (1.13) serem efetuadas, é necessário se definir os valores da pressão p e do fluxo q em qualquer ponto, em qualquer instante de tempo, em função dos valores nos nós da discretização espacial e temporal, o que é feito através de funções de interpolação, conforme mostrado abaixo.
( )
∑∑
= + = = NN j n m m j j m t X p t X p 1 1 1 ) ( ) ( , φ η (2.1)( )
∑∑
= + = = NN j n m m j j m t X q t X q 1 1 1 ) ( ) ( , θ ν (2.2)Nas equações (2.1) e (2.2), X corresponde a um ponto qualquer do contorno e t a um instante qualquer de tempo; NN é o número total de nós e n o número total de intervalos de tempo decorridos até aquele instante; o índice m percorre os instantes de tempo discretizados até o instante para o qual se está resolvendo o problema, enquanto o índice j percorre todos os nós do contorno. pjm e qjm representam,
respectivamente, os valores da pressão e do fluxo no nó j no tempo m.
As funções de interpolação φm(t), θm(t), ηj(X) e νj(X), como qualquer função de interpolação, devem ter como requisito básico assumir valor unitário no nó ao qual se referem e nulo em todos os demais. Neste trabalho, são empregadas funções de interpolação sempre lineares no espaço. Para a interpolação ao longo do tempo, são utilizadas funções lineares, para p, e constantes, para q.
Deste modo, as funções de interpolação podem ser representadas a partir das expressões (2.3) a (2.5).
Funções de interpolação no tempo:
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < ≤ ≤ Δ − ≤ ≤ Δ − = + − + + − − 1 1 1 1 1 1 , 0 , , ) ( m m m m m m m m m t ou t t t t t t t t t τ τ τ τ τ τ τ φ (2.3) ⎩ ⎨ ⎧ > < ≤ ≤ = − − m m m m m t ou t t t τ τ τ τ θ 1 1 , 0 , 1 ) ( (2.4)
Funções de interpolação no espaço:
(
)
(
)
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ Γ ∈ − Γ ∈ + = = l l k k j j X X X X , 1 2 1 , 1 2 1 ) ( ) ( ξ ξ ν η (2.5)Nas expressões (2.5), Γk e Γl representam os elementos adjacentes ao nó j, e ξk
e ξl suas respectivas coordenadas naturais, conforme figura 2.3.
Conforme já mencionado, as funções φ, θ e η assumem comportamento linear entre pontos adjacentes, enquanto a função ν assume um comportamento constante, o que ilustram as figuras 2.2 e 2.3.
Figura 2.3 – funções de interpolação no espaço ηj(X) e νj(X) ao longo dos elementos adjacentes ao nó j
Como as funções são sempre lineares ou constantes, elas assumem valores não nulos apenas em elementos ou intervalos de tempo adjacentes ao ponto em relação ao qual se referem. Portanto, os valores de p e q em um ponto qualquer em certo instante de tempo são determinados em função apenas dos valores nos nós extremos do elemento do qual este ponto faz parte, nos instantes de tempo discretizados imediatamente posterior e anterior ao instante de tempo em questão.
2.1.2. Montagem do sistema de equações
Tendo as equações (2.1) e (2.2) totalmente definidas, substituem-se na equação (1.13) os valores de p e q em função das aproximações, chegando-se à expressão (2.6), em que se considera o ponto-fonte localizado no nó i. Não são consideradas condições iniciais de pressão nem de sua derivada em relação ao tempo em nenhum ponto do domínio.
( )
( 1) 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 1 + + = = + + = = + + +∑∑
=∑∑
+ n i n m NN j m j m n ij n m NN j m j m n ij n i i p H p G q S cξ (2.6) Na equação (2.6):∫
∫
Γ + + = ( ) ( ) ( , ; , ) ( ) Γ ( ) 0 1 * 1 ) 1 ( X x X q X t d d X H axi t m i n j m n ij n τ τ φ τ ξ η (2.7)∫
∫
Γ + + = ( ) ( ) ( , ; , ) ( ) Γ ( ) 0 1 * 1 ) 1 ( X x X p X t d d X G axi t m i n j m n ij n τ τ θ τ ξ ν (2.8) τ τ τ ξ f d t X p S n t s i n S NF s n i∑
∫
+ = + = 0 1 * 1 ) 1 ( ( , ; , ) ( ) (2.9)Nas equações (2.7) a (2.9), p* e q* representam, respectivamente, a solução fundamental axissimétrica para pressão e sua derivada na direção normal ao contorno para um ponto X, no instante tn+1, devidas a uma fonte localizada em ξi no instante τ.
