Neste capítulo é apresentada a delimitação do problema estudado, assim como os métodos empregados para encontrar as soluções analítica e numérica para cada caso, que tiveram como base para estudo o catalisador estudado por Weiz e Prater (1954) e também o catalisador esférico apresentado em Souza et al. (2017). Dois catalisadores cilindricos foram desenvolvidos com base na esfera do artigo base, sendo um de mesmo raio e outro de mesmo volume, ambos odedecendo a relação de que o comprimento 𝐿 deve ser bem maior que o raio (𝐿 > 16𝑅), para obter cilindro infinito. Desta forma é possível comparar os resultados obtidos entre esses casos, assim como entre os diferentes métodos de solução. Foi necessário definir um critério de tolerância para as diferenças entre as soluções analítica e numérica, uma vez que esta é uma aproximação daquela.
Desta forma a metodologia pode ser dividida nas seguintes etapas:
• Definição dos parâmetros geométricos de dois catalisadores cilíndricos com as seguintes características, resumidas na Tabela 4.1
Tabela 4.1: Condições para definição dos parâmetros geométricos dos catalisadores cilíndricos Cilindro de mesmo raio Cilindro de mesmo volume
𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑓 = 0.029 𝑐𝑚 𝑉 = 𝑉𝑒𝑠𝑓=43𝜋𝑅𝑒𝑠𝑓3
𝐿 > 16𝑅 𝐿 > 16𝑅
• Solução analítica e numérica de uma reação catalítica de primeira ordem em estado estacionário para ambos os cilindros;
• Solução analítica e numérica de uma reação catalítica de primeira ordem em estado transiente para ambos os cilindros;
• Solução analítica e numérica de uma reação catalítica de ordem zero em estado estacionário para ambos os cilindros;
4.1. DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS DOS CATALISADORES CILÍNDRICOS
A razão entre o comprimento e o diâmetro do cilindro garantem que o fluxo mássico se dê exclusivamente na direção radial (Cremasco, 2008):
𝐿 > 16𝑅 (4.1)
A tal condição, foi adicionado um fator de segurança de 10% para relacionar comprimento e diâmetro:
𝐿 = 16 × 1,1 × 𝑅 (4.2)
4.1.1. CILINDRO DE MESMO RAIO DA ESFERA
Os parâmetros geométricos deste catalisador podem ser encontrados substituindo diretamente os valores das condições para razão entre diâmetro e comprimento e igualdade com o raio esférico: 𝑅 = 𝑅𝑒𝑠𝑓 = 0,029 𝑐𝑚 (4.3) 𝐿 = 16 × 1,1 × 𝑅 = 0,5104 𝑐𝑚 (4.4) 𝑉 = 𝜋𝑅2𝐿 = 0,001349 𝑐𝑚3 (4.5) 𝑉 𝑉𝑒𝑠𝑓= 13,2 (4.6)
Para a reação de primeira ordem, o móludo de Thiele é calculado pela Equação (4.7):
𝜙𝑠=𝑅2 √𝐷𝑘𝑣 𝐴𝑒𝑓= 2,9.10−2 𝑐𝑚 2 √ (3,33 𝑠−1) (0,5.10−3𝑐𝑚2 𝑠 ) = 1,18 (4.7)
Já para a reação de ordem zero, pela Equação (4.8):
𝜙𝑠= 𝑅 2√2 √ 𝑘𝑣 𝐶𝐴𝑆𝐷𝐴𝑒𝑓= 2,9.10−2 𝑐𝑚 2√2 √ (1,84.10−5 𝑚𝑜𝑙/𝑐𝑚3. 𝑠) (1,75.10−5 𝑚𝑜𝑙/𝑐𝑚3)(0,5.10−3 𝑐𝑚2/𝑠)= 0,470 (4.8)
4.1.2. Cilindro de mesmo volume da esfera
Os parâmetros geométricos, de comprimento e raio, deste catalisador foram encontrados iterativamente, admitindo como aproximação inicial, para a primeira iteração, que seu comprimento é igual ao do cilindro anterior, para então calcular o valor do raio com base no volume, que é conhecido. O valor do raio assim obtido é utilizado para calcular o comprimento da próxima iteração, até que os valores alcancem uma convergência na quarta casa decimal. O esquema está representado na Tabela 4.2 e as iterações na Tabela 4.3.
Tabela 4.2: Esquema iterativo para obtenção dos parâmetros geométricos do cilindro de mesmo volume 𝐿0= 0.5104 𝑐𝑚
𝑉 = 𝑉𝑒𝑠𝑓 = 0.00010216 𝑐𝑚3 𝑅𝑖= √𝑉 (𝜋𝐿⁄ 𝑖) 𝐿𝑖+1= 16 × 1.1 × 𝑅𝑖
Tabela 4.3: Valores obtidos nas iterações
i L R 1 0.5104 0.0080 2 0.1405 0.0152 3 0.2678 0.0110 4 0.1940 0.0129 5 0.2279 0.0119 6 0.2102 0.0124 7 0.2189 0.0122 8 0.2145 0.0123 9 0.2167 0.0123 10 0.2156 0.0123 11 0.2161 0.0123 12 0.2159 0.0123 13 0.2160 0.0123
Foi obtida a convergência após 13 iterações. Optou-se por arredondar o valor do raio para somente três casas decimais, obtendo assim um raio de 0.012 cm.
𝑅
𝑅𝑒𝑠𝑓= 0,42 (4.9)
𝜙𝑠= 1,2.10−2 𝑐𝑚 2 √ (3,33 𝑠−1) (0,5.10−3𝑐𝑚2 𝑠 ) = 0,490 (4.10)
Para a reação de ordem zero, foi obtido o seguinte valor para o módulo de Thiele:
𝜙𝑠=
1,2.10−2 𝑐𝑚
2√2 √
(1,84.10−5 𝑚𝑜𝑙/𝑐𝑚3. 𝑠)
(1,75.10−5 𝑚𝑜𝑙/𝑐𝑚3)(0,5.10−3 𝑐𝑚2/𝑠)= 0,195 (4.11)
4.2. REAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM
A descrição das soluções analítica e numérica da reação de primeira ordem em estado estacionário e transiente , para o catalisador estudado por Weisz e Prater (1954), considerando geometria cilíndrica, são apresentados Tabela 4.4.e 4.5, respectivamente.
Tabela 4.4: Descrição da metodologia – Reação de primeira ordem em estado estacionário.
Caso de estudo Equação (3.14) apresentada na Tabela (3.4)
Catalisador de
referência
Catalisador de sílica – alumina retirado do artigo base Weisz e Prater (1954), cujas característica foram apresentadas na Tabela (3.1)
Solução analítica Sim, obtida manualmente a partir da solução por equações de Bessel
demonstada no apêndice A
Solução numérica Sim, obtida a partir da aplicação do Método de Diferenças Finitas
apresentado no apêndice D no software MAPLE
Objetivo Comparar os resultados de concentrações obtidos utilizando métodos
de solução analítico e numérico
Critério de
tolerância
|𝐶𝐴𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜− 𝐶𝐴𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜|
𝐶𝐴𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 × 100% < 5%
Tabela 4.5: Descrição da metodologia – Reação de primeira ordem em estado transiente
Caso de estudo Equação (3.15) apresentada na Tabela (3.4)
Catalisador de
referência
Catalisador de sílica – alumina retirado do artigo base Weisz e Prater (1954), cujas característica foram apresentadas na Tabela (3.1)
Solução analítica Obtida manualmente a partir da solução por equações de Bessel
demonstada no apêndice B
Solução numérica Obtida de maneira computacional a partir da aplicação do Método das
Linhas apresentado no apêndice E no software MAPLE
Objetivo Comparar os resultados de concentrações obtidos utilizando métodos
de solução analítico e numérico
Critério de
tolerância
|𝐶𝐴𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜− 𝐶𝐴𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜|
4.3. REAÇÃO DE ORDEM ZERO
A descrição das soluções analítica e numérica da reação de ordem zero em estado estacionário consta na Tabela 4.6.
Tabela 4.6: Descrição da metodologia – Reação de ordem zero em estado transiente
Caso de estudo Equação (3.13) apresentada na Tabela (3.4)
Catalisador de
referência
Catalisador de sílica – alumina retirado do artigo base Weisz e Prater (1954), cujas característica foram apresentadas na Tabela (3.1)
Solução analítica Obtiida pelo Método de Variáveis Separáveis demonstada no
apêndice C
Solução numérica Obtida a partir da aplicação do Método de Diferenças Finitas
apresentado no apêndice F no software MAPLE
Objetivo Comparar os resultados de concentrações obtidos utilizando métodos
de solução analítico e numérico
Critério de
tolerância
|𝐶𝐴𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜− 𝐶𝐴𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜|
𝐶𝐴𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 × 100% < 5%
4.4. SOFTWARE E HARDWARE
Nesta dissertação, foram utilizados os seguintes softwares:
• MS Excel® 2016 da Microsoft® – Para contabilização dos resultados, montagem dos gráficos e organização dos resultados;
• MS Word® 2016 da Microsoft® – Para redação e edição do texto presente no trabalho; e
• Maple® 2017 da Maplesoft® – Para programação dos métodos numéricos, análise de sensibilidade e montagem dos gráficos.
O sistema operacional (também software) Windows® 7, da Microsoft ® foi utilizado para gerenciamento dos demais. A configuração de hardware, por sua vez, segue conforme descrito:
• Processador: Intel ® CoreTM i3 a 2.1 GHz; • Disco rígido: 1 TB, 5400 rpm (convencional); • Memória: 4 GB, DDR 2 de 1333 MHz.
Desta forma são apresentadas as partes integrantes da metodologia de estudo utilizada neste trabalho, as quais serão utilizadas para auxiliar no entendimento dos resultados obtidos e discussões abordadas no próximo capítulo.
3.
CAPÍTULO 5