Capítulo 3 – Novo Método de Sintonia de Controladores PIDs para Sistemas
3.1 Metodologia para Desenvolvimento do Novo Método de Sintonia
O novo método de sintonia para controladores PIDs é baseado nas soluções de problemas de otimização, definido como:
arg min ( ) . 0, 0 = = obj F sj p p h g (3.1)
onde Fobj é a função objetivo (ou função custo), p é o vetor de variáveis de decisão e o
vetor de variáveis ótimas na condição mínima do problema de otimização, h é o vetor de restrições de igualdade e g é o vetor de restrições de desigualdade. A função arg min retorna os valores de variáveis de decisão que fornecem o menor valor da função objetivo.
O desenvolvimento desse método de sintonia pode ser dividido em três etapas fundamentais. Na primeira etapa, problemas de otimização foram resolvidos para um conjunto de plantas com objetivo de determinar os parâmetros ótimos do controlador PID. Na segunda etapa, os resultados ótimos obtidos na primeira etapa foram correlacionados com a razão / da função de transferência de segunda ordem com tempo morto através do ajuste às equações não lineares. Na terceira etapa, os parâmetros das equações não lineares ajustadas na segunda etapa foram correlacionados com o parâmetro da função de transferência de segunda ordem com tempo morto através do ajuste às outras equações não lineares.
Estas etapas de desenvolvimento do método estão descritas nas subseções 3.1.1, 3.1.2 e 3.1.3. Já às equações não lineares que compõe a segunda e terceira etapas serão apresentadas como resultado do novo método de sintonia na seção 3.2.
3.1.1 Primeira etapa – Obtenção dos parâmetros ótimos do controlador
Na primeira etapa do desenvolvimento do novo método de sintonia, o problema de otimização definido na Equação (3.1), teve como função objetivo o critério de desempenho Integrated Squared Error (ISE), dado pela Equação (3.2), em que yset(t) e y(t)
são o setpoint e o valor atual da variável controlada no domínio do tempo, respectivamente.
2 0 ( ) ( ) =
set − ISE y t y t dt (3.2)O critério ISE é um critério que penaliza mais os maiores valores da diferença entre
yset(t) e y(t), ou seja, do erro entre o valor de referência e o valor presente (MARLIN,
2000). Assim, é um bom critério para obtenção de controladores que são melhores em rejeição aos distúrbios do processo do que em relação às mudanças de setpoints.
Para contabilização deste critério, o sistema composto pelo controlador e a planta em malha fechada foi sujeito a uma mudança no setpoint, num primeiro momento, e um distúrbio na carga, num segundo momento, ambos iguais a 1 unidade positiva, cuja esquematização da simulação está na Figura 3.1. Nesta figura, C(s) e G(s) são funções de transferência do controlador e da planta a ser controlada, respectivamente. Yset e Y são o setpoint e o valor atual, respectivemente, e d representa o distúrbio adicionado ao
processo.
Figura 3.1: Diagrama de bloco da malha fechada utilizada na simulação do problema de
otimização.
A função de transferência do controlador C(s) utilizado nessa dissertação é definida por:
(
) (
( ) ( ))
(
( ) ( ))
( ) ( ) ( ) 1 − − = − + + + set D set P set D I Y s Y s s cY s Y s C s K bY s Y s s s N (3.3)onde Yset(s) e Y(s) são o setpoint e o valor atual da variável controlada no domínio da
frequência, respectivemente. Kp é o ganho do controlador, I é o tempo integral, D é o
controlador, respectivamente e N é o fator proporcional ao tempo derivativo do filtro de primeira ordem da ação derivativa.
O controlador apresentado na Equação (3.3) é conhecido como PID-ISA ou controlador PID na forma ISA, sende este algoritmo uma das formas mais presentes nos controladores comerciais (ÅSTRÖM e HÄGGLUND, 1995). Neste capítulo, se utilizou o peso na ação proporcional do controlador b igual a 1, resultando num controlador com um grau de liberdade, e não foi utilizado peso na ação derivativa, isto é, c igual a 0, para que não houvesse um grande valor dessa ação numa mudança de setpoint. Já o parâmetro N do controlador foi igual 10, para que a tendência capturada pela ação derivativa fosse numa década em termos de frequência.
Para esse problema de otimização, foi utilizada como restrição o pico no domínio da frequência da função sensibilidade, i.e., a máxima sensibilidade. A função sensibilidade relaciona a variação na saída Y com a variação na entrada, neste caso o distúrbio d (Figura 3.1), sendo definida matematicamente conforme Equação (3.4), em que C(s) e G(s) são funções de transferência do controlador e da planta a ser controlada, respectivamente.
1 ( ) 1 ( ) ( ) = + S s G s C s (3.4)
A máxima sensibilidade de uma malha fechada é uma métrica que confere estabilidade e robustez ao sistema. No domínio da frequência, em termos do Diagrama de Nyquist, a máxima sensibilidade representa o inverso da menor distância entre o ponto critíco, -1, e a curva do sistema em malha fechada.
Em termos práticos, uma malha fechada com máxima sensibilidade igual a 1,2 e 2 confere ao controlador alta robustez e alto desempenho, respectivamente (TRIERWEILER, 1997). Nesse contexto, a fim de obter um método com alto desempenho, adotou-se uma máxima sensibilidade igual a 2 no problema de otimização. Este valor de máxima sensibilidade garante no mínimo 1,5 de margem de ganho e 29° de reserva de fase aproximadamente, de acordo com as relações apresentadas por Rivera, Morari e Skogestad (1986).
Dessa forma, o problema de otimização definido genericamente na Equação (3.1), recebe a seguinte configuração:
, , , , arg min ( ) . 2 = = p I D p I D K K ISE sj MS (3.5)
onde os parâmetros Kp, I e D do controlador são as variáveis de decisão e MS é a
máxima sensibilidade.
Este problema de otimização foi solucionado a partir do método de otimização global denominado de Improved Stochastic Ranking Evolution Strategy (ISRES), cuja implementação está disponível no pacote de otimização denominado NLopt nonlinear-
optimization (JOHNSON, 2019). De acordo com Johnson (2019), a estratégia de evolução
do método ISRES é baseada na combinação de uma regra de mutação e uma variação diferencial. Nos problemas de otimização resolvidos neste trabalho, foi utilizada uma
população de 80 indivíduos. Adicionalmente, como critério de parada foi utilizado uma tolerância relativa de 10-4 para às variáveis de decisão e restrição do problema.
Destaca-se que para cada planta G(s), obtem-se um conjunto de parâmetros Kp, I e D
ótimo, onde estas plantas utilizadas para o desenvolvimento do método serão apresentadas na seção 3.2, assim como o conjunto de parâmetros ótimo do controlador PID para cada uma dessas plantas.
3.1.2 Segunda etapa – Obtenção dos parâmetros do controlador como função da razão
/
Nessa etapa, a partir dos valores ótimos dos parâmetros Kp, I e D do controlador,
esses parâmetros foram adimensionalizados, e cada um destes ajustado a uma respectiva equação não linear dependente da razão /. Para esse problema de otimização, utilizou- se como função objetivo a função de mínimos quadrados, definida conforme a Equação (3.6), onde xip é o valor predito pelo modelo, xio é o valor observado e Q é o número total de casos avaliados. 2 1 = =
Q p− o i i i J x x (3.6)Vale destacar que nessa etapa, os valores preditos da função objetivo são os valores de Kp, I e D do controlador calculados pela equação não linear proposta.
Nessa etapa de desenvolvimento do método, assim como na etapa seguinte, os problemas de otimização não possuíram restrições. Assim, o problema de otimização da segunda etapa para cada parâmetro do controlador recebe a seguinte configuração:
arg min ( )J =
p
p (3.7)
onde p é o vetor de variáveis de decisão, neste caso os parâmetros das equações não lineares que foram utilizadas para correlacionar cada parâmetro do controlador com a razão / de plantas de mesmo fator de amortecimento (). Às equações não lineares utilizadas nessa etapa serão apresentadas na seção 3.2.
A partir da resolução do problema de otimização estabelecido na Equação (3.9), foram obtidas 16 equações não lineares para cada parâmetro do controlador e fator de amortecimento avaliado.
3.1.3 Terceira etapa – Obtenção dos parâmetros do controlador como função dos parâmetros da função de transferência de segunda ordem com tempo morto
A partir das 16 equações não lineares obtidas para cada parâmetro do controlador e fator de amortecimento avaliado, correlacionou-se os parâmetros de cada equação não linear avaliada na segunda etapa com o fator de amortecimento. Para isso, utilizou-se o problema de otimização estabelecido na Equação (3.9). Contudo, ressalta-se que nessa etapa os valores preditos da função objetivo são os valores de cada parâmetro das equações não lineares obtidos na segunda etapa, calculado por outras equações não lineares que são funções .
Desta forma, obtém-se às regras de ajustes dos controladores PIDs para sistemas altamente subamortecido como função dos parâmetros da função de transferência de segunda ordem com tempo morto. Essas relações são apresentadas como resultados na seção 3.2.
Para desenvolvimento de cada etapa, foram utilizadas diferentes ferramentas computacionais. Nas simulações e resolução do problema de otimização da primeira etapa, foram utilizadas as linguagens de programação Python e Modelica. Já para os ajustes realizados na segunda etapa e terceira etapa, foi utilizado o software Statistica 8.0. No desenvolvimento e análises em Python desse capítulo foram utilizados às bibliotecas NumPy (NUMPY DEVELOPERS, 2019), Python Control Systems (PYTHON- CONTROL.ORG, 2018), NLopt (JOHNSON, 2019), Matplotlib (HUNTER et al., 2018), PyFMI (PYTHON SOFTWARE FOUNDATION, 2019), SciPy (JONES et al., 2001) e seaborn (WASKOM, 2018).