A Tarefa 3, “Probabilidade Condicionada 3: Os sacos e as bolas”, pretendia reforçar a importância do uso de Diagramas de Venn para calcular as probabilidades de acontecimentos, mais especificamente Probabilidade Condicionada.
Antes de iniciarem a resolução da tarefa, os alunos recolheram dados reais da turma sobre o sabor de gelado preferido de cada um deles. Todos os alunos responderam a um questionário e, em grupo turma, obteve-se os seguintes resultados: 2 alunos preferiam morango, 3 alunos preferiam baunilha, 8 alunos preferiam ambos os sabores e, por último, 5 alunos responderam que nenhuma das opções anteriores se adequava.
A primeira alínea, da primeira questão da tarefa, solicitava que os alunos organizassem os dados obtidos num Diagrama de Venn. Nesta questão, os alunos não apresentaram dificuldades tendo todos respondido de modo uniforme. Assim, uma resposta representativa dos alunos da turma apresenta-se na figura que se segue.
Figura 18: Resolução de Cristiano e Filipe à questão 1.1 da tarefa 3
Apenas um grupo de alunos mostrou associar o número de alunos que preferem ambos os sabores à interseção entre os acontecimentos ‘Gostar de morango’ e ‘Gostar de baunilha’, como se pode observar na figura 19.
Figura 19: Resolução de Francisca e Vasco à questão 1.1 da tarefa 3
Assim, Francisca e Vasco evidenciaram compreender a noção de interseção de dois acontecimentos, no contexto do problema, isto é, que o acontecimento gostar de ambos os sabores é representado pela interseção M ∩ B, ou seja.
Na segunda alínea desta questão, pretendia-se que os alunos calculassem diversas probabilidades, de acordo com os dados recolhidos. Por exemplo, esperava- se que calculassem a probabilidade simples de, escolhido um aluno ao acaso, este gostar de morango; a Probabilidade Condicionada de, escolhido um aluno ao acaso, este gostar de baunilha, sabendo que gostava de morango; e, por último, a probabilidade conjunta de, escolhido um aluno ao acaso, este gostar de morango e baunilha.
No cálculo da probabilidade simples não surgiram dúvidas significativas, pelo que todos os grupos de alunos responderam corretamente à questão. A figura que se segue mostra um dos exemplos de resposta que surgiu na turma, embora esta resolução
se distinga das restantes dado que, ainda que implicitamente, os alunos apresentaram o seu raciocínio. Ou seja, tal como Bruno e Francisco, os alunos evidenciaram compreender que os que “gostam de morango” são todos aqueles que gostam apenas de morango, bem como todos aqueles que gostam de ambos os sabores.
Figura 20: Resolução de Bruno e Francisco à questão 1.2.1. da tarefa 3
Na alínea seguinte, apenas um grupo de alunos não respondeu corretamente e, dos grupos que responderam corretamente, dois deles não utilizaram notação adequada para apresentar o valor da Probabilidade Condicionada pedida, apresentando apenas a fração correspondente a essa probabilidade.
Nenhum dos grupos apresentou o seu raciocínio, nem para o número de casos favoráveis, nem para o número de casos possíveis, pelo que não é possível analisar a noção cognitiva que fazem acerca de Probabilidade Condicionada. No entanto, ao longo da resolução da tarefa, Vasco, em conversa com Francisca, afirmou que “A probabilidade de gostar de baunilha, sabendo que gosta de morangos (…) Então são ambos”. Ao que a Francisca respondeu: “Não, o ‘sabendo que’ vai condicionar os resultados!”. A intervenção de Vasco evidencia que o aluno apresenta dificuldades em compreender as diferenças entre uma Probabilidade Condicionada, a probabilidade de gostar de baunilha, sabendo que gosta de morango, e uma probabilidade conjunta, a probabilidade de gostar de ambos os sabores. Por sua vez, Francisca evidencia associar uma Probabilidade Condicionada à expressão ‘sabendo que’, considerando que essa expressão diz respeito a um acontecimento que condiciona o outro. Ou seja, ainda que implicitamente, a aluna apresente uma conceção causal da Probabilidade Condicionada, pelo que a relaciona com uma relação de causa-efeito entre o acontecimento condicionante e o acontecimento condicionado.
O único grupo que não respondeu corretamente à questão, Américo e Martim, apesar de terem definido corretamente os acontecimentos, calcularam a probabilidade de, escolhido um aluno ao acaso, este gostar de morango sabendo que gostava de
baunilha, que é a Probabilidade Condicionada transposta do que se pretendia, como podemos observar na figura 21.
Figura 21: Resolução de Américo e Martim à questão 1.2.2. da tarefa 3
Assim, este par de alunos incorreu no erro da falácia condicional transposta, ou seja, demonstrou dificuldades em distinguir uma Probabilidade Condicionada com a sua transposta. Para além disso, os alunos apresentaram mais duas incorreções. Inicialmente calcularam a probabilidade de interseção entre os acontecimento A e B como sendo a soma da probabilidade de gostar apenas de morango com a probabilidade de gostar apenas de baunilha, calculando 2
18+ 3
18, em vez de 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 8
18, que é o resultado da probabilidade dos alunos gostarem, simultaneamente, de
ambos os sabores. Para além disso, ao calcularem a probabilidade de interseção desses acontecimentos, somaram as probabilidades individualmente, quando, ainda que os valores estivessem corretos, deveriam ter calculado o produto dos mesmos. Por fim, para calcularem a probabilidade de gostar de baunilha, 𝑃(𝐵), consideraram somente os alunos que gostavam apenas de baunilha, não considerando aqueles que gostavam de ambos os sabores.
Na última alínea desta questão, pretendia-se que os alunos calculassem a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, gostar simultaneamente de morango e baunilha. Todos os grupos responderam corretamente usando notação apropriada para a probabilidade conjunta, como 𝑃(𝑀 ∩ 𝐵) 𝑜𝑢 𝑃(𝑔𝑜𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑒 𝑏𝑎𝑢𝑛𝑖𝑙ℎ𝑎).
Na próxima questão da tarefa, pedia-se que os alunos imaginassem que, desta vez, metade das pessoas que gostavam apenas de morango preferissem apenas baunilha e questionava-se sobre a probabilidade de, escolhido um aluno ao acaso, este gostar de morango, sabendo que gostava de baunilha. Para além disso, pretendia-se que os alunos fizessem alguma analogia com a questão 1.2.2, tendo como objetivo alertar os alunos para a compreensão de que uma Probabilidade Condicionada e a sua transposta diferem. Neste sentido, era importante que os alunos concluíssem que
apesar dos casos favoráveis se manterem, o espaço de resultados não era o mesmo e, portanto, o número de casos possíveis alterava-se.
Ao longo da resolução desta questão, Francisca afirmou para Vasco que a probabilidade de gostar de morango, sabendo que gostava de baunilha, era “1 em 8 (…) que é gostar de morango sobre gostar de ambos”. Neste caso a aluna estava a calcular a probabilidade considerando que se o aluno gostava de baunilha, e dado que se pretendia que também gostasse de morango, o número de casos possíveis limitava- se a ser os alunos que gostavam de ambos os sabores. Para o número de casos favoráveis, a aluna ignorou o fator condicionante e pensou no número de alunos que apenas gostavam de morango. Assim, a resposta da aluna evidenciou algumas lacunas na definição de Probabilidade Condicionada, pois, no seu cálculo contabilizou como casos favoráveis, casos que não pertenciam ao espaço amostral. Assim, a aluna evidencia uma conceção cronológica da Probabilidade Condicionada pois representa 𝑃(𝑀|𝐵) como sendo, erradamente, a quantificação do quociente de 𝑐𝑎𝑟𝑑{𝑀}
𝑐𝑎𝑟𝑑{𝑀∩𝐵}.
De seguida, Francisca e Vasco questionaram-me sobre o número de casos favoráveis e possíveis referentes à Probabilidade Condicionada. Pelo que, de forma a não retirar o grau de desafio da questão, questionei os alunos sobre “Quantos é que gostam de baunilha? E de morango?”, levando-os a concluir, autonomamente, que os casos possíveis eram aqueles que gostavam de baunilha. Deste modo, analisando a resolução de Francisca e Vasco, figura 22, é possível verificar que, os alunos compreenderam que o número de casos possíveis são o número de pessoas que gostam apenas de baunilha e de ambos os sabores, ou seja, 4 + 8 =12. Assim, verificaram que o número de casos favoráveis, em relação à 1.2.2., não se alterou, pelo que continuava a ser o número de pessoas que gostava de ambos os sabores, ou seja, 8. Apesar de não terem justificado esses valores na resolução da tarefa, justificaram o seu raciocínio no momento de discussão da mesma, tendo Francisca afirmado que:
1 pessoa gosta de morango e 4 pessoas gostam de baunilha. Tínhamos de ver quantas pessoas gostam de baunilha, ou seja, 4 gostam de baunilha, mas também há quem goste de baunilha e morango, que dá os 12. O 8 é o número de casos favoráveis que são os que gostam de ambos os sabores.
Figura 22: Resolução de Francisca e Vasco à questão 1.3. da tarefa 3
Apenas Marco respondeu de forma a tentar fazer alguma conexão com a questão 1.2.2., relacionando uma Probabilidade Condicionada com a sua transposta, como se verifica na figura 23. Assim, o aluno conseguiu atingir o objetivo da questão, mostrando compreender uma das diferenças entre a Probabilidade Condicionada e a sua transposta.
Figura 23: Resolução de Marco à questão 1.3. da tarefa 3
A resolução de Marco mostra que o aluno identificou a diferença entre uma Probabilidade Condicionada e a sua transposta, através da interpretação que fez de ambas. Marco mostrou compreender que existe diferença entre calcular a probabilidade de, escolhido um aluno ao acaso, este gostar de baunilha, sabendo que gosta de morango e a probabilidade de um aluno gostar de morango, sabendo que gosta de baunilha. Através da resposta do aluno, podemos verificar que, para ele, a questão de comparar essas duas probabilidades se torna desprovida de sentido, sendo que se percebe que são duas probabilidades distintas, através da linguagem corrente que usa.
Por fim, a última questão da tarefa pretendia que os alunos não se focassem nos resultados obtidos e utilizassem dados novos. Neste caso, os alunos sabiam que
existiam 12 alunos que gostavam apenas de morango e sabiam, também, que a probabilidade de gostar de morango sabendo que gostavam de baunilha, era de 1/3. Desta forma, pretendia-se que descobrissem o número de alunos que gostavam de ambos os sabores. Esta questão distinguia-se das outras, pois solicitava o cálculo de uma probabilidade conjunta a partir do valor de uma Probabilidade Condicionada, através de manipulação algébrica.
Todos os alunos da turma revelaram dificuldades na resolução desta questão, pois nenhum grupo de alunos conseguiu resolvê-la de forma autónoma. Apenas César conseguiu calcular mentalmente essa probabilidade, sem utilizar a expressão da Probabilidade Condicionada. Assim, na fase de discussão dos resultados, César calculou o número de alunos que gostam de ambos os sabores, como sendo o quociente de 12 por 3, dado que um terço dos 12 alunos que gostavam de morango, ou seja, 4, também gostava de baunilha.
Em suma, a análise desta tarefa não permite inferir sobre a conceção de Probabilidade Condicionada que os alunos vão construindo, exceto no caso de Francisca que evidencia uma conceção causal e uma conceção cardinal da Probabilidade Condicionada. No entanto, a análise desta tarefa deu oportunidade para confirmar que os alunos apresentam mais dificuldades no cálculo de uma Probabilidade Condicionada do que no cálculo de uma probabilidade conjunta, confundindo frequentemente estas noções. Outra dificuldade evidenciada foi a distinção entre uma Probabilidade Condicionada e a sua transposta.