A função fs(τ) representa a variação ao longo do tempo da vibração emitida pela
s-ésima fonte pontual presente no domínio, sendo NF o número total de fontes. O coeficiente c(ξi) é aquele descrito no Capítulo 1, dividido por 2π, já que a solução
fundamental axissimétrica, conforme já citado, também sofre esta divisão.
Aplicando-se a equação (2.6) aos NN nós do contorno, obtêm-se n+1 matrizes G e H, de dimensão NNxNN, bem como um vetor S, de dimensão NN. Devido às propriedades das funções de interpolação citadas anteriormente, e ilustradas nas figuras 2.2 e 2.3, para se obter as matrizes H(n+1)m e G(n+1)m basta se proceder à integração entre os instantes de tempo tm-1 e tm+1. Para se obter os elementos Hij e Gij
de cada uma dessas matrizes, basta realizar a integração ao longo dos elementos adjacentes ao nó j.
A partir da equação (2.6), pode-se montar um sistema de equações através do qual se obtém a solução para o instante de tempo n+1, chamado de instante “atual” de tempo. Neste instante, já são conhecidos os valores dos vetores pm e qm para m < n+1, que multiplicados, respectivamente, pelas matrizes H(n+1)m e G(n+1)m, realizam a convolução do problema. Portanto, as incógnitas são pn+1 e qn+1, ou seja, 2NN valores desconhecidos. Como o sistema apresenta NN equações, seria indeterminado, não fossem as condições de contorno, que impõem que em todos os instantes, para cada nó, ou a pressão ou o fluxo deve ser prescrito, gerando então NN valores desconhecidos de pressão e fluxo.
Para a resolução do sistema, é formada uma matriz que multiplica somente as incógnitas. Primeiramente, soma-se à diagonal da matriz H(n+1)(n+1), em cada linha i, a parcela c(ξi), formando-se a matriz H(n+1)(n+1). Escolhendo-se, por exemplo, a matriz
H(n+1)(n+1) como base para a formação da matriz de incógnitas, são trocadas, mudando o sinal, suas colunas correspondentes aos nós com p prescrito pelas correspondentes colunas da matriz G(n+1)(n+1), já que nestes nós a incógnita é q. Estas novas matrizes derivadas de H(n+1)(n+1) e G(n+1)(n+1) são então denominadas, respectivamente, A e B, formando o sistema de equações indicado em (2.10).
n n m NN j m j m n ij n m NN j m j m n ij q H p G S By Ax= +
∑∑
−∑∑
+ = = + = = + 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( (2.10)Na equação (2.10), x contém todas as incógnitas no instante n+1 e y, os valores prescritos neste mesmo instante.
2.1.3. Propriedade de translação
As matrizes H e G apresentam uma propriedade bastante útil, chamada propriedade de translação. Esta propriedade pode ser representada através das seguintes expressões: nm l m l n nm l m l n G G H H = = + + + + ) )( ( ) )( ( (2.11)
As expressões (2.11) indicam que as matrizes H e G dependem apenas da diferença entre o “instante atual” n (para o qual se está efetuando o cálculo) e o instante m no qual a solução fundamental foi emitida, sendo l um inteiro genérico. A partir de agora, portanto, elas podem passar a ser identificadas apenas por um índice, que representa a diferença (n – m). A figura 2.4 elucida bem esta propriedade. Nela, no eixo vertical estão representadas a função de interpolação e a solução fundamental. Pode-se perceber que, em ambos os casos, a integral do produto destas duas funções, presente na expressão (2.7), é a mesma. Portanto: Hnm = H(n-l)(m-l) = H(n-m).
Pode-se tirar bastante proveito desta propriedade, visto que, a cada passo de tempo, podem-se utilizar resultados obtidos em instantes de tempo anteriores, bastando calcular parcelas das matrizes G e H relativas a funções de interpolações não-nulas entre τ = t1 e τ = t2, ou seja, relativas a G(n-1), H(n) e H(n-1), sendo n+1 o
instante de tempo atual, correspondente ao passo de tempo n. A figura 2.5 ilustra o que foi dito. No passo de tempo seguinte, soma-se mais uma parcela aos termos de H(n). A parcela equivalente àquela somada no instante atual a H(n) foi somada no instante anterior a H(n-1).
Aqui se verifica a restrição imposta pela não derivação das funções Heaviside da solução fundamental axissimétrica, o que regularizaria a expressão a ser integrada. Apenas ao se somarem as duas parcelas de H(n) calculadas em instantes de tempo consecutivos chega-se aos valores corretos de seus termos. Deste modo, sendo o instante de tempo atual n+1, a matriz H(n), que multiplica p1 (pressões iniciais), ainda não está completa, portanto apresenta valores incorretos, inviabilizando a análise com condições iniciais não-nulas no contorno. Comportamento análogo a este é apresentado e detalhado, para o caso bidimensional, em MANSUR e CARRER [29].
Figura 2.5 – região onde é necessário efetuar as integrais de convolução em cada passo de tempo, com suas respectivas funções de interpolação
2.2. Integração analítica no tempo
Neste item, são apresentados os procedimentos empregados para o cálculo das integrais ao longo do tempo (integrais de convolução) presentes nas equações (2.7) e (2.8). No presente trabalho, as integrais são desenvolvidas analiticamente, gerando expressões que posteriormente são integradas ao longo dos elementos de contorno para se chegar aos elementos das matrizes G e H.
Conforme mencionado no item 2.1.3, as integrais, a cada passo de tempo, são executadas sempre entre τ = t1 e τ = t2. Para a matriz G, como a função de
interpolação no tempo de q é constante, calcula-se apenas uma expressão, chamada de g, que após ser integrada no espaço, produz os elementos da matriz G(n-1), sendo n+1 o instante atual de tempo. Já para a matriz H, como a função de interpolação de p é linear, são calculadas duas expressões, relativas às duas funções de interpolação não-nulas neste intervalo. A expressão relativa a φ1(τ) é chamada de hI, enquanto a
expressão relativa a φ2(τ) é chamada de hF. Para tornar as expressões genéricas para
qualquer intervalo de tempo, os limites do intervalo no qual se processa a integração são tratados, a partir de agora, como ti e tf, ao invés de t1 e t2.
2.2.1. Ponto fonte fora do eixo de axissimetria
Quando o ponto fonte se encontra fora do eixo de axissimetria, a solução fundamental e sua derivada em relação à normal ao contorno são regidas pelas expressões (1.21) e (1.22).
Primeiramente, apresenta-se aqui a mudança de variável de integração realizada a fim de se facilitar a manipulação das expressões a serem integradas. Originalmente, têm-se as expressões (2.12) a (2.14).
(
)
(
)
[
]
(
(
)
)
τ τ τ θ τ ξ ξ d r τ t c ξ x r τ t c π c d t X p t X g f i f i t t n n t t f i n n∫
∫
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − − = = + + + + 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 * 1 4 1 4 ) ( ) , ; , ( , , (2.12)(
)
(
)
[
]
(
(
)
)
(
)
[
]
(
(
)
)
τ τ ξ ξ τ τ φ τ ξ ξ d t t r τ t c ξ x r τ t c x n r τ t c ξ x x n x n π c d t X q t X h f i f i t t f n n n t t i i n n I∫
∫
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − + = = = + + + + + 2 / 3 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 * 1 4 1 2 1 4 ) ( ) , ; , ( , , (2.13)(
)
(
)
[
]
(
(
)
)
(
)
[
]
(
(
)
)
τ τ ξ ξ τ τ φ τ ξ ξ d t t r τ t c ξ x r τ t c x n r τ t c ξ x x n x n π c d t X q t X h f i f i t t i n n n t t f i n n F∫
∫
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − + = = = + + + + + 2 / 3 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 * 1 4 1 2 1 4 ) ( ) , ; , ( , , (2.14)Como se pode notar, não são colocadas no integrando as funções Heaviside que multiplicam a solução fundamental e sua derivada nas equações (1.21) e (1.22). Conforme será exposto mais adiante neste item, isto é compensado pela alteração nos limites das integrais presentes nas expressões (2.12) a (2.14), de acordo com o caso no qual se enquadra o ponto X do contorno a que se refere a integral.
Define-se, em seguida: 1 1 2 4xξ r d = + (2.15)
Em (2.15), d é a máxima distância entre o anel de fontes representado pelo ponto fonte do contorno ξ e o ponto campo X, conforme mostrado no Capítulo 1. A mudança de variável é então realizada:
(
−τ)
=ctn+1
u (2.16)
Com as definições (2.15) e (2.16), as expressões (2.12) a (2.14) podem ser reescritas da seguinte forma, mais útil com vistas à integração:
