Após o término da minha intervenção letiva sobre este tema, os alunos realizaram uma minificha de avaliação cujo objetivo foi analisar as aprendizagens acerca da formalização do conceito de Probabilidade Condicionada. Deste modo, esta minificha foi realizada após terem sido resolvidas e discutidas todas as tarefas anteriormente analisadas.
A minificha de avaliação era constituída por três questões principais. Na primeira alínea da primeira questão questionava-se sobre, retirada uma peça ao acaso, a probabilidade de sair uma peça da máquina X, sabendo que era boa.
A resolução de Frederico, figura 49, é representativa da resolução de muitos outros alunos.
Figura 49: Resolução de Frederico à questão 1.1. da minificha versão A
Frederico apresentou corretamente, através de linguagem matemática, a probabilidade solicitada, revelando uma boa interpretação da Probabilidade Condicionada, bem como o número de casos favoráveis. No entanto, não identificou corretamente o espaço de resultados e, consequentemente, o número de casos possíveis (peças boas), que deveria ser 140 e não 80 que corresponde ao número de peças produzidas pela máquina X, calculando a probabilidade de a peça ser boa, sabendo que era da máquina X. Deste modo, Frederico calculou a transposta da Probabilidade Condicionada solicitada, ou seja, calculou 𝑃(𝐵|𝑋) em vez de 𝑃(𝑋|𝐵), aderindo, tal como a maioria dos alunos, ao erro da falácia condicional transposta. Esta dificuldade pode ter sido originada pois a Probabilidade Condicionada solicitada inverte a relação temporal dos acontecimentos. Posto isto, os alunos revelaram ter uma conceção cronológica da Probabilidade Condicionada.
Por sua vez, também houve uma percentagem de alunos que respondeu a esta questão acertadamente, identificando corretamente os casos favoráveis e os casos possíveis, figura 50.
Figura 50: Resolução de César à questão 1.1. da minificha versão A
César recorreu à Lei de Laplace para calcular a Probabilidade Condicionada solicitada apresentando uma conceção cardinal da Probabilidade Condicionada.
A segunda alínea, da primeira questão, solicitava a probabilidade de sair uma peça defeituosa, sabendo que tinha sido produzida pela máquina Y. Nesta questão, a maioria dos alunos respondeu corretamente, como mostra a figura que se segue.
Figura 51: Resolução de Mário à questão 1.2. da minificha versão A
Mário, no cálculo da Probabilidade Condicionada solicitada, recorreu à expressão algébrica da Probabilidade Condicionada. Ainda assim utilizou o quociente
𝑐𝑎𝑟𝑑{𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎 ∩ 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑌}
𝑐𝑎𝑟𝑑{𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑌} , apresentando uma conceção cardinal da Probabilidade
Condicionada, que neste caso originou o valor correto da probabilidade solicitada.
O cálculo desta probabilidade segue a sequência temporal dos acontecimentos, ou seja, pede a probabilidade da peça fabricada ser defeituosa, sabendo que foi construída pela máquina Y. Assim, numa análise às duas questões, 1.1 e 1.2, verifiquei que os alunos evidenciaram sentir mais dificuldades quando se inverte a sequência temporal, ou seja, quando se pede a probabilidade do acontecimento passado (ter sido fabricada na máquina X) conhecendo-se o acontecimento futuro (a peça era boa). Desta forma, a maioria dos alunos revelou ter uma conceção cronológica da
Probabilidade Condicionada pois uma questão que inverteu a sequência temporal foi, para eles, desprovida de sentido.
A segunda questão da minificha requeria quatro probabilidades, uma probabilidade simples, uma probabilidade conjunta e duas Probabilidades Condicionadas. A maioria dos alunos utilizou o Diagrama de Venn como estratégia de resolução desta questão. No entanto, revelaram dificuldades em construí-lo, dado que não calcularam o número de alunos que estavam inscritos em ambas as disciplinas. A figura 52 é uma resposta representativa das resoluções dos alunos da turma.
Figura 52: Resolução de Mário à questão 2.1. da minificha versão A
Tal como numa das tarefas resolvidas nas aulas, os alunos revelaram dificuldades em calcular a probabilidade de interseção entre dois acontecimentos. Dessa forma, todas as questões sobre probabilidades referentes a estes dados ficaram comprometidas.
Figura 53: Resolução de Cristiano à questão 2.1. da minificha versão A
Relativamente aos dados que Cristiano representou no Diagrama de Venn, que foram iguais aos de Mário, a probabilidade de o aluno estar inscrito apenas em Matemática está correta, visto que o aluno inferiu que não existiam alunos que estivessem inscritos em ambas as disciplinas. Ainda assim, o valor calculado referia- se à probabilidade de o aluno estar inscrito em Matemática.
Na segunda alínea, o aluno calculou o número de alunos que estavam inscritos em ambas as disciplinas como sendo a subtração entre o número total de alunos com o número de alunos que não estavam inscritos em nenhuma dessas disciplinas, ou seja, 24-3=21, interpretando 𝑃(𝑀 ∩ 𝐺) como sendo 𝑃(𝑀 ∪ 𝐺). Uma outra resolução apresentada pelo mesmo aluno foi o produto das probabilidades simples, ou seja, calculou 𝑃(𝑀𝑎𝑡 ∩ 𝐺𝑒𝑜) = 𝑃(𝑀𝑎𝑡) × 𝑃(𝐺𝑒𝑜) assumindo, de forma errada, que os acontecimentos eram independentes.
Na terceira alínea, o aluno apresentou, novamente, duas resoluções. Para uma delas, o aluno incorreu no mesmo erro da alínea anterior e calculou 𝑃(𝑀𝑎𝑡 ∩ 𝐺𝑒𝑜) = 𝑃(𝑀𝑎𝑡) × 𝑃(𝐺𝑒𝑜), para substituir a probabilidade conjunta na expressão algébrica da Probabilidade Condicionada, originando um valor incorreto. No outro caso, o aluno apresentou uma conceção cardinal da Probabilidade Condicionada pois interpretou-a como sendo a proporção 𝑃(𝐺𝑒𝑜|𝑀𝑎𝑡) = 𝑐𝑎𝑟𝑑{𝐺𝑒𝑜}
𝑐𝑎𝑟𝑑 {𝑀𝑎𝑡}, que é geralmente falsa.
Na última questão, que questionava a probabilidade de, escolhendo um cesto e retirando um fruto ao acaso, ter saído do cesto verde, sabendo-se que tinha sido extraída uma maçã, os alunos recorreram ao Diagrama de Árvore como estratégia para resolver o problema.
Dos poucos alunos que tentaram resolver esta questão, Cristiano e César apresentaram as resoluções seguintes, figura 54 e 55, respetivamente.
Figura 54: Resolução de Cristiano à questão 3 da minificha versão A
Cristiano construiu de forma correta o Diagrama de Árvore mas calculou as probabilidades dos segundos ramos de forma incorreta, pois não contabilizou corretamente no número de casos possíveis. Muito provavelmente, terá sido influenciado pelos valores das probabilidades dos primeiros ramos. Ainda assim colocou probabilidades com valores superiores a um, o que nunca poderia suceder. Como podemos constatar, o aluno calculou a probabilidade de sair maçã, sabendo que tinha sido extraída do cesto verde, 𝑃(𝑚𝑎çã|𝐶𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒), ou seja, calculou a probabilidade transposta à Probabilidade Condicionada solicitada no enunciado, 𝑃(𝐶𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒|𝑚𝑎çã). Deste modo, Cristiano incorreu no erro da falácia condicionada transposta. O aluno interpretou a questão como desprovida de sentido, visto que invertia a relação temporal dos acontecimentos, pois o acontecimento “escolha do cesto” ocorria antes da extração da maçã. Assim, como a questão solicitava uma probabilidade de um acontecimento que ocorreu antes, conhecendo-se o acontecimento futuro, o aluno não a interpretou de forma correta, apresentando ter uma conceção cronológica da Probabilidade Condicionada.
Por sua vez, Mário, na sua resolução, construiu corretamente o Diagrama de Árvore, identificando as probabilidades corretas nos ramos. Para além disso, recorreu à expressão algébrica da Probabilidade Condicionada solicitada,
𝑃(𝐶𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒|𝑚𝑎çã) =𝑃(𝐶𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒∩𝑚𝑎çã)
𝑃(𝑚𝑎çã) . O aluno começou por calcular
as probabilidades conjuntas, 𝑃(𝑀 ∩ 𝐶) e 𝑃(𝑀 ∩ 𝑉), ou seja, a probabilidade de sair maçã e ser do cesto castanho e a probabilidade de sair maçã e do cesto verde, respetivamente. No entanto, identificou essas probabilidades como sendo Probabilidades Condicionada, ou seja, a probabilidade de sair maçã, sabendo que tinha sido extraída o cesto castanho, 𝑃(𝑀|𝐶), e a probabilidade de sair maçã, sabendo que tinha sido extraída do cesto verde, 𝑃(𝑀|𝑉). Assim, o aluno apresentou dificuldades em distinguir uma probabilidade conjunta e uma Probabilidade Condicionada. No entanto, conseguiu calcular corretamente a probabilidade de sair maçã como sendo a soma de ambas as probabilidades mas não concluiu o seu raciocínio, dado que não calculou a Probabilidade Condicionada solicitada.
Em síntese, os alunos mostraram recorrer a Diagramas de Venn e a Diagramas de Árvore como estratégias para resolver problemas sobre Probabilidade Condicionada. Desta forma, revelaram saber quando aplicar um Diagrama de Venn e um Diagrama de Árvore, bem como compreender a sua importância na resolução de problemas. Relativamente às dificuldades, alguns alunos continuaram a revelar dificuldades em compreender as diferenças entre uma Probabilidade Condicionada e
uma probabilidade conjunta e em distinguir uma Probabilidade Condicionada da sua transposta, incorrendo no erro da falácia condicional transposta. No que se refere à conceção sobre Probabilidade Condicionada, alguns alunos revelaram ter uma conceção cronológica, revelando dificuldades em calcular uma Probabilidade Condicionada que inverta a sequência temporal dos acontecimentos, e outros apresentaram uma conceção cardinal sobre Probabilidade Condicionada. Neste caso, esta conceção apenas se torna uma limitação quando os alunos calculam a Probabilidade Condicionada como sendo 𝑃(𝐴|𝐵) =𝑐𝑎𝑟𝑑{𝐴∩𝐵}
𝑐𝑎𝑟𝑑{𝐵} , dado que os
acontecimentos podem não ser equiprováveis e quando calculam 𝑃(𝐴|𝐵) =𝑐𝑎𝑟𝑑{𝐴}
𝑐𝑎𝑟𝑑{𝐵}
que, em regra, é uma proposição falsa. Por fim, no que se refere ao nível de pensamento sobre Probabilidade Condicionada, os alunos revelaram ter nível 4 (numérico), dado que resolvem questões sobre Probabilidade Condicionada, aplicando raciocínios numéricos e, geralmente, revelam conseguir monitorizar de perto a composição do espaço amostral.
Capítulo 6
Conclusões e Reflexão Final
Neste capítulo, começo por realizar uma síntese do estudo, na qual apresento o contexto do trabalho, o objetivo e as questões do estudo e uma breve referência ao capítulo teórico e à metodologia utilizada. Seguidamente, de forma a responder às questões que formulei, e articulando com a fundamentação teórica, apresento as conclusões do estudo. Por fim, faço uma reflexão final sobre a minha intervenção e as aprendizagens dela decorrentes e algumas sugestões para possíveis trabalhos futuros